11.4.2课时1二面角与面面垂直的判定定理-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4.2 课时1 二面角与面面垂直的判定定理 第十一章 立体几何初步 作者编号：、32200 1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角. 3.掌握两个平面互相垂直的判定定理，会用判定定理证明面面垂直. 学习目标 作者编号：、32200 日常生活中有很多关于面面垂直的例子.如：建筑工人砌墙，请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直？观察门的转动情况，请问门在每个位置是否都与地面垂直？ 新课导入 作者编号：、32200 思考：随手打开一本书，发现每两页之间所在的平面也形成一个角度，打开的过程中两面的“夹角”逐渐变化. 你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？ 课题探究 作者编号：、32200 概念讲解 二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱， 这两个半平面称为二面角的面. α B A β 棱 面 课题探究 作者编号：、32200 α B A β C D 问题 1：如图，以 AB 为棱，α 和 β 为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β. 如果 C 和 D 分别是半平面 α 和 β 内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D. 那么如何来刻画二面角的大小呢？ 课题探究 作者编号：、32200 α l β A B O 如图所示，在二面角 α-l-β 的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角；二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小；特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 课题探究 作者编号：、32200 书本打开的过程中两面的“夹角”逐渐变化，思考下面两个问题： (1)两个半平面形成的二面角可以为0°角吗？ (2)两个半平面成二面角的范围是什么？ 可以 [0°，180°] 注意：平面与平面所成的角指两平面所成的4个二面角中不大于90°的角. 课题探究 作者编号：、32200 例1 从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 D 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小. 解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°. 课题探究 作者编号：、32200 求二面角的平面角的大小的步骤 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β. α β α β 试着举出几个生活中的平面与平面垂直的实例？ 课题探究 作者编号：、32200 回到导入：建筑工人砌墙，请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直?观察门的转动情况，请问门在每个位置是否都与地面垂直? 猜想：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 已知l⊂α，l⊥β，求证：α⊥β. O m A β α l 证：当l⊂α，l⊥β时，α与β一定相交， 如图所示，α∩β=m，l∩β=O， 过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA， 从而可知α与β所成角的大小为90°， 因此α⊥β. 课题探究 作者编号：、32200 平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. β α l 符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β. 简记为“线面垂直，则面面垂直”. 课题探究 作者编号：、32200 例3 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 解：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 课题探究 作者编号：、32200 证明平面与平面垂直的方法 ①利用定义：证明二面角的平面角为直角. ②利用面面垂直的判定定理. 归纳总结 只要证线面垂直 课题探究 作者编号：、32200 平面与平面垂直 判定定理 二面角 二面角的平面角 直二面角 课后小结 作者编号：、32200 1.给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角. 其中正确的命题是( ) A.①③ B.② C.③ D.①② B 当堂检测 作者编号：、32200 2.下列命题中正确的是( ) A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β C 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 4.(多选)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中成立的是( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC A ABC 当堂检测 作者编号：、32200 $$