专题05 成对数据的统计分析（四大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02线性回归方程 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·福建南安市蓝园高中·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（    ）    A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强 C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1 2．（23-24高二下·福建泉州市永春第一中学·期中）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ） A．< B．= C．> D．、关系不能确定 3．（23-24高二下·福建莆田第一中学·期中）下列命题正确的是（    ） A．对于事件A，B，若，且，，则 B．若随机变量，，则 C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 ( 题型02 ) 线性回归方程 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）下列说法中，正确的命题是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 5．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（    ） A．1 B．1.1 C．0.9 D．1.15 6．（23-24高二下·福建泉州市永春第一中学·期中）某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示： 数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A．变量与呈负相关 B．回归直线经过点 C． D．该产品价格为元时，日需求量大约为 7．（23-24高二下·福建莆田锦江中学·期中）已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（    ） A．60 B．70 C．100 D．110 ( 题型03 ) 求回归直线方程 8．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； (2)求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 9．（23-24高二下·福建南平市蒲城县·期中）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 10．（23-24高二下·福建漳州市长泰第二中学·期中）现有关于x与y的5组数据，如下表所示. x 1 2 3 4 5 y 30 26 28 23 18 (1)依据表中的统计数据判断y与x是否具有较高的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，请预测当时，y的值. 参考数据：.附：样本相关系数，，. ( 题型0 4 )独立性检验 11．（23-24高二下·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 12．（23-24高二下·福建南平·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 13．（23-24高二下·福建南平·期中）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． (1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 14．（23-24高二下·福建福州第十八中学·期中）人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 (1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望． (2)对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由． 附：参考公式：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 15．（23-24高二下·福建南安市蓝园高中·期中）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. 测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4 26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3 实验组：5.4  6.6  6.8  6.9  7.8  8.2  9.4  10.0  10.4  11.2 14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0 (1)求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表： 合计 对照组 实验组 合计 (2)根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 一、单选题 1．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、多选题 2．（23-24高二下·福建南平·期中）以下有关直线拟合效果的说法正确的是　　 A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B．越接近1，表明直线拟合效果越好 C．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心 D．最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的，的值 3．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）下列选项错误的有（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为6 B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差 C．决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化 D．经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点 三、填空题 4．（23-24高二下·福建漳州市长泰第二中学·期中）设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型 . 四、解答题 5．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 6．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. (2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．（23-24高二下·福建莆田市仙游县六校联盟·期中）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 8．（23-24高二下·福建南安市柳城中学·期中）某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. (1)求关于的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 9．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对本校学生体育锻炼的经常性有影响，在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人． (1)请根据提议完成下面的2×2列联表 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)根据（1）中的2×2列联表，依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关？ 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计分析 题型概览 题型01相关系数 题型02线性回归方程 题型03求回归直线方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（23-24高二下·福建南安市蓝园高中·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（    ）    A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强 C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1 【答案】C 【分析】利用线性相关的定义进行求解即可. 【详解】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确； 乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，所以B，D正确； 甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，所以C错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·福建泉州市永春第一中学·期中）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ） A．< B．= C．> D．、关系不能确定 【答案】A 【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案. 【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<， 故选：A. 3．（23-24高二下·福建莆田第一中学·期中）下列命题正确的是（    ） A．对于事件A，B，若，且，，则 B．若随机变量，，则 C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 【答案】AC 【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据残差图的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故，故A正确； 对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称， 故，， ，故B错误； 对于C，根据相关系数的性质，可得C正确； 对于D，根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D错误. 故选：AC. ( 题型02 ) 线性回归方程 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）下列说法中，正确的命题是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 【答案】AD 【分析】对选项A，两边取对数，可得，即可判断A正确，对选项B，根据相关系数的性质即可判断B错误，对选项C，根据的性质即可判断C错误，对选项D，根据回归直线方程过点，即可判断D正确. 【详解】对于A，，两边取对数，可得，则， ，，，故A正确， 对于B，若越大，则样本的线性相关性越强，故B错误； 对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C错误； 对于D，回归直线方程中，，故D正确； 故选：AD 5．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（    ） A．1 B．1.1 C．0.9 D．1.15 【答案】A 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：A 6．（23-24高二下·福建泉州市永春第一中学·期中）某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示： 数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A．变量与呈负相关 B．回归直线经过点 C． D．该产品价格为元时，日需求量大约为 【答案】ABC 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D. 【详解】，， ∴回归直线经过点，B正确， 将， 代入得，∴变量与呈负相关，A、C正确， 当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D错误， 故选:ABC． 7．（23-24高二下·福建莆田锦江中学·期中）已知变量与之间的一组数据如表： 2 4 5 6 8 30 50 70 若与的线性回归方程为，则的值为（    ） A．60 B．70 C．100 D．110 【答案】C 【分析】首先求出，根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再由平均数公式计算可得. 【详解】因为，又与的线性回归方程为， 所以，即，解得. 故选：C. ( 题型03 ) 求回归直线方程 8．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； (2)求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 【答案】(1). (2)，15.46百万辆 【分析】（1）利用相关系数 公式即可求解； （2）根据已知数据，利用公式先求出，进而求出，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， 所以. （2）由题意得， 所以 得关于的线性回归方程为 所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆. 9．（23-24高二下·福建南平市蒲城县·期中）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）令，则，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得关于的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程； （2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值． 【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 10．（23-24高二下·福建漳州市长泰第二中学·期中）现有关于x与y的5组数据，如下表所示. x 1 2 3 4 5 y 30 26 28 23 18 (1)依据表中的统计数据判断y与x是否具有较高的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，请预测当时，y的值. 参考数据：.附：样本相关系数，，. 【答案】(1)y与x具有较高的线性相关程度； (2)；14.2. 【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解； （2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解. 【详解】（1）由表中数据可得， ， 所以. 又， ， 所以，， 所以y与x具有较高的线性相关程度. （2）由（1）知，，，，， 所以， 则， 所以y关于x的线性回归方程为：， 当时，， 所以预测当时，y的值为14.2. ( 题型0 4 )独立性检验 11．（23-24高二下·福建漳州·期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 【答案】B 【分析】由卡方公式计算即可． 【详解】， 故选：B 12．（23-24高二下·福建南平·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】0.01 【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围. 【详解】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过. 故答案为：. 13．（23-24高二下·福建南平·期中）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． (1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 【答案】(1)可以认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联 (2)分布列见详解，， 【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可； （2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可 【详解】（1）依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 30 20 50 女 40 10 50 合计 70 30 100 零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为， 所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为， 由题意得，则， 可得， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为， 的方差为. 14．（23-24高二下·福建福州第十八中学·期中）人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据： 外向型 内向型 男性 45 15 女性 20 10 (1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望． (2)对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由． 附：参考公式：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)结论不一致，理由见解析 【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布的定义和数学期望公式进行求解即可. （2）根据所给的公式进行运算求解即可. 【详解】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为， 故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是． 法一：的所有可能取值为0，1，2，3． 则， ， 所以． 法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为； 从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为， 则， 所以， 所以． （2）零假设为：这两种性格特征与人的性别无关联． 由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知 依据的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致， 原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化． 15．（23-24高二下·福建南安市蓝园高中·期中）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. 测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4 26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3 实验组：5.4  6.6  6.8  6.9  7.8  8.2  9.4  10.0  10.4  11.2 14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0 (1)求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表： 合计 对照组 实验组 合计 (2)根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)中位数，二联表见解析； (2)有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 【分析】（1）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可； （2）利用卡方公式及对照表计算即可. 【详解】（1）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为， 填二联表如下： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （2）由上表及卡方公式可知: ， 所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】首先由表示出样本中心点，再代入经验回归方程，计算可得. 【详解】由题可得， ， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 故选：B． 二、多选题 2．（23-24高二下·福建南平·期中）以下有关直线拟合效果的说法正确的是　　 A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B．越接近1，表明直线拟合效果越好 C．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心 D．最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的，的值 【答案】BCD 【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断． 【详解】对于A：相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，故A错误； 对于B：越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，故B正确． 对于C：线性回归直线一定经过样本的中心，故C正确； 对于D：最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小的的值，故D正确； 故选：BCD． 3．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）下列选项错误的有（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为6 B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差 C．决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化 D．经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点 【答案】AB 【分析】根据样本数据的方差公式，残差图，以及决定系数的定义，以及回归方程的相关知识点，判断选项. 【详解】A.由条件可知，数据的方差为，故A错误； B.由残差图的描述可知，宽度越窄表示回归效果越好，故B错误； C.决定系数反映了因变量的变异中可以被自变量解释的比例，故C正确. D. 经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点，故D正确. 故选：AB 三、填空题 4．（23-24高二下·福建漳州市长泰第二中学·期中）设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型 . 【答案】B 【分析】根据相关系数的绝对值越接近于，则回归模型的拟合效果越好，可得答案. 【详解】因为相关系数的绝对值越接近于，则回归模型的拟合效果越好， 又因为，所以拟合效果最好的是模型B. 故答案为：B. 四、解答题 5．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)适宜作为与之间的回归方程模型， (2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 6．（23-24高二下·福建三明市第一中学·期中）某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. (2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)与性别有关联，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较得到结论； （2）先得到选取乒乓球组和羽毛球组的人数，得到的可能取值为和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）， 故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联； （2）女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为， 故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人， 故的可能取值为， ，，， 故的分布列为 0 1 2 数学期望为. 7．（23-24高二下·福建莆田市仙游县六校联盟·期中）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 (2)， (3)分布列见解析；期望为 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 8．（23-24高二下·福建南安市柳城中学·期中）某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. (1)求关于的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解； （2）将代入回归方程即可得解； （3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）， 则， 所以， 所以； （2）当时，， 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次； （3）可取， ，， ，， ， 所以分布列为 所以. 9．（23-24高二下·福建漳州市平和县龙华中学·期中）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对本校学生体育锻炼的经常性有影响，在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人． (1)请根据提议完成下面的2×2列联表 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)根据（1）中的2×2列联表，依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关？ 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意进行数据分析，完成2×2列联表； （2）套公式计算，对照参数下结论. 【详解】（1）由题意进行数据分析可得： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 （2）由题意可知：. 所以我们认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$