6.4.3.2 正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 宁波光华学校 ：刘雨萌 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.(重难点) 宁波光华学校 ：刘雨萌 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=________________， b2=________________， c2=_______________ 推论 cos A=__________， cos B=___________， cos C=___________ 1.余弦定理 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 复习回顾，温故知新 宁波光华学校 ：刘雨萌 三角形中的隐含条件 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为，外接圆半径为，则： ΔABC为锐角三角形,则 即在锐角三角形中，一个角的正弦值大于另一个角的余弦值. 复习回顾，温故知新 宁波光华学校 ：刘雨萌 探索新知 探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解 三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公 式呢？ 如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？ 问题1 提示　sin A=，sin B=，可以变形写成c==，又sin C=1，则上式可写成==. 在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？ 问题2 宁波光华学校 ：刘雨萌 证明： 过A作单位向量 垂直于 ∴ asinC=c sinA. 同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得 B C A 则 两边同乘以单位向量 宁波光华学校 ：刘雨萌 当 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图 过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 与 的夹角为 同理可得 探索新知 在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 问题3 提示　如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=，连接AB'，则AB'=2R. 根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC， 在Rt△AB'C中，=2R， 所以==2R， 即在△ABC中，有=2R成立， 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识梳理 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相 等，即________________=2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 正弦 == 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=_____，sin B=_____，sin C=_____. (3)a∶b∶c=____________________.  (4)=2R. sin A∶sin B∶sin C 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例1 在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，解这个三角形. 因为B=30°，C=105°， 所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 又因为b=4，则由正弦定理， 得==， 解得a==4，c==2+2. 跟踪训练1 在△ABC中，已知a=10，B=75°，C=60°，则c=　　　　.  5 已知两角及任意一边解三角形 宁波光华学校 ：刘雨萌 已知两边及其中一边的对角解三角形 典例分析 例2 在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解这个三角形. 由正弦定理=， 得sin C===， ∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°， b===+1； 当C=120°时，B=15°，b===-1. 综上，b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. 宁波光华学校 ：刘雨萌 延伸探究 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，则角A有几个值？ 由正弦定理=， 得sin A===. ∵c=>2=a，∴A< C=45°. ∴0°<A< 45°，且sin A=，这样的角A只有一个，即A只有1个值. 典例分析 宁波光华学校 ：刘雨萌 三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时第三角已知，三角形是唯一确定的，所以解是唯一的 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解，两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.不妨设已知ΔABC的两边和角A，作图步骤如下： ①先把未知边画成水平的，作出已知角A； 角A的另一条边为已知边； ②以边的端点C为圆心， 为半径作圆； ③观察圆C与边交点的个数，就是三角形 解的个数. 宁波光华学校 ：刘雨萌 三角形的解的个数 4 显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况： 无解 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 宁波光华学校 ：刘雨萌 三角形的解的个数 当A为直角(或钝角)时，有如图所示的2种情况： 仅有一个解 仅有一个解 根据分析可知，由于 长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解.若A为锐角，只有当时才有解，并且随着的增大，得到的解的个数也不同；若A为钝角或直角，只有当时才有解. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识梳理 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例3 下列三角形是否有解？有解的作出解答. (1)a=7，b=8，A=105°； 由a=7，b=8，可得a<b，所以A<B，又由A=105°>90°， 所以这样的三角形无解. (2)b=10，c=5，C=60°； 由b=10，c=5，可得b<c，所以B<C， 又由C=60°<90°，所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，得sin B===，所以B=45°， 所以A=180°-(B+C)=75°，所以a====5+5. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (3)a=2，b=6，A=30°. 典例分析 由a=2，b=6，可得a<b， 又由A=30°<90°，且bsin A=6sin 30°=3，可得a>bsin A， 所以这样的三角形有两解. 由正弦定理，可得sin B===， 所以B=60°或B=120°， 当B=60°时，C=180°-(A+B)=90°， c===4； 当B=120°时，C=180°-(A+B)=30°， c===2， 所以B=60°，C=90°，c=4或B=120°，C=30°，c=2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)正弦定理及变形推论. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1 2 3 4 1.在△ABC中，a=5，b=3，则的值是 A. B. C. D. √ 根据正弦定理，得==. 随堂演练 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3，则AC等于 A.4 B.2 C. D. 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 1 2 3 4 √ 由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.在△ABC中，D为BC边上一点.若AD=CD，B=60°， BA=5，BC=8，则sin∠BAD=　　　　.  1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 韩语班：教材48页练习1-3 4班、5班：课后作业16 1-14必做，15、16选做 宁波光华学校 ：刘雨萌 本节内容结束 $$