6.4.3.3 余弦定理、正弦定理的综合应用 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 学习目标 1.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.(重点) 2.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.(重点) 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.(难点) 宁波光华学校 ：刘雨萌 复习回顾，温故知新 1.两角和差的正弦公式： 2.两角和差的余弦公式： 3.倍角公式： 4.辅助角公式： 5.特殊角的三角函数值： 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例1 在△ABC中，若acos A=bcos B，试判断△ABC的形状. 方法一　由正弦定理==. 又acos A=bcos B，∴=， ∴=， ∴sin Acos A=sin Bcos B， ∴2sin Acos A=2sin Bcos B，即sin 2A=sin 2B， ∵A，B为三角形内角， ∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二　由已知及余弦定理，得 a·=b·， ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)， 即a2b2+a2c2-a4=b2a2+b2c2-b4， ∴a2c2-b2c2-(a4-b4)=0， ∴(a2-b2)［c2-(a2+b2)］=0， 从而a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0， 即a=b或c2=a2+b2， △ABC是等腰三角形或直角三角形. 宁波光华学校 ：刘雨萌 延伸探究 若把本例中“acos A=bcos B”改为“=”，试判断△ABC的形状. 延伸探究 由正弦定理==， 又=，∴=， ∴=，即sin Acos B-cos Asin B=0， ∴sin(A-B)=0， ∵-π<A-B<π，∴A-B=0，∴A=B， ∴△ABC为等腰三角形. 宁波光华学校 ：刘雨萌 提升小结 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. (3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 宁波光华学校 ：刘雨萌 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 —— 三角形的高 在ΔABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作 若ΔABC为锐角三角形，则由下图可知， 同理可得 当ΔABC为直角三角形或钝角三角形时结论相同. 探索新知 宁波光华学校 ：刘雨萌 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 —— 三角形面积的计算公式 在ΔABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作 对 的证明： ①当ΔABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，设 ΔABC的面积为S，则 ②当ΔABC为钝角三角形时，作BC边上的高AD， 则 当ΔABC为直角三角形时，上述结论依然成立. 探索新知 宁波光华学校 ：刘雨萌 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 —— 三角形面积的计算公式 在ΔABC中， 为内切圆的半径，为外接圆半径. 【证明】 【证明】 探索新知 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识梳理 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，则△ABC的面积公式为S=_________=__________=__________.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C= ， sin(A+B)= ，cos(A+B)= .  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.  absin C bcsin A casin B 180° sin C -cos C 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例2 (1)在△ABC中，A=30°，C=45°，a=2，求S△ABC； 方法一　因为A=30°，C=45°，所以B=105°， 由正弦定理=，得b===+， S△ABC=absin C=×2×(+)×=+1. (2)若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，求边AB的长度. 方法一　由S△ABC=AC·BC·sin C=，得AC=2， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4， 所以AB=2，即边AB的长度为2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 跟踪训练2 (1)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC. 在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得49=64+c2-16c×，整理得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5. 当c=3时，S△ABC=acsin B=×8×3×=6； 当c=5时，S△ABC=acsin B=×8×5×=10. (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=，(2a-c)cos B =cos C，则△ABC面积的最大值是　　　　.  宁波光华学校 ：刘雨萌 ∵b=， ∴(2a-c)cos B=bcos C. 由正弦定理，得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C， ∴2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B=， 又B∈(0，π)，∴B=. 由余弦定理的推论，可得=， 即a2+c2=3+ac≥2ac(当且仅当a=c时取等号)，∴ac≤3， ∴S△ABC=acsin B≤， 即△ABC面积的最大值为. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 正弦、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b-c=2，cos A=-. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值. 在△ABC中，∵cos A=-，∴A∈，∴sin A==， 由△ABC的面积为bcsin A=，可得bc=8. 又b-c=2，解得b=4，c=2或b=-2，c=-4(舍去)，∴b=4，c=2， ∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×8×=24， ∴a=2=，得sin C=， ∴a=2，sin C=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 由(1)知，sin C=，b>c，∴C∈， ∴cos C==， cos 2C=2cos2C-1=， sin 2C=2sin Ccos C=， ∴cos=cos 2Ccos-sin 2Csin=×-×=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 跟踪训练3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， asin A+csin C-asin C=bsin B. (1)求B的大小； (2)若A=75°，b=2，求a，c的值. （1）由正弦定理，得a2+c2-ac=b2，即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理的推论，得cos B==. 又0°<B<180°，因此B=45°. （2）sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 故由正弦定理，得a=b·=1+. 由已知得，C=180°-45°-75°=60°，故c=b·=2×=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (2)三角形的面积公式及面积的最值问题. (3)正弦、余弦定理的综合应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1 2 3 4 1.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的 √ 随堂演练 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为 A. B. C. D.2 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　.  1 2 3 4 1 由sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a， 又a+c=3，∴c=3-a， 由余弦定理的推论，得cos C===， 整理得a2+2a-3=0，解得a=1(负值舍去). 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 韩语班：教材52页习题6.4 1-7+15、18、20 4班：课后作业17 1-10必做，11-14选做 5班：课后作业17 1-14必做，15、16选做 宁波光华学校 ：刘雨萌 本节内容结束 $$