专题2.9 四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.9 四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实） 【题型目录】 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形.....................................................1 【题型2】旋转与平行四边形.....................................................2 【题型3】折叠与平行四边形.....................................................3 【题型4】最值与平行四边形.....................................................4 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形...........................................................5 【题型6】旋转与矩形...........................................................6 【题型7】折叠与矩形...........................................................7 【题型8】最值与矩形...........................................................8 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形...........................................................9 【题型10】旋转与菱形.........................................................10 【题型11】折叠与菱形.........................................................11 【题型12】最值与菱形.........................................................12 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形.......................................................12 【题型14】旋转与正方形.......................................................13 【题型15】折叠与正方形.......................................................14 【题型16】最值与正方形.......................................................15 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接...........................................................16 题型梳理与分类讲解 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形 1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，O为坐标原点，是等腰直角三角形，，点B的坐标为，将该三角形沿x轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为（  ）    A．3 B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）将图1中的沿向右平移，使得点F的对应点落在边上，点A，D的对应点落在边上，在图2中画出平移后的，连接，并判断四边形的形状． 【题型2】旋转与平行四边形 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到，连接、． （1）求证：； （2）若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 【题型3】折叠与平行四边形 1．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【题型4】最值与平行四边形 1．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，，，垂足为，现将沿着方向平移得到，且此时，则的长度为 厘米． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动，将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图2），当点与点重合时停止平移． （1）图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． （2）当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形（如图3），求的长． 【题型6】旋转与矩形 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则当第秒时，矩形对角线的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【题型7】折叠与矩形 1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则 ． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【题型8】最值与矩形 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，矩形中，，．点是边上一动点，点为线段上一动点．，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在每一个四边形 中，均有，，，，． （1）如图，点是四边形的边上的一点，则的面积为 ； （2）如图，点 是四边形边上的任意一点，请你求出周长的最小值． 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线，交于点，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，，，则周长是（    ） A．24 B．36 C．22 D．26 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【题型10】旋转与菱形 1．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北咸宁·二模）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 【题型11】折叠与菱形 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，点是边上一点，连结，将四边形沿直线折叠，使点的对应点恰好落在的延长线上，的延长线与线段交于点，则 ． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求． 【题型12】最值与菱形 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形 1．（2023·福建泉州·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 厘米． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形，点分别在上，与相交于点． （1）如图1，，求证：； （2）如图2，平移图1中线段使点与点重合点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论． 【题型14】旋转与正方形 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，则的长为（ ）． A．6 B． C．18 D． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时， 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点，旋转一定角度后能与重合． （1）旋转中心是哪一点？最少旋转了多少度？ （2）若四边形是正方形，，求四边形的面积． 【题型15】折叠与正方形 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． （1）求证； （2）如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； （3）在（）的条件下求出的面积． 【题型16】最值与正方形 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，． （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 4．（2018·广西河池·中考真题）如图，四边形为正方形，点在上，把绕点顺时针旋转，则点旋转后的对应点的坐标是 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 四边形与几何变换（题型梳理与分类讲解）（基础夯实） 【题型目录】 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形.....................................................1 【题型2】旋转与平行四边形.....................................................5 【题型3】折叠与平行四边形.....................................................9 【题型4】最值与平行四边形....................................................13 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形..........................................................18 【题型6】旋转与矩形..........................................................21 【题型7】折叠与矩形..........................................................25 【题型8】最值与矩形..........................................................28 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形..........................................................32 【题型10】旋转与菱形.........................................................35 【题型11】折叠与菱形.........................................................38 【题型12】最值与菱形.........................................................42 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形.......................................................46 【题型14】旋转与正方形.......................................................50 【题型15】折叠与正方形.......................................................53 【题型16】最值与正方形.......................................................57 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接...........................................................61 题型梳理与分类讲解 【考点一】平行四边形 【题型1】平移与平行四边形 1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，O为坐标原点，是等腰直角三角形，，点B的坐标为，将该三角形沿x轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为（  ）    A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题的关键． 利用平移的性质得出的长，根据等腰直角三角形的性质得到对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 解：过点A作于点H，    ∵点B的坐标为， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵点B的坐标为，将该三角形沿x轴向右平移得到，此时点的坐标为， ∴， ∵线段在平移过程中扫过部分的图形为平行四边形，对应的高为， ∴线段在平移过程中扫过部分的图形面积为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 已知为等腰三角形的腰，所以可以分2种情况讨论：①当时，是等腰三角形．作，垂足为，于，则四边形是平行四边形，列方程得到的值；②当时，是等腰三角形，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理列方程即可得到结论． 解：分2种情况讨论： ①当时， 作，垂足为，于，则四边形是平行四边形， ，，， ， ； ②当时， 将沿射线方向平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 综上所述：当或时，是等腰三角形． 故答案为：6或． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）将图1中的沿向右平移，使得点F的对应点落在边上，点A，D的对应点落在边上，在图2中画出平移后的，连接，并判断四边形的形状． 【答案】（1），理由见分析；（2）图见分析，四边形为平行四边形 【分析】本题考查三角形内角和定理，平移作图，平行四边形的判定等： （1）由，是边上的高，可得，，由角平分线的定义可得，由对顶角相等可得，等量代换可得； （2）根据题干要求作图即可，由平移前后对应边平行且相等，可判断四边形为平行四边形． 解：（1）解：，理由如下： ， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ， 又， ； （2）解：作图如下： 由平移的性质可得，， 因此四边形为平行四边形． 【题型2】旋转与平行四边形 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 2．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ． 【答案】2或/ 或2 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，勾股定理，旋转性质，平行四边形判定及性质．根据题意分情况讨论，①当在外部时，利用等腰直角三角形性质可知，，，继而证出是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到本种情况答案；②当在的内部时，证明出四边形是平行四边形，再用勾股定理即可得到本题答案． 解：①如图，当在外部时， ， 延长交于N，过点A作于H， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2或． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到，连接、． （1）求证：； （2）若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】（1）由，证出，由旋转的性质得到，，再证明可得到结论． （2）四边形是平行四边形，理由：由旋转的性质得，，又，得到，证明，得到，又，，所以，两组对边分别相等，从而证出是平行四边形． 解：（1）证明：， ， ， ，， ， ， 绕点旋转得到， ，， ， 即， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． 当点恰好在线段上，如图示： 理由如下：如图，由（1）得，， ，， 由旋转的性质得，，， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的判定，解题的关键是利用好旋转的性质即旋转前后的图形是全等形． 【题型3】折叠与平行四边形 1．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 【题型4】最值与平行四边形 1．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵ 即 ∵ ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：取的中点，连接、，则， ，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【考点二】矩形 【题型5】平移与矩形 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，，，垂足为，现将沿着方向平移得到，且此时，则的长度为 厘米． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质及矩形的性质，熟知图形平移的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接，根据平移的性质可得出，再结合的长可得出，最后根据、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上中线的性质即可解决问题． 解：连接， 由平移可知， ， ， ， ， ， 即． 又， ． 又， 是等腰直角三角形， ． ，， ， ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动，将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图2），当点与点重合时停止平移． （1）图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． （2）当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形（如图3），求的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形．理由见分析；（2）． 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论； （2）连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解． 解：（1）解：四边形是平行四边形． 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）如图3，连接交于点，    四边形为矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型6】旋转与矩形 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则当第秒时，矩形对角线的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换，矩形的性质，由矩形的性质可得，再由可得秒一个循环，又由可得当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同，据此解答即可求解，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴ ， ∵每秒旋转，， ∴秒一个循环， ∵， ∴当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同， ∵旋转第秒时点正好在轴的正半轴上， ∴此时点的坐标为， 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，如图，过过点Q作于点H，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 解：如图，过点Q作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵把线段绕点D逆时针方向旋转得线段， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）6 【分析】（1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，再由勾股定理可得，从而求出． 解：（1）证明：如图，连接，    由旋转性质得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 平分． ∵， ， ∴； （2）解：连接，    ∵四边形为矩形，且矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由勾股定理得，， ． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定． 【题型7】折叠与矩形 1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意求出，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 解：如图，延长交于点， 由折叠可知，， 长方形纸条， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由矩形的性质得到，又由已知即可证明； （2）连接，先证明，再证明为等边三角形，得到，在中，，则，由勾股定理即可求出答案． 解：（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点A与点C对折重合， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的长为． 【点拨】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明和为等边三角形是解题的关键． 【题型8】最值与矩形 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 解：连接，， 由折叠得， ∴点B、E、D共线，即点E在上， ∴当时，最小，这时， ∵是矩形， ∴, ， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，矩形中，，．点是边上一动点，点为线段上一动点．，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间，线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 取的中点O，连接，，证明，推出，点M在以O为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论． 解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点 ∴， ∴， ∴点M在以O为圆心，4为半径的上， ∵ ∴ ∴的最小值为2． 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在每一个四边形 中，均有，，，，． （1）如图，点是四边形的边上的一点，则的面积为 ； （2）如图，点 是四边形边上的任意一点，请你求出周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）过作交于点，证明四边形为矩形，则，，然后由勾股定理求出，然后用面积公式即可求解； （）作点关于直线的对称点，连接，，交于点，连接，则， 用勾股定理求出即可； 本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，轴对称最短距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）如图，过作交于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则； （2）如图，作点关于直线的对称点，连接，，交于点，连接，则， ∴周长的最小值为的周长， 过作交于点， 由（）得：，同（）理得四边形为矩形， ∴， ∵， ∴由勾股定理得 ， ∴周长的最小值为． 【考点三】菱形 【题型9】平移与菱形 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形的对角线，交于点，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，，，则周长是（    ） A．24 B．36 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形对角线互相垂直平分，平移前后对应边相等，对应角相等． 根据菱形的性质得出，，根据平移的性质得出，，设，则，由菱形面积公式得出，根据勾股定理得出，进而推出，即可解答． 解：∵菱形的对角线，交于点， ∴，， ∵将沿点到点的方向平移，得到， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，则， 整理得：， 在中，根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∴， ∴周长． 故选：A． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段EF，若四边形为菱形时，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质等知识点，理解菱形的性质成为解题的关键 根据平行四边形的性质可得,再根据菱形的性质可得,然后根据平移的定义列式计算即可． 解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵线段水平向右平移个单位长度得到线段EF， ∴． 故答案为2． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在菱形中对角线交于点，过点作于点，将沿方向平移，使点落到点处，点落到点处． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由平移的性质得：，则四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）由菱形的性质得到，，，则可由勾股定理得到，再根据等面积法求解即可． 解：（1）证明：由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵ ∴． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，平移的性质等等，熟知菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 【题型10】旋转与菱形 1．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故选：D． 2．（2024·湖北咸宁·二模）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形变化-旋转，菱形的性质，解题关键在于利用旋转的性质进行解答.根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标． 解：∵菱形的顶点， ∴D点坐标为. ∵每秒旋转，则第100秒时，得周， ∴旋转了周，即旋转12周后，又逆时针旋转了， 即此时的点D和起始位置的点D关于原点中心对称， ∴第100秒时菱形的对角线交点D的坐标为：， 故答案为： 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据性质的性质得到，，可证明 即可得到结论； （2）由（1）知，，得到和是等腰直角三角形，继而得到，得出，，可证明四边形为平行四边形，即可得到结论． 解：（1）证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ，． 在和中 ， ． （2）证明：由（1）知，， 和是等腰直角三角形， ． ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 【题型11】折叠与菱形 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，记、的交点为，则，，，是等边三角形，由P为中点，可得，，由折叠的性质可知，，，则，，根据，计算求解即可． 解：如图，连接，记、的交点为，    ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵P为中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，点是边上一点，连结，将四边形沿直线折叠，使点的对应点恰好落在的延长线上，的延长线与线段交于点，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，根据菱形的性质得，，，，再由折叠的性质得，，，设，由含角的直角三角形的性质及勾股定理得，，，则，，进而得，据此可求出的值． 解：连接，过点作于，如图所示： 则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，灵活运用含角的直角三角形的性质，勾股定理进行运算是解决问题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）由矩形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）由是矩形，是菱形，，设，得到，根据勾股定理可知，，即，解得，即，再求出，即可求解． 解：（1）证明：是矩形， ， 又点E在边上，点F在边上，且， ， ∴四边形是平行四边形，， 由折叠可知，， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，，设， ， 由勾股定理可知，， ， 解得：，即， 四边形为菱形， ， ． 【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【题型12】最值与菱形 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小， 此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键． 解：作点关于的对称点，则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角的性质，连接，过P作于H，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由三角形的外角性质得到，由菱形的性质推出，得到，于是，当时，，由角平分线的性质得到，因此 解：连接，过P作于H， 垂直平分， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， 的长的最小值为， 时，， 平分，， 此时， 【考点四】正方形 【题型13】平移与正方形 1．（2023·福建泉州·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据平移的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出小正方形的边长，再根据正方形的面积公式，计算即可得出答案． 解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， ∵正方形沿对角线方向平移得到正方形， ∴， ∴， ∴小正方形的边长为：， ∴小正方形面积为：． 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、平移的性质、二次根式的混合运算，解本题的关键在充分利用数形结合思想，并熟练掌握相关的性质定理． 2．（23-24八年级下·上海普陀·期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查正方形的性质，平移的性质，勾股定理．掌握正方形和平移的性质是解题关键．由正方形和平移的性质可求出厘米，，．进而由勾股定理可求出厘米，即得出厘米．同理可求厘米．最后求其周长即可． 解：∵正方形的边长为1厘米， ∴厘米，． 由平移可知厘米，， ∴厘米，，． ∵， ∴厘米， ∴厘米． 同理可求厘米． ∴“方胜”图案的周长为厘米． 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形，点分别在上，与相交于点． （1）如图1，，求证：； （2）如图2，平移图1中线段使点与点重合点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）作于，则，证明四边形为矩形，得出，从而得出，证明，即可得出结论； （2）在上截取，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，证明，结合，得出为的中位线，即，即可得解． 解：（1）证明：如图，作于，则， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴, ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，在上截取， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【题型14】旋转与正方形 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，则的长为（ ）． A．6 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据正方形的性质和勾股定理求出，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 解：在正方形中，， ， 由旋转得， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时， 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质．证明，得到，，进而得到，当的面积最大时，则最小，即当时，最小，据此求解即可． 解：作， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 当的面积最大时，则最小， ∵， ∴由垂线段最短可知，当点与重合时，最小，的面积最大， ∴此时； 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点，旋转一定角度后能与重合． （1）旋转中心是哪一点？最少旋转了多少度？ （2）若四边形是正方形，，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转中心是点A，最少旋转了；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 解：（1）解：由图可知，点A为旋转中心； 最少旋转了； （2）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 【题型15】折叠与正方形 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． （1）求证； （2）如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； （3）在（）的条件下求出的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 【题型16】最值与正方形 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，则（不变）， 根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，． （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得； （2）过作于，证明得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 解：（1）正方形的边长为2， ，， 是的中点， ， ， 故答案为：； （2）过作于，则，，   ， ， ， ， ， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，第（2）题难度较大，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 3．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）已知点，问：在直线AC上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B点坐标为，C点坐标为；（2）；（3）存在，，的最小值为 【分析】本题主要考查了正方形的性质，运用待定系数法求一次函数解析式以及线段最值问题，正确运用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． （1）由正方形的性质得，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接，直线与直线的交点即为点P，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出的长即可解决问题． 解：（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，轴， ∴B点坐标为，C点坐标为； （2）解：∵， ∴． 又． 设直线的解析式为， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （3）解：连接，直线与直线的交点即为点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与O关于直线对称， ∴的长即为的最小值． ∴直线与直线的交点即为点P． 设直线的解析式为：， 把点代入解析式得：， 解得，， ∴直线的解析式为：． 联立方程组，解得，， ∴点P的坐标． 过点E作轴，垂足为F， ∴． 所以的最小值为． 【考点五】中考链接 【题型17】中考链接 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． 3．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 4．（2018·广西河池·中考真题）如图，四边形为正方形，点在上，把绕点顺时针旋转，则点旋转后的对应点的坐标是 ．    【答案】（-2，0） 【分析】本题利用正方形的性质，确定旋转后D'的位置，再求出它到坐标轴的距离，就可以判断坐标． 解：如图：    △CBD绕点C顺时针旋转90°得到的图形如上图所示． ∵D的坐标为（3，1）， ∴OA=3，AD=1 ∵在正方形OABC中， OA=AB， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=2， ∴OD'=BD=2， ∴D'的坐标为（-2，0）， 故答案为：（-2，0）． 【点拨】本题考查正方形的性质和旋转变换的性质，求出OD'的长度后要注意D'的位置，正确判断出D'坐标的符号． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$