19.2.2 菱形的判定2课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册

第2课时 菱形的判定定理 八下 数学 华师版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 学习目标 1. 运用菱形的定义探索菱形判定定理； 2.掌握菱形的判定方法； 3.能利用菱形的性质与判定解决综合性问题. 重点 重点 新课引入 上一课我们已经从定义和边的角度学习了菱形的判定方法： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.定理1(边)：四边相等的四边形是菱形. 思考 从对角线的角度如何判定呢？ 2.定理2(对角线)：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 在这里我们通常用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 你知道为什么把“对角线互相平分的四边形”换成“平行四边形”呢？ ？ 平行四边形有多种证明方式，不局限于对角线互相平分. 把两根长短不一的木棒中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.得到的一个平行四边形.转动其中一根木棒，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形呢? 新知学习 探究 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 试一试 步骤： 1.作两条互相垂直的直线m、n，记交点为点O； 2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC； 3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD； 4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD 是菱形 四边形ABCD是菱形吗？ 如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？ 思考 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD互相垂直. 求证：四边形ABCD是菱形. 分析：只需证明有一组邻边相等，即可得到▱ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 归纳 菱形的判定定理2　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： 在▱ABCD中，∵AC⊥BD， ∴▱ABCD是平行四边形. A B C D 例1 如图，已知菱形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形. 分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AE∥FC， ∴∠1=∠2. ∵EF平分AC， ∴OA=OC. 又∵∠AOE=∠COF=90°， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四 边形是菱形) 针对训练 1.作一个菱形，使它的两条对角线的长分别为6cm和8cm，并说明其理由. 解：如图，菱形ABCD中， ∴对角线AC⊥BD ∴△AOD，△DOC，△AOB，△BOC都是直角三角形 ∴OA与OD需满足直角边的关系 由题可知，该菱形的对角线长分别为6cm和8cm ∴对角线的一半分别为3cm和4cm，符合直角边关系. 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 3.判断下列说法是否正确. (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ A B C D O ∴平行四边形ABCD是菱形. ∵ OA=4，OB=3，AB=5， 证明： 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形， 4.如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形. 5.如图，过▱ABCD的对角线的交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH，与▱ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形. 证明：▱ABCD中 ∴AO=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD ∴∠CAE=∠ACG 又∵∠EOA=∠COG ∴△AOE≌△COF ∴OE=OG 同理可证，△AOE≌△COF，得： FO=OH ∵EG与FH互相垂直，且为四边形EFGH的对角线 ∴四边形EFGH是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形) 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接C