6.2.2 第1课时函数的导数与极值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ６． ２． ２　 导数与函数的极值、最值 第１课时　 函数的导数与极值 !"#$%&'( 课程目标 １．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．（数学抽象） ２．会求函数的极值．（数学运算） 学法指导 １．极值的概念可以通过图像来直观感知，明确极值点附近导数的符号特征，通过导函数方程的解 进一步了解极值与单调区间的关系． ２．通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图像的关系． )*+,%-.+ 函数的导数与极值 　 　 １．极值点与极值 一般地，设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域为Ｄ，设ｘ０ ∈Ｄ，如果对于ｘ０附近的任意不同于ｘ０的ｘ，都有 （１）　 ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ０），则称ｘ０为函数ｆ（ｘ）的一 个　 极大值点，且ｆ（ｘ）在ｘ０处取极大值； （２）　 ｆ（ｘ）＞ ｆ（ｘ０），则称ｘ０为函数ｆ（ｘ）的一 个　 极小值点，且ｆ（ｘ）在ｘ０处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值 与极小值都称为　 极值．显然，极大值点在其附近 函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． ２．极值点的求法 一般地，如果ｘ０是ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极值点，且ｆ（ｘ） 在ｘ０处可导，则必有　 ｆ′（ｘ０）＝０． 知识解读：１．理解极值概念的注意点 （１）函数的极值是一个局部性的概念，是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的． （２）极值点是函数定义域上的自变量的值， 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． （３）若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有极值，那么ｆ（ｘ）在 ［ａ，ｂ］上绝不是单调函数，即在定义区间上单调的 函数没有极值． （４）极大值与极小值没有必然的大小关系． 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极 大值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一 定比极小值大． （５）若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有极值且函数图 像连续，则它的极值点的分布是有规律的（如图所 示），相邻两个极大值点之间必有一个极小值点， 同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． ２．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充 分条件 （１）必要条件：可导函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处 取得极值的必要条件是ｆ ′（ｘ０）＝０． （２）充分条件：可导函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处取 得极值的充分条件是ｆ ′（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０附近两侧异号． 函数极值的求解步骤 　 　 一般地，求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极值的步骤是： （１）求出函数的定义域及导数ｆ ′（ｘ）； （２）解方程ｆ ′（ｘ）＝ ０，得方程的根ｘ０（可能不 止一个                                       ）； !'% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （３）用方程ｆ ′（ｘ）＝ ０的根，顺次将函数的定 义域分成若干个开区间，可将ｘ，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）在每 个区间内的变化情况列在同一个表格中； （４）由ｆ ′（ｘ）在各个开区间内的符号，判断 ｆ（ｘ）在ｆ ′（ｘ）＝０的各个根处的极值情况： ①如果在ｘ０ 附近的左侧ｆ ′（ｘ）＞ ０，右侧 ｆ ′（ｘ）＜０，那么ｆ（ｘ０）是　 极大值； ②如果在ｘ０ 附近的左侧ｆ ′（ｘ）＜ ０，右侧 ｆ ′（ｘ）＞０，那么ｆ（ｘ０）是　 极小值． 知识解读：制成的表格及相关结论如下： ｘ ｘ ＜ ｘ０ ｘ０ ｘ ＞ ｘ０ ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ｆ（ｘ） 单调递增 极大值ｆ（ｘ０）单调递减 ｘ ｘ ＜ ｘ０ ｘ０ ｘ ＞ ｘ０ ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ ｆ（ｘ） 单调递减 极小值ｆ（ｘ０）单调递增 　 　 由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于 初学者是首选，后期对求导比较熟练时也可以省 去列表格                       ． /012%345 题型探究 题型一 极值点的概念与判断 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（多选题）下列说法正确的是 （Ｃ ） Ａ．若ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０），则称ｆ（ｘ０）为ｆ（ｘ）的极小 值，若ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０），则称ｆ（ｘ０）为ｆ（ｘ）的极大值 Ｂ．若ｆ（ｘ０）为ｆ（ｘ）的极大值，ｆ（ａ）是函数的 最大值，则ｆ（ｘ０）＝ ｆ（ａ） Ｃ．可导函数极值点的导数值为０，但导数值 为０的点可能不是函数的极值点 Ｄ．极值点一定出现在定义区间的内部 Ｅ．若ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内有极值，则ｆ（ｘ）在 （ａ，ｂ）内一定不是单调函数 （２）已知函数ｙ ＝ ｘ ｆ ′（ｘ）的图像如图所示， （其中ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数），给出以下 说法： ①函数ｆ（ｘ）在区间（１，＋ ∞）上是增函数； ②函数ｆ（ｘ）在区间（－１，１）上单调递增； ③函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － １２处取得极大值； ④函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝１处取得极小值． 其中正确的说法是　 ①④． 　 　 ［规律方法］　 有关给出图像研究函数性质 的题目，要分清给的是ｆ（ｘ）的图像还是ｆ ′（ｘ）的图 像，若给的是ｆ（ｘ）的图像，应先找出ｆ（ｘ）的单调区 间及极（最）值点，如果给的是ｆ ′（ｘ）的图像，应先 找出ｆ ′（ｘ）的正负区间及由正变负还是由负变正， 然后结合题目特点分析求解． 对点训练? （１）下列说法正确的是 （Ｄ ） Ａ．若ｆ ′（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极值 Ｂ．若ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极值，则ｆ（ｘ）在ｘ０ 处有导数 Ｃ．函数ｆ（ｘ）至多有一个极大值和一个极 小值 Ｄ．定义在Ｒ上的可导函数ｆ（ｘ），若方程 ｆ ′（０）＝０无实数解，则ｆ（ｘ）无极值 （２）（２０２３·北京八中高二检测）如图所示是 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图像，给出下列 结论： ① －２是函数ｆ（ｘ）的极值点； ②１是函数ｆ（ｘ）的极值点； ③ｆ（ｘ）在ｘ ＝０处切线的斜率小于零； ④ｆ（ｘ）在区间（－２，２）上单调递增． 其中正确结论的序号是　 ①④．（写出所有正 确命题的序号                                            ） !'& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型二 利用导数求函数的极值 ２．求函数ｙ ＝３ｘ３ － ｘ ＋１的极值． ［分析］　 首先对函数求导，然后求方程ｙ′ ＝０ 的根，再检查ｙ′在方程根左、右两侧的值的符号． 如果左正右负，那么ｙ在这个根处取得极大值；如 果左负右正，那么ｙ在这个根处取得极小值． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 利用导数求函数极值的步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求导数ｆ ′（ｘ）． （３）解方程ｆ ′（ｘ）＝０得方程的根． （４）利用方程ｆ ′（ｘ）＝０的根将定义域分成若干 个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的 符号． （５）确定函数的极值，如果ｆ ′（ｘ）的符号在ｘ０处 由正（负）变负（正），则ｆ（ｘ）在ｘ０ 处取得极大 （小）值． 对点训练?求下列函数的极值． （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ －１２ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ ｘ２ｅ － ｘ ． 题型三 区间极值求参 ３．（１）若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ６ｂｘ ＋３ｂ在（０，１）内有 极小值，则实数ｂ的取值范围是　 　 　 　 　 ． （２）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ｍｘ２ ＋ ｘ ＋１在Ｒ上无极值 点，则ｍ的取值范围是　 　 　 　 　 ． ［规律方法］　 解决与极值相关的参数范围问题 的关键是根据极值条件列出不等式（组）． 对点训练? （１）设ａ∈Ｒ，若函数ｙ ＝ｘ ＋ａｌｎ ｘ 在区间１ｅ，( )ｅ 上有极值点，则ａ的取值范围为 （Ｂ ） Ａ． １ｅ，( )ｅ Ｂ． － ｅ，－ １( )ｅ Ｃ． － ∞，１( )ｅ ∪（ｅ，＋ ∞） Ｄ．（－ ∞，－ ｅ）∪ － １ｅ，＋( )∞ （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋（ａ ＋ ６）ｘ ＋ １ 有极大值和极小值，则实数ａ的取值范围是　 （－ ∞，－３）∪（６，＋ ∞）． 题型四 与极值相关的综合问题 ４．已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ５ － ｂｘ３ ＋ ｃ在ｘ ＝ ± １处的极 大值为４，极小值为０，试确定ａ，ｂ，ｃ的值． ［分析］　 本题的关键是理解“ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ± １ 处的极大值为４，极小值为０”的含义．即ｘ ＝ ± １ 是方程ｆ ′（ｘ）＝ ０的两个根且在根ｘ ＝ ± １处 ｆ ′（ｘ）取值左、右异号． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 已知函数极值，确定函数解析 式中的参数时，注意以下两点： （１）根据极值点的导数为０和极值这两个条 件列方程组，利用待定系数法求解                                                                        ． !'' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （２）因为导数值等于零不是此点为极值点的 充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证 充分性． 对点训练? 已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ａ ｅｘ （ａ∈ Ｒ，ａ≠０）． （１）当ａ ＝ －１时，求函数ｆ（ｘ）的极值； （２）若函数Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）＋ １没有零点，求实 数ａ的取值范围． 易错警示 　 　 忽视极值存在的条件致误 ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ６ｍｘ２ ＋ ４ｎｘ ＋ ８ｍ２在ｘ ＝ －２处取得极值，且极值为０，求ｍ ＋４ｎ的值． ［误区警示］　 可导函数的极值点一定是导 数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点 的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号． 　 　 ［正解       ］ 　 　 ［点评］　 由于“ｆ ′（ｘ０）＝ ０”是“ｆ（ｘ０）为极 值”的必要不充分条件，因此由ｆ ′（ｘ０）＝ ０求得 ｍ，ｎ的值后，要验证在ｘ ＝ ｘ０ 左、右两侧导数值的 符号是否相反，才能确定是否真正在点ｘ０ 处取得 极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解                             ． 6789%:;< １．（２０２４·武汉高二检测）函数ｆ（ｘ）的定义域为 开区间（ａ，ｂ），其导函数ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）内的图 像如图所示，则函数ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内极小 值点的个数为 （Ａ ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．下列四个函数：①ｙ ＝ ｘ３；②ｙ ＝ ｘ２ ＋ １；③ｙ ＝ ｜ ｘ ｜； ④ｙ ＝２ ｘ ．在ｘ ＝０处取得极小值的函数是 （Ｂ ） Ａ．①②　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①③ ３． （２０２３·银川三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ａｌｎ ｘ在ｘ ＝ π６处取得极值，则ａ ＝ （Ｃ ） Ａ． １４ Ｂ． π ４ Ｃ． π１２ Ｄ． － π １２ ４．如图是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图 像，对此图像，有如下结论： ①在区间（－２，１）内ｆ（ｘ）是增函数； ②在区间（１，３）内ｆ（ｘ）是减函数； ③ｘ ＝２时，ｆ（ｘ）取到极大值； ④在ｘ ＝３时，ｆ（ｘ）取到极小值． 其中正确的是　 　 　 　 （将你认为正确的序号 填在横线上）． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ － ｌｎ ｘ － １，设ｘ ＝ ２是ｆ（ｘ） 的极值点，求ａ，并求ｆ（ｘ）的单调区间． 请同学们认真完成练案［１８                                     ］ !'( ｌｎ（－ ａ））上单调递减． 综上，当ａ≥０时，ｆ（ｘ）的单调递增区间是（－ ∞，＋ ∞），无 单调递减区间； 当ａ ＜ ０时，ｆ（ｘ）的单调递增区间是［ｌｎ（－ ａ），＋ ∞），单调 递减区间是（－ ∞，ｌｎ（－ ａ）］． 　 　 对点训练２：（１）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ， ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３，令ｆ ′（ｘ）＞ ０，则３ｘ２ － ３ ＞ ０． 即３（ｘ ＋ １）（ｘ － １）＞ ０，解得ｘ ＞ １或ｘ ＜ － １． ∴函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－∞，－１）和（１，＋∞）， 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，则３（ｘ ＋ １）（ｘ － １）＜ ０，解得－ １ ＜ ｘ ＜ １． ∴函数ｆ（ｘ）的单调递减区间为（－ １，１）． （２）函数ｆ（ｘ）的定义域为（－ ∞，０）∪（０，＋ ∞）， ｆ ′（ｘ）＝ ｘ ＋( )ｂｘ ′ ＝ １ － ｂｘ２， 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，则１ ｘ２ （ｘ ＋槡ｂ）（ｘ －槡ｂ）＞ ０， ∴ ｘ ＞槡ｂ，或ｘ ＜ －槡ｂ． ∴函数的单调递增区间为（－ ∞，－槡ｂ）和（槡ｂ，＋ ∞）． 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，则１ ｘ２ （ｘ ＋槡ｂ）（ｘ －槡ｂ）＜ ０， ∴ －槡ｂ ＜ ｘ ＜槡ｂ，且ｘ≠０． ∴函数的单调递减区间为（－槡ｂ，０）和（０，槡ｂ）． 　 　 例３：由已知，得ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ． 因为ｆ（ｘ）在（－ ∞，＋ ∞）上是增函数， 所以ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ≥０在（－ ∞，＋ ∞）上恒成立， 即ａ≤３ｘ２对ｘ∈Ｒ恒成立， 因为３ｘ２≥０，所以只需ａ≤０． 又因为ａ ＝ ０时，ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２≥０，ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １在Ｒ上是增 函数，所以ａ≤０． 　 　 对点训练３：（１）ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ． ①当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）≥０， ∴ ｆ（ｘ）在（－ ∞，＋ ∞）上为增函数．此时不满足题意． ②当ａ ＞ ０时，令３ｘ２ － ａ ＝ ０，得ｘ ＝ ± ３槡ａ３ ， 当－ ３槡ａ３ ＜ ｘ ＜ ３槡ａ ３ 时，ｆ′（ｘ）＜ ０． ∴ ｆ（ｘ）在－ ３槡ａ３ ， ３槡ａ( )３ 上为减函数， ∴ ｆ（ｘ）的单调递减区间为－ ３槡ａ３ ， ３槡ａ[ ]３ ， ∴ ３槡ａ３ ＝ １，即ａ ＝ ３． （２）由题意，可知ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ≤０在（－ １，１）上恒成立， ∴ ｆ′（－ １）≤０， ｆ′（１）≤０{ ， 即３ － ａ≤０，３ － ａ≤０{ ，∴ ａ≥３． 即ａ的取值范围是［３，＋ ∞）． （３）∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ － １，∴ ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ． 由ｆ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ ± ３槡ａ３ （ａ≥０）， ∵ ｆ（ｘ）在区间（－ １，１）上不单调， ∴ ０ ＜ ３槡ａ３ ＜ １，即０ ＜ ａ ＜ ３． 故ａ的取值范围为（０，３）． 　 　 例４：由已知得ｘ ＞ ０，则函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞）． ∵ ｆ ′（ｘ）＝ ａ ＋ ａ ｘ２ － ２ｘ ，∴由ｆ ′（２）＝ ａ ＋ ａ ４ － １ ＝ ０，得ａ ＝ ４ ５ ．即ｆ ′（ｘ）＝ ４ ５ ＋ ４ ５ｘ２ － ２ｘ ＝ ２ ５ｘ２ （２ｘ２ － ５ｘ ＋ ２）． 令ｆ ′（ｘ）＞０，得０ ＜ ｘ ＜ １２或ｘ ＞２，令ｆ ′（ｘ）＜０，得 １ ２ ＜ ｘ ＜２， 故函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为０，( )１２ ，（２，＋ ∞），单调递 减区间为１２ ，( )２ ． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 ∵ ｆ（ｘ）＝（ｘ － ３）ｅｘ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ ＋（ｘ － ３）ｅｘ ＝（ｘ － ２）ｅｘ， 由ｆ ′（ｘ）＞ ０得ｘ ＞ ２，∴选Ｄ． ２． Ｄ　 根据导函数图像，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的递增区间为（－ ３，－ １），（０， １），递减区间为（－ １，０），（１，３），观察选项可得Ｄ符合，故 选Ｄ． ３． Ｃ　 对函数ｆ（ｘ）求导可得，ｆ′（ｘ）＝ ａｅｘ － １ｘ ， 依题意，ａｅｘ － １ｘ ≥０在（１，２）上恒成立， 即ａ≥ １ ｘｅｘ 在（１，２）上恒成立， 设ｇ（ｘ）＝ １ ｘｅｘ ，ｘ∈（１，２），则ｇ′（ｘ）＝ －（ｅ ｘ ＋ ｘｅｘ） （ｘｅｘ）２ ＝ － ｅ ｘ（ｘ ＋ １） （ｘｅｘ）２ ， 易知当ｘ∈（１，２）时，ｇ′（ｘ）＜ ０， 则函数ｇ（ｘ）在（１，２）上单调递减， 则ａ≥ｇ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｇ（１）＝ １ｅ ＝ ｅ －１ ． 故选Ｃ． ４． Ｃ　 函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ２ － ｌｎ ｘ的定义域为（０，＋ ∞），ｆ ′（ｘ）＝ ｘ － １ ｘ ，令ｆ ′（ｘ）＜０，即ｘ － １ ｘ ＜０，解得０ ＜ ｘ ＜１，故选Ｃ． ５．函数的定义域为（０，＋ ∞），且ｆ′（ｘ）＝ ２ｘ － ａ． （１）当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）＞０恒成立，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增； （２）当ａ ＞ ０时，由ｆ′（ｘ）＝ ２ｘ － ａ ＞ ０，解得０ ＜ ｘ ＜ ２ ａ ； 由ｆ′（ｘ）＜ ０，解得ｘ ＞ ２ａ ． 所以ｆ（ｘ）在０，２( )ａ 上单调递增，在２ａ ，＋( )∞ 上单调递减． 综上，当ａ≤０时，ｆ（ｘ）的单调递增区间是（０，＋ ∞），无单调递 减区间； 当ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ）的单调递增区间是０，２( )ａ ，单调递减区间 是２ａ ，＋( )∞ ． ６． ２． ２　 导数与函数的极值、最值 第１课时　 函数的导数与极值 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 １． ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ０）　 极大值点　 ｆ（ｘ）＞ ｆ（ｘ０）　 极 小值点　 极值　 ２． ｆ′（ｘ０）＝ ０ 　 　 知识点２　 极大值　 极小值　 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）ＣＤＥ　 对于Ａ，反例：设ｆ（ｘ）＝槡ｘ，ｆ（ｘ）≥ｆ（０）＝ ０                                                                      ， —１４７— 因为０是区间［０，＋ ∞）的端点，所以ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极小值； 设ｆ（ｘ）＝ －槡ｘ，ｆ（ｘ）≤ｆ（０）＝ ０，同理ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极大值，所 以Ａ不正确． 　 　 对于Ｂ，由极值的定义知极大值不一定等于最大值，甚至有 可能小于极小值，根据最大值的定义应该有ｆ（ｘ０）≤ｆ（ａ），所以Ｂ 不正确． 　 　 对于Ｃ，正确． 　 　 对于Ｄ，函数的极值是某个点的函数值，与它附近的函数值相 比较是最大的或是最小的，端点不是函数极值点，Ｄ正确． 　 　 对于Ｅ，在区间上单调的函数没有极值，Ｅ正确． （２）①④　 说法①，由图像知，当ｘ∈（１，＋ ∞）时，ｘｆ ′（ｘ）＞ ０，故ｆ ′（ｘ）＞ ０，∴ ｆ（ｘ）在区间（１，＋ ∞）上单调递增，①正确．说 法②，当ｘ∈（－ １，０）时ｘ ｆ ′（ｘ）＞ ０，故ｆ ′（ｘ）＜ ０；当ｘ∈（０，１） 时，ｘ ｆ ′（ｘ）＜ ０，故ｆ ′（ｘ）＜ ０，故ｆ（ｘ）在（－ １，０），（０，１）上是减 函数，②不正确．说法③，由②知ｆ（ｘ）在（－ １，０）上单调递减， ∴ ｘ ＝ － １２不是极值点，③不正确．说法④，由①②知④是正确 的．故填①④． 　 　 对点训练１：（１）Ｄ　 若ｆ′（ｘ０）＝ ０，则ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极 值，不正确，反例ｙ ＝ ｘ３ 中，ｆ ′（０）＝ ０，但是ｘ ＝ ０不是函数的极 值点，故Ａ不正确；对于Ｂ，例如ｆ（０）＝ ０是ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ ｜的极小 值，但ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ ｜在ｘ ＝ ０处不可导，所以错误；对于Ｃ，函数ｆ（ｘ） 可有多个极大值和极小值，所以错误．对于Ｄ，根据可导函数判 断是否存在极值的条件，可得若方程ｆ ′（ｘ）＝ ０无实数解，则定 义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）无极值，所以正确． （２）①④　 对于①，当ｘ∈（－ ∞，－ ２）时，ｆ ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单 调递减，当ｘ∈（－ ２，１）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单调递增，－ ２是函数 的极小值点，①正确；对于②，当ｘ∈（－ ２，１）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ） 单调递增，当ｘ∈（１，＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单调递增，故１不 是函数ｆ（ｘ）的极值点，②错误；对于③，由题中图像可知ｆ ′（０） ＞ ０，所以ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ０处切线的斜率大于零，③错误；对于 ④，由题中图像可知当ｘ∈（－ ２，２）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，函数单调递 增，④正确，故正确的序号是①④． 　 　 例２：ｙ′ ＝ ９ｘ２ － １，令ｙ′ ＝ ０，解得ｘ１ ＝ １３ ，ｘ２ ＝ － １ ３ ． 当ｘ变化时，ｙ′和ｙ的变化情况如下表： ｘ － ∞，－( )１３ － １３ － １３ ，( )１３ １３ １３ ，＋( )∞ ｙ′ ＋ ０ － ０ ＋ ｙ 单调递增 极大值 １１ ９ 单调递减极小值７９ 单调递增 　 　 因此，当ｘ ＝ － １３时，ｙ有极大值，并且ｙ极大值＝ １１ ９ ． 而当ｘ ＝ １３时，ｙ有极小值，并且ｙ极小值＝ ７ ９ ． 　 　 对点训练２：（１）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ． ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － １２ ＝ ３（ｘ ＋ ２）（ｘ － ２）． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ － ２或ｘ ＝ ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）变化情况如下表： ｘ （－ ∞，－ ２） － ２ （－ ２，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值 ｆ（－ ２） ＝ １６  极小值 ｆ（２）＝ － １６  　 　 从表中可以看出，当ｘ ＝ － ２时，函数有极大值１６． 当ｘ ＝ ２时，函数有极小值－ １６． （２）函数的定义域为Ｒ． ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘｅ － ｘ － ｘ２·ｅ － ｘ ＝ ｘ（２ － ｘ）ｅ － ｘ ． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ ０或ｘ ＝ ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）变化情况如下表： ｘ （－ ∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ ０ － ｆ（ｘ）  极小值０  极大值４ｅ －２  　 　 由上表可以看出，当ｘ ＝ ０时，函数有极小值，且ｆ（０）＝ ０；当 ｘ ＝ ２时，函数有极大值，且ｆ（２）＝ ４ ｅ２ ． 　 　 例３：（１） ０，( )１２ 　 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｂ． 当ｂ≤０时，ｆ ′（ｘ）≥０恒成立，函数ｆ（ｘ）无极值． 当ｂ ＞ ０时，令３ｘ２ － ６ｂ ＝ ０得ｘ ＝ ± ２槡ｂ． 由函数ｆ（ｘ）在（０，１）内有极小值， 可得０ ＜ ２槡ｂ ＜ １，解得０ ＜ ｂ ＜ １２ ． （２）［ 槡－ ３，槡３］　 因为ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２ｍｘ ＋ １，ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ｍｘ２ ＋ ｘ ＋ １在Ｒ上无极值点， 所以ｆ ′（ｘ）≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，所以Δ ＝（２ｍ）２ － ４ × ３ × １≤０ 槡－ ３≤ｍ≤槡３． 　 　 对点训练３：（１）Ｂ 　 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ａｌｎ ｘ在区间 １ ｅ ，( )ｅ 上有极值点ｙ′ ＝０在区间１ｅ ，( )ｅ 上有零点． ｆ ′（ｘ）＝１ ＋ ａ ｘ ＝ ｘ ＋ ａ ｘ （ｘ ＞０）．所以ｆ ′ １( )ｅ ·ｆ ′（ｅ）＜ ０，所以１ｅ ＋( )ａ （ｅ ＋ ａ） ＜０，解得－ ｅ ＜ ａ ＜ － １ｅ ． 所以ａ的取值范围为－ ｅ，－ １( )ｅ ． （２）（－ ∞，－ ３）∪（６，＋ ∞）　 由题意知ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ａ ＋ ６ ＝ ０有两个不等实根，所以Δ ＝ ４ａ２ － １２（ａ ＋ ６）＞ ０，解 得ａ ＜ － ３或ａ ＞ ６． 　 　 例４：ｆ ′（ｘ）＝ ５ａｘ４ － ３ｂｘ２ ＝ ｘ２（５ａｘ２ － ３ｂ）． 由题意，ｆ ′（ｘ）＝ ０应有根ｘ ＝ ± １，故５ａ ＝ ３ｂ， 于是ｆ ′（ｘ）＝ ５ａｘ２（ｘ２ － １） （１）当ａ ＞ ０时，ｘ变化时，ｙ、ｙ′的变化情况如下表： ｘ （－ ∞，－ １） － １ （－ １，０） ０ （０，１） １ （１，＋ ∞） ｙ′ ＋ ０ － ０ － ０ ＋ ｙ  极大值  无极值 极小值  　 　 由表可知：４ ＝ ｆ（－ １）＝ － ａ ＋ ｂ ＋ ｃ， ０ ＝ ｆ（１）＝ ａ － ｂ ＋{ ｃ． 又５ａ ＝ ３ｂ，解之得：ａ ＝ ３，ｂ ＝ ５，ｃ ＝ ２． （２）当ａ ＜ ０时，同理可得ａ ＝ － ３，ｂ ＝ － ５，ｃ ＝ ２． 综上，ａ ＝ ３，ｂ ＝ ５，ｃ ＝ ２或ａ ＝ － ３，ｂ ＝ － ５，ｃ ＝ ２． 　 　 对点训练４：（１）当ａ ＝ － １时，ｆ（ｘ）＝ － ｘ ＋ １ ｅｘ ，ｆ ′（ｘ） ＝ ｘ － ２ ｅｘ ． 由ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ ２．当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况 如下表                                                                      ： —１４８— ｘ （－ ∞，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极小值  　 　 所以函数ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（２）＝ － １ ｅ２ ， 函数ｆ（ｘ）无极大值． （２）Ｆ′（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ）＝ ａｅ ｘ －（ａｘ － ａ）ｅｘ ｅ２ｘ ＝ － ａ（ｘ － ２） ｅｘ ． ①当ａ ＜ ０时，Ｆ（ｘ），ｆ ′（ｘ）的变化情况如下表： ｘ （－ ∞，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ Ｆ（ｘ）  极小值  　 　 若使函数Ｆ（ｘ）没有零点，当且仅当Ｆ（２）＝ ａ ｅ２ ＋ １ ＞ ０， 解得ａ ＞ － ｅ２，所以此时－ ｅ２ ＜ ａ ＜ ０； ②当ａ ＞ ０时，Ｆ（ｘ），ｆ ′（ｘ）的变化情况如下表： ｘ （－ ∞，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － Ｆ（ｘ）  极大值  　 　 当ｘ ＞ ２时，Ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － １） ｅｘ ＋ １ ＞ １， 当ｘ ＜ ２时，令Ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － １） ｅｘ ＋ １ ＜ ０， 即ａ（ｘ － １）＋ ｅｘ ＜ ０， 由于ａ（ｘ － １）＋ ｅｘ ＜ ａ（ｘ － １）＋ ｅ２， 令ａ（ｘ － １）＋ ｅ２≤０，得ｘ≤１ － ｅ ２ ａ ， 即ｘ≤１ － ｅ ２ ａ时，Ｆ（ｘ）＜ ０，所以Ｆ（ｘ）总存在零点． 综上所述，所求实数ａ的取值范围是（－ ｅ２，０）． 　 　 例５：ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｍｘ ＋ ４ｎ， 依题意有ｆ ′（－ ２）＝ ０， ｆ（－ ２）＝ ０{ ， 即１２ － ２４ｍ ＋ ４ｎ ＝ ０， － ８ ＋ ２４ｍ － ８ｎ ＋ ８ｍ２ ＝ ０{ ， 解得ｍ ＝ １， ｎ{ ＝ ３ 或ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９{ ． 当ｍ ＝ １，ｎ ＝ ３时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｘ ＋ １２ ＝ ３（ｘ ＋ ２）２≥０， 所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，无极值，不符合题意； 当ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２４ｘ ＋ ３６ ＝ ３（ｘ ＋ ２）（ｘ ＋ ６），当－ ６ ＜ ｘ ＜ － ２时ｆ ′（ｘ）＜ ０，当ｘ ＞ － ２时ｆ ′（ｘ）＞ ０， 故ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２处取得极值，符合题意． 综上所述，ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９，所以ｍ ＋ ４ｎ ＝ ３８． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由图像可知，满足ｆ ′（ｘ）＝ ０且导函数函数值左负右正的 只有一个，故ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极小值点只有一个． ２． Ｂ　 ①ｙ ＝ ｘ３在Ｒ上单调递增，无极值； ②ｙ ＝ ｘ２ ＋ １在（－ ∞，０）上单调递减，在（０，＋ ∞）上单调递 增，故②正确； ③ｙ ＝ ｜ ｘ ｜在（－ ∞，０）上单调递减，在（０，＋ ∞）上单调递增， 故③正确； ④ｙ ＝ ２ｘ在Ｒ上单调递增，故④不正确． ∴选Ｂ． ３． Ｃ　 ∵ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ａｌｎ ｘ，∴ ｆ ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ａｘ ， ∵ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ π６处取得极值，∴ ｆ ′（ π ６ ）＝ － １ ２ ＋ ａ π ６ ＝ ０， 解得：ａ ＝ π１２，经检验符合题意，故选Ｃ． ４．③　 由ｆ ′（ｘ）的图像可见在－ ∞，－( )３２ 和（２，４）上ｆ ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单调减，在－ ３２ ，( )２ 和（４，＋ ∞）上ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单 调增，∴只有③正确． ５． ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞），ｆ ′（ｘ）＝ ａｅｘ － １ｘ ． 由题设知，ｆ ′（２）＝ ０，所以ａ ＝ １ ２ｅ２ ． 从而ｆ（ｘ）＝ １ ２ｅ２ ｅｘ － ｌｎ ｘ － １，ｆ ′（ｘ）＝ １ ２ｅ２ ｅｘ － １ｘ ． 当０ ＜ ｘ ＜ ２时，ｆ ′（ｘ）＜ ０；当ｘ ＞ ２时，ｆ ′（ｘ）＞ ０． 所以ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，２），单调递减区间为 （２，＋ ∞）． 第２课时　 函数最值的求法 必备知识·探新知 　 　 知识点　 １．某个极值点　 区间端点ａ或ｂ　 极值点　 ２．极 值　 最大的一个　 最小的一个 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 ｙ′ ＝ ３ｘ２ ＋ ２ｘ － １ ＝（３ｘ － １）（ｘ ＋ １），令ｙ′ ＝ ０解 得ｘ ＝ １３或ｘ ＝ － １． 当ｘ ＝ － ２时，ｙ ＝ － １；当ｘ ＝ － １时，ｙ ＝ ２； 当ｘ ＝ １３时，ｙ ＝ ２２ ２７；当ｘ ＝ １时，ｙ ＝ ２，所以函数的最小值为 － １，选Ｃ． （２）①ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ ＝ ３（ｘ ＋ １）（ｘ － １）， 当ｘ ＜ －１或ｘ ＞１时，ｆ ′（ｘ）＞０，当－１ ＜ ｘ ＜１时，ｆ ′（ｘ）＜０． 所以ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－ ∞，－ １）和（１，＋ ∞），递减 区间为（－ １，１）． ②由①知ｘ∈［ 槡－ ３，３］时，ｆ（ｘ）的极大值为ｆ（－ １）＝ ２， ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（１）＝ － ２，又ｆ（ 槡－ ３）＝ ０，ｆ（３）＝ １８． 所以ｆ（ｘ）的最大值为１８，ｆ（ｘ）的最小值为－ ２． 　 　 对点训练１：（１）Ａ　 函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６的导数为 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｘ － ９， 令ｆ ′（ｘ）＝ ０得ｘ ＝ － １或ｘ ＝ ３， 由ｆ（－ ４）＝ － ７０；ｆ（－ １）＝ １１； ｆ（３）＝ － ２１；ｆ（４）＝ － １４； 所以函数ｙ ＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６在区间［－ ４，４］上的最大值为 １１． （２）Ｄ　 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋（ｘ ＋ １）ｓｉｎ ｘ ＋ １，ｘ∈［０，２π］， 则ｆ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ ＋（ｘ ＋ １）ｃｏｓ ｘ ＝（ｘ ＋ １）ｃｏｓ ｘ， 令ｃｏｓ ｘ ＝ ０得，ｘ ＝ π２或 ３π ２ ， ∴当ｘ∈ ０，π[ )２ 时，ｆ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单调递增；当ｘ∈ π ２ ， ３π( )２ 时，ｆ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单调递减；当ｘ∈ ３π２ ，２( ]π 时，ｆ′（ｘ） ＞ ０，ｆ（ｘ）单调递增                                                                       ， —１４９—