专题08 等高线问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题08 等高线问题 【题型归纳】 题型一：已知零点个数求参数范围 题型二：求整式结构范围 题型三：求分式结构范围 题型四：综合类问题 【方法技巧总结】 首先，明确等高线的定义，即对于给定的函数值，找出所有满足该函数值的自变量组合。接着，分析函数表达式，特别是参数在函数中的位置和作用。参数的变化会直接影响函数值的分布，从而影响等高线的形状和位置。然后，利用函数性质，如单调性、极值点等，结合题目条件，建立关于参数的不等式。这通常涉及对函数进行变形、求导或利用几何意义进行推导。最后，解这个不等式，得到参数的取值范围。在解题过程中，要注意验证解的正确性，确保参数范围满足题目所有条件。 【典型例题】 题型一：已知零点个数求参数范围 【例1】（2025·高一·山东淄博·阶段练习）已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为 ． 【变式1-1】（2025·高二·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ． 题型二：求整式结构范围 【例2】（2025·高一·天津河北·期末）已知函数函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【变式2-2】（2025·高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（2025·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：求分式结构范围 【例3】（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【变式3-2】（2025·高一·湖南·阶段练习）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·湖北·期中）设，若存在实数满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·高一·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：综合类问题 【例4】（多选题）（2025·高二·贵州毕节·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 【变式4-1】（多选题）（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【变式4-2】（多选题）（2025·高一·河北保定·期末）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·四川内江·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（    ） A．的范围为 B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ，若，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·上海·阶段练习）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 3．（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 5．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 6．（多选题）（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·高一·福建福州·阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 8．（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 9．（多选题）（2025·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数有三个零点、、，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 10．（多选题）（2025·高一·河南·期末）已知函数，若方程有4个不同实根，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高一·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 12．（2025·高一·北京房山·期末）已知函数 若，则 ；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是 ． 13．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为 ． 14．（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是 . 15．（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 . 16．（2025·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是 . 17．（2025·高一·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 18．（2025·高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 19．（2025·高一·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等高线问题 【题型归纳】 题型一：已知零点个数求参数范围 题型二：求整式结构范围 题型三：求分式结构范围 题型四：综合类问题 【方法技巧总结】 首先，明确等高线的定义，即对于给定的函数值，找出所有满足该函数值的自变量组合。接着，分析函数表达式，特别是参数在函数中的位置和作用。参数的变化会直接影响函数值的分布，从而影响等高线的形状和位置。然后，利用函数性质，如单调性、极值点等，结合题目条件，建立关于参数的不等式。这通常涉及对函数进行变形、求导或利用几何意义进行推导。最后，解这个不等式，得到参数的取值范围。在解题过程中，要注意验证解的正确性，确保参数范围满足题目所有条件。 【典型例题】 题型一：已知零点个数求参数范围 【例1】（2025·高一·山东淄博·阶段练习）已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，由，可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，实数的取值范围是， 【变式1-1】（2025·高二·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 题型二：求整式结构范围 【例2】（2025·高一·天津河北·期末）已知函数函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增， 当时取得最小值1，当趋近于0时趋近于， 当趋近于时趋近于.如图所示： 因为函数有四个不同的零点，所以函数，有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以，所以， 由得,所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式2-1】（2025·高一·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【变式2-2】（2025·高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，， 所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】（2025·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 题型三：求分式结构范围 【例3】（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 【变式3-1】（2025·高一·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，且， 所以，则， 所以，故的取值范围为． 故答案为：． 【变式3-2】（2025·高一·湖南·阶段练习）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，函数 当时，，可得的图象关于直线对称. 作出的大致图象，如图所示. 由，可知. 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 则 . 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 即， 即的取值范围是. 故选：A. 【变式3-3】（2025·高一·湖北·期中）设，若存在实数满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象如图所示， ，，， ，，， ， 又因为，所以. 故选：A． 【变式3-4】（2025·高一·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数与的图象如下图所示： 由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 题型四：综合类问题 【例4】（多选题）（2025·高二·贵州毕节·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点， 对A，由图象知A正确， 对B，当时，，B错； 对C，或， 因为，所以，从而，又， 所以，C正确， 对D，由图可知 ，即，D正确， 故选：ACD． 【变式4-1】（多选题）（2025·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【解析】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【变式4-2】（多选题）（2025·高一·河北保定·期末）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由解析式，可得大致图象如下，结合题设知，A错， 令，可得或， 所以，且，B对， 而，，则，C错， 由且，而在上单调递增， 所以，D对. 故选：BD 【变式4-3】（2025·高一·四川内江·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（    ） A．的范围为 B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数与的图象如下图所示： 当时，， 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 故实数的取值范围是，A错； 对于B选项，因为二次函数图象的对称轴为直线， 由图可知，点、关于直线对称，则，的值不确定，B错； 对于C选项，由图可知，， 由可得，即，即， 所以，，C错； 对于D选项，由C选项可知，， 由可得，则， 因为双勾函数在区间上单调递减， 因为，则，D对. 故选：D. 【过关测试】 1．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ，若，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则直线与函数的图象有三个交点， 由图象可知，， 由，则有， 则有，解得，有， 又，所以， 得． 故选：A. 2．（2025·高一·上海·阶段练习）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图所示， 要使，则. 因为,,, 所以,即，于是有， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：. 故选:D 4．（多选题）（2025·高一·云南昆明·阶段练习）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 【答案】BCD 【解析】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 5．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【解析】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 6．（多选题）（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】画出的大致图象如图所示. 若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且. 令，得；令，得， 则，， ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以. 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 7．（多选题）（2025·高一·福建福州·阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】BC 【解析】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图可知，即，解得，故B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D错误. 故选：BC. 8．（多选题）（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出， 所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。 故答案为：ACD 9．（多选题）（2025·高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数有三个零点、、，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】由可得，作出函数与函数的图象如下图所示： 对于A：方程有三个解与直线有个交点， 由图可知，，故A正确； 对于B选项，由图可知，在函数的图象上， 由可得，解得，故B错误； 对于C，函数的增区间为， 对于函数，由得， 所以的增区间为，故C错误； 对于D，二次函数的对称轴为直线， 由图可知，点、关于直线对称，则， ， 由得或，由图可知， ， 当且仅当时，即时成立，故D正确. 故选：AD. 10．（多选题）（2025·高一·河南·期末）已知函数，若方程有4个不同实根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】当时，即，当且仅当时取等号， 在上递增，在上递减， 当时，且在上递减，在上递增， 综上，可得图象如下， 当且仅当时方程有4个不同实根，A错误； 结合图象及题设知：，B正确； 由题得且， 所以，C正确； 是方程的两个根，即方程的两个根， 所以则， 由，得，所以，D正确. 故选：BCD. 11．（2025·高一·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 12．（2025·高一·北京房山·期末）已知函数 若，则 ；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】得（舍去），得，因此的解为和4； 再作函数的图象，作直线，由图象可知时，有三个解，当时，，，因此， 所以， 故答案为：；． 13．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为方程有四个根，，，， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，，，，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，，故的取值范围是． 故答案为： 14．（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意作出函数的图象，如图， 方程有4个不同的实数根，，，（）， 即函数的图象与直线有四个不同的交点， 易知，则，即， 由二次函数对称性可得且， 则， ，则，所以， 故答案为：． 15．（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 令，解得； 令，解得； 令，则； 由， 则在上单调递减，在单调递增，在单调递减. 画出的图象如下图所示， 由题意是互不相同的实数，满足，不妨设. 则由图可知，. 则由， 可得，解得. 结合图象可知， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16．（2025·高一·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图象如下图所示： 设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点， 且点、关于直线对称，则，且， 故. 故答案为：. 17．（2025·高一·内蒙古·期末）已知函数.若，则的零点为 ；若恰有两个零点，则的最小值为 . 【答案】 100 20 【解析】当时，由，解得，得的零点为100. 由题意得关于x的方程有两个解.作出的图象， 则，且，则，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：100，20 18．（2025·高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 【答案】 【解析】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 19．（2025·高一·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的图象如图所示， 因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ， 所以，， 所以， 因为， 所以，得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$