19.2.1 菱形的性质-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（华东师大版）

3.∠1一9解析：惠和的条扑是∠A=90,厘自， ∠EG下m9, 纸落西 AD-CD. ABDC.AB DC. 在R△CF中，由白股定程着：FF一十P■ 在△ADE和△CDF中，∠ADEm∠CDF, 阴道影A以D是平杆口建与， 2.A解折：如围，在爱形AD DE-DF. :∠A=09, 100-F- ◆，AC=12.HD=16 .△ADE2△DFr84 .平有四边制AD是想形（答素不生一）. (?)解：当点0在边AC上 核提能 4证明：”AB=C,D平分∠ABC, 益动AC的中点时，冒 01--6.082D- 更.B解暂：'时边形ABCD是支春，AB=AD,,对 BD LAC.AD-CD. 边港A无F是期形.理山 AC.LBD. 我AC,D变tA0,∴，O=D0,AO⊥D,形 :国边形ABFD是平行国边用。 如下， AB+0B10. C⊥D,江啊李屋正晴格痛序是③·四①·自 BEAD.BE-AD 如图所示.当O为AC的 龙夏每的境长是10， E=CD,边思B以D是平行国也形 中点时，A0-Q0. 1C解折：：AD中，A-=4.AB=C 1,C解析：作FA美子BD的时种 义BD⊥AC..∠DC=g', O=0,.边形ACF是军行四边形， ∠B-9r,.A0=40-, A,则PF=PFP,电林EF交 ,图边形D是知形. ”∠仪F=9,,平行国边聪A无F是如形 ,C=AB=√G+8=5,△，AC的周装=AB十 D于点P. 等慢整 19.2菱形 BC+AC●5+5+8m18. ,EP+FP=EP+FP.自两克之 5.C制新：∠BAC=∠ABD,域得出对角我相等.民判 4D解所：如周，地数ABCD是形，C十BD=4, 风线我菜机￥m加，青E,P,F夜一 瓷同遗都AD是经和 1.菱形的性质 备直线上时，EP十FP的旗显小，龙时EP十FP= 4C解析：荣越意再，冒境利F EP十FP=F, GH是由管进形ACD各填中A 自生预习 :国进形AD为至彩，网长为12，A月=C= 连格而或，连陆AC,D,故EP 1.等 2相等 CHG,EHND成C,解可 至相系互 CD-0A-3.ABCD.AF-2.Ag-1..D- 44除以皇 DF=AE=1,即进春AEFD是平背聘边看 凉利EF它H风平行霄进易，是使可 边形计为解形，想据想形的料定（有一个角为直角的 【微临习】 “菱彩AC力的周卡寿48， EF=AD=EP+FP的氧小植为3. 1山.D解析：如国：4雄证，在菱 平骨边B是矩为，备AC⊥D时，∠H匹-∠EG 1.C1.C AB-.ACLBD:A0-AC:00-BD. 形ABD中，∠AB改C=d, 0,网填每EFGH角想形 军究应用 A0H0=3, ∠BAD=r,÷∠B 深究一 工，矩题解析：”A日=AC,∠B=∠ACB, ,+B=AB,(AD+B刀=9， 证期：(1)：风选形段D是菱彩， A民是∠AC的升角中分线，∠FAB=∠AC, 年厅+B灯=5，+2A0,BO+B了= .AB-CD.AD-EC ,∠B+∠ACI=∠EAE+∠EC, A0■幻=4， 8,在△F和△AD5中， 又：AB=AD. ∠B=∠ACB=∠FAE=∠EC,AAE&CD AB-AD. 文DE成AB,网境每AEDB是平行臂填形 ∴AB-BC=(D=AD 菱利的面相-令C,D-A0:B)4 ∠MF=∠DAF (2)'AB=AD, ∴EBD, 址选 AP-AF. △LBD是等W三角用 又：BD=DC,AR4,故雪边A1尾是平价回 54 ,AUP@△ADFCSAS》, 又属边形AD是菱形 波形，”AD=AC,D是BC的中五， 后对角战互则函直解析：亚每的对角线玉相金直，西知 ,E=DF.,EF◆直平分A厚，FAF, 0B-00, D⊥段C∠ADC=9 形的对角夜不一克香直（只有矩斯是玉有列时，对角戴 ,BF=DF=AF,∠ADF∠DAFm40 ÷AO.LRD,厚AC⊥BD 平件图填形DCE是整利 有会垂直). 【应用】 碧 解丽：可边形ABCD是菱形，C=2.BD 黑角线相等的平行月边形是矩形，矩形的得个角程是 7.23解：如图，走DAC0，射0=C0 正明：：型边形AD晶菱形， 直角 10,.A0=12,0-5,AC1D, AB-AD.∠B”∠D,C=CD. AD=AB=√E+T=13, 头证群：E是AC的中点江-多AC CECF.HEDF. N湾边形ABCD是夏形， :AD=AB.∠DAC= DH⊥AB,AO·BD-DH·AB, 在△ABE与△ADF中， YDB÷AC,iDB-EC ∠RC-∠DCA=∠A AB=AD∠B=∠D.E=DF AC⊥B 2×0-1DH,DH- 又：DB这C,用边形DCE是平行月边形 .△A☑△ADF,AE=AN ∠AB=0T,∴-△AD BC-DR 餐究二 是等边三角看，∠DAC= H--(得 (解：径自AD=BC 解：”四动形ACD晶黄形， ∠BC=∠DCA=∠BCA■30 3,1)证朝：连站AC士BD是菱形ACD的对角规 理由，”DBAE,冒边形DE是平四边形 品，BDAB8n ,BC=DE,AB=段C,B=DE,口AD8E是矩形 在R:△O沿中，∠OB0', 由的裂定理得： 0=B议了-1am) 0=√-一=4， ACm20m6cm). AC-4=(cm.HG-8-4(m): BE⊥AB,DFLC, ∠CDF=∠ABE- ,“.△CDPa△AAELA8A),“.AE=CP 【皮用】 AE-BE,.在R△ME中，A=AP+L, 《2)解，点F是线复BC的中点. 峰素养 理由如下：在菱用LBD中，ABC: 10解：I)EF交∠ACB的平分性干盛E,癸∠ACD的 鳞：廿四边廖ABD是菱形 (2=6+H6,Bg-2V5m), .ACL8D.OA-0C-IAC-4cm.08-0D-3 cm. AE=F=4m》, 廿∠AC=',品△AC是等边三角罪 平分规于点F, “∠BMC=', .∠OXK=∠HCE,∠OCF=∠CF,F, .AB-5 cm. HEF=AE+CF一AC+2,万Nenl AE-C,∠CEF=T', ∠OB℃-∠CE,∠OF℃=∠CP, 篷明：廿国造形ACD是菱整，AD一CD, ,∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OE. CB.DH, 点B,F分别为迪CD,AD的中点， “∠8-是∠CR-0 OE-OC.OF OC0E OF. ÷D-AC-4.m AD-8DF.CD-305..DE-DF 5∠BAF=∠月AC-∠EC=阳'： ∠O+∠CE+∠OF+∠DCF=I', ∠AF=∠EAC, 6 ,AF是△AC的角平分线 ADBC.ADBC. A时，CN令是∠MD卡∠CD的平◆线， 在△AHD与△ACE中， AF交C千F, DEBF.AECF. 品AF是△AC的C边上的中线 又AECF. +∠DCW-∠DcB.∠HM=∠HAD, (AB-AC. ∠AAD-∠CAB. :点F是提段仪C的中点 .苦边形AF是平行四应形 ∠BAM-∠DN.在△ABM和△CDN中， AD-AE. 依家养 双ACF, ∠B=∠0， .△ABD☑△ACEXSA5》 I4(1)使用：如图1，连情DB,D求. ,置边形AEF基菱尽 AB-CD. ()P∠BMDm∠CAE00°，ABAC■ADAE, ”国边形ACD.ADEF幕是菱形， 【盛用1 ∠DCN两∠BAN ∠AD=∠ADB=∠ACF=∠AFC=40, AB BCCD DADE EFFA. 证期DE及BC,CNAB, △AB4△CDN(ASA) :∠BAE=∠AD中∠DAE-14G- 在△AD与△FAD中， 出边后DCE是平行闲边影， ÷AM=CN,M=DN, ∠FE=360∠ME-∠ABD-∠AC=1, AR-AF. CDH,DC,且C=D YAD-BC..AN-CM. ∠BAE∠BFE,品四边形ABFE是平行网边形 ∠AD=∠FAD, 在R△AC中，CD为AB边上的中线 ,同这影ACN是年种同凌形 华AB一AE平行国边形ABFE是表形， AD-AD. AD-DB-CD. 领满∠BAD=120不真拉白平计■地形AN是菱 19.3正方形 ,△MDQ△FADISA5),.DB=DF, EC-AD. 形，址选L 自主质习 品D在风段BF的重直平分线上 品置边形ADCE是平行国边用 10解：甲的作痣正确 1.相等直角相等且互短承直 AB=AF,A在线HF的需直平分线上 TEDEC 甲的作法幻E所示 :AD是线段BF的通直平分线，ADLB眼 ∠AD=∠AC& 玉.(1D童思2叛形 ∠AcH-0- 【常线习】 ∴，∠AD=∠AB=9. 1.D2.45 ∴，ACED 探究控用 4 平行国边形ABCE是菱限 ,四边形AD是平行图边形，D成C 体基德 解：山)正方形是帕对称图形，有4条对释轴，对边中点侧 AECF,∠EAO=∠FCa 的直慢，对角规所在的直线都是其对臀轴， 1.A 义：F属直平分AC (2)解，如图2，设AD⊥BF于H,作DCLC于G,周 2.D解桥：①通通，①①由，①①.2①每能接口晚 (2)正方形是中心对移图形，对角线的交点是其对称 ∴AD=O,Af-C 国边形GDH是矩形。 形ACD无菱形，.能使雪边形AD是菱形的选清 又W∠ACE-∠0F,△A是@△COFCASA) 有4种。 (3)正方形的四条边阳等，四个角都量直角，形角线相等 DG-BH BF.BFBC.BC-CD AECF,因边形AFE为平行四边用 3C朝精：过点A作AE⊥C于 几互根香直平分， 义：AE=CE,.平行四边形AFCF为菱形 EAF LCD干F,围寿商条削零 【康用】 a-YCD.∠C-', 乙的作法正晚。 宽风相同， 乙的作法图所深 出BC0AD,∠ADC=18a”-∠C-150, 盟AB8CD.AD景C.AE AF. 2.菱形的判定 ·日透A风D走平行时速都 速明：壶结军，县正△ACB和△C8g能是等腰直角三 有主预习 ,Smm=C·AE=CD·AF, 角形 1,期等2相等 戈，AE=AF,,CCD,霄边形AD是菱形 AD/BC.∠FE=∠BEL D,F分别为C,BC的中点，，DELAC,EF⊥C 人互则垂直 +D解析：事BE平分∠AC时，国填利DBFE是菱 :AE平分∠BAD,∠FAE=∠BAE 又∠ACB,品四边形CDEF为矩形， 【登峰习】 制.理★：EC,∠DF=∠EC ∠HBA-∠AE,EA=HR 廿AC一BC,D,F分刚为AC:C的中直 I.C ,∠E=∠ED,,∠E0=/EB,∴，D=D店， 间理可得AB=AF,.AF-BE CD一下，国边形CDEF为E廖 工.有一闭军效相等岭平行四边形是菱形 DE8BC,EFAB,DBFE是平行W形 AF∥BE且AF=BE, 【应用】 探究南用 又：D一DE,回建梦D因F军是菱利、车◆送嘴对无 边形ABEF是平行四边形 证精：1)ABAC.AD是∠BMC的予分线 探究一 AB-AF. ADBC,目∠ADC=o, 复制：库边形ACD显早行图透形， 乐.菱形 早行四进形AB求是菱形。 :AD是∠C的平线，g是∠C的常非角的平线. 0M= 业等案为C ,∠DAC+∠CAE=90,∠DAE=95 长」解析：零填形ABCD.W地帮AMEV,四填根EFOG 夏，AC⊥BD 是菱刚，闭中的夏形养老个 11.解：国边形AECF是菱形.理由 2 CELAE.∠AEC=0, 六BD用在直线是段C的爱直平分线 7.证朝：APCD,G8AC, 在▣ACD中，DC8AB,QA=C, :国边屠ADE为矩形 AB-BC. (2)如图，造结D交AC于点0 国边形ACGF是平行国四边用，∠■∠, ∠DCA=∠CAB, 目也形AD是菱形（有一阻邻立相等的平行目也形 ,CE平分∠ACD,∠1=∠2，∠1“∠ 在△抗☑△OM中 是菱形》 AC=AP,.厘边形AF是菱形， ∠B3OG=∠FDM [应师】 OC-Ct. 证明：蓬结AC义D于点 ∠OE=∠AH 国边易ABCD是平行属边带： △a△OA4A当A),,E=UP, .OAOC.OB-00. 园边形A下是平打四边思， 又：BE=DF, EF⊥AC,国边形AEF是菱形， 国边串ADCE为矩形， OB+E=0+DF,每O第-O成， 话蒙来 .AC-DE.OF-0D.O-OC 二国边参A℃玉基平存图政港 练提能 12,证：(1)：△A似C能点A蓝莲时针方向能转0的°， ,0=0D..∠0=∠0C 又AF=FC, 系C解新：对角我相等的平行国地形是和形，不一文灵 得到△ADE, HAB=AG,∠B=∠ACL 国边形AFCE是菱形 菱形，故遥 ∠BAC=∠DME=40,AB=AD,AC=AE, W∠ME=∠COD=2∠B, 探究二 失，D解析：网雄每A仪D是平杆阳域移： ∠BAD=∠CLEu100, 2∠B+∠0D±∠0DC=18, 证解：：线边形ACD是平行图边形， ∠B=∠D,∠DAB=∠DB.AB=D,AD=BC 又AB=AC,AB=AC-AD=AE, 4∠B=1，则∠B=45, 60数学/第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 1.菱形的性质 图素养目标 探究应用 1.认识菱形的定义 探究一 萎形的性质 2.从边、角、对角线的角度理解菱形的性质 如图,在菱形ABCD中,AB三AD,对角线AC 3.会从对角线角度求菱形面积 与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD AD;(2)AC1BD. 自主预习 1.有一组邻边 的平行四边形是菱形 2.菱形的性质定理1:菱形的四条边都 菱形的性质定理2:菱形的对角线 【应用】 3.菱形的周长一边长× 如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC 4.菱形的面积一底×高一对角线相乘 和CD上,且CE一CF,连结AE,AF.求证: 【微练习】 AE-AF. 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 探究二 萎形的面积 D.对角线相等 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O.已 2.如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线. 知AB-5cm,OB=3cm,求菱形ABCD的两 若 BAC-50{*,则 ABC的度数为 ( ) 条对角线的长度以及它的面积 A.40” B.50* C.80。 D.100* 84 19.2菱形。 数学 【应用】 7.如图,在菱形ABCD中,DAB=60{*,BE1 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC一8cm. AB,DF CD,垂足分别为B,D,若AB= BD=6cm,DH |AB于点 H,求DH的长 6cm,则EF- cm. B 8.已知;如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为 边CD,AD的中点,连结AE,CF,求证; △ADE△CDF 周练基础 千里之行 始于足下 (知识点)萎形的性质 练提能 百尺竿头更进一步 1.下列性质中菱形不一定具有的性质是( _ 9.求证:菱形的两条对 A.对角线互相平分 角线互相垂直,已 B.对角线互相垂直 知:如图,四边形 C.对角线相等 ABCD是菱形,对 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 角线AC,BD交于点Q 2.菱形的两条对角线分别是12和16,则此菱形 求证:AC]BD 的边长是 _~ B.8 C.6 D.5 A.10 以下是排乱的证明过程; ①又:BO-DO 3.如图,在菱形ABCD中, ②.AO| BD,即AC BD AC-8,BD-6,则△ABC ) ③.四边形ABCD是菱形 的周长是 ( B.16 ④..AB-AD. A.14 B C 证明步骤正确的顺序是 ) C.18 D.20 A.③→②→①→④ B.③→④→①→② 4.已知菱形的周长为4/5,两条对角线的和为 C.①→②→④→③ D.①→④→③→② 6,则菱形的面积为 ( - 10.如图,在周长为12的菱 A.2 B.5 C.3 D.4 形ABCD中,AE=1. $.菱形ABCD中,对角线AC-6,BD=8,则菱 AF-2,若P为对角线 形的面积为 BD上一动点,则EP十 6.写出一条菱形具有而矩形不具有的性质; FP的最小值为 A.1 C.3 B.2 D.4 85 数学/第19章 矩形、菱形与正方形 11.如图,在菱形ABCD中, B=100{*,AB的 正练素养 垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足, 探究创新 发展素养 连结DF,则ADF等于 . ) 14.如图所示,已知四边形ABCD,ADEF都是 菱形,BAD= FAD,BAD为锐角 (1)求证:AD|BF; (2)若BF=BC,求/ADC的度数. A.25* B.300 C.35* D.40* 12.如图,四边形ABCD是菱形,AC-24,BD 10.DH |AB于点H,则线段BH的长为 13.已知;如图,在菱形ABCD中,F是BC上任 意一点,连结AF交对角线BD于点E,连结 EC. (1)求证:AE一EC: (2)当 ABC-60*,/CEF= 60*时,点F在线段BC上的 什么位置?说明理由。 86