第四章：14 第二讲 三角形的有关概念及性质--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

1．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（    ） A． B． C． D． 2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点、分别是边、的中点，将△ADE沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一副三角尺按如图所示的位置摆放()，其中点D在边上，点E在边上，若，则的度数为（    ） A．75° B．60° C．45° D．30° 7．如图，在△ABC中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，，，分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．如图，在△ABC中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设△ABC，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，在△ABC中，平分，，，则 ． 13．如图，在△ABC中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 14．如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 15．如图，△ABC中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 16．如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 17．如图，在△ABC中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 18．如图，在△ABC中，，点，分别是边，上的点，连接，交于点，则以下结论错误的是（    ） A．若，分别是，边上的高，则 B．若是边的垂直平分线，是的平分线，则 C．若是边中线，点为边中点，则 D．若，分别是，的平分线，则 19．如图，在△ABC中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，△ABC是等边三角形 D．当为中点时， 20．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．C 10．D 11．B 12． 13．3 14． 15．/100度 16．B 17．D 18．D 19．D 20．A 1．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】 解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．空调在墙上的固定方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 3．如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用平行线的性质求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，点、分别是边、的中点，将△ADE沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先根据点、分别是边、的中点可知是△ABC的中位线，故可求出，再由翻折变换的性质可知，由平角的性质即可求解． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵△FDE是△ADE经过翻折变换得到的， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查图形翻折变换的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线的性质，平角的性质．熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键． 5．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵直线，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6．一副三角尺按如图所示的位置摆放()，其中点D在边上，点E在边上，若，则的度数为（    ） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的内外角关系、平行线的性质以及平角的定义，寻找角与角之间的关系是解决本题的关键． 根据平行线得到，即可得到，然后利用三角形的外角得到即可得到答案． 【详解】， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选A. 7．如图，在△ABC中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 8．如图，，，分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的三线，根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误； 故选B． 9．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案． 【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线尺规作图，垂直平分线性质，三角形外角的性质，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据尺规作图作线段垂线可得，，平分，根据垂直平分线性质得，，故． 【详解】解：根据尺规作图作线段垂线可得， ，平分， 根据垂直平分线性质得， ， ， 是的外角， 即， ， ， 故选D． 11．如图，在△ABC中，E是上的一点，，点D是的中点，设△ABC，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=S△ABC=12，S△BCD=S△ABC=9，然后利用S△AEC-S△BCD=3即可得到答案． 【详解】解：∵EC=2BE， ∴S△AEC=S△ABC=×18=12， ∵点D是AC的中点， ∴S△BCD=S△ABC=×18=9， ∴S△AEC-S△BCD=3， 即S△ADF+S四边形CEFD-（S△BEF+S四边形CEFD）=3， ∴S△ADF-S△BEF=3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 12．如图，在△ABC中，平分，，，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 13．如图，在△ABC中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长． 【详解】解：、分别是，的中点， 点为的重心， ， ． 故答案为3． 14．如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为是的角平分线，所以，由得，则，在中，，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．如图，△ABC中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 17．如图，在△ABC中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、作已知线段的垂直平分线、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再求得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，从而知道，结合以上信息，可以判断选项A，B，C，最后利用，可知，而，从而判断选项D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项B正确； ， ， ， 即， 又， ， 故选项A正确； ，， ， ， ， 故选项C正确； ，， ， ， ， 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，，点，分别是边，上的点，连接，交于点，则以下结论错误的是（    ） A．若，分别是，边上的高，则 B．若是边的垂直平分线，是的平分线，则 C．若是边中线，点为边中点，则 D．若，分别是，的平分线，则 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据三角形的高交于一点和三角内角和定理即可证明选项A正确，根据等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义即可证明B选项正确，根据三角形中线平分三角形面积即可证明C选项正确，根据三角形内角和定理和角平分线定义即可证明D选项错误． 【详解】解：A.延长交于点G， ∵，分别是，边上的高，的三条高交于一点， ∴ ∴ ∴， 故选项A正确； B. ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，是等腰三角形， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴ 故选项B正确， C. ∵是边中线，点为边中点， ∴，， ∴， 故选项C正确； D. ∵在中，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴ ∴， ∴ 故选项D错误， 故选：D 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形高的相关计算、三角形的角平分线的相关计算、三角形中线的性质等知识，熟练掌握三角形的相关线段的性质是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，△ABC是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由为中点，则，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1所示：   ，点是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，△ABC是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∵为中点， ∴ ，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 20．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 三角形的有关概念及性质 教材知识 中考考点 课标要求 三角形及其有关性质 1.三角形的三边关系 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 证明三角形的两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理. 2.三角形的内角和外角 3.三角形中的重要线段 4.三角形中的垂直平分线 命题点1 三角形的有关概念 1、三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形有3条边、3个顶点和3个内角.三角形具有稳定性. 2、三角形的分类 （1）按角分 （2）按边分 1．（2024·陕西）如图，在△ABC中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 3．（2023·河北）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023·四川遂宁）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 命题点2 三角形的三边关系 1、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边的和大于第三边，即. （2）三角形任意两边的差小于第三边，即. 【要点解读】 利用三边关系解题的方法： ①判断三条线段能否构成三角形：在已知三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段长度，或较长的两条线段长度之差小于最短的线段长度，那么这三条线段能构成一个三角形，否则不能构成三角形. ②确定三角形第三边的取值范围：若三角形的两边长分别为，则第三边长满足. 5．（2023·江苏盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 6．（2023·浙江金华）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 8．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 9．（2024·重庆）如图，在△ABC中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 10．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 命题点3 三角形内角和、内外角的关系 1、外角 如图，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，即. 2、三角形内、外角的关系 类别 具体内容 图示 表示 内角关系 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 外角关系 三角形的外角和等于360°. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和. 【要点解读】 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. 11．（2024·湖南）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 12．（2010·四川内江）一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 13．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏连云港）如图，直线，直线，，则 ． 16．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·天津）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 19．（2024·四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 命题点4 三角形中重要线段及其计算 1、三角形中的重要线段及垂直平分线 类别 定义 图示 性质与结论 高线 从三角形的一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ； 中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 ； 角平分线 一个内角的角平分线与它对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段 ； ； 中位线 连接三角形任意两边中点的线段 垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 2、三角形的四心 类别 定义 图示 性质 垂心 三角形三条高线所在直线的交点 —— 重心 三角形三条中线的交点 内心 三角形三条角平分线的交点（三角形内切圆的圆心） 外心 三角形三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 【要点解读】 ①与角平分线有关的辅助线作法 已知条件 辅助线作法 图示 平分，且 过点作 于点 平分，点是上任意一点 在上截取，连接 平分，且 延长交于点 ②三角形中角平分线的有关结论 图形 条件 ，分别是的角平分线和高线 是的两条角平分线 平分，平分 平分，平分 结论 角度1 三角形的有关线段 20．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是△ABC的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 21．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 22．（2023·安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角△ABC的高，则．当，时， ．    23．（2011·辽宁丹东）如图，△ABC中，是上的中线，是中边上的中线，若△ABC的面积是，则的面积是 ． 24．（2024·四川凉山）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024·山东德州）如图，在△ABC中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 26．（2023·四川达州）如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 27．（2022·北京）如图，在中，平分若则 ． 28．（2021·湖南怀化）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ） A． B．AD一定经过△ABC的重心 C． D．AD一定经过△ABC的外心 29．（2024·四川达州）如图，在△ABC中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 30．（2022·湖北荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 31．（2024·黑龙江绥化）已知：△ABC． (1)尺规作图：画出△ABC的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则△ABC的面积是______． 角度2 三角形的中位线 32．（2024·四川广安）如图，在△ABC中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·甘肃兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，，，，分别是的中点，则的周长为 ． 35．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 36．（2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC边，的中点，连接，．若，则的长为    1．（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 2．（2023·江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川凉山）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·四川资阳）如图，，交于点F，则 ．    6．（2023·江苏连云港）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ． 8．（2024·黑龙江绥化）如图，，，．则 ． 9．（2024·广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 10．（2023·陕西）如图，是△ABC的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 11．（2023·山东）在△ABC中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．△ABC内切圆的半径 D．当时，△ABC是直角三角形 12．（2024·新疆）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    13．（2023·山东潍坊）如图，在△ABC中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    14．（2024·山东日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求△BCH的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 三角形的有关概念及性质 教材知识 中考考点 课标要求 三角形及其有关性质 1.三角形的三边关系 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 证明三角形的两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理. 2.三角形的内角和外角 3.三角形中的重要线段 4.三角形中的垂直平分线 命题点1 三角形的有关概念 1、三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形有3条边、3个顶点和3个内角.三角形具有稳定性. 2、三角形的分类 （1）按角分 （2）按边分 1．（2024·陕西）如图，在△ABC中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，△ABC，，△ADE为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 3．（2023·河北）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，△ABC为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，△ABC为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（2023·四川遂宁）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 命题点2 三角形的三边关系 1、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边的和大于第三边，即. （2）三角形任意两边的差小于第三边，即. 【要点解读】 利用三边关系解题的方法： ①判断三条线段能否构成三角形：在已知三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段长度，或较长的两条线段长度之差小于最短的线段长度，那么这三条线段能构成一个三角形，否则不能构成三角形. ②确定三角形第三边的取值范围：若三角形的两边长分别为，则第三边长满足. 5．（2023·江苏盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 6．（2023·浙江金华）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 7．（2023·江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 8．（2024·江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 9．（2024·重庆）如图，在△ABC中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 10．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 命题点3 三角形内角和、内外角的关系 1、外角 如图，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，即. 2、三角形内、外角的关系 类别 具体内容 图示 表示 内角关系 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 外角关系 三角形的外角和等于360°. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和. 【要点解读】 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. 11．（2024·湖南）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据题意，等腰三角形一个底角的度数是，则另一个底角的度数是，根据三角形的内角和，即可求出顶角． 【详解】解：∵等腰三角形一个底角的度数是， ∴另一个底角的度数是， ∴顶角为：． 故答案为：． 12．（2010·四川内江）一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可． 【详解】解：三角形三个内角度数之比是， ∴三角形的三个内角依次为：，，， ∴该三角形一定是锐角三角形． 故选：A． 13．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 14．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 15．（2024·江苏连云港）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 16．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 17．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 18．（2024·天津）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 19．（2024·四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 命题点4 三角形中重要线段及其计算 1、三角形中的重要线段及垂直平分线 类别 定义 图示 性质与结论 高线 从三角形的一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ； 中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 ； 角平分线 一个内角的角平分线与它对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段 ； ； 中位线 连接三角形任意两边中点的线段 垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 2、三角形的四心 类别 定义 图示 性质 垂心 三角形三条高线所在直线的交点 —— 重心 三角形三条中线的交点 内心 三角形三条角平分线的交点（三角形内切圆的圆心） 外心 三角形三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 【要点解读】 ①与角平分线有关的辅助线作法 已知条件 辅助线作法 图示 平分，且 过点作 于点 平分，点是上任意一点 在上截取，连接 平分，且 延长交于点 ②三角形中角平分线的有关结论 图形 条件 ，分别是的角平分线和高线 是的两条角平分线 平分，平分 平分，平分 结论 角度1 三角形的有关线段 20．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是△ABC的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【知识点】画三角形的高、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 21．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【知识点】折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 22．（2023·安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角△ABC的高，则．当，时， ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 23．（2011·辽宁丹东）如图，△ABC中，是上的中线，是中边上的中线，若△ABC的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵△ABC的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 24．（2024·四川凉山）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 25．（2024·山东德州）如图，在△ABC中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 26．（2023·四川达州）如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 27．（2022·北京）如图，在中，平分若则 ． 【答案】1 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 28．（2021·湖南怀化）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ） A． B．AD一定经过△ABC的重心 C． D．AD一定经过△ABC的外心 【答案】C 【知识点】重心的概念、作角平分线(尺规作图)、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项． 【详解】解：∵AD平分∠BAC， ∴，故C正确； 在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误； 由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过△ABC的重心，故B选项错误； 由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过△ABC的外心，故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键． 29．（2024·四川达州）如图，在△ABC中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 30．（2022·湖北荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 【答案】18 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6， ∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点， ∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9+9＝18， 故答案为：18． 【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 31．（2024·黑龙江绥化）已知：△ABC． (1)尺规作图：画出△ABC的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则△ABC的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是△ABC的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 角度2 三角形的中位线 32．（2024·四川广安）如图，在△ABC中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 33．（2024·甘肃兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为△ABC的中位线， ∴； 故选：C． 34．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，，，，分别是的中点，则的周长为 ． 【答案】9 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理得出，即可解答． 【详解】解：∵，，，分别是的中点， ∴， ∴的周长， 故答案为：9． 35．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 36．（2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是△ABC边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 1．（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 2．（2023·江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 3．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 4．（2024·四川凉山）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．（2023·四川资阳）如图，，交于点F，则 ．    【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是的外角， 故答案为： 6．（2023·江苏连云港）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】24 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中点， ∴， 故答案为：． 8．（2024·黑龙江绥化）如图，，，．则 ． 【答案】66 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2024·广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 【答案】（1）作图见解析； （2）DE∥AC． 【知识点】同位角相等两直线平行、作角平分线(尺规作图)、三角形角平分线的定义 【分析】(1)根据角平分线的画法画出角平分线； (2)根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行． 【详解】解：(1)如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． 10．（2023·陕西）如图，是△ABC的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是△ABC的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 11．（2023·山东）在△ABC中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．△ABC内切圆的半径 D．当时，△ABC是直角三角形 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、确定第三边的取值范围、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴即，故A说法正确； 当时，， 若以为底，高， ∴，故B说法正确； 设△ABC内切圆的半径为r， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C说法错误； 当时，， ∴△ABC是直角三角形，故D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键． 12．（2024·新疆）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    【答案】6或12 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ①点D在线段时，      ∵，， ∴， ∴， ∴； ②点D在线段延长线上时，    ∵，， ∴， ∴， ∴； ③点D在线段延长线上时，    此时，即，故不符合题意，舍去， 综上，的长为6或12． 13．（2023·山东潍坊）如图，在△ABC中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14．（2024·山东日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求△BCH的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$