6.4.3.1 余弦定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点) 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 宁波光华学校 ：刘雨萌 复习回顾，温故知新 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定关系。 例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系。 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边，角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法。 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有着怎样的数量关系？ 宁波光华学校 ：刘雨萌 探索新知 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 问题1 提示　如图，设=a，=b，=c， 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C. 宁波光华学校 ：刘雨萌 探索新知 问题2 类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 提示　类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B. 在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 问题3 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式. 问题4 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识梳理 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=________________， b2=________________， c2=_______________ 推论 cos A=__________， cos B=___________， cos C=___________ 1.余弦定理 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识梳理 使用条件： (1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. (2)余弦定理对任意三角形都成立. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 已知两边及一角解三角形 例1 (1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是-，求三角形的另一边的长度； (2)在△ABC中，已知b=，c=，B=30°，解这个三角形. （1）设a=5，b=3，cos C=-， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+9+18=52，解得c=2， 所以三角形的另一边的长度是2. （2）由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得()2=a2+()2-2a××cos 30°， 即a2-3a+10=0，解得a=或a=2. 当a=时，A=30°，C=120°； 当a=2时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°. 宁波光华学校 ：刘雨萌 提升小结 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练 (1)在△ABC中，C=，AB=7，BC=3，则AC等于 A. B.5 C. D.6 √ 由余弦定理得72=AC2+32-2×3×AC·cos ，即AC2+3AC-40=0， 解得AC=5或AC=-8(不符合题意，舍去)，所以AC=5. (2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=2，ab=2，2cos(A+B)=1，则C 的大小为　　　，AB=　　　　.  ∵cos C=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-，又∵C∈(0，π)，∴C=， 又∵a+b=2，ab=2，∴AB2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=10，∴AB=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 已知三边解三角形 例2 在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C的大小. 根据余弦定理的推论，得cos A===. ∵A∈(0，π)，∴A=， cos C===， ∵C∈(0，π)，∴C=.∴B=π-A-C=π--=， ∴A=，B=，C=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于 A. B. C. D. √ cos A====. (2)在△ABC中，若a∶b∶c=2∶∶(+1)，则A=　　　　.  45° 由题意，可设a=2k，b=k，c=(+1)k，其中k>0.由余弦定理的推论得 cos A===，而A为三角形的内角，故A=45°. 宁波光华学校 ：刘雨萌 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 问题5 提示　A为直角⇔a2=b2+c2； A为锐角⇔b2+c2>a2； A为钝角⇔b2+c2<a2. 探索新知 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 利用余弦定理判断三角形的性状 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状. (1)若B=60°，2b=a+c. (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C. 在△ABC中，因为B=60°，b=， 由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B， 所以=a2+c2-2accos 60°， 整理，得(a-c)2=0，所以a=c. 又B=60°，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形. 宁波光华学校 ：刘雨萌 由2cos Asin B=sin C，得 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin Acos B-cos Asin B=0， 所以sin(A-B)=0， 又A与B均为△ABC的内角，所以A=B. 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab，得(a+b)2-c2=3ab， 所以a2+b2-c2=ab，所以由余弦定理的推论， 得cos C===，则C=60°， 所以A=B=60°，所以△ABC为等边三角形. 宁波光华学校 ：刘雨萌 15 提升小结 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. (2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. (3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 跟踪训练3 (1)在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 √ (2)在△ABC中，若·+=0，则△ABC的形状一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)应用余弦定理判断三角形的形状. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1 2 3 4 1.一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为 A.8 B.2 C.6 D.4 √ 随堂演练 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则角B为 A. B. C.或 D.或 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC的最小角为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=　　　.  1 2 3 4 由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×，解得b=4. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 韩语班：教材34页练习1-3 4班、5班：课后作业15 1-14必做，15、16选做 宁波光华学校 ：刘雨萌 本节内容结束 $$