第五章 4 第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版2019）

DIWUZHANG 第五章 第2课时　平抛运动的两个重 　 　　　要推论　一般的抛 　 　　　体运动 1 1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。 2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。 3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 学习目标 2 一、平抛运动的两个重要推论 二、一般的抛体运动 课时对点练 内容索引 3 平抛运动的两个重要推论 一 4 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反 向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值 tan θ==____ ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ= =_________ ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ=____ ① 位移偏向角的正切值 tan α== =_____ ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 　(2024·南阳市高一期中)如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则 A.当v1>v2时，α1>α2 B.当v1>v2时，α1<α2 C.无论v1、v2关系如何，均有α1=α2 D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 例1 √ 小球从斜面上的某点水平抛出后落到斜面上，小球 的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即 tan θ===， 小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α==， 故可得tan α=2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ， 则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是α，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关。故选C。 　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) A.d B.2d C.d D.d 例2 √ 返回 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 一般的抛体运动 二 11 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动。 1.研究方法：将物体斜向上抛出，不考虑空气阻力，物体在水平方向上做　　　　　　　，在竖直方向做竖直上抛运动。 匀速直线运动 2.斜抛运动的规律 设物体抛出的速度v0沿斜上方，v0与水平方向的夹角为θ， 如图所示，则物体做斜抛运动时， (1)水平方向：速度vx=v0x=　　　 ，位移x=v0x·t= 。  (2)竖直方向：速度vy=v0y-gt= ，位移y=_______ 。  v0cos θ v0tcos θ v0sin θ-gt v0tsin θ -gt2 3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的 两点速度大小　　　，水平方向速度相同，竖直方向速 度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上 升时间　　　下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作　　　运动来分析。 相等 等于 平抛 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 思考与讨论 答案　做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t=，所以物体落回同一水平面的时间为t总=，则可知t总与竖直分速度有关。 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 答案　物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy=0)，可得：hm=，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 答案　由x=t总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x=，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ=45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 　如图所示为A、B两个小球从同一位置抛出后的运动轨迹，它们上升的最大高度相同，但水平射程不同，不计空气阻力。下列说法中正确的是 A.A球在空中的运动时间比B球的短 B.A球的加速度比B球的大 C.经过最高点时A球的速度比B球的大 D.落地前瞬间A球的速度比B球的小 例3 √ 不计空气阻力，两球都是只受重力，所以加速度相 同，故B错误； 两球运动的最大高度相同，加速度相同，故飞行时 间相同，初速度的竖直分速度相同，故A错误； 由两条轨迹可以看出，B初速度大于A的初速度，在最高点竖直速度为零，所以B在最高点的速度比A在最高点的大，故C错误； 根据抛体运动速度的对称性及C项分析可知，B在落地前瞬间的速度比A在落地前瞬间的速度大，故D正确。 　(2024·保定市开学考试)如图是手机某游戏的截图。忽略空气阻力，小鸟脱离弹弓后做斜上抛运动，假设小鸟能获得的初速度是10 m/s，方向与水平方向夹角成53°，g取10 m/s2，不计弹弓高度。sin 53°=0.8，cos 53° =0.6，求： (1)小鸟能达到的最大高度和在最高点速度大小； 例4 答案　3.2 m　6 m/s 小鸟以初速度v0=10 m/s做斜上抛运动，水平和竖直 方向的分初速度分别为 vx=v0cos 53°=6 m/s，v0y=v0sin 53°=8 m/s 小鸟在竖直方向上做竖直上抛运动，设小鸟能达到的最大高度为h，则根据0-=-2gh 解得h==3.2 m 到达最高点时，竖直方向速度为零，合速度大小为vx=v0cos 53°=6 m/s (2)水平射程。 答案　9.6 m 设小鸟从抛出到上升至最高点所经历的时间为t， 由速度公式得 0=v0y-gt 解得t==0.8 s 小鸟在水平方向做匀速直线运动，根据斜上抛运动的对称性，小鸟的水平射程为 x=2vxt=9.6 m。 返回 课时对点练 三 23 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C C C C A 题号 9 10 11 答案 A (1)1.8 m　(2)1.4 s　(3)11.2 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.(2023·茂名市高一期中)如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础对点练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平抛运动的位移角(位移方向与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(速度方向与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β= 2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平方向的夹角都小于90°。故选B。 答案 2.(2024·淮北市高一期末)如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M点为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为 A.1 s B.1.5 s C.2.5 s D.3 s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线 过其这段时间水平位移的中点，则有x=2QM=v0t，解得 小球运动的时间为t== s=3 s，所以D正确，A、 B、C错误。 答案 考点二　一般的抛体运动 3.某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是 A.相邻位置运动员重心的速度变化相同 B.运动员在A、D位置时重心的速度相同 C.运动员从A到B和从C到D的时间相同 D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 相邻位置的时间间隔相同，根据Δv=gΔt，可知运 动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置 时重心的速度大小相等，但是方向不同，故B错误； 由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误； 由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。 答案 4.(2024·盐城市高一期末)如图所示，网球运动员利用竖直训练墙进行训练时，将网球分别自同一高度上的a、b两点斜向上击出后，网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，不计空气阻力，则关于网球从被击出到击中墙壁的运动过程，下列说法正确的是 A.自a点被击出后在空中运动的时间长 B.自b点被击出后在空中运动的时间长 C.自a点被击出时的初速度大 D.自b点被击出时的初速度大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，则 可将网球的运动看成反向的平抛运动，网球在竖直 方向上运动的高度相同，根据h=gt2，可知二者在 空中运动的时间相同，A、B错误； 将网球的运动看成反向的平抛运动，根据题图可知，a点与墙壁之间的水平距离更大，根据x=v0t，可知网球自a点被击出的初速度的水平分速度大，根据=2gh，可知网球自a、b两点被击出的初速度的竖直分速度相等，故网球自a点被击出时的初速度大，C正确，D错误。 答案 5.(2024·南京市高一期末)在我国古代，人们曾经用一种叫“唧筒”的装置进行灭火，这种灭火装置的特点是：筒是长筒，下开窍，以絮囊水杆，自窍唧水，既能汲水，又能排水。简单来说，就是一种特制的水枪。设灭火时保持水喷出时的速率不变，“唧筒”与水平面夹角为锐角，则下列说法正确的是 A.灭火时应将“唧筒”的轴线指向着火点 B.想要使水达到更远的着火点，必须调小“唧 　筒”与水平面间的夹角 C.想要使水达到更高的着火点，必须调大“唧 　筒”与水平面间的夹角(假设水未达最高点) D.若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当慢一些才能使水 　喷出时速率不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 水离开出水口后做抛体运动，故灭火时“唧 筒”的轴线不能指向着火点，故A错误； 当调小“唧筒”与水平面间的夹角时，水 在空中的运动时间减小，但是水在水平方向的速度增大，故不一定能使水达到更远的着火点，故B错误； 当调大“唧筒”与水平面间的夹角，即水在竖直方向的初速度增大，则竖直位移增大，将到达更高的着火点，故C正确； 若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当快一些，才能使水喷出的速度大小不变，故D错误。 答案 6.草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，重力加速度为g，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，可以判断 A.水落地前瞬间的速率为v0sin θ B.水到达最高点时的速率为0 C.水在空中飞行时间为 D.水的水平射程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由对称性知水落地前瞬间的速率仍 为v0，A错误； 将水的运动分解到水平方向和竖直 方向，由于水平方向做匀速直线运动，在最高点时竖直方向速度为零，可知水到达最高点时的速率为v2=v0cos θ，B错误； 水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy=v0sin θ，因此水在空中飞行时间 为t==，C正确； 水的水平射程为x=v2t=v0cos θ·=，D错误。 答案 7.(2024·盐城市高一期末)小刚同学在校运动会上参加跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，小刚起跳时速度方向与水平方向夹角为α，跳远成绩为x，在空中距离地面的最大高度为h，若小刚同学可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是 A.tan α= B.sin α= C.tan α= D.cos α= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能力综合练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由斜抛运动的对称性可知，小刚从起跳点到最高 点的过程中，水平位移为则此过程中的水平 方向有=v0cos α·t，竖直方向上有h=·t，解得tan α=，故选C。 答案 8.如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则 A.甲击出的高尔夫球落地的速率最大 B.甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长 C.三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等 D.三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三个高尔夫球竖直方向运动的高度相等，则运 动时间相等，击出的初速度竖直分量相等，选 项B、C错误； 由于运动时间相等，甲击出的高尔夫球的水平位移最大，故甲击出的初速度水平分量最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地的速率最大，选项A正确，D错误。 答案 9.(2023·江西省高一期中)如图所示，光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为h=0.4 m；在距地面高为H=1.2 m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。关于x和v0的值，下列选项正确的是 A.x=1.6 m，v0=4 m/s B.x=1.6 m，v0=4 m/s C.x=0.8 m，v0=4 m/s D.x=0.8 m，v0=4 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口M 时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点， 做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长 线通过水平位移的中点，如图所示，根据几何关系得x=2(H-h)tan 45°= 1.6 m，小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M的运动时 间为t==0.4 s，水平方向做匀速直线运动有v0==4 m/s，故选A。 答案 10.(2024·六安市高一期末)某人在离地面1.4 m的高度，将质量0.4 kg的小球以v0=10 m/s的速度斜向上抛出，小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为37°，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10 m/s2，求： (1)小球从抛出点上升的最大高度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　1.8 m 小球做斜抛运动，小球从抛出点上升的最大高度为hm== m=1.8 m 答案 (2)小球在空中运动的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　1.4 s 小球从抛出点上升的最大高度所用的时间为t1==0.6 s 小球从最高点到落地的过程，有hm+h=g 解得t2=0.8 s 小球在空中运动的时间为t=t1+t2=1.4 s 答案 (3)小球落地点与抛出点的水平距离。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　11.2 m 小球落地点与抛出点的水平距离为 x=v0tcos 37°=8×1.4 m=11.2 m。 答案 11.(2023·黄山市高一期中)通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻力作用，物体运动速度会降低。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。通常情况下，地球自身运动和地球的形状对抛体运动影响非常微小，可忽略不计。可以认为抛体运动的物体在某点的受力情况如图所示。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初速度为v0，方向与水平地面夹角为θ；弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α， 落地点与抛出点在同一水平面。从弹丸抛出到落地， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 答案 下列分析正确的是 A.弹丸上升的时间大于下降的时间 B.弹丸竖直方向的加速度先减小后增大 C.弹丸在最高点时的加速度是重力加速度 D.弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 从开始运动到最高点v0y=v0sin θ，a1y=g+sin β，从 最高点到落点a2y=g-sin β，可知上升过程竖直方向 上加速度更大，则上升时间要小，故A错； 上升过程，f不断减小，a1y不断减小，下落过程，f不断增大，a2y不断减小，所以弹丸的竖直方向加速度一直在减小，故B错； 最高点时，阻力f与重力mg垂直，加速度为a=，故C错； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图所示， 虚线是没有阻力作用时的抛物线，而存在空气阻 力时，落地时弹丸在竖直和水平方向上速度都小 于初始速度，实际弹丸的轨迹为实线所示，可见弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ，选项D正确。 返回 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 第2课时　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动 [学习目标]　1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 一、平抛运动的两个重要推论 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值 tan θ== ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ== ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ= ① 位移偏向角的正切值 tan α=== ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 例1　(2024·南阳市高一期中)如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则(　　) A.当v1>v2时，α1>α2 B.当v1>v2时，α1<α2 C.无论v1、v2关系如何，均有α1=α2 D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 答案　C 解析　小球从斜面上的某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ===，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α==，故可得tan α=2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是α，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关。故选C。 例2　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　) A.d B.2d C.d D.d 答案　C 解析　把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 二、一般的抛体运动 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动。 1.研究方法：将物体斜向上抛出，不考虑空气阻力，物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动。 2.斜抛运动的规律 设物体抛出的速度v0沿斜上方，v0与水平方向的夹角为θ，如图所示，则物体做斜抛运动时， (1)水平方向：速度vx=v0x=v0cos θ，位移x=v0x·t=v0tcos θ。  (2)竖直方向：速度vy=v0y-gt=v0sin θ-gt，位移y=v0tsin θ-gt2。  3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 答案　做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t=，所以物体落回同一水平面的时间为t总=，则可知t总与竖直分速度有关。 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 答案　物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy=0)，可得：hm=，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 答案　由x=t总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x=，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ=45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 例3　如图所示为A、B两个小球从同一位置抛出后的运动轨迹，它们上升的最大高度相同，但水平射程不同，不计空气阻力。下列说法中正确的是(　　) A.A球在空中的运动时间比B球的短 B.A球的加速度比B球的大 C.经过最高点时A球的速度比B球的大 D.落地前瞬间A球的速度比B球的小 答案　D 解析　不计空气阻力，两球都是只受重力，所以加速度相同，故B错误；两球运动的最大高度相同，加速度相同，故飞行时间相同，初速度的竖直分速度相同，故A错误；由两条轨迹可以看出，B初速度大于A的初速度，在最高点竖直速度为零，所以B在最高点的速度比A在最高点的大，故C错误；根据抛体运动速度的对称性及C项分析可知，B在落地前瞬间的速度比A在落地前瞬间的速度大，故D正确。 例4　(2024·保定市开学考试)如图是手机某游戏的截图。忽略空气阻力，小鸟脱离弹弓后做斜上抛运动，假设小鸟能获得的初速度是10 m/s，方向与水平方向夹角成53°，g取10 m/s2，不计弹弓高度。sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，求： (1)小鸟能达到的最大高度和在最高点速度大小； (2)水平射程。 答案　(1)3.2 m　6 m/s　(2)9.6 m 解析　(1)小鸟以初速度v0=10 m/s做斜上抛运动，水平和竖直方向的分初速度分别为 vx=v0cos 53°=6 m/s，v0y=v0sin 53°=8 m/s 小鸟在竖直方向上做竖直上抛运动，设小鸟能达到的最大高度为h，则根据0-=-2gh 解得h==3.2 m 到达最高点时，竖直方向速度为零，合速度大小为vx=v0cos 53°=6 m/s (2)设小鸟从抛出到上升至最高点所经历的时间为t，由速度公式得 0=v0y-gt 解得t==0.8 s 小鸟在水平方向做匀速直线运动，根据斜上抛运动的对称性，小鸟的水平射程为 x=2vxt=9.6 m。 课时对点练　[分值：100分] 1~6题每题7分，共42分 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.(2023·茂名市高一期中)如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的是(　　) 答案　B 解析　平抛运动的位移角(位移方向与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(速度方向与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β=2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平方向的夹角都小于90°。故选B。 2.(2024·淮北市高一期末)如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M点为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　) A.1 s B.1.5 s C.2.5 s D.3 s 答案　D 解析　根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线过其这段时间水平位移的中点，则有x=2QM=v0t，解得小球运动的时间为t== s=3 s，所以D正确，A、B、C错误。 考点二　一般的抛体运动 3.某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是(　　) A.相邻位置运动员重心的速度变化相同 B.运动员在A、D位置时重心的速度相同 C.运动员从A到B和从C到D的时间相同 D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间 答案　A 解析　相邻位置的时间间隔相同，根据Δv=gΔt，可知运动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置时重心的速度大小相等，但是方向不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。 4.(2024·盐城市高一期末)如图所示，网球运动员利用竖直训练墙进行训练时，将网球分别自同一高度上的a、b两点斜向上击出后，网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，不计空气阻力，则关于网球从被击出到击中墙壁的运动过程，下列说法正确的是(　　) A.自a点被击出后在空中运动的时间长 B.自b点被击出后在空中运动的时间长 C.自a点被击出时的初速度大 D.自b点被击出时的初速度大 答案　C 解析　因网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，则可将网球的运动看成反向的平抛运动，网球在竖直方向上运动的高度相同，根据h=gt2，可知二者在空中运动的时间相同，A、B错误；将网球的运动看成反向的平抛运动，根据题图可知，a点与墙壁之间的水平距离更大，根据x=v0t，可知网球自a点被击出的初速度的水平分速度大，根据=2gh，可知网球自a、b两点被击出的初速度的竖直分速度相等，故网球自a点被击出时的初速度大，C正确，D错误。 5.(2024·南京市高一期末)在我国古代，人们曾经用一种叫“唧筒”的装置进行灭火，这种灭火装置的特点是：筒是长筒，下开窍，以絮囊水杆，自窍唧水，既能汲水，又能排水。简单来说，就是一种特制的水枪。设灭火时保持水喷出时的速率不变，“唧筒”与水平面夹角为锐角，则下列说法正确的是(　　) A.灭火时应将“唧筒”的轴线指向着火点 B.想要使水达到更远的着火点，必须调小“唧筒”与水平面间的夹角 C.想要使水达到更高的着火点，必须调大“唧筒”与水平面间的夹角(假设水未达最高点) D.若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当慢一些才能使水喷出时速率不变 答案　C 解析　水离开出水口后做抛体运动，故灭火时“唧筒”的轴线不能指向着火点，故A错误；当调小“唧筒”与水平面间的夹角时，水在空中的运动时间减小，但是水在水平方向的速度增大，故不一定能使水达到更远的着火点，故B错误；当调大“唧筒”与水平面间的夹角，即水在竖直方向的初速度增大，则竖直位移增大，将到达更高的着火点，故C正确；若将出水孔扩大一些，则推动把手的速度相比原来应适当快一些，才能使水喷出的速度大小不变，故D错误。 6.草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，重力加速度为g，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，可以判断(　　) A.水落地前瞬间的速率为v0sin θ B.水到达最高点时的速率为0 C.水在空中飞行时间为 D.水的水平射程为 答案　C 解析　由对称性知水落地前瞬间的速率仍为v0，A错误；将水的运动分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向做匀速直线运动，在最高点时竖直方向速度为零，可知水到达最高点时的速率为v2=v0cos θ，B错误；水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy=v0sin θ，因此水在空中飞行时间为t==，C正确；水的水平射程为x=v2t=v0cos θ·=，D错误。 7~9题每题10分，10题16分，共46分 7.(2024·盐城市高一期末)小刚同学在校运动会上参加跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，小刚起跳时速度方向与水平方向夹角为α，跳远成绩为x，在空中距离地面的最大高度为h，若小刚同学可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　) A.tan α= B.sin α= C.tan α= D.cos α= 答案　C 解析　由斜抛运动的对称性可知，小刚从起跳点到最高点的过程中，水平位移为，则此过程中的水平方向有=v0cos α·t，竖直方向上有h=·t，解得tan α=，故选C。 8.如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力的影响，则(　　) A.甲击出的高尔夫球落地的速率最大 B.甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长 C.三个高尔夫球击出的初速度竖直分量不相等 D.三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等 答案　A 解析　三个高尔夫球竖直方向运动的高度相等，则运动时间相等，击出的初速度竖直分量相等，选项B、C错误；由于运动时间相等，甲击出的高尔夫球的水平位移最大，故甲击出的初速度水平分量最大，据运动的对称性和速度的合成可知甲击出的高尔夫球落地的速率最大，选项A正确，D错误。 9.(2023·江西省高一期中)如图所示，光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为h=0.4 m；在距地面高为H=1.2 m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。关于x和v0的值，下列选项正确的是(　　) A.x=1.6 m，v0=4 m/s B.x=1.6 m，v0=4 m/s C.x=0.8 m，v0=4 m/s D.x=0.8 m，v0=4 m/s 答案　A 解析　由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口M时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线通过水平位移的中点，如图所示，根据几何关系得x=2(H-h)tan 45°=1.6 m，小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M的运动时间为t==0.4 s，水平方向做匀速直线运动有v0==4 m/s，故选A。 10.(16分)(2024·六安市高一期末)某人在离地面1.4 m的高度，将质量0.4 kg的小球以v0=10 m/s的速度斜向上抛出，小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为37°，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10 m/s2，求： (1)(4分)小球从抛出点上升的最大高度； (2)(8分)小球在空中运动的时间； (3)(4分)小球落地点与抛出点的水平距离。 答案　(1)1.8 m　(2)1.4 s　(3)11.2 m 解析　(1)小球做斜抛运动，小球从抛出点上升的最大高度为hm== m=1.8 m (2)小球从抛出点上升的最大高度所用的时间为t1==0.6 s 小球从最高点到落地的过程，有hm+h=g 解得t2=0.8 s 小球在空中运动的时间为t=t1+t2=1.4 s (3)小球落地点与抛出点的水平距离为 x=v0tcos 37°=8×1.4 m=11.2 m。 (12分) 11.(2023·黄山市高一期中)通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻力作用，物体运动速度会降低。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。通常情况下，地球自身运动和地球的形状对抛体运动影响非常微小，可忽略不计。可以认为抛体运动的物体在某点的受力情况如图所示。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初速度为v0，方向与水平地面夹角为θ；弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α，落地点与抛出点在同一水平面。从弹丸抛出到落地，下列分析正确的是(　　) A.弹丸上升的时间大于下降的时间 B.弹丸竖直方向的加速度先减小后增大 C.弹丸在最高点时的加速度是重力加速度 D.弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ 答案　D 解析　从开始运动到最高点v0y=v0sin θ，a1y=g+sin β，从最高点到落点a2y=g-sin β，可知上升过程竖直方向上加速度更大，则上升时间要小，故A错；上升过程，f不断减小，a1y不断减小，下落过程，f不断增大，a2y不断减小，所以弹丸的竖直方向加速度一直在减小，故B错；最高点时，阻力f与重力mg垂直，加速度为a=，故C错；如图所示， 虚线是没有阻力作用时的抛物线，而存在空气阻力时，落地时弹丸在竖直和水平方向上速度都小于初始速度，实际弹丸的轨迹为实线所示，可见弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ，选项D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$