8.6.2直线与平面垂直（第一课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.2直线与平面垂直 第一课时 线面垂直的判定 1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定理进行简单的证明； 3、理解线面角的概念，能求简单的线面角的大小。 学习目标 复习回顾 ★判断直线与直线平行的方法： ①三角形、梯形的中位线 ②平行四边形的对边平行、棱柱的侧棱互相平行… ③相似线段成比例 ④基本事实4（平行线的传递性） ⑤直线与平面平行的性质定理 ⑥面面平行的性质定理 ⑦…… 复习回顾 空间中直线与平面有几种位置关系？ 线面位置关系 垂直 斜交 a b 直线在平面内 直线与平面平行 直线在平面外 a∥α 直线与平面相交 a⊂α a∩α=A a a α α α 导入 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那什么叫做直线与平面垂直呢？ 生活中有很多直线与平面垂直的实例 新知讲解 观察 如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ A B C 直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直. 旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直. C' B' 追问 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线的位置关系又是什么? 与地面内任意一条不过点B的直线B'D'也垂直． 直线AB垂直于平面内的任意一条直线． 新知讲解 如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？ 书脊与桌面垂直， 书脊与每页书和桌面的交线垂直. 通过对以上现象的观察与分析，可得直线与平面垂直的定义和性质. 新知讲解——线面垂直的定义 直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. l P α 平面α的垂线 直线l的垂面 垂足 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 新知讲解——线面垂直的定义 辨析： (1)若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面. (2)若，，则. (3)直线不垂直于，则内没有与垂直的直线. × × ✓ 新知讲解——线面垂直的定义 思考：“若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直”，对吗？ l P α l ^ a 线面垂直 线线垂直 线面垂直的最基本的性质。 新知讲解——线面距离 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条? 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 证明： 新知讲解——线面距离 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 点到平面的距离 在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离. P l α O 下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件. 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 新知讲解——线面垂直的判定定理 思考：如何判定直线与平面垂直？ 追问：根据定义判断线面垂直方便吗？ 类比直线与平面、平面与平面平行的判定定理. 追问：为便于判定，我们能否通过检验直线与平面内较少直线的位置关系来判定直线与平面垂直？如果可以，能减少到几条？ l 一条？ l l 两条？ 新知讲解——线面垂直的判定定理 探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触). 观察： (1) 折痕AD与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 不一定 当AD⊥BC时 折痕AD与桌面垂直. 新知讲解——线面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. ，，，， 符号语言： 图形语言： m n P 直线与平面垂直 直线与直线垂直 转化 反思 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？ l m α n 不能 典例分析 例3： 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b， ∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 可作定理使用 巩固练习 P152 T2 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB. 证明： 追问：判断直线AC与SB的位置关系． 巩固练习 P152 T3 解：连接AC, BD, 当AC⊥BD时, A′C⊥B′D′. 理由如下： 如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时， A′C⊥B′D′ ？ ∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中， AA′⊥底面ABCD. BD ⊂底面ABCD， ∴AA′⊥BD. 若AC⊥BD，而AA′∩AC=A. 则BD⊥平面AA′C， 而A′C ⊂平面AA′C ， ∴则BD⊥A′C. 又∵BB′//DD′，且BB′=DD′， ∴四边形BB′D′D是平行四边形， ∴BD//B′D′， 因此B′D′⊥A′C. D A C A' B' C' D' B 新知讲解——线面角 直线与平面相交时，直线与平面垂直是一种特殊情况, 当一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线； 斜线和平面的交点A叫做斜足， α l A 当它们不垂直时，可以发现，不同的直线与平面相交的情况是不同的，类比异面直线，如何刻画这种不同呢？ P O 如图,过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO, 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 新知讲解——线面角 直线与平面所成角 1、定义：过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO， 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 P l α A O 2、范围： 0°≤θ≤90° ＊一条直线垂直于平面，我们就说它们所成角是90°； ＊一条直线和平面平行，或在平面内，我们就说它们所成的角是0°； 斜线 斜足 射影 垂足 新知讲解——线面角 思考1：改变的位置，的大小改变吗？ 思考2：如果两条直线和一个平面所成角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 不改变 不一定 α l A P O 典例分析 例4： 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: (1)A1C1与面ABCD所成的角 (2)A1B与面AB1C1D所成的角 (1) 0o (2) 90o 典例分析 例4： 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: (3)A1C1与面BB1C1C所成的角 (4)A1B与面A1DCB1所成的角 (4) 30o (3) 45o O 典例分析 例4： 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:(4)A1B与面A1DCB1所成的角 O 解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1， ∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1. ∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影. ∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. ∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. ∴BO= A1B，∠BA1O=30°. 在Rt△A1BO中， A1B=a，BO=a. 1.构造（作） 2.证明（证） 3.计算（求） 4.结论 方法归纳 1.构造：作垂线→作射影→作平面角 2.证明：证明某平面角就是斜线与平面所成角（关键证垂直） 3.计算：求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算. 4.下结论 求直线和平面所成角的步骤 巩固练习 P152 T4 4. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α ，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1) 若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心. (2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点. (3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心. B C P A O • B C P A O • B C P A O • D F E 外 中 垂 巩固练习 题型一：证明线面垂直 1. 如图，P为∆ABC 所在平面外一点，PA平面ABC 于点，于点，求证： (1)平面；(2)平面；(3)平面. 证明(1) 平面平面，. . 又平面，， 平面. (2)平面平面， . ，，平面， 平面 . (3)平面，平面，. ，，，平面， 平面. 巩固练习 题型二：求线面角 2.如果P是等边∆ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC= , ∆ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是____ [解析] 如图,作平面于点连接 易知为正三棱锥，与底面所成的角即为， ，， ，故. 课堂总结 1. 直线与平面垂直的概念 （1）利用定义： （2）利用判定定理： 3．直线与平面垂直的判定 线线垂直 线面垂直 垂直于平面内任意一条直线 4. 线面角的概念及范围 2. 直线到平面的距离 5. 求线面角的步骤 （1）作（2）证（3）求 $$