精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期期中调研数学试题

高一期中调研试卷 数学 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用函数的周期公式，求出函数的周期性即可. 【详解】因为函数，所以，故函数最小正周期为. 故选：B. 2. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标乘法和减法法则得到答案. 【详解】. 故选：C 4. 函数图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性求解. 【详解】令，解得， 当时，，所以函数图象的一个对称中心是. 故选：D. 5. 中，，那么（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则，即， 因为，所以，则. 故选：A. 6. 某简谐运动可以用函数表示，把该函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，得到，进而求得的初相，得出答案. 【详解】由函数的图象向右平移个单位后， 得到函数， 所以函数的初相等于. 故选：C. 7. “七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. 14 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形的边长为4，且点分别是线段的中点， 可得，则， 所以. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出的最小正周期，同一坐标系内画出单位圆和的图象，可以看出共有8个交点. 【详解】的最小正周期为， 其中，故在单位圆上方， 同一坐标系内画出单位圆和的图象， 在左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8个交点. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知平面内两个非零向量与，则（ ） A. B. C. 存在以为边长的三角形 D. 两个不等式与中至少能成立一个 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律判断A，举反例判断B，D，举特值判断C即可. 【详解】对于A，设非零向量与的夹角为， 由平面向量数量积的定义得， 而， 得到，故A正确， 对于B，令，则， 由向量的模长公式得，， 即不成立，故B错误， 对于C，令，则， 由向量的模长公式得，， 得到，即存在以为边长的三角形，故C正确， 对于D，令，则，， 此时不满足，也不满足， 即不满足两个不等式与中至少能成立一个，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 当时，在区间上有最大值 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，通过验证与的关系即可判断；对于B，通过周期函数的定义即可判断；对于C，借助导数先判断出在上的单调性，再根据的对称性即可判断；对于D，通过构造函数，借助导数判断出的单调性，进而求出其最值，即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以偶函数，故A正确； 对于B，当时，，是周期函数； 当时 ，由周期函数的定义可知，若是周期函数， 则有， 已知的周期都是， 但是使得的非零常数值却不存在， 所以不一定是周期函数，故B错误； 对于C，， 当时，， ，有，， 所以，所以在上单调递减， 又因为是偶函数，所以在上单调递增， 由图象的对称可知当时，取得最大值且， 故C正确； 对于D，当时，令， 则， 令，可得， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以，即恒成立， 故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在一个周期内的图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象求出函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】观察函数图象，得，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 则，所以. 故答案为： 13. 在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值__________.（只要填写一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可） 【解析】 【分析】分别取是的三等分点，连接，得到四边形为平行四边形，设，得到，根据行四边形法则，要使得在内部，在点在线段上运动，得到，即可得到答案. 【详解】如图所示，取点为的三等分点（靠近点），可得， 再取点为的三等分点（靠近点），点为的三等分点（靠近点）， 分别连接，则，所以四边形为平行四边形， 由，可得，即， 设，可得， 由平行四边形法则，当点在上运动时，可得点在直线， 要使得在内部（不包含边界），在点在线段上运动（不包含端点）， 所以，解得，所以其中一个可以是. 故答案为：（答案不唯一，只要介于0和1即可） 14. 钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，将正切化成正余弦，再利用辅助角公式变换即可. 【详解】依题意， ，而是钝角， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，，设. （1）用分别表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求得； （2）利用向量的数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 由，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 16. 在中，角的对边分别为.三个内角满足. （1）求角的值； （2）如果，并且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再结合角的范围，即可求出角的值； （2）利用余弦定理及题目条件，即可求出边，进而求出的周长. 【小问1详解】 在中，因为， 所以. 因为， 所以， 即， 所以， 即， 又因为是三角形的内角，所以， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以的周长为. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出指定区间上的值域. （2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 由（1）得，而，则， 因此，， ， 所以 . 18. 如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记. （1）写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域； （2）管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值. 【答案】（1），其中； （2）（百米） 【解析】 【分析】（1）结合题意将用三角函数表示出来并结合辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求解值域即可. （2）结合题意得到，再令，进而得到，最后求解的最值即可. 【小问1详解】 在直角三角形中，有， 于是，由对称性得， 所以， 所以灯带长， ，其中， 则，由正弦函数性质得， 则灯带总长度的值域是. 【小问2详解】 由题意得最大的圆的直径是矩形的两边中的较小者， 则，故. 令，得到， 解得（舍）或，故， 记锐角满足，于当时，单调递增； 当时，单调递减，的最大值等于. 故圆形喷泉半径的最大值为（百米）. 19. 已知函数是正整数，. （1）求函数的值域； （2）记，解不等式； （3）当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简函数解析式，利用换元法得到二次函数，利用函数单调性求值域； （2）利用三角恒等变换化简不等式，降次解不等式即可； （3）先分析时，利用函数的单调性求最大值和最小值，再分类讨论为奇数和偶数时，利用函数单调性结合倍数关系求最大值和最小值. 【小问1详解】 由题意，， 记，有开口向下，对称轴为， 所以，时，单调递增，时，单调递减， 故最大值等于的最小值等于， 所以的值域为. 【小问2详解】 由题意， ， 于是， 解得因为，所以 则或者， 所以，即， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，函数在上单调递增， 所以的最大值为，最小值为. 当时，函数所以函数的最大，最小值均为1. 当时，函数在上单调递增， 所以政大值为，最小值为. 当时，函数在上单调递减， 所以的最大值为，最小值为. 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，， 对任意且， 由于， 以及， 所以，从而. 所以在上单调递增，则的最大值为，最小值为. 经验证，时，也适合上述结论. 当为偶数时， 一方面因为则有. 另一方面，由于对任意正整数，因为，， 则有 ， ， . 函数的最大值为，最小值为. 经验证，时，也适合上述结论. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为0，最小值为； 当为偶数时，函数的最大值为1，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中调研试卷 数学 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是（ ） A B. C. D. 2. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 中，，那么（ ） A. B. C. D. 或 6. 某简谐运动可以用函数表示，把该函数图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的初相等于（ ） A. B. C. D. 7. “七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. 14 D. 20 8. 在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 10. 已知平面内两个非零向量与，则（ ） A. B. C. 存在以为边长的三角形 D. 两个不等式与中至少能成立一个 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 当时，在区间上有最大值 D. 当时，恒成立 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在一个周期内的图象如图所示，则__________. 13. 在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值__________.（只要填写一个即可） 14. 钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，，设. （1）用分别表示； （2）若，求. 16. 在中，角的对边分别为.三个内角满足. （1）求角的值； （2）如果，并且，求的周长. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求值. 18. 如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记. （1）写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域； （2）管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值. 19. 已知函数是正整数，. （1）求函数的值域； （2）记，解不等式； （3）当时，求最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $