第四章：13 第一讲 线段、角、相交线与平行线--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第一讲 线段、角、相交线与平行线 教材知识 中考考点 课标要求 线段与角 1.直线和线段 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； 2.钟面角和角的换算 理解角、余角、补角的概念，能比较角的大小； 认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质； 3.余角和补角 4.角平分线 相交线与 平行线 5.相交线 理解对顶角、垂线、垂线段等概念； 探索并掌握对顶角相等的性质； 识别同位角、内错角、同旁内角； 6.平行线 理解平行线的概念; 探索并证明平行线的判定定理和性质定理； 命题与定理 7.命题与定理 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念； 会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 命题点1 直线、射线与线段 1、 线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段. 2、 直线、射线、线段的异同点 类别 图示 相同点 不同点 端点个数 能否延伸 能否测量 线段 ①都是点构成 ②都是直的 ③无粗细之分 2 否 能 射线 1 能 否 直线 0 能 否 【要点解读】 ①两点确定一条直线； ②两点之间，线段最短； ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线； ④将线段向两个方向无限延长就形成了直线. 3、两点之间的距离：连接两点间的线段的长度. 4、线段的中点及和差 类别 图示 表示 线段的中点 线段的和 线段的差 5、求线段长度的方法 解决与线段有关的计算问题时，一般分为以下三个步骤： （1）根据已知条件画出图形，若题目中未指明图形上的点的具体位置，则需分类讨论； （2）观察图形，找出线段之间的关系； （3）简单的问题可直接列式计算，复杂的问题可设未知数，利用方程解决. 1.（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2022·山东临沂）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（   ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 3．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 4．（2023·宁夏）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    5．（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    命题点2 角 1、角的定义 （1） 有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. （2） 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2、角的分类和度量 类别 图示 度数 转化关系 锐角 1个周角= 2个平角= 4个直角 直角 钝角 平角 周角 3、余角和补角 类别 余角 补角 定义 若两个角的和为90°， 则这两个角互为余角 若两个角的和为180°， 则这两个角互为补角 图示 数量关系 ∠1+∠2=90°， ∠3+∠4=90° ∠5+∠6=180°， ∠7+∠8=180° 性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 【要点解读】 ①角的度量单位：度、分、秒，相邻单位之间为60进位，即1°=60′，1′=60″； ②平角和周角是角，不是线； ③两个角互为余角（或补角）只与角的度数有关，与角的位置无关. 4、角的平分线 （1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线. （2）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （3）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 5、钟面角的计算 若时间是时分(12小时制),则钟面角的度数为. ①若题目中的时间为24小时制,则需先将其换算为12小时制，如16时15分，换算为4时15分，再代入计算； ②若计算结果大于180°，则用360°减去计算结果得到最终结果. 6．（2024·北京）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）      A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20° 8．（2024·甘肃）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 命题点3 相交线 1、 相交线的定义：只有一个公共点的两条直线叫作相交线. 2、 邻补角和对顶角 类别 邻补角 对顶角 定义 有一条公共边，且另外一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角 有一条公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角 图示 表示 ∠1与∠2，∠2与∠3， ∠3与∠4，∠4与∠1 ∠1与∠3，∠2与∠4 性质 和等于180° 对顶角相等 【要点解读】 ①邻补角互补，但是互补的角不一定是邻补角； ②对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角； ③邻补角和对顶角是成对出现的. 3、 同位角、内错角和同旁内角 类别 位置特征 图示 结构特征 同位角 在截线同侧，且在两条被截线的同旁 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转的“F”） 内错角 在截线两侧（交错），且在两条被截线之间 形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转的“Z”） 同旁内角 在截线同侧，且在两条被截线之间 形如字母“U”（或置、反置、旋转的“U”） 4、 垂线及其性质 （1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，若有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. （2）垂线的性质 类别 具体内容 图示 性质1 在同一平面内，过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【要点解读】 ①垂直是相交的一种特殊情况； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 11.（2023·河南）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 12．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·四川雅安）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广西）已知与为对顶角，，则 °． 16． （2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．    命题点4 平行线 1、 平行线的定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线，用“//”表示. 2、 平行公理及其推论 类别 具体内容 表示 公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 — 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 【要点解读】 ①两条平行线间的距离处处相等； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. 3、 平行线的判定及其性质 类别 具体内容 图示 表示 判定（性质）1 同位角相等 两直线平行 ∠1=∠2 判定（性质）2 内错角相等 两直线平行 ∠2=∠3 判定（性质）3 同旁内角 两直线平行 ∠2+∠4=180° 4、 平行线中常见的拐点模型 类别 具体内容 图示 表示 铅笔模型 过点E作EF//AB ∠A+∠AEC+C=360° 猪蹄模型 过点C作CF//AB ∠BCE=∠B+∠E 鸡翅模型 过点P作PF//AB ∠APC=∠A－∠C 鹰嘴模型 — ∠P=∠A－∠C 注意：遇到“平行线+拐点”，作“平行线”或“延长线段”，利用“平行线的性质”及“三角形外角和”可证 角度1 平行线的判定 17．（2024·甘肃兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 18．（2023·山东临沂）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 19．（2023·江苏苏州）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 角度2 直接利用平行线的性质解题 20.（2024·重庆）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·四川）如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 23．（2024·四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（2024·内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 27．（2023·陕西）如图，，．若，则的度数为（   ）        A． B． C． D． 28．（2023·湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）    A． B． C． D． 29．（2023·浙江台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    角度3 与直尺或直角三角板结合 30.（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 33．（2023·湖北恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）    A． B． C． D． 34．（2024·山东东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 角度4 平行线的性质与实际情景结合 35．（2024·湖北）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·河南）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·四川达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 40．（2024·宁夏）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 角度5 平行线的性质与判定结合 41．（2023·浙江金华）如图，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 42．（2024·四川自贡）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 命题点5 命题与定理 1、 命题：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，数学中常写成“如果……那么……”的形式. 2、 命题的相关概念 类别 定义 示例 真命题 如果题设成立时，那么结论一定成立的命题 命题1：如果两个角为对顶角，那么这两个角相等 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题 命题2：如果两个角为相等，那么这两个角互为对顶角 互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和命题，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题 命题1与命题2 3、定理：经过推理证实的真命题叫作定理. 【要点解读】 ①互逆的两个命题的真假没有直接关系，原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题； ②公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是真命题的依据. 43．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 44．（2023·四川达州）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在中，若，则是直角三角形 45．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 46．（2024·江苏宿迁）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 1．（2023·重庆）如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（2024·甘肃兰州）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　） A．100° B．80° C．40° D．10° 4．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·内蒙古通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 11．（双选）（2024·山东潍坊）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 12．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·内蒙古）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（   ）    A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】B 【详解】∵AB=10cm，BC=4cm， ∴AC=AB﹣BC=6cm， ∵点D是AC的中点， ∴AD=AC=3cm． 故选：B． 【点睛】考点：两点间的距离 3．如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可； 【详解】解：∵AB为底面直径， ∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间， ∵两点之间线段最短， 故选： C． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键． 4．如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E， 连结AB、AC、AD、AE， 根据直线的特征经过两点有且只有一条直线， 利用直尺可确定线段a与m在同一直线上， 故选择A． 【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键． 5．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断． 【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足， 即， 解得：，符合题意，故选项A正确； ②点B在A、C两点之间，则满足， 即， 解得：，不符合题意，故选项B错误； ③点C在A、B两点之间，则满足， 即， 解得：a无解，不符合题意，故选项C错误； 故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键． 6．如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案． 【详解】解：如图，    ， ， 又， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 7．如图，是的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、平角定义及三角形外角性质等知识，先由角平分线定义得到，进而由平角定义得到，再由外角性质即可得到答案，熟练掌握三角形外角性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：是的平分线，， ， ， 是的一个外角，， ， 故选：D． 8．从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时针1小时走1大格，1大格为30°． 解答：解：从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6-3）×30°=90°，故选C． 9．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 10．如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 12．如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 13．如图，已知，，，则等于 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由垂线的定义得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为. 【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标； （3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1-S2=S△PAB-S△AFO-S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】解：（1）由题意可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1， ∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称， ∴四边形ABDC为等腰梯形， ∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件， ∴D（3，2）； 当点D在x轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO， ∴BD∥AC， ∵C（0，2）， ∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+2， ∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8， ∴直线BD解析式为y=2x-8， 联立直线BD和抛物线解析式可得解得或， ∴D（-5，-18）； 综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）； （3）设∵AB=5，OC=2， ∴S△PAB=， ， ， ，且， ， ∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为. 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（   ）    A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 3．如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 5．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 6．如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，是的平分线，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 9．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 13．如图，已知，，，则等于 ．    14．14．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 线段、角、相交线与平行线 教材知识 中考考点 课标要求 线段与角 1.直线和线段 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； 2.钟面角和角的换算 理解角、余角、补角的概念,能比较角的大小； 认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质； 3.余角和补角 4.角平分线 相交线与 平行线 5.相交线 理解对顶角、垂线、垂线段等概念； 探索并掌握对顶角相等的性质； 识别同位角、内错角、同旁内角； 6.平行线 理解平行线的概念； 探索并证明平行线的判定定理和性质定理； 命题与定理 7.命题与定理 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； 结合具体实例，会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念； 会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立； 命题点1 直线、射线与线段 1、 线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段. 2、 直线、射线、线段的异同点 类别 图示 相同点 不同点 端点个数 能否延伸 能否测量 线段 ①都是点构成 ②都是直的 ③无粗细之分 2 否 能 射线 1 能 否 直线 0 能 否 【要点解读】 ①两点确定一条直线； ②两点之间，线段最短； ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线； ④将线段向两个方向无限延长就形成了直线. 3、两点之间的距离：连接两点间的线段的长度. 4、线段的中点及和差 类别 图示 表示 线段的中点 线段的和 线段的差 5、求线段长度的方法 解决与线段有关的计算问题时，一般分为以下三个步骤： （1）根据已知条件画出图形，若题目中未指明图形上的点的具体位置，则需分类讨论； （2）观察图形，找出线段之间的关系； （3）简单的问题可直接列式计算，复杂的问题可设未知数，利用方程解决. 1.（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短． 2．（2022·山东临沂）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（   ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 【答案】B 【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可． 【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧， ， 在原点的左侧， 表示的数为 故选B 【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键． 3．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 【答案】4 【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm． 【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键． 4．（2023·宁夏）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可． 【详解】解：∵点是的中点，线段， ∴， ∴点表示的数是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 5．（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 命题点2 角 1、角的定义 （1） 有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. （2） 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2、角的分类和度量 类别 图示 度数 转化关系 锐角 1个周角= 2个平角= 4个直角 直角 钝角 平角 周角 3、余角和补角 类别 余角 补角 定义 若两个角的和为90°， 则这两个角互为余角 若两个角的和为180°， 则这两个角互为补角 图示 数量关系 ∠1+∠2=90°， ∠3+∠4=90° ∠5+∠6=180°， ∠7+∠8=180° 性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 【要点解读】 ①角的度量单位：度、分、秒，相邻单位之间为60进位，即1°=60′，1′=60″； ②平角和周角是角，不是线； ③两个角互为余角（或补角）只与角的度数有关，与角的位置无关. 4、角的平分线 （1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线. （2）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （3）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 5、钟面角的计算 若时间是时分(12小时制),则钟面角的度数为. ①若题目中的时间为24小时制，则需先将其换算为12小时制，如16时15分，换算为4时15分，再代入计算； ②若计算结果大于180°，则用360°减去计算结果得到最终结果. 6．（2024·北京）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）      A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20° 【答案】A 【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答． 【详解】解：如图：由题意得： ∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°， ∵AD∥BE， ∴∠DAB＝∠ABE＝40°， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°， 故选：A．     ． 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．（2024·甘肃）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】。 则的补角为． 故选：D． 9．（2024·广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 10．（2024·山东日照）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 命题点3 相交线 1、相交线的定义：只有一个公共点的两条直线叫作相交. 2、邻补角和对顶角 类别 邻补角 对顶角 定义 有一条公共边，且另外一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角 有一条公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角 图示 表示 ∠1与∠2，∠2与∠3， ∠3与∠4，∠4与∠1 ∠1与∠3，∠2与∠4 性质 和等于180° 对顶角相等 【要点解读】 ①邻补角互补，但是互补的角不一定是邻补角； ②对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角； ③邻补角和对顶角是成对出现的. 3、同位角、内错角和同旁内角 类别 位置特征 图示 结构特征 同位角 在截线同侧，且在两条被截线的同旁 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转的“F”） 内错角 在截线两侧（交错），且在两条被截线之间 形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转的“Z”） 同旁内角 在截线同侧，且在两条被截线之间 形如字母“U”（或置、反置、旋转的“U”） 4、垂线及其性质 （1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，若有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. （2）垂线的性质 类别 具体内容 图示 性质1 在同一平面内，过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【要点解读】 ①垂直是相交的一种特殊情况； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 角度1 直接代点的坐标型 11.（2023·河南）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 12．（2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 13．（2024·四川雅安）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 14．（2024·广东深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角， ∴，， ∴， 则， ∵光线是平行的， 即， ∴， 故选：B． 15．（2024·广西）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 16． （2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．    【答案】/100度 【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可． 【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，， ∵， ∴， ．    故答案为：． 【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 命题点4 平行线 1、 平行线的定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线，用“//”表示. 2、 平行公理及其推论 类别 具体内容 表示 公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 — 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 【要点解读】 ①两条平行线间的距离处处相等； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. 3、 平行线的判定及其性质 类别 具体内容 图示 表示 判定（性质）1 同位角相等 两直线平行 ∠1=∠2 判定（性质）2 内错角相等 两直线平行 ∠2=∠3 判定（性质）3 同旁内角 两直线平行 ∠2+∠4=180° 4、 平行线中常见的拐点模型 类别 具体内容 图示 表示 铅笔模型 过点E作EF//AB ∠A+∠AEC+C=360° 猪蹄模型 过点C作CF//AB ∠BCE=∠B+∠E 鸡翅模型 过点P作PF//AB ∠APC=∠A－∠C 鹰嘴模型 — ∠P=∠A－∠C 注意：遇到“平行线+拐点”，作“平行线”或“延长线段”，利用“平行线的性质”及“三角形外角和”可证 角度1 平行线的判定 17．（2024·甘肃兰州）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 18．（2023·山东临沂）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 19．（2023·江苏苏州）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 【答案】B 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，    而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接，    由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点，    根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 角度2 直接利用平行线的性质解题 20．（2024·重庆）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 21．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 22．（2024·四川）如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ 故选：B 23．（2024·四川资阳）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 24．（2024·内蒙古包头）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴图中与互补的角有，，，共3个． 故选∶C． 25．（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2024·江苏苏州）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 27．（2023·陕西）如图，，．若，则的度数为（   ）        A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解． 【详解】解：如图，   ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 28．（2023·湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，   ， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 29．（2023·浙江台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    【答案】/度 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角，    由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键. 角度3 与直尺或直角三角板结合 30．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 31．（2024·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 32．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 33．（2023·湖北恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作，    ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 34．（2024·山东东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 角度4 平行线的性质与实际情景结合 35．（2024·湖北）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 36．（2024·河南）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 37．（2024·四川达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 38．（2024·四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． 39．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 40．（2024·宁夏）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 【详解】解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 角度5 平行线的性质与判定结合 41．（2023·浙江金华）如图，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，可得，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图，标记角，    ∵， ∴，而， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 42．（2024·四川自贡）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 命题点5 命题与定理 1、 命题：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，数学中常写成“如果……那么……”的形式. 2、 命题的相关概念 类别 定义 示例 真命题 如果题设成立时，那么结论一定成立的命题 命题1：如果两个角为对顶角，那么这两个角相等 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题 命题2：如果两个角为相等，那么这两个角互为对顶角 互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和命题，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题 命题1与命题2 3、定理：经过推理证实的真命题叫作定理. 【要点解读】 ①互逆的两个命题的真假没有直接关系，原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题； ②公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是真命题的依据. 43．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 44．（2023·四川达州）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； D、设， ∵三角形内角和为， ∴， ∴ ∴，则为锐角三角形， ∴该选项为假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理． 45．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 46．（2024·江苏宿迁）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 1．1．（2023·重庆）如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据 即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 2．（2024·江苏常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 3．（2024·甘肃兰州）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　） A．100° B．80° C．40° D．10° 【答案】A 【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案． 【详解】解：∵∠A＝80°， ∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°． 故选A． 【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键． 4．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·山东淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； ∵BD平分， ∴． ． 故选：C 6．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 7．（2024·山东潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 8．（2024·内蒙古）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 9．（2024·四川巴中）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．（2024·内蒙古通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 11．（双选）（2024·山东潍坊）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 【答案】AC 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 故选：AC． 12．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 13．（2024·安徽）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    14．（2024·内蒙古）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$