抢分秘籍07 相似三角形中的常见的基本模型（八大模型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍07 相似三角形中的常见的基本模型 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】相似模型之“A”字模型 【题型二】相似模型之“X”字模型 【题型三】相似模型之“AX”字模型 【题型四】相似模型之“母子型”模型 【题型五】相似模型之一线三等角模型 【题型六】相似模型之手拉手模型 【题型七】相似模型之半角模型 【题型八】相似模型之对角互补模型 ：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结合，是相似判定与性质核心载体。 2．从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相似及求边长、比例、面积，分值8分左右，着实不少！ ：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系，强化转化思想（复杂→基本模型）与计算准确性。 【题型一】相似模型之“A”字模型 【例1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明得，即可得出答案．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 即． 故答案为：． “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【例2】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 作于，得到，则，证明、，则，，，，则，即． 【详解】解：如图所示，作于， ∵， ∴ ∴， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可； （3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵和的长分别是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）解：如图，当，时，则， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 同理可得：时不符合题意，舍去； 综上：当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【题型二】相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 【例1】（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，得到是解题的关键． 由矩形得到，则，再由线段关系，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段，相交于点E，若，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）判断，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：根据（1）中， 可得， ， ， 可得． 【变式2】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)的长为 (3) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可； （3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交对角线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． （3）解：设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关键． 【变式3】（2025·江苏宿迁·一模）在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、 三角形外接圆的概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接并延长交的延长线于P，证明，得出，结合已知可得出，，证明，得出，则可证明，即可证明； （2）①连接并延长交的延长线于P，证明，求出，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，求出，即可求解； ②设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F，证明，得出，由角平分线定义得出，结合平行线的性质可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交的延长线于P， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：①连接并延长交的延长线于P， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 【题型三】相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． (1)求证：平分． (2)若，，求的值． (3)若，如图2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）平行得到，等边对等角，得到，进而得到，即可得证； （2）过作于，勾股定理求出的长，进而求出的长，角平分线的性质，得到，证明，求出的长，进而得到的长，证明，推出的长，再根据正切的定义，进行求解即可； （3）易证矩形是正方形，设，进而得到，证明，推出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ， ， 平分． （2）过作于． 在矩形中，，， ，， ，， 由（1）得平分， ， ， ， 又， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （3）， 矩形是正方形， 设，则， 由（2）知：， ，， ∴， ，平分， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【例2】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再证明推出，则； （2）先导角证明，则可证明，证明，进而可证明，，再证明，得到，即可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式1】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式2】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 【例1】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）①导角证明，得到；求出，得到，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，延长交于F，连接，证明，得到，则可证明，再证明，得到，设，则，可得，则，即． 【详解】（）证明：∵，， ∴， ∴； （）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，延长交于F，连接， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是条件的关键． “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 【变式1】（2025·江苏徐州·一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在中，在边上，且，求证：； (2)如图2，在中，若，于点，，求； (3)图3，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规在直线上找所有的点，满足． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是： （1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （3）延长至点，使，作线段的垂直平分线交于O，以O为圆心，为半径作圆，过B作的垂线交于点Q，以B为圆心，为半径画弧交直线a于，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：如图，点，即为所求， 理由：由作图知：，，是的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：， ∴． 【变式2】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)边的长为____； (2)当时，求的长； (3)当时，求的值； (4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)4； (2)； (3)； (4)的长为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）过点E作，交于点H ，根据勾股定理求出，，由，即，求出，得到，根据，得到，，即可得到． （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为． （3）解： 如图，过点E作，交于点H ， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，轴对称的性质，三角函数等知识点，明确题意、添加合适辅助线构造相似三角形以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【题型五】相似模型之一线三等角模型 【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，是上的一点，且．    (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若． ①求证：． ②若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，再结合，即可证明，进行作答． （2）①先得，再结合，即可证明，得，进行整理即可作答． ②先得出，在中，由勾股定理得．结合，则，即，，最后结合勾股定理列式计算，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ，， ． ， ． （2）明：①， ，， ． ， ， ， ． ②如图，过点A作于点，过点作于点．   ，， ． ， ， 在中，． 由（2）的①，得， ， 即， ． ， ， ． 在中，． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【例2】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且． (1)求证：． (2)①如图2，若，当时，求证： ②如图3，当，，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）证明：由相似三角形的性质可得，证明为直角三角形，结合，即可得证；②由相似三角形的性质可得，，作于，于，求出，得到，，，由勾股定理可得，，作于的延长线，交延长线与，由，，知，在中，，求得，在中，求得的长． 即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②解：由（1）可知：， ∴， ∵，，， ∴，， 如图，作于的延长线，交延长线与， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ，， ， 在中，，， ，已知， ， 中，． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 【变式2】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 【题型六】相似模型之手拉手模型 【例1】（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①的度数为______； ②若，则的长为______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 【答案】（1）①；②； （2） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】（1）①根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，由此即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质得到，即可求解； （2）如图所示，由可将绕点逆时针旋转，至与重合，得，连接，证明，得，即，在四边形中，，则，由周角可得，在中，，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）①∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：①；②； （2）如图所示，由可将绕点逆时针旋转，至与重合，得，连接， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握旋转的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 【例2】（2025·江苏盐城·一模）问题情境  借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考： 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； （类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； （延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】（探究发现）解：， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． （类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（探究发现）可得：， ， 解得：； （延伸思考）解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 【变式1】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）， 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）类似（1）证明即可； （3）过B作于M，过D作于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可； （4）类似（1）证明，得出， ，设，则，过A作于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点 ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，经检验符合题意； （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （3）∵，，D为的中点， ∴，， ∴， 过B作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意； （4）解：∵，，， ∴，，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 设，则， 过A作于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）【问题背景】 已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若，，，则 ； 【迁移应用】 如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接． ①请求出的值及的度数，并说明理由． ②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长． 【创新应用】 如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围． 【答案】问题背景：①；② 3；迁移应用：①，，见解析；②点经过的路径长为；创新应用： 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】【问题背景】①如图2中，根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到．； ②根据相似三角形的性质即可得到结论； 【迁移应用】①根据相似三角形的性质得到，，求得；根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； ②同①得：根据相似三角形的性质得到，得到，当点D与B重合时，点E与C重合，的中点记为；当点D与C重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示：则点的运动轨迹为，是△的中位线，根据三角形中位线定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【创新应用】如图5中，过点A作于点，过点作于点，连接．通过计算证明，求出，，可得结论． 【详解】解：【问题背景】①如图2中，△△， ， ， ， ， △△． 故答案为：； ②， ， ， ； 故答案为：3； 【迁移应用】①，， ， ， ， ，， ； ， ， ， ， ； ②同①得：， ， ， ， ，即， 当点与重合时，点与重合，的中点记为； 当点与重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图4所示： 则点的运动轨迹为，是△的中位线， ， ，， △△， ， 即，， ， ，即点经过的路径长为； 【创新应用】如图5中，过点A作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 【题型七】相似模型之半角模型 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可； （3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， 解得：， ； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； 综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 【例2】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【题型八】相似模型之对角互补模型 【例1】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知． (1)如图1，点在的延长线上，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，熟练掌握是解题的关键． （1）分别证明、即可； （2）连接，以为半径作圆，易得点、点在圆上，四边形为圆内接四边形，根据托勒密定理得，即，又弦所对圆周角，，，，； （3），如图所示，构造三角形，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， ． （2）解：如图所示，连接，以为半径作圆， 易得点、点在圆上， 四边形为圆内接四边形， 根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，， 如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得： 将上述三个三角形拼接，得： ， 新图形为平行四边形， ， 即，即， 又弦所对圆周角， ，， ， ． （3）解： ， 如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，， 则，， ， ， ， ， 根据上述结论，， 则， 如图所示，作矩形，设， 则， 根据上述结论，， ， ， 答：． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【例2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【答案】【问题解决】见解析；【拓展探究】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】[问题解决]先证明，得到，进而得到，根据两直线平行同旁内角互补，得到； [拓展探究]延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】[问题解决] 证明：，， ． ， ． ． ． ． [拓展探究] 延长到G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①正方形，见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； （2）解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； （3）解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． 【变式2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据解析过程即可求解； （2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可； （3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则． 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍07 相似三角形中的常见的基本模型 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】相似模型之“A”字模型 【题型二】相似模型之“X”字模型 【题型三】相似模型之“AX”字模型 【题型四】相似模型之“母子型”模型 【题型五】相似模型之一线三等角模型 【题型六】相似模型之手拉手模型 【题型七】相似模型之半角模型 【题型八】相似模型之对角互补模型 ：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结合，是相似判定与性质核心载体。 2．从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相似及求边长、比例、面积，分值8分左右，着实不少！ ：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系，强化转化思想（复杂→基本模型）与计算准确性。 【题型一】相似模型之“A”字模型 【例1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【例2】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【题型二】相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 【例1】（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为 ． 【变式1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段，相交于点E，若，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【变式3】（2025·江苏宿迁·一模）在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 【题型三】相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． (1)求证：平分． (2)若，，求的值． (3)若，如图2，求的值． ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【例2】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 【变式1】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【变式2】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 【例1】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【变式1】（2025·江苏徐州·一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在中，在边上，且，求证：； (2)如图2，在中，若，于点，，求； (3)图3，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规在直线上找所有的点，满足． 【变式2】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)边的长为____； (2)当时，求的长； (3)当时，求的值； (4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【题型五】相似模型之一线三等角模型 【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，是上的一点，且．    (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若． ①求证：． ②若，，，求的长． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【例2】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且． (1)求证：． (2)①如图2，若，当时，求证： ②如图3，当，，，时，求的长． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【变式2】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【题型六】相似模型之手拉手模型 【例1】（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①的度数为______； ②若，则的长为______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 【例2】（2025·江苏盐城·一模）问题情境  借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【变式1】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）【问题背景】 已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若，，，则 ； 【迁移应用】 如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接． ①请求出的值及的度数，并说明理由． ②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长． 【创新应用】 如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围． 【题型七】相似模型之半角模型 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 【例2】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【题型八】相似模型之对角互补模型 【例1】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知． (1)如图1，点在的延长线上，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 【例2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【变式2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$