重庆市主城区2025届学业质量调研抽测 (第二次)数学试题

重庆市高 2025 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集 ,集合 满足 ,则 A. B. C. D. 2. 从小到大排列的一组数据:80,86,90,96,110,120,126,134,则这组数据的下四分位数为 A. 88 B. 90 C. 123 D. 126 3. 已知命题 ,命题 : 复数 为纯虚数,则命题 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学校举行运动会, 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛,每人只能参加一个项目,每个项目至少有一个人参加,若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛,则不同参赛方案总数为 A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 5. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且 在 上为增函数,设 , ,则 的大小关系是 A. B. C. D. 6. 若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知抛物线 为坐标原点,直线 与抛物线 相交于 两点,且直线 的斜率之积为 -2 ,则点 到直线 的最大距离为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 设等差数列 的前 项和为 ,且 ,将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ,则 A. B. C. D. 二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知 为 内部的一点,满足 , ,则 A. B. C. D. 10. 如图,已知正四棱柱 的底面边长为 2,侧棱长为 4,点 , 分别为 的中点,则 A. B. 平面 平面 C. 三棱锥 的体积为 D. 四面体 的外接球的表面积为 11. 已知双曲线 的左右顶点分别为 ,双曲线 的右焦点为 ,点 是双曲线 上在第一象限内的点,直线 交双曲线 右支于点 ,交 轴于点 , 且 . 设直线 的倾斜角分别为 ,则 A. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 B. 设 ,则 的最小值为 C. 为定值 D. 当 取最小值时, 的面积为 三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的展开式中的常数项是_____. 13. 过点 的直线 与曲线 有公共点,则直线 的斜率的最大值为_____. 14. 已知函数 满足 ,且 , 则 _____. 四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 所对的边分别 ,且 . (I)求角 的值； ( II )若 为锐角三角形,且 ,求 面积的取值范围. 16.(本小题满分 15 分) 某工厂采购了甲、乙两台新型机器, 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量, 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8,2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (I)经统计,零件的直径 服从正态分布 ,据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (II)以频率估计概率,若在这批零件中随机抽取 4 个,记直径在区间 内的零件个数为 ,求 的分布列和数学期望; (III)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中,甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍, 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3 , 乙机器生产的零件的次品率为 0.2 , 现从这批零件中随机抽取一件, 若检测出这个零件是次品, 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量 ,则 , 17. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形,侧面 是边长为 2 的正三角形, 平面 平面 为侧棱 的中点, 为 的中点, 为线段 上一点. (I)若点 为线段 的中点,求证:直线 平面 ； ( II )若 ,且点 到平面 的距离为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 18.(本小题满分 17 分) 已知函数 . (I)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 处的法线. 若曲线 在点(0, - 1)处的法线与直线 平行,求实数 的值; (II)当 时,若对任意 ,不等式 恒成立, 求 的最小值; ( III )若 存在两个不同的极值点 且 ,求实数 取值范围. 19.(本小题满分 17 分) 已知椭圆 的中心为坐标原点,焦点在 轴上,离心率为 ,点 在椭圆 上. (I) 求 的方程; (II) 过点 且斜率存在的两条直线 互相垂直,直线 交 于 两点,直线 交 于 两点, 分别为弦 和 的中点,直线 交 轴于点 ,其中 . ① 求 ； ② 设椭圆 的上顶点为 ,记 的面积为 ,令 , ,求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $$