本册综合检测(2)(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

▲ １９３ ▲ ▲ １９４ ▲ 考 案 （四） 本册综合检测（二） 考试时间：１２０分钟　 满分：１５０分 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） １．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ａ３ ＋ ａ７ ＝ ２８，若ａｍ ＝２６，则ｍ ＝ （Ｄ ） Ａ． ６ Ｂ． ７ Ｃ． ８ Ｄ． ９ ２．已知ｆ（ｋ）＝ ｋ ＋（ｋ ＋１）＋（ｋ ＋２）＋…＋２ｋ（ｋ∈Ｎ），则 （Ｂ ） Ａ． ｆ（ｋ ＋１）－ ｆ（ｋ）＝２ｋ ＋２ Ｂ． ｆ（ｋ ＋１）－ ｆ（ｋ）＝３ｋ ＋３ Ｃ． ｆ（ｋ ＋１）－ ｆ（ｋ）＝４ｋ ＋２ Ｄ． ｆ（ｋ ＋１）－ ｆ（ｋ）＝４ｋ ＋３ ３．已知各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝的前４项和为１５８ ，且８ａ５ ＝ ａ１ － ２ａ３，则ａ３ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１６ Ｂ． １ ８ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ２ ４．（２０２３·甲卷（理））已知等比数列ａ{ }ｎ 中，ａ１ ＝ １，Ｓｎ为ａ{ }ｎ 的前ｎ项和，Ｓ５ ＝ ５Ｓ３ － ４，则Ｓ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． ７ Ｂ． ９ Ｃ． １５ Ｄ． ３０ ５．（２０２４·武汉高二检测）等差数列｛ａｎ｝中，ａ１与ａ４ ０３７是ｆ（ｘ）＝ ｘ －４ｌｎ ｘ － ｍｘ的两个极值点，则ｌｏｇ槡２ａ２ ０１９ ＝ （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ０ Ｄ． １２ ６．函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ ｘ在［－ π，π］上的图像大致为 （Ｃ ） ７．已知关于ｘ的不等式１ ＋ ２ｘｌｎ ｘ≤ｍｘ２在［１，＋ ∞）上恒成立，则ｍ的最小值为 （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ８．（２０２４·玉林高二检测）已知定义域为Ｒ的奇函数ｆ（ｘ）的导函数为ｆ ′（ｘ），当ｘ ＞０时，ｘ ｆ ′（ｘ）＞ ｆ（ｘ）．若ａ ＝ ｆ（－ ｌｏｇ２３） － ｌｏｇ２３ ，ｂ ＝ ｆ（ｌｏｇ４６）ｌｏｇ４６ ，ｃ ＝ ｆ ｓｉｎ π( )８ ｓｉｎ π８ ，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为 （Ｃ ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｃ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ Ｄ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题 目要求的，全部选对的得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分） ９．下列关于公差ｄ ＞０的等差数列｛ａｎ｝的四个命题中真命题是 （Ａ ） Ａ．数列｛ａｎ｝是递增数列 Ｂ．数列｛ｎａｎ｝是递增数列 Ｃ．数列ａｎ{ }ｎ 是递增数列 Ｄ．数列｛ａｎ ＋３ｎｄ｝是递增数列 １０．记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若ａ１ ＋ ３ａ５ ＝ Ｓ７，则以下结论一定正确的是 （Ａ ） Ａ． ａ４ ＝ ０ Ｂ． Ｓｎ的最大值为Ｓ３ Ｃ． Ｓ１ ＝ Ｓ６ Ｄ． ｜ ａ３ ｜ ＜ ｜ ａ５ ｜ １１．（２０２３·南京高三检测）若函数ｆ（ｘ）的图像上存在两个不同的点Ａ，Ｂ，使得曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在这两点处的切 线重合，称函数ｆ（ｘ）具有Ｔ性质．下列函数中具有Ｔ性质的有 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ｅｘ － ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ４ － ｘ２ Ｃ． ｙ ＝ ｘ３ Ｄ． ｙ ＝ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ １２．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ ＋ ｘ －１ ｅｘ ，则下列结论正确的是 （Ａ ） Ａ．函数ｆ（ｘ）存在两个不同的零点 Ｂ．函数ｆ（ｘ）既存在极大值又存在极小值 Ｃ．当－ ｅ ＜ ｋ ＜０时，方程ｆ（ｘ）＝ ｋ有且只有两个实根 Ｄ．若ｘ∈［ｔ，＋ ∞）时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ５ｅ２，则ｔ的最小值为２ 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３．已知递增等比数列｛ａｎ｝满足ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６ａ１，则｛ａｎ｝的前三项依次是　 １，２，４（答案不唯一）． １４．已知ｆ（ｘ）为奇函数，当ｘ ＜０时，ｆ（ｘ）＝ ｅｘ３ ＋ ２ｅ － ｘ，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程是　 　 　 　 ． １５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ的图像恒过定点Ａ，则点Ａ的坐标为　 　 　 　 ，若ｆ（ｘ）的图像在点Ａ处的切线方 程为ｙ ＝２ｘ ＋１，则ａ ＝ 　 　 　 　 ．（本题第一空２分，第二空３分） １６．设ｘ ＝ １是函数ｆ（ｘ）＝ ａｎ ＋ １ ｘ３ － ａｎｘ２ － ａｎ ＋ ２ ｘ ＋ １（ｎ∈Ｎ）的极值点，数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａｎ ＋ １，若［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，则２ ０２１ｂ１ｂ[ ２ ＋ ２ ０２１ ｂ２ｂ３ ＋…＋ ２ ０２１ｂ２ ０２１ｂ ]２ ０２２ ＝ 　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分１０分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ４ａｎ ＋３ｎ －１，ｂｎ ＝ ａｎ ＋ ｎ． （１）证明：数列｛ｂｎ｝为等比数列； （２）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ                                                                      ． ▲ １９５ ▲ ▲ １９６ ▲ １８．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ １ｘ － ｌｎ ｘ． （１）求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若ｆ（ａ ＋２）＜ ｆ（ａ２）（ａ∈Ｒ），求ａ的取值范围． １９．（本小题满分１２分）（２０２３·新高考Ⅱ）已知ａ{ }ｎ 为等差数列，ｂｎ ＝ ａｎ －６，ｎ为奇数 ２ａｎ，ｎ{ 为偶数，记Ｓｎ，Ｔｎ 为ａ{ }ｎ ， ｂ{ }ｎ 的前ｎ项和，Ｓ４ ＝ ３２，Ｔ３ ＝ １６． （１）求ａ{ }ｎ 的通项公式； （２）证明：当ｎ ＞５时，Ｔｎ ＞ Ｓｎ． ２０．（本小题满分１２分）若函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ｂｘ２ ＋ ２，当ｘ ＝２时，函数ｆ（ｘ）有极值－２． （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式； （２）求函数ｆ（ｘ）的极值； （３）若关于ｘ的方程ｆ（ｘ）－ ｋ ＝０有三个不同的实数解，求实数ｋ的取值范围． ２１．（本小题满分１２分）（２０２４·新课标Ⅱ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ － ａ３ ． （１）当ａ ＝１时，求曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程； （２）若ｆ（ｘ）有极小值，且极小值小于０，求ａ的取值范围． ２２．（本小题满分１２分）（２０２３·新高考Ⅰ）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａ（ｅｘ ＋ ａ）－ ｘ． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）证明：当ａ ＞０时，ｆ（ｘ）＞２ｌｎ ａ ＋ ３２                                                                      ． ▲ ２０９ ▲ ▲ ２１０ ▲ ｘ５，则ｘ１ ＜ ｘ５ ＜ ｘ２， 此时，当ｘ１ ＜ ｘ ＜ ｘ５ 时， ( )ｆ′ ｘ ＜ ０，则( )ｆ ｘ 单调递 减；当ｘ５ ＜ ｘ ＜ ｘ２时， ( )ｆ′ ｘ ＜０，则( )ｆ ｘ 单调递增； 所以( )ｆ ｘ 在ｘ１，ｘ( )２ 上有一个极小值点； 当ｘ ＞ ｘ２ 槡＝３ ＋ ３ ＞ ３时，３ｘ２ － ｘ３ ＝ ｘ２ ３ －( )ｘ ＜０， 所以( )ｆ′ ｘ ＝ １ － ３ｘ２ － ｘ( )３ ｅ － ｘ ＋ １ ＞ ０，则( )ｆ ｘ 单调 递增，所以( )ｆ ｘ 在ｘ２，＋( )! 上无极值点； 综上：( )ｆ ｘ 在－ ! ，( )０ 和ｘ１，ｘ( )２ 上各有一个极小值 点，在０，ｘ( )１ 上有一个极大值点，共有３个极值点． 考案（四） １． Ｄ　 由题意，可得ａ３ ＋ ａ７ ＝ ２ａ５ ＝ ２８， 故ａ５ ＝ １４，所以公差ｄ ＝ ａ５ － ａ１４ ＝ ３， 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ －１）ｄ ＝２ ＋ ３·（ｎ －１）＝３ｎ －１， 所以ａｍ ＝３ｍ －１ ＝ ２６，解得ｍ ＝９． ２． Ｂ　 ｆ（ｋ）＝ ｋ ＋ （ｋ ＋ １）＋ （ｋ ＋ ２）＋…＋ ２ｋ（ｋ∈ Ｎ），则ｆ（ｋ ＋１）－ ｆ（ｋ）＝（ｋ ＋１）＋（ｋ ＋２）＋（ｋ ＋ ３）＋…＋（２ｋ － １）＋ ２ｋ ＋（２ｋ ＋ １）＋ ２（ｋ ＋ １）－［ｋ ＋（ｋ ＋１）＋（ｋ ＋２）＋…＋２ｋ］＝３ｋ ＋３． ３． Ｃ　 设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ， 因为前４项和为１５８ ，且８ａ５ ＝ ａ１ － ２ａ３， 所以ｑ≠１，ａ１（１ － ｑ ４） １ － ｑ ＝ １５ ８ ，８ａ１ｑ ４ ＝ ａ１ － ２ａ１ｑ ２，解得 ａ１ ＝ １，ｑ ＝ １２ ．则ａ３ ＝ １ ４ ． ４． Ｃ　 等比数列ａ{ }ｎ 中，设公比为ｑ， ａ１ ＝ １，Ｓｎ为ａ{ }ｎ 的前ｎ项和，Ｓ５ ＝ ５Ｓ３ － ４， 显然ｑ≠ ±１， （如果ｑ ＝１，可得５ ＝ １５ － ４矛盾，如果ｑ ＝ － １，可 得－１ ＝ － ５ － ４矛盾）， 可得１ － ｑ ５ １ － ｑ ＝５· １ － ｑ３ １ － ｑ －４， 解得ｑ２ ＝ ４，即ｑ ＝２或ｑ ＝ －２， 所以当ｑ ＝２时，Ｓ４ ＝ １ － ｑ ４ １ － ｑ ＝ １ － １６ １ － ２ ＝ １５． 当ｑ ＝ －２时，Ｓ４ ＝ １ － ｑ ４ １ － ｑ ＝ １ － １６ １ ＋ ２ ＝ － ５．没有选项． 故选Ｃ． ５． Ｂ　 ｆ ′（ｘ）＝ １ － ４ｘ ＋ ｍ ｘ２ ＝ ｘ ２ － ４ｘ ＋ ｍ ｘ２ ，因为ａ１ 与 ａ４ ０３７是ｆ（ｘ）＝ ｘ －４ｌｎ ｘ － ｍｘ的两个极值点， 令ｇ（ｘ）＝ ｘ２ － ４ｘ ＋ ｍ，所以ａ１ 与ａ４ ０３７是方程ｘ２ － ４ｘ ＋ ｍ ＝０的两个根，即ａ１ ＋ ａ４ ０３７ ＝ ４，也即２ａ２ ０１９ ＝ ４，所以ａ２ ０１９ ＝ ２，则ｌｏｇ槡２ａ２ ０１９ ＝ ２ｌｏｇ２２ ＝ ２． ６． Ｃ　 ｆ（－ ｘ）＝（－ ｘ）·ｓｉｎ（－ ｘ）＝ ｘｓｉｎ ｘ ＝ ｆ（ｘ），为 偶函数，则Ｂ，Ｄ错误； 又当ｘ∈［０，π］时，ｆ ′（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｘｃｏｓ ｘ， 当ｆ ′（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｘｃｏｓ ｘ ＝０时，得ｘ ＝ － ｔａｎ ｘ， 由 ， 则极值点ｘ０∈ π２，( )π ，故Ａ错误． ７． Ａ　 依题意，１ ＋ ２ｘｌｎ ｘ≤ｍｘ２ｍ≥２ｌｎ ｘｘ ＋ １ ｘ２ ， 令ｇ（ｘ）＝ ２ｌｎ ｘｘ ＋ １ ｘ２ ，故ｇ′（ｘ）＝ ２（ｘ － ｘｌｎ ｘ －１） ｘ３ ， 令ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｘｌｎ ｘ －１，则ｈ′（ｘ）＝ － ｌｎ ｘ， 故当ｘ∈［１，＋ ∞）时，ｈ′（ｘ）＝ － ｌｎ ｘ≤０， ｈ（ｘ）在［１，＋ ∞）上单调递减， 所以ｈ（ｘ）≤ｈ（１）＝０，所以ｇ′（ｘ）≤０， 故ｇ（ｘ）＝ ２ｌｎ ｘｘ ＋ １ ｘ２ 在［１，＋ ∞）上单调递减， 故ｍ≥［ｇ（ｘ）］ｍａｘ ＝ ｇ（１）＝１，故ｍ的最小值为１． ８． Ｃ　 令ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）ｘ （ｘ≠０）， 由于ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数， 所以ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）ｘ （ｘ≠０）为定义域上的偶函数， 又当ｘ ＞０时，ｘ ｆ ′（ｘ）＞ ｆ（ｘ）， 所以，当ｘ ＞０时，ｇ′（ｘ）＝ ｘ ｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ） ｘ２ ＞ ０， 所以，偶函数ｇ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递增； 又０ ＜ ｓｉｎ π８ ＜ １ ＜ ｌｏｇ４６ ＜ ｌｏｇ４９ ＝ ｌｏｇ２３， 所以ｇ ｓｉｎ π( )８ ＜ ｇ（ｌｏｇ４６）＜ ｇ（ｌｏｇ４９） ＝ ｇ（ｌｏｇ２３）＝ ｇ（－ ｌｏｇ２３），即ｃ ＜ ｂ ＜ ａ． ９． ＡＤ　 因为对于公差ｄ ＞ ０的等差数列｛ａｎ｝，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ｄ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝是递增数列成立，Ａ是真 命题．对于数列｛ｎａｎ｝，第ｎ ＋ １项与第ｎ项的差等 于（ｎ ＋１）ａｎ ＋ １ － ｎａｎ ＝（ｎ ＋１）ｄ ＋ ａｎ，不一定是正实 数，Ｂ是假命题．对于数列ａｎ{ }ｎ ，第ｎ ＋ １项与第ｎ 项的差等于ａｎ ＋ １ｎ ＋１ － ａｎ ｎ ＝ ｎａｎ ＋ １ －（ｎ ＋１）ａｎ ｎ（ｎ ＋１） ＝ ｎｄ － ａｎ ｎ（ｎ ＋１），不一定是正实数，Ｃ是假命题．对于数列 ｛ａｎ ＋３ｎｄ｝，第ｎ ＋ １项与第ｎ项的差等于ａｎ ＋ １ ＋ ３（ｎ ＋１）ｄ － ａｎ －３ｎｄ ＝ ４ｄ ＞ ０，数列｛ａｎ ＋ ３ｎｄ｝是递 增数列成立，Ｄ是真命题． １０． ＡＣ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则ａ１ ＋ ３（ａ１ ＋ ４ｄ）＝７ａ１ ＋ ２１ｄ，解得ａ１ ＝ － ３ｄ， 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ －１）ｄ ＝（ｎ －４）ｄ，所以ａ４ ＝ ０，故 Ａ正确；因为Ｓ６ － Ｓ１ ＝ ５ａ４ ＝ ０，所以Ｓ１ ＝ Ｓ６，故Ｃ 正确；由于ｄ的正负不清楚，故Ｓ３ 可能为最大值 或最小值，故Ｂ不正确； 因为ａ３ ＋ ａ５ ＝ ２ａ４ ＝ ０，所以ａ３ ＝ － ａ５， 即｜ ａ３ ｜ ＝ ｜ ａ５ ｜，故Ｄ错误． １１． ＢＤ　 由题意可得，性质Ｔ指函数ｆ（ｘ）图像上有两 个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应 的导数值相等，且两点处函数的切线方程也相同． 对于Ａ选项，ｙ ＝ ｅｘ － ｘ，则ｙ′ ＝ ｅｘ － １，导函数为增 函数，不存在不同的两个ｘ使得导数值相等，故Ａ 不符合； 对于Ｂ选项，ｙ′ ＝４ｘ３ － ２ｘ，设两切点分别为（ｘ１，ｘ４１ － ｘ２１），（ｘ２，ｘ４２ － ｘ２２）且４ｘ３１ － ２ｘ１ ＝ ４ｘ３２ － ２ｘ２， 取ｘ１ ＝ －槡２２ ，ｘ２ ＝槡 ２ ２ ，则ｙ１ ＝ － １ ４ ＝ ｙ２，两切点处 的导数值为ｙ′ ＝０，两切点连线的直线斜率为ｋ ＝ ｙ２ － ｙ１ ｘ２ － ｘ１ ＝ ０，所以两切点处的导数值等于两切点连 线的斜率，符合性质Ｔ，所以Ｂ选项符合； 对于Ｃ选项，设两切点分别为（ｘ１，ｘ３１）和（ｘ２，ｘ３２）， 则两切点处的导数值相等有：３ｘ２１ ＝ ３ｘ２２，解得：ｘ１ ＝ － ｘ２，令ｘ１ ＝ ａ，则ｘ２ ＝ － ａ，两切点处的导数ｙ′ ＝ ３ａ２，两切点连线的斜率为ｋ ＝ ａ ３ －（－ ａ）３ ａ －（－ ａ） ＝ ａ ２，则 ３ａ２ ＝ ａ２，得ａ ＝ ０，两切点重合，不符合题意，所以 Ｃ选项不符合； 对于Ｄ选项，ｙ′ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｘ，设两切点的横坐标分 别为ｘ１和ｘ２，则１ ＋ ｃｏｓ ｘ１ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｘ２，所以ｃｏｓ ｘ１ ＝ ｃｏｓ ｘ２，取ｘ１ ＝ π２，ｘ２ ＝ ５π ２ ，则ｙ１ ＝ π ２ ＋ １，ｙ２ ＝ ５π ２ ＋ １，两切点处的导数值为ｙ′ ＝１，两切点连线的直 线斜率为ｋ ＝ ｙ２ － ｙ１ｘ２ － ｘ１ ＝ １，所以两切点处的导数值 等于两切点连线的斜率，符合性质Ｔ，所以Ｄ选项 符合． １２． ＡＢＣ　 对于Ａ． ｆ（ｘ）＝ ０ｘ２ ＋ ｘ － １ ＝ ０，解得ｘ ＝ 槡－１ ± ５ ２ ，所以Ａ正确； 对于Ｂ． ｆ ′（ｘ）＝ － ｘ ２ － ｘ －２ ｅｘ ＝ －（ｘ ＋１）（ｘ －２） ｅｘ ， 当ｆ ′（ｘ）＞０时，－１ ＜ ｘ ＜２， 当ｆ ′（ｘ）＜０时，ｘ ＜ －１或ｘ ＞２， 故（－ ∞，－ １），（２，＋ ∞）上函数的单调递减区 间，（－１，２）是函数的单调递增区间，所以ｆ（－ １） 是函数的极小值， ｆ（２）是函数的极大值，所以Ｂ正确． 对于Ｃ．当ｘ→ ＋ ∞时，ｙ→０，根据Ｂ可知，函数的 最小值是ｆ（－１）＝ － ｅ，再根据单调性可知，当－ ｅ ＜ ｋ ＜ ０时，方程ｆ（ｘ）＝ ｋ有且只有两个实根，所 以Ｃ正确； 对于Ｄ．由图像可知，ｔ的最大值是２，所以不正 确． １３． １，２，４（答案不唯一）　 设｛ａｎ｝的公比为ｑ，因为ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６ａ１，所以ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ２ ＝ ６ａ１，所以ｑ ＋ ｑ２ ＝ ６， 解得ｑ ＝ －３或ｑ ＝２，又数列｛ａｎ｝为递增数列，所 以ｑ ＝２，所以只要写首项为正数，公比为２的等 比数列的前三项均可，如１，２，４． １４． ｙ ＝ ｅｘ －２ｅ　 因为奇函数在关于原点对称的两点 处的切线平行，且ｆ ′（ｘ）＝ ３ｅｘ２ － ２ｅ － ｘ（ｘ ＜ ０），故 ｆ ′（１）＝ ｆ ′（－１）＝ ｅ，又ｆ（１）＝ － ｆ（－ １）＝ － ｅ， 故切线方程为ｙ ＋ ｅ ＝ ｅ（ｘ －１），即ｙ ＝ ｅｘ －２ｅ． １５．（０，１）　 － １　 易知对于函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ，当                                                                                                                                                                                                                ｘ ▲ ２１１ ▲ ▲ ２１２ ▲ ＝０时，无论ａ取何值，ｆ（０）＝１，故ｆ（ｘ）的图像恒 过定点Ａ（０，１）．由函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ，得ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ － ａ，∴ ｆ（ｘ）的图像在点Ａ处的切线斜率为 ｆ ′（０）＝１ － ａ． ∵ ｆ（ｘ）的图像在点Ａ处的切线方程为ｙ ＝２ｘ ＋１， ∴ １ － ａ ＝２，∴ ａ ＝ －１． １６． ２ ０２０ 　 由题意，可得ｆ ′（ｘ）＝ ３ａｎ ＋ １ ｘ２ － ２ａｎｘ － ａｎ ＋ ２，∵ ｘ ＝ １是函数ｆ（ｘ）的极值点，∴ ｆ ′（１）＝ ３ａｎ ＋ １ － ２ａｎ － ａｎ ＋ ２ ＝ ０，即ａｎ ＋ ２ － ３ａｎ ＋ １ ＋ ２ａｎ ＝ ０， ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＋ １ ＝ ２（ａｎ ＋ １ － ａｎ），∴数列｛ａｎ ＋ １ － ａｎ｝是 首项为ａ２ － ａ１ ＝ １，公比为２的等比数列，∴ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝２ ｎ － １，∴ ａ２ － ａ１ ＝ １，ａ３ － ａ２ ＝ ２，…，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ － ２，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝２ｎ － １， ∴累加可得ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ，∴ ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａｎ ＋ １ ＝ ｌｏｇ２２ｎ ＝ ｎ． ∴ ２ ０２１ｂ１ｂ２ ＋ ２ ０２１ｂ２ｂ３ ＋…＋ ２ ０２１ｂ２ ０２１ｂ２ ０２２ ＝ ２ ０２１ １１ × ２ ＋ １ ２ × ３ ＋…＋ １( )２ ０２１ × ２ ０２２ ＝ ２ ０２１ × １ －( )[ １２ ＋ １２ －( )１３ ＋ …＋ １ ２ ０２１ － １( ) ]２ ０２２ ＝ ２ ０２１ × １ － １( )２ ０２２ ＝ ２ ０２１ － ２ ０２１２ ０２２ ＝ ２ ０２０ ＋ １２ ０２２ ∴ ２ ０２１ｂ１ｂ２ ＋ ２ ０２１ｂ２ｂ３ ＋…＋ ２０２１ｂ２ ０２１·ｂ[ ]２ ０２２ ＝ ２ ０２０． １７．（１）证明：∵ ｂｎ ＝ ａｎ ＋ ｎ，∴ ｂｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １ ＋ ｎ ＋１． 又ａｎ ＋ １ ＝ ４ａｎ ＋３ｎ －１， ∴ ｂｎ ＋ １ ｂｎ ＝ ａｎ ＋ １ ＋ ｎ ＋１ ａｎ ＋ ｎ ＝ （４ａｎ ＋３ｎ －１）＋ ｎ ＋１ ａｎ ＋ ｎ ＝ ４（ａｎ ＋ ｎ） ａｎ ＋ ｎ ＝４． 又ｂ１ ＝ ａ１ ＋ １ ＝ １ ＋ １ ＝ ２， ∴数列｛ｂｎ｝是首项为２，公比为４的等比数列． （２）由（１）知，ｂｎ ＝２ × ４ｎ － １， ∴ ａｎ ＝ ｂｎ － ｎ ＝２ × ４ ｎ － １ － ｎ， ∴ Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝２（１ ＋ ４ ＋ ４２ ＋…＋４ｎ － １）－（１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ｎ） ＝ ２（１ － ４ ｎ） １ － ４ － ｎ（ｎ ＋１） ２ ＝ ２３（４ ｎ －１）－ １２ ｎ ２ － １２ ｎ． １８．（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞）． ∵ ｆ ′（ｘ）＝ － １ ｘ２ － １ｘ ＝ － １ ｘ２ ＋ １( )ｘ ，且ｘ ＞０， ∴ ｆ′（ｘ）＜０在（０，＋ ∞）上恒成立． 即ｆ（ｘ）单调递减区间为（０，＋ ∞）． （２）ｆ（ａ ＋２）＜ ｆ（ａ２）等价于 ａ ＋２ ＞ ０ ａ２ ＞ ０ ａ ＋２ ＞ ａ { ２， 解得－１ ＜ ａ ＜０或０ ＜ ａ ＜２． ∴ ａ的取值范围为（－１，０）∪（０，２）． １９．（１）设等差数列ａ{ }ｎ 的公差为ｄ， Ｓｎ，Ｔｎ为｛ａｎ｝｛ｂｎ｝的前ｎ项和，Ｓ４ ＝ ３２，Ｔ３ ＝ １６， 则ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝３２ ａ１ －６ ＋２ａ２ ＋ ａ３{ －６ ＝１６，即 ４ａ１ ＋ ４（４ －１） ２ ｄ ＝３２ ａ２ { ＝７ ， 解得ａ１ ＝５ ｄ{ ＝２ ， 故ａｎ ＝５ ＋ ２（ｎ －１）＝２ｎ ＋３； （２）证明：由（１）可知，ｂｎ ＝ ２ｎ －３，ｎ为奇数 ４ｎ ＋６，ｎ{ 为偶数， Ｓｎ ＝ （５ ＋ ２ｎ ＋３）ｎ ２ ＝（ｎ ＋４）ｎ， 当ｎ为偶数时，ｎ ＞５， Ｔｎ ＝ －１ ＋ ３ ＋…＋ ２（ｎ － １）－ ３ ＋ １４ ＋ ２２ ＋…＋ ４ｎ ＋６ ＝ ｎ ２［－１ ＋ ２（ｎ －１）－３］ ２ ＋ ｎ ２（１４ ＋ ４ｎ ＋６） ２ ＝ ｎ ２（１４ ＋ ６ｎ） ２ ＝ ｎ（３ｎ ＋７） ２ ， Ｔｎ － Ｓｎ ＝ ｎ２ － ｎ ２ ＞ ０， 当ｎ 为奇数时，ｎ ＞ ５，Ｔｎ ＝ Ｔｎ － １ ＋ ｂｎ ＝ （ｎ －１）（３ｎ ＋４） ２ ＋ ２ｎ －３ ＝ ３ｎ２ ＋ ５ｎ －１０ ２ ， Ｔｎ － Ｓｎ ＝ ｎ２ － ３ｎ －１０ ２ ＞ ２５ － １５ － １０ ２ ＝ ０， 故原式得证． ２０．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ｂｘ２ ＋ ２，∴ ｆ ′（ｘ）＝ ３ａｘ２ － ２ｂｘ， 由题意知，当ｘ ＝２时，函数ｆ（ｘ）有极值－２， ∴ ｆ ′（２）＝０， ｆ（２）＝ －２{ ，即１２ａ －４ｂ ＝０，８ａ －４ｂ ＋２ ＝ － ２{ ，解得ａ ＝１，ｂ ＝３{ ， 故所求函数的解析式为ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ ＋ ２． （２）由（１）得ｆ ′（ｘ）＝３ｘ２ － ６ｘ ＝３ｘ（ｘ －２）， 令ｆ ′（ｘ）＝０，得ｘ ＝０或ｘ ＝２， 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表． ｘ （－ ∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ） 单调递增 ２ 单调递减 － ２ 单调递增 因此，当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）有极大值２，当ｘ ＝ ２时， ｆ（ｘ）有极小值－２． （３）若关于ｘ的方程ｆ（ｘ）－ ｋ ＝ ０有三个不同的实数解，则 ｆ（ｘ）＝ ｋ有三个不同的实数 根，即ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像与直线 ｙ ＝ ｋ有三个交点．由（２）可得 函数ｆ（ｘ）的图像如图所示， ∴实数ｋ的取值范围为－２ ＜ ｋ ＜２． ２１．（１）当ａ ＝１时，则ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ －１，ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ －１， 可得ｆ（１）＝ ｅ － ２，ｆ ′（１）＝ ｅ － １， 即切点坐标为（１，ｅ － ２），切线斜率ｋ ＝ ｅ － １， 所以切线方程为ｙ －（ｅ － ２）＝（ｅ － １）（ｘ － １），即 （ｅ － １）ｘ － ｙ －１ ＝ ０． （２）因为ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ － ａ， 若ａ≤０，则ｆ ′（ｘ）≥０对任意ｘ∈Ｒ恒成立， 可知ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，无极值，不合题意； 若ａ ＞０，令ｆ ′（ｘ）＞ ０，解得ｘ ＞ ｌｎ ａ；令ｆ ′（ｘ）＜ ０， 解得ｘ ＜ ｌｎ ａ； 可知ｆ（ｘ）在（－∞，ｌｎ ａ）内单调递减，在（ｌｎ ａ，＋∞） 内单调递增， 则ｆ（ｘ）有极小值ｆ（ｌｎ ａ）＝ ａ － ａｌｎ ａ － ａ３，无极大值， 由题意可得：ｆ（ｌｎ ａ）＝ ａ － ａｌｎ ａ － ａ３ ＜ ０，即ａ２ ＋ ｌｎ ａ －１ ＞ ０， 构建ｇ（ａ）＝ ａ２ ＋ ｌｎ ａ － １，ａ ＞ ０，则ｇ′（ａ）＝ ２ａ ＋ １ ａ ＞０， 可知ｇ（ａ）在（０，＋ ∞）内单调递增，且ｇ（１）＝０， 不等式ａ２ ＋ ｌｎ ａ －１ ＞ ０等价于ｇ（ａ）＞ ｇ（１），解得 ａ ＞１，所以ａ的取值范围为（１，＋ ∞）． ２２．（１）ｆ（ｘ）＝ ａ（ｅｘ ＋ ａ）－ ｘ， 则ｆ′（ｘ）＝ ａｅｘ －１， ①当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）＜０恒成立， ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递减， ②当ａ ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝０得，ｘ ＝ ｌｎ １ａ， 当ｘ∈ － !，ｌｎ １( )ａ 时，ｆ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单调递减； 当ｘ∈ ｌｎ １ａ，＋( )! 时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增， 综上所述，当ａ≤０时，ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递减；当 ａ ＞０时，ｆ（ｘ）在－ ! ，ｌｎ １( )ａ 上单调递减，在 ｌｎ １ａ，＋( )! 上单调递增． （２）证明：由（１）可知，当ａ ＞０时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ ｌｎ １( )ａ ＝ ａ １ａ ＋( )ａ － ｌｎ １ａ ＝１ ＋ ａ２ ＋ ｌｎ ａ， 要证ｆ（ｘ）＞２ｌｎ ａ ＋ ３２，只需证１ ＋ ａ ２ ＋ ｌｎ ａ ＞２ｌｎ ａ ＋ ３２， 只需证ａ２ － ｌｎ ａ － １２ ＞ ０， 设ｇ（ａ）＝ ａ２ － ｌｎ ａ － １２，ａ ＞０， 则ｇ′（ａ）＝２ａ － １ａ ＝ ２ａ２ － １ ａ ， 令ｇ′（ａ）＝０得，ａ ＝槡２２ ， 当ａ∈ ０，槡２( )２ 时，ｇ′（ａ）＜ ０，ｇ（ａ）单调递减，当 ａ∈槡２ ２ ，＋( )! 时，ｇ′（ａ）＞０，ｇ（ａ）单调递增， 所以ｇ（ａ）≥ｇ槡２( )２ ＝ １２ － ｌｎ槡２２ － １２ ＝ － ｌｎ槡２２ ＞ ０， 即ｇ（ａ）＞０， 所以ａ２ － ｌｎ ａ － １２ ＞ ０得证， 即ｆ（ｘ）＞２ｌｎ ａ ＋ ３２得证                                                                                                                                                                                                                ．