第四章：16 第四讲 全等三角形与相似三角形--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第四讲 全等三角形与相似三角形 教材知识 中考考点 课标要求 全等三角形 1.全等三角形的判定 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 2.全等三角形的性质与证明 3.全等三角形的性质与计算 比例线段 4.比例的性质 了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段； 通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 5.平行线分线段成比例 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 相似多边形 6.相似三角形的性质 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性质定理. 7.相似三角形的有关性质与计算 8.相似三角形的实际应用 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 命题点1 全等三角形的判定 1、全等三角形 如图，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.用符号“≌”来表示，记作“”. 【要点解读】 ①两个三角形是否全等只与其形状和大小有关，与位置无关. ②用“”表示两个三角形全等时，通常将各顶点的字母一一对应. 2、全等三角形的判定 判定方法 简写 图示 表示 三边分别相等的两个三角形全等 SSS （边边边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 SAS （边角边） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 ASA （角边角） 两角和其中一角的对应边分别相等的两个三角形全等 AAS （角角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 HL （斜边、直角边） 【要点解读】 证明三角形全等的一般思路 1．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 2．（2023·吉林长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 3．（2024·山东德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 4．（2024·江苏镇江）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 命题点2 全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积分别对应相等. 【要点解读】 ①把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. ②判定全等三角形时，一定要注意利用图形中的隐含条件：如公共角、对顶角、公共边或相等的线段. 角度1 平移型 5．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 6．（2024·四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 角度2 轴对称型 7．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与△ABC全等，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 8．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作垂线(尺规作图)、根据三线合一证明、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 9．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 角度3 中心对称型 10．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 11．（2024·山东淄博）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 12．（2023·山东临沂）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 角度4 旋转型 13．（2024·广东广州）如图，在△ABC中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 14．（2024·广西）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 15．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 16．（2024·北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 角度5 一线三等角 17．（2024·湖北）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 18．（2023·北京）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质、不等式的性质 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，    ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 20．（2023·广西）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【答案】(1)见详解 (2) (3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证； （2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解； （3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴， ∴， 设的长为x，则，， ∴， ∴， 同理（1）可知， ∴， ∵的面积为y， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 命题点3 比例线段及其性质 1、线段的比 若选用同一长度单位量得两条线段的长度分别是，则这两条线段的比就是它们长度的比，即. 2、比例线段 四条线段，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3、比例线段的性质 （1）如果，那么. （2）如果（都不等于0），那么. 4、平行线分线段成比例 （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，被所截，且，则. （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 如图（1）在△ABC中，点分别在边上，且，则. 如图（2）在△ABC中，点分别在边的延长线上，且，则. 图（1） 图（2） 21．（2023·甘肃武威）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 【详解】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 22．（2023·吉林）如图，在△ABC中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 23．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 命题点4 黄金分割 1、黄金分割 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金数。其比值是，近似值为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割. 设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则b与a的比叫作黄金比.如图，. 24．（2023·四川达州）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离． 【详解】解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（2024·四川德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 26．（2024山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 27．（2024·山东泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）如图：作于点M，再证可得，再证明四边形是矩形可得即可证明结论； （2）利用平行线分线段比例可得，再说明，进而得到；再由由平行四边形及折叠可得，，则即可证明结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下， 作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ． ∴． 是矩形，， 四边形是矩形． ， ． （2）同学们的发现说法正确，理由如下， ， ，， 由折叠知， ， ， ， 由平行四边形及折叠知，， ， ，即点为的一个黄金分割点． 命题点5 相似多边形 1、相似多边形 各角分别对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比. 2、相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边、对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比. （2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 28．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 29．（2024·江苏盐城）两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 30．（2023·江苏无锡）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【知识点】判断命题真假、相似多边形 【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断． 【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键． 31．（2024·江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 命题点6 相似三角形的判定与性质 1、相似三角形 三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示.如图，与相似记作“∽”. 【要点解读】 用“∽”表示两个三角形相似时，对应顶点的字母需要书写在对应位置上. 2、相似三角形的判定 具体内容 图示 表示 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 两个角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 直角三角形的斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 【要点解读】 相似三角形的判定思路： 3、相似三角形的常见模型 模型 图示 已知条件 结论 A字型 ① ② 或 8字型 ① ② 或 母子型 射影定理 ① 或 ② 一线三等角型 旋转型 ① ② 【要点解读】 射影定理 （1）条件：.（射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高）. （2）结论： ① ② 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 角度1 “A”字型 32．（2024·湖南）如图，在△ABC中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 33．（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求面积 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 34．（2023·山东临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    【答案】14 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，    ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 角度2 反“A”字型 35．（2024·重庆）如图，在△ABC中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、由平行判断成比例的线段 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 36．（2021·湖南湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题． 【详解】解：根据题意，添加条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 角度3 “8”字型 37．（2024·青海）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD． 【答案】．(答案不唯一) 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加，即得结论． 【详解】解： ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），， ∴△ABO∽△CDO． 故答案为：．(答案不唯一) 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 38．（2024·云南）如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】/0.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 39．（2024·四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（2023·山东东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图) 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ 由作图可得是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 角度4 旋转型 41．（2024·四川巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 42．（2023·湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 角度5 一线三等角型 43．（2023·山东东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 44．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 45．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 46．（2024·江苏苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 角度6 母子型（含射影定理） 47．（2023·湖南）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 48．（2023·山东济南）如图，在△ABC中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、作角平分线(尺规作图)、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 49．（2024·山东德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 50．（2024·浙江温州）如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． (1)求证：平分． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明，得出，由得出，可得，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，进而证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分． （2）∵，，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（2024·四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 命题点7 相似三角形的实际应用 1、测量不可达物体的高度，如测量高楼、山峰或纪念碑的高度. 原理：利用影子长度或镜面反射构造相似三角形. 2、地图与比例尺，如地图上如何将实际距离缩小为纸上距离. 原理：地图上的图形与实际地形是相似图形，比例尺即相似比. 3、光学现象及光学仪器. 原理：小孔成像、凸透镜成像、望远镜和显微镜均利用相似三角形原理. 【要点解读】 利用相似三角形解决实际问题的关键点： ①识别相似三角形并确定对应边； ②灵活选择相似比或比例关系列方程. 52．（2024·江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 53．（2023·四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 54．（2024·江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 55．（2023·四川攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 56．（2024·湖北）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 1．（2023·湖北恩施）如图，在△ABC中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形的性质、根据等边对等角证明 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024·四川泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 5．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 6．（2024·黑龙江牡丹江）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】全等三角形的性质、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 7．（2024·辽宁）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 8．（2024·云南）如图，在△ABC和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 9．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 10．（2024·福建）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 11．（2023·浙江杭州）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 12．（2024·四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 13．（2023·湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2024山东临沂·期末）如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据等边对等角证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求一个数的算术平方根的运用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据可得，则，再根据，可得，最后运用求一个数的算术平方根的方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 16．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 17．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 18．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长、求角的正切值 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．（答案不唯一） 7．9 8．(1)见解析；(2)见解析 9．(1)见解析；(2) 10．（1）见解析；（2）DC=1或DC=2． 11．(1)；(2)，证明见解析 12．D 13．C 14．C 15．C 16． 17．①②④ 18．（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解. 1．若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，即可作答． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长之比为， 故选：B 2．如图，在平行四边形中，如果点M为中点，与相交于点N，若已知，那么为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．3 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质可得，，可证，易求相似比为，从而求出面积． 【详解】解：在平行四边形中，，， ，， ， 是中点， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的相似比与面积比之间的关系是关键． 3．如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答此题的关键． 首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， 四边形为正方形，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，在中，， 故答案为：D． 4．如图，△ABC中，，交于点，以下结论正确的个数为（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：①， ， ， 对和来说不存在两组对边成比例， 故和不一定相似，故①错误． ②， ， ，故②正确； ③， ，， ，， ， ， ； 故③正确； ④由③可知． 故④错误． 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、点坐标规律探索 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律．解此题的关键是计算前三个正方形的面积，从中找出规律．根据相似三角形的判定原理，得出，继而得知；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前三个正方形的面积，从中找出规律．数形结合找出规律是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的面积分别为，，，， 根据题意得， （同位角相等）． ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 同理，得， 由正方形的面积公式，得， ， ， ， … 由此可得． 第2023个正方形的面积为， 故选：A． 6．如图，，是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质等．根据题意过点作，可得，再利用平行四边形性质可得，继而得到，再得到，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ∵，的面积为2， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：9． 8．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据，得，证明，进而可依据“”判定； （2）根据和全等得，，然后再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质还解决问题的关键． 9．在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、利用矩形的性质证明、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长． 【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2． 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到，然后代入数值求得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴， 设CD=x，则BD=3﹣x， ∴= ∴x=1或x=2， ∴DC=1或DC=2． 【点睛】考点：相似三角形的判定与性质． 11．如图，在△ABC中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ． 12．如图，在△ABC中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．如图，在△ABC，，为上的一点，，在的右侧作△ADE，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理．根据题意可证明，可得，再根据，可得，再证明是等边三角形，是等边三角形，继而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 15．如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①平分；②；③；④点C转至点B经过的弧长为，正确的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、求某点的弧形运动路径长度 【分析】①由旋转90°得∠FAD=90°，可得∠FAE=∠DAE=45°，即AE平分∠FAD；②利用图形的旋转不变性得到△ADC≌△AFB，∠DAF=90°，利用SAS公理即可判定△AED≌△AEF；③利用相似三角形的判定与性质可以验证结论错误；④利用已知条件得到∠BAC=90°，利用弧长公式，可得④的结论正确． 【详解】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴△ADC≌△AFB，∠DAF=90°． ∴AF=AD． ∵∠DAE=45°， ∴∠FAE=90°-∠EAD=45°． ∴∠FAE=∠DAE． ∴平分，故①的结论正确； 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS）．②的结论正确； ∵AB=AC．， ∴∠ABE=∠ACD． ∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD， ∴． 当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似， 比例式不成立， ∴不一定成立．③的结论错误； 由△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， 得：∠BAC=90°， ∵AB=AC=6， ∴点C转至点B经过的弧长为．④的结论正确； 综上，结论正确的有：①②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的旋转变换，三角形全等的判定与性质，弧长公式，相似三角形的判定与性质，利用图形的旋转不变性是解题的关键． 16．如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，先求出的长度，再判定四边形是菱形，然后判定和，利用相似三角形的性质求得和的长度，即可求解； 【详解】解：， ， 是平行四边形， ∴， ， 沿折叠，点落在上点处，折痕交于点， ，， ， 平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴，， ∴， 平行四边形中，， ，， ，， ∴，， ， ， ， ， ， ； 故答案为： 17．图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】①只要证明即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点到的距离即可判断．综上即可得答案. 【详解】四边形是菱形，连AC ∴，， ∵∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴∠ACD=∠ACB=60°，AB=AC， ∴∠ABE=∠ACF=120°， ∵， ∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，．故①正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴和不会相似，故③不正确； 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴． ∴． ∴点到的距离为，故④正确． 综上，正确结论有①②④ 故答案为：①②④， 【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线． 18．【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求线段长、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 2．如图，在平行四边形中，如果点M为中点，与相交于点N，若已知，那么为（     ）    A．6 B．9 C．12 D．3 3．如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 4．如图，△ABC中，，交于点，以下结论正确的个数为（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，，是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 7．如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 8．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于． (1)求证：； (2)求证：． 9．在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 10．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长． 11．如图，在△ABC中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 12．如图，在△ABC中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 13．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 14．如图，在△ABC，，为上的一点，，在的右侧作△ADE，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①平分；②；③；④点C转至点B经过的弧长为，正确的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ． 17．图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确的结论的序号是 ． 18．【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 全等三角形与相似三角形 教材知识 中考考点 课标要求 全等三角形 1.全等三角形的判定 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； 掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 2.全等三角形的性质与证明 3.全等三角形的性质与计算 比例线段 4.比例的性质 了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段； 通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 5.平行线分线段成比例 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 相似多边形 6.相似三角形的性质 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性质定理. 7.相似三角形的有关性质与计算 8.相似三角形的实际应用 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 命题点1 全等三角形的判定 1、全等三角形 如图，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.用符号“≌”来表示，记作“”. 【要点解读】 ①两个三角形是否全等只与其形状和大小有关，与位置无关. ②用“”表示两个三角形全等时，通常将各顶点的字母一一对应. 2、全等三角形的判定 判定方法 简写 图示 表示 三边分别相等的两个三角形全等 SSS （边边边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 SAS （边角边） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 ASA （角边角） 两角和其中一角的对应边分别相等的两个三角形全等 AAS （角角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 HL （斜边、直角边） 【要点解读】 证明三角形全等的一般思路 1．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（2023·吉林长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 3．（2024·山东德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 4．（2024·江苏镇江）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 命题点2 全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积分别对应相等. 【要点解读】 ①把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. ②判定全等三角形时，一定要注意利用图形中的隐含条件：如公共角、对顶角、公共边或相等的线段. 角度1 平移型 5．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 6．（2024·四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 角度2 轴对称型 7．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与△ABC全等，点的坐标是 ． 8．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 角度3 中心对称型 10．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（2024·山东淄博）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 12．（2023·山东临沂）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 角度4 旋转型 13．（2024·广东广州）如图，在△ABC中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 14．（2024·广西）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 15．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（2024·北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 角度5 一线三等角 17．（2024·湖北）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·北京）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      20．（2023·广西）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 命题点3 比例线段及其性质 1、线段的比 若选用同一长度单位量得两条线段的长度分别是，则这两条线段的比就是它们长度的比，即. 2、比例线段 四条线段，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3、比例线段的性质 （1）如果，那么. （2）如果（都不等于0），那么. 4、平行线分线段成比例 （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，被所截，且，则. （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 如图（1）在△ABC中，点分别在边上，且，则. 如图（2）在△ABC中，点分别在边的延长线上，且，则. 图（1） 图（2） 21．（2023·甘肃武威）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 22．（2023·吉林）如图，在△ABC中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 23．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    命题点4 黄金分割 1、黄金分割 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金数。其比值是，近似值为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割. 设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则b与a的比叫作黄金比.如图，. 24．（2023·四川达州）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 25．（2024·四川德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．（2024山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 27．（2024·山东泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 命题点5 相似多边形 1、相似多边形 各角分别对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比. 2、相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边、对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比. （2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 28．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·江苏盐城）两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 ． 30．（2023·江苏无锡）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似； ③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形都相似. 31．（2024·江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 命题点6 相似三角形的判定与性质 1、相似三角形 三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示.如图，与相似记作“∽”. 【要点解读】 用“∽”表示两个三角形相似时，对应顶点的字母需要书写在对应位置上. 2、相似三角形的判定 具体内容 图示 表示 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 两个角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 直角三角形的斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 【要点解读】 相似三角形的判定思路： 3、相似三角形的常见模型 模型 图示 已知条件 结论 A字型 ① ② 或 8字型 ① ② 或 母子型 射影定理 ① 或 ② 一线三等角型 旋转型 ① ② 【要点解读】 射影定理 （1）条件：.（射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高）. （2）结论： ① ② 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 角度1 “A”字型 32．（2024·湖南）如图，在△ABC中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 33．（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    34．（2023·山东临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    角度2 反“A”字型 35．（2024·重庆）如图，在△ABC中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 36．（2021·湖南湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可） 角度3 “8”字型 37．（2024·青海）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD． 38．（2024·云南）如图，与交于点，且．若，则 ．    39．（2024·四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 40．（2023·山东东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 角度4 旋转型 41．（2024·四川巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 42．（2023·湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    角度5 一线三等角型 43．（2023·山东东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 44．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 45．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 46．（2024·江苏苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 角度6 母子型（含射影定理） 47．（2023·湖南）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 48．（2023·山东济南）如图，在△ABC中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 49．（2024·山东德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 50．（2024·浙江温州）如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． (1)求证：平分． (2)若，求的值． 51．（2024·四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 命题点7 相似三角形的实际应用 1、测量不可达物体的高度，如测量高楼、山峰或纪念碑的高度. 原理：利用影子长度或镜面反射构造相似三角形. 2、地图与比例尺，如地图上如何将实际距离缩小为纸上距离. 原理：地图上的图形与实际地形是相似图形，比例尺即相似比. 3、光学现象及光学仪器. 原理：小孔成像、凸透镜成像、望远镜和显微镜均利用相似三角形原理. 【要点解读】 利用相似三角形解决实际问题的关键点： ①识别相似三角形并确定对应边； ②灵活选择相似比或比例关系列方程. 52．（2024·江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 53．（2023·四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 54．（2024·江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 55．（2023·四川攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    56．（2024·湖北）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 1．（2023·湖北恩施）如图，在△ABC中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 2．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2024·四川泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 6．（2024·黑龙江牡丹江）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 7．（2024·辽宁）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 8．（2024·云南）如图，在△ABC和中，，，． 求证：． 9．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 10．（2024·福建）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 11．（2023·浙江杭州）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 12．（2024·四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 13．（2023·湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 14．（2024山东临沂·期末）如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有． (1)求证：； (2)若，求的值． 15．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 17．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 18．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$