3.2 单项式的乘法（讲练）（9大题型62题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定系数：积的系数等于各因式系数的积； (2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加; (3)确定单独字母：连同字母的指数一起，作为积的因式. 助记口诀 单项式乘单项式，系数相乘作系数， 同底数幂随后乘，剩下因式别扔掉， 光杆司令整体直接乘. 注意：（1）计算时要注意符号问题，（2）只在一个单项式中含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不重不漏，（3）单项式与单项式相乘的法则对于两个以上的单项式相乘同样适用. 链接：单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 【基础练习】 【练习1-1】计算：6xy3•（﹣x3y2）（　　） A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6 【练习1-2】化简（4x2y）2（﹣xy2）的结果是 　 ． 【练习1-3】计算：． 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为. 注意事项 (1)单项式与多项式相乘时，应注意每一项的符号 (2)单项式与多项式相乘时，注意不要漏乘多项式中不含字母的项. (3)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与多项式的项数相同. (4)对于混合运算，要注意运算顺序，有同类项的必须合并同类项，从而得到最简结果. 【基础练习】 【练习2-1】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【练习2-2】﹣2x（3x2﹣5x+1）＝　 　． 【练习2-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）， 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算：（1） ； （2） ． 【变式1-2】计算：（1）（x3）4•x2； （2）（a2b）3•（ab2）2•a3b2； （3）（﹣2a2b）2•（ab）3 【典例】计算2x(3x2+1),正确的结果是(　　) A. 5x3+2x B. 6x3+1 C. 6x3+2x D. 6x2+2x 【变式2-1】计算：　 ． 【变式2-2】计算： （1）（﹣5x）•（3x2﹣4x+5）： （2）﹣2a•（3ab2﹣5ab3）： （3）（﹣a2b）（2a﹣ab+3b）； （4）﹣2xn•（﹣3xn+1+4xn﹣1）． 注意:单项式与多项式相乘的计算中，可把单项式及多项式各项前的符号看成性质符号，把单项式与多项式各项相乘的结果都用“+”连接，最后写成省略加号的代数式. 【典例】下列运算正确的是( ) A. 2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5 【变式3-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【典例】计算a2（a+1）﹣a（a2﹣2a﹣1）的结果为（　　） A．﹣a2﹣a B．2a2+a+1 C．3a2+a D．3a2﹣a 【变式4-1】计算： （1）（4a﹣b2）（﹣2b）； （2）2x2（x﹣）； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab； （4）（a﹣）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4）． 【变式4-2】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 点拨:(1)在混合运算中应注意运算顺序，先乘方，后乘法，最后加减； (2)做乘法运算时应注意积的符号，不要漏掉只在一个单项式里含有的字母. 【典例】2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为m/s，则中国空间站绕地球运行s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留） 【变式5-2】为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示. (1)的长度可表示为_____； (2)求这个广场的周长； (3)若，时，则该广场的面积为_____ 点拨：利用单项式乘法解决实际问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型——代数式，然后运用单项式乘法法则进行计算. 【典例】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【变式6-1】若(x3＋ax2-x2)·(-8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为___． 【变式6-2】已知3xm﹣3y5﹣n与﹣8x3y2的积是2x4y9的同类项，求m、n的值． 【典例】若，则 ． 【变式7-1】化简求值：，其中，． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 点拨: 解答此类题目时先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求值.若代入的数是负数或分数，则乘方时一定要加上括号. 【典例】如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【变式8-1】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则手掌捂住的多项式是 ． 【变式8-2】小明计算一道整式乘法题：由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到 根据上述信息，分别计算出，的值； 请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【典例】若定义表示，表示，则运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】对于有理数定义新运算：． (1)计算的值； (2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由． 【变式9-2】已知，为有理数，现规定一种新运算“*”：．例如：． (1)求 (2)探索与的关系，并用等式把它们表示出来． 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．的计算结果是（ ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是(   ) A．(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x B．(6xy2－4x2y＋1)·3xy＝18x2y3－12x3y2 C．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1 D．(－3x2y)·(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y 4．下列算式中，错误的是（　　） A．a（a+b）+b（a+b）＝a2+2ab+b2 B．x（x﹣y）+y（x﹣y）＝x2﹣y2 C．a（a2﹣ab+b2）+b（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 D．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝y2﹣x2 5．某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额a元．五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加（　　） A．1.4a元 B．2.4a元 C．3.4a元 D．4.4a元 6．若，则的值分别为（　　） A．3 2 B．2，3 C．3，3 D．2，2 7．若计算（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣ D．﹣ 8． 若，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 10．若定义，则（　　） A． B． C． D． 11．如果A、B都是关于x的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次多项式，那么的次数（   ） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．不大于四次 12．计算：__________． 13．计算： ． 14．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则______（结果用含的代数式表示）． 15．若，求 ． 16．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 17．某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是 ． 18．若且为正整数,则__. 19．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为_______． 20．计算： （1）； （2）； （3）． 21．计算： （1）（﹣2a2b）3•（3b2﹣4a+6）； （2）（﹣2m）2•（m2﹣5m﹣3）． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． 23．如图是学校操场主席台前计划修建的一块凹字形花坛设计图，请你计算这个花坛的周长和面积（单位：米）    24．先化简，再求值：，其中． 25．小明在计算代数式的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由． 26．阅读材料，解答问题： 任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝a⋅b（a，b是正整数，且a≥b），在n的所有这种分解中，如果a，b两因数之差最小，我们就称a⋅b是n的最优分解，记F（n）＝a﹣b． 例如：12＝12×1＝6×2＝4×3， ∵12﹣1＞6﹣2＞4﹣3， ∴4×3是12的最优分解，即F（12）＝4﹣3＝1． （1）填空：F（18）＝　 　； （2）若x是大于1的正整数，求F（x2﹣x）的值； （3）已知F（x2﹣15）＝0，其中x是正整数，求x的值． 27．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，定义根据运算符合的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和⚪中，并比较它们的运算结果，你能发现什么？□*⚪和⚪*□； (4)根据以上方法，设为有理数，请猜测与的关系，并用式子把它们表示出来． 1．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定系数：积的系数等于各因式系数的积； (2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加; (3)确定单独字母：连同字母的指数一起，作为积的因式. 助记口诀 单项式乘单项式，系数相乘作系数， 同底数幂随后乘，剩下因式别扔掉， 光杆司令整体直接乘. 注意：（1）计算时要注意符号问题，（2）只在一个单项式中含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不重不漏，（3）单项式与单项式相乘的法则对于两个以上的单项式相乘同样适用. 链接：单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 【基础练习】 【练习1-1】计算：6xy3•（﹣x3y2）（　　） A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6 【答案】B 【解析】 【详解】解：原式＝6×（﹣）•（x•x3）•（y3•y2） ＝﹣3x4y5， 故选：B． 【练习1-2】化简（4x2y）2（﹣xy2）的结果是 　 ． 【答案】﹣16x5y4 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘法． 【详解】解：原式＝16x4y2×（﹣xy2） ＝﹣16x5y4． 故答案为：﹣16x5y4． 【练习1-3】计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式 ． 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为. 注意事项 (1)单项式与多项式相乘时，应注意每一项的符号 (2)单项式与多项式相乘时，注意不要漏乘多项式中不含字母的项. (3)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与多项式的项数相同. (4)对于混合运算，要注意运算顺序，有同类项的必须合并同类项，从而得到最简结果. 【基础练习】 【练习2-1】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【练习2-2】﹣2x（3x2﹣5x+1）＝　 　． 【答案】﹣6x3+10x2﹣2x 【解析】 【分析】用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解：﹣2x（3x2﹣5x+1）＝﹣6x3+10x2﹣2x． 【练习2-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）， 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查单项式与多项式相乘的运算法则：熟练掌握“单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”．单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：D 【变式1-1】计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算； （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 【变式1-2】计算：（1）（x3）4•x2； （2）（a2b）3•（ab2）2•a3b2； （3）（﹣2a2b）2•（ab）3 【答案】（1）x14； （2） （3）a7b5； 【解析】 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出答案； （2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据积的乘方的运算法则计算各自的乘方，再进行单项式的乘法即可； 【详解】解：（1）（x3）4•x2 ＝x12•x2 ＝x14； （2）（a2b）3•（ab2）2•a3b2 ． （1）原式＝4a4b2•a3b3 a7b5； 【典例】计算2x(3x2+1),正确的结果是(　　) A. 5x3+2x B. 6x3+1 C. 6x3+2x D. 6x2+2x 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 解：原式=6x3+2x， 故选C． 【变式2-1】计算：　 ． 【答案】﹣3x3﹣x2+3x． 【解析】 【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算得出答案． 【详解】解：原式＝﹣3x3﹣x2+3x． 故答案为：﹣3x3﹣x2+3x． 【变式2-2】计算： （1）（﹣5x）•（3x2﹣4x+5）： （2）﹣2a•（3ab2﹣5ab3）： （3）（﹣a2b）（2a﹣ab+3b）； （4）﹣2xn•（﹣3xn+1+4xn﹣1）． 【答案】（1）﹣15x3+20x2﹣25x（2）﹣6a2b2+10a2b3（3）﹣2a3b+a3b2﹣3a2b2（4）6x2n+1﹣8x2n﹣1 【解析】 【分析】原式各算式利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝﹣15x3+20x2﹣25x； （2）原式＝﹣6a2b2+10a2b3； （3）原式＝﹣2a3b+a3b2﹣3a2b2； （4）原式＝6x2n+1﹣8x2n﹣1． 注意:单项式与多项式相乘的计算中，可把单项式及多项式各项前的符号看成性质符号，把单项式与多项式各项相乘的结果都用“+”连接，最后写成省略加号的代数式. 【典例】下列运算正确的是( ) A. 2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5 【答案】D 【解析】 【详解】A. ∵ ﹣2（a+b）=﹣2a-2b，故不正确； B ∵（a2）3=a6 ，故不正确； C. ∵a3与4a不是同类型，不能合并，故不正确； D. ∵ 3a2•2a3=6a5 ，故正确； 故选D. 【变式3-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，单项式乘单项式法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原选项正确，     B. 不是同类项不能合并，原选项错误，     C. ，原选项错误，         D. ，原选项错误，     故选A． 【变式3-2】下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式分别计算，即可做出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【典例】计算a2（a+1）﹣a（a2﹣2a﹣1）的结果为（　　） A．﹣a2﹣a B．2a2+a+1 C．3a2+a D．3a2﹣a 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的法则：用单项式乘以多项式的每一项，然后把各项相加即可求解． 【详解】解：a2（a+1）﹣a（a2﹣2a﹣1） ＝a3+a2﹣a3+2a2+a ＝3a2+a， 故选：C． 【变式4-1】计算： （1）（4a﹣b2）（﹣2b）； （2）2x2（x﹣）； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab； （4）（a﹣）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4）． 【答案】（1）﹣8ab+2b3（2）2x3﹣x2（3）ab+8a2b﹣6ab2（4）0 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算便可； （2）根据单项式乘多项式法则计算便可； （3）根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项； （4）根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项． 【详解】解：（1）（4a﹣b2）（﹣2b）＝﹣8ab+2b3 （2）2x2（x﹣）＝2x3﹣x2； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab ＝10a2b﹣5ab2+ab﹣ab2﹣2a2b ＝ab+8a2b﹣6ab2； （4）（a﹣）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4） ＝﹣6a2+4a+6a2﹣4a ＝0． 【变式4-2】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）先计算单项式乘以单项式及多项式，然后合并同类项计算即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以多项式即可； （4）先计算单项式乘以多项式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． （4） ． 点拨:(1)在混合运算中应注意运算顺序，先乘方，后乘法，最后加减； (2)做乘法运算时应注意积的符号，不要漏掉只在一个单项式里含有的字母. 【典例】2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为m/s，则中国空间站绕地球运行s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）， 故选：B． 【变式5-1】如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示. (1)的长度可表示为_____； (2)求这个广场的周长； (3)若，时，则该广场的面积为_____ 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）计算即可求解； （3）根据计算出广场的面积，再代值计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：， 答：这个广场的周长为 （3）解：广场的面积为：， 当，时， ， 故答案为： 点拨：利用单项式乘法解决实际问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型——代数式，然后运用单项式乘法法则进行计算. 【典例】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【变式6-1】若(x3＋ax2-x2)·(-8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】由（x3+ax2-x2）（-8x）4=,根据运算结果中不含x6项，知(-8a+8)=0，可得a=1． 【详解】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）= , ∵运算结果中不含x6项， ∴(-8a+8)=0, ∴a=1， 故答案为1． 【变式6-2】已知3xm﹣3y5﹣n与﹣8x3y2的积是2x4y9的同类项，求m、n的值． 【答案】m＝4，n＝﹣2． 【解析】 【分析】先算出3xm﹣3y5﹣n与﹣8x3y2的积，然后根据同类项的定义列方程求解． 【详解】解：由题意得：3xm﹣3y5﹣n•（﹣8x3y2）＝﹣24xmy7﹣n， ∵3xm﹣3y5﹣n与﹣8x3y2的积是2x4y9的同类项， ∴m＝4，7﹣n＝9， 解得m＝4，n＝﹣2． 【典例】若，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则和积的乘方的逆运算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-1】化简求值：，其中，． 【答案】，54． 【解析】 【分析】先计算乘方运算，再合并同类项，再把代入求值即可． 【详解】解： 当时， 上式 【变式7-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的运算法则化简式子，再代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 点拨: 解答此类题目时先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求值.若代入的数是负数或分数，则乘方时一定要加上括号. 【典例】如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案． 【详解】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2） ＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5， 又∵计算的结果不含x5项， ∴﹣4m＝0． ∴m＝0． 故选：A． 【变式8-1】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则手掌捂住的多项式是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，根据题意可得捂住的部分为，利用整式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式8-2】小明计算一道整式乘法题：由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到 根据上述信息，分别计算出，的值； 请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） 【解析】 【分析】根据题意可得，，然后进行计算即可解答； 利用的结论可得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了单项式乘单项式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解答】解：由题意得： ，， 化简整理得： ， 解得：， 的值为，的值为； 由题意得： ， 这道整式乘法题的正确答案为  【典例】若定义表示，表示，则运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据定义得： =3×m×n×2×（-2）×m2×n3 =-12m3n4， 故选：A． 【变式9-1】对于有理数定义新运算：． (1)计算的值； (2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由． 【答案】(1) (2)这种新运算不符合乘法分配律，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了利用代入法求代数式的值，乘法分配律． （1）直接根据新运算计算，即可求解； （2）根据新运算分别求出，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：这种新运算不符合乘法分配律，理由如下： ， ， ∴， 即这种新运算不符合乘法分配律． 【变式9-2】已知，为有理数，现规定一种新运算“*”：．例如：． (1)求 (2)探索与的关系，并用等式把它们表示出来． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可； （2）利用新定义运算分别计算与，从而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）， ； ∴． 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】按照同底数相乘、积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式分别计算后即可做出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案． 【解析】解：3ab•a2=3a3b． 故选：D． 3．下列计算正确的是(   ) A．(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x B．(6xy2－4x2y＋1)·3xy＝18x2y3－12x3y2 C．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1 D．(－3x2y)·(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则依次计算各项后即可解答. 【详解】选项A，由(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2+4x可得选项A错误； 选项B，由(6xy2－4x2y＋1)·3xy＝18x2y3－12x3y2＋3xy可得选项B错误； 选项C，由(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋x可得选项C错误； 选项D，由(－3x2y)·(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y可得选项D正确. 故选D. 4．下列算式中，错误的是（　　） A．a（a+b）+b（a+b）＝a2+2ab+b2 B．x（x﹣y）+y（x﹣y）＝x2﹣y2 C．a（a2﹣ab+b2）+b（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 D．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝y2﹣x2 【答案】D 【解析】 【分析】按照整式运算法则即可求出答案． 【详解】解：（D）原式＝（x﹣y）（x﹣y）＝x2﹣2xy+y2，故D错误 故选：D． 5．某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额a元．五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加（　　） A．1.4a元 B．2.4a元 C．3.4a元 D．4.4a元 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算4、5月的营业额，相减得出结果． 【详解】解：5月份营业额为3bc， 4月份营业额为bc＝a， ∴a﹣a＝1.4a． 故选：A． 6．若，则的值分别为（　　） A．3 2 B．2，3 C．3，3 D．2，2 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果． 【详解】解：∵， ∴7n=14，2+k=5， ∴n=2，k=3， 故选B． 7．若计算（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣ D．﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含x2项，则其相应的系数为0，从而可求解． 【详解】解：（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2 ＝﹣9x3﹣6ax2﹣3x﹣4x2 ＝﹣9x3+（﹣6a﹣4）x2﹣3x ∵结果中不含有x2项， ∴﹣6a﹣4＝0， 解得a＝﹣． 故选：C． 8． 若，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则进而得出，的值． 此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【解答】解：， ， 则， ，， 解得：，． 故选：． 9．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可． 【详解】解： ， 故被墨水污染了的应是， 故选：D． 10．若定义，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的新定义运算，根据新定义运算直接计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】根据题意，得． 故选：D． 11．如果A、B都是关于x的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次多项式，那么的次数（   ） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．不大于四次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘单项式，利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【详解】解：是一个七次单项式， ∴单项式、次数之和是 ∵是一个四次多项式， ∴单项式、有一个是四次单项式， 单项式、一个是四次单项式，一个是三次单项式， ∴的次数是四次． 故选：A． 12．计算：__________． 【答案】  【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案． 此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则______（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】可设长方形ABCD的长为m，分别求出S1，S2，再代入S2-S1计算即可求解． 【详解】解：设长方形ABCD的长为m，则 S2-S1=（m-3a）×4a-（m-4a）×4a=4ma-12a2-4am+16a2×=4a2． 15．若，求 ． 【答案】/0.4 【解析】 【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为． 16．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 17．某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据抄错运算符号后的结果为，可求出多项式A，再根据多项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】由题意可知多项式A为， ∴． 故答案为： 18．若且为正整数,则__. 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式的乘法法则和同底数幂的乘法计算. 【详解】解： 故答案为 19．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为_______． 【答案】8∶21． 【解析】 【分析】设长方形①号和②号的长为a，宽为b，根据长方形的对边相等及正方形的四边相等分别表示出相关线段长，最后根据AB＝CD得到a＝3b，由此可得⑤号正方形的边长为4b，大长方形ABCD的长为7b，宽为6b，由此即可求得答案． 【详解】解：如图， 设长方形①号和②号的长为a，宽为b， 则CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b， ∴⑤号正方形的边长DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b， 长方形③号和④号的宽AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b， ∴大长方形ABCD的宽BC＝AD＝AK＋DK＝a－b＋a＋b＝2a， ∴长方形③号和④号的长AL＝BG＝BC－CG＝2a－b， ∴AB＝AL＋BL＝2a－b＋a－b＝3a－2b，CD＝DE＋CE＝a＋b＋a＝2a＋b ∵大长方形ABCD的长AB＝CD， ∴3a－2b＝2a＋b， 解得：a＝3b， ∴⑤号正方形的边长DK＝a＋b＝4b， 大长方形ABCD的长CD＝2a＋b＝7b， 大长方形ABCD的宽AD＝2a＝6b， ∴⑤中的面积与大长方形的面积之比＝（4b）2∶（6b·7b） ＝16b2∶42b2 ＝8∶21， 故答案为：8∶21． 20．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式，积的乘方： （1）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解； （2）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解； （3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 21．计算： （1）（﹣2a2b）3•（3b2﹣4a+6）； （2）（﹣2m）2•（m2﹣5m﹣3）． 【答案】（1）﹣24a6b5+32a7b3﹣48a6b3； （2）m4﹣20m3﹣12m2． 【解析】 【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可． 【详解】解：（1）原式＝﹣8a6b3⋅（3b2﹣4a+6） ＝﹣24a6b5+32a7b3﹣48a6b3； （2）原式． ＝m4﹣20m3﹣12m2． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （3）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （4）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果． （5）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算，再合并得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ． 23．如图是学校操场主席台前计划修建的一块凹字形花坛设计图，请你计算这个花坛的周长和面积（单位：米）    【答案】花坛的周长为米；花坛的面积平方米． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式的运算．根据长方形的周长和面积公式计算即可． 【详解】解：花坛的周长： 米； 花坛的面积： 平方米； 答：花坛的周长为米；花坛的面积平方米． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式，再合并同类项，然后将代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．小明在计算代数式的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由． 【答案】小明的发现是正确的。理由见解析 【解析】 【分析】根据去括号、合并同类项的法则将代数式化简后可知答案． 【详解】解：小明的发现是正确的． 理由：， 由计算可知：结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的． 26．阅读材料，解答问题： 任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝a⋅b（a，b是正整数，且a≥b），在n的所有这种分解中，如果a，b两因数之差最小，我们就称a⋅b是n的最优分解，记F（n）＝a﹣b． 例如：12＝12×1＝6×2＝4×3， ∵12﹣1＞6﹣2＞4﹣3， ∴4×3是12的最优分解，即F（12）＝4﹣3＝1． （1）填空：F（18）＝　 　； （2）若x是大于1的正整数，求F（x2﹣x）的值； （3）已知F（x2﹣15）＝0，其中x是正整数，求x的值． 【答案】（1）3； （2）1； （3）x＝8或x＝4． 【解析】 【分析】（1）根据定义进行分解和计算，即可求得结果； （2）根据定义进行分解和计算，即可求得结果； （3）根据题意可得a＝b，（x+a）（x﹣a）＝15×1＝5×3，再根据x+a＞x﹣a，列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：（1）18＝18×1＝9×2＝6×3， ∵18﹣1＞9﹣2＞6﹣3， ∴6×3是18的最优分解，即F（18）＝6﹣3＝3， 故答案为：3； （2）∵x为正整数，且x2﹣x不能分解为一个整式的平方，又x2﹣x＝x（x﹣1）， ∴x与x﹣1相差1是最小的， ∴x（x﹣1）是x2﹣x的最优分解， ∴F（x2﹣x）＝1； （3）∵F（x2﹣15）＝a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴x2﹣15＝ab＝a2， ∴（x+a）（x﹣a）＝15×1＝5×3， ∵x，a均为正整数且x+a＞x﹣a， ∴或， 解得x＝8或x＝4． 27．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，定义根据运算符合的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和⚪中，并比较它们的运算结果，你能发现什么？□*⚪和⚪*□； (4)根据以上方法，设为有理数，请猜测与的关系，并用式子把它们表示出来． 【答案】(1) (2) (3)相等，理由见解析 (4) 【解析】 【分析】（1）根据新运算代入计算，即可求解； （2）根据新运算代入计算，即可求解； （3）先选择和2分别填入下列□和⚪中，再选选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中验证，即可求解； （4）根据新运算代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：选择和2分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 由此发现□*⚪和⚪*□相等； （4）解：， ， ∴． 1．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 2．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 学科网（北京）股份有限公司 $$