6.2.1 导数与函数的单调性(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ６． ２　 利用导数研究函数的性质 ６． ２． １　 导数与函数的单调性 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系．（数学抽象） ２．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．（数学运算） ３．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．（数学运算、逻辑推理） 学法指导 １．通过对曲线割线的斜率和切线的斜率的关系的再认识，体会曲线的切线的斜率的变化趋势，通 过数形结合感受数值变化与单调性的关系． ２．通过导函数符号的特征体会单调性与导数的关系． ３．高中阶段的导数问题基本上都与多项式函数有关，而三次函数的导函数是二次函数，因此研究 三次函数的图像与性质时，多涉及求解相应一元二次方程、一元二次不等式． )*+,%-.+ 用导数研究函数的单调性 　 　 一般地，（１）如果在区间（ａ，ｂ）内，ｆ′（ｘ）＞ ０， 则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）对应的那一段上每 一点处切线的斜率都大于０，曲线呈上升状态，因 此ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上是　 增函数，如图１所示． （２）如果在区间（ａ，ｂ）内，　 ｆ′（ｘ）＜ ０，则曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）对应的那一段上每一点处切 线的斜率都小于０，曲线呈下降状态，因此ｆ（ｘ）在 （ａ，ｂ）上是　 减函数，如图２所示． 　 　 知识解读：导数与函数单调性关系的深入理解 （１）若在区间（ａ，ｂ）上有ｆ′（ｘ）＞ ０，则ｆ（ｘ）在 该区间上单调递增；若在区间（ａ，ｂ）上有ｆ（ｘ）′ ＜ ０，则ｆ（ｘ）在该区间上单调递减． （２）若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上是增函数，则 ｆ′（ｘ）≥０在ｘ∈（ａ，ｂ）内恒成立；同理，若函数ｆ（ｘ） 在区间（ａ，ｂ）上是减函数，则ｆ′（ｘ）≤０在ｘ∈（ａ， ｂ）内恒成立． （３）对于函数ｆ（ｘ）来说，ｆ′（ｘ）＞ ０是ｆ（ｘ）在 （ａ，ｂ）上单调递增的充分不必要条件；ｆ′（ｘ）＜ ０ 是ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上单调递减的充分不必要条件． 如ｆ（ｘ）＝ ｘ３在Ｒ上为增函数，但ｆ′（０）＝ ０，所以 在ｘ ＝０处不满足ｆ′（ｘ）＞０． （４）当函数ｆ（ｘ）的单调递增（或递减）区间有 多个时，各区间之间不能用“∪”连接，用“，”或 “和”连接。 ２．函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的 绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得　 较 快　 　 ，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或 向下）；反之，函数在这个范围内变化得　 较慢，函 数的图像就比较“平缓”                                 ． !'! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 规律：函数值增长快慢与导数的关系： 常见的对应情况如下表所示． ｆ（ｘ）的 图像 ｆ ′（ｘ） 变化规律 ｆ ′（ｘ）＞ ０ 且越来越大 ｆ ′（ｘ）＞ ０ 且越来越小 ｆ ′（ｘ）＜ ０ 且越来越小 ｆ ′（ｘ）＜ ０ 且越来越大 函数值变 化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小         得越来越慢 /012%345 题型探究 题型一 导数与原函数图像的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２４·临沂高二检测）ｆ ′（ｘ）是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数，若ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图像如图所示， 则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像可能是 （Ｄ ） （２）（２０２３·山东省枣庄市期中）设函数ｆ（ｘ） 在定义域内可导，ｆ（ｘ）的图像如图所示，则导函数 ｆ ′（ｘ）的图像可能为 （Ｄ ） 　 　 ［规律方法］　 １．函数的图像与函数的导数关 系的判断方法 （１）对于原函数，要重点考查其图像在哪个 区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． （２）对于导函数，则应考查其函数值在哪个 区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些 区间与原函数的单调区间是否一致． ２．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数ｆ（ｘ）的导数ｆ ′（ｘ）：（１）若ｘ∈［ａ，ｂ） 时ｆ ′（ｘ）＞ ０，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上单调递增； （２）若ｘ∈（ａ，ｂ）时ｆ ′（ｘ）＜ ０，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ） 上单调递减；（３）若恒有ｆ ′（ｘ）＝ ０，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）是 常数函数，不具有单调性． 对点训练? （１）已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图 像是下列四个图像之一，且其导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的 图像如下图所示，则该函数的图像是 （Ｂ ） （２）（２０２３·阜阳高二检测）函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 定义域－ ３２，( )３ 内可导，其图像如图，记ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的导函数为ｙ ＝ ｆ ′（ｘ），则不等式ｆ ′（ｘ）＜ ０的解集 为　 　 　 　 　 ．                                                          !'" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型二 利用导数求函数的单调区间 ２．求下列各函数的单调区间 （１）ｆ（ｘ）＝２ｘ３ － ３ｘ２； （２）ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ ； （３）ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ １２ ｘ，ｘ∈（０，π）； （４）ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ＋ ａｘ． ［分析］　 可按照求函数单调区间的步骤进 行求解，其中：（１）要注意单调区间的写法；（２）要 注意导数的求法；（３）要注意正弦函数的性质； （４）要注意对参数ａ进行讨论． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 １．利用导数求函数单调区间 的步骤如下： （１）求函数ｆ（ｘ）的定义域． （２）求导数ｆ′（ｘ）． （３）在定义域内解不等式ｆ′（ｘ）＞０，得单调递 增区间；在定义域内解不等式ｆ′（ｘ）＜ ０，得单调递 减区间． ２．与利用函数单调性的定义判断函数的单调 性或求函数的单调区间相比，利用导数求函数的 单调区间显得更加简单易行，其实质是转化为解 不等式问题，但也必须首先求出函数的定义域，在 定义域内解不等式，另外，利用导数适合求一些高 次函数的单调区间，其单调区间有时不止一个，这 时在写出它们的单调区间时，不能将各个区间用 并集符号连接． ３．当函数ｆ（ｘ）的解析式中含有参数时，可能 需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间． 对点训练? 求下列函数的单调区间： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ ＋１； （２）ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｂｘ（ｂ ＞０）． 题型三 已知函数的单调性求参数的范围 ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ －１为增函数，求实 数ａ的取值范围． ［分析］　 ｆ（ｘ）单调递增→ ｆ′（ｘ）≥０恒成立 →分离参数求ａ的范围 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 已知ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上的单 调性求参数范围的方法 （１）利用集合的包含关系处理ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ） 上单调递增（减）的问题，则区间（ａ，ｂ）是相应单 调区间的子集． （２）利用不等式的恒成立处理ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ） 上单调递增（减）的问题，则ｆ′（ｘ）≥０（ｆ′（ｘ）≤０） 在（ａ，ｂ）内恒成立，注意验证等号是否成立． 对点训练? （１）若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ － １的单调递减区间为（－１，１），求ａ的取值范围； （２）若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ －１在（－ １，１）                                                                        上单 !'# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 调递减，求ａ的取值范围； （３）若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ －１在（－ １，１）上不 单调，求ａ的取值范围． 易错警示 　 　 利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误 ４．设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ａｘ －２ｌｎ ｘ，且ｆ ′（２）＝０， 求函数ｆ（ｘ）的单调区间． ［误区警示］　 解答本题常常因为忽视ｆ（ｘ） 的定义域而得到错误的单调区间． 　 　 ［正解       ］ 　 　 ［点评］　 在利用导数判断函数的单调性和 求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义 域，在定义域的范围之内解决问题                                ． 6789%:;< １．函数ｆ（ｘ）＝（ｘ －３）ｅｘ的单调递增区间是 （Ｄ ） Ａ．（－ ∞，２）　 　 　 　 　 　 Ｂ．（０，３） Ｃ．（１，４） Ｄ．（２，＋ ∞） ２．（２０２４·云南昆明高三一模）设ｆ′（ｘ）是函数 ｆ（ｘ）的导函数，ｙ ＝ ｆ′（ｘ）的图像如图所示，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像可能是 （Ｄ ） ３．（２０２３·新高考Ⅱ）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ － ｌｎ ｘ 在区间（１，２）上单调递增，则ａ的最小值为 （Ｃ ） Ａ． ｅ２ Ｂ． ｅ Ｃ． ｅ －１ Ｄ． ｅ －２ ４．（２０２４·重庆高二检测）函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ２ － ｌｎ ｘ 的单调递减区间为 （Ｃ ） Ａ．（－１，１） Ｂ．（－ ∞，１） Ｃ．（０，１） Ｄ．（１，＋ ∞） ５．求函数ｆ（ｘ）＝２ｌｎ ｘ － ａｘ的单调区间． 请同学们认真完成练案［１７                                   ］ !'$ 4 于是y'=y·4=4- 6.2利用导数研究函数的性质 即(>) 4 6.2.1导数与函数的单调性 (4)设y=e“,=x2,则y.'=e“,4,‘=2x, 必备知识·探新知 于是y.'=y'·4'=e·2x,即y=2xe 知识点1.∫(x)>0增函数了(x)<0减函数2较 对点训练3：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(oos2x) 快较慢 关键能力·攻重难 =2x0s2x+x2(-sim2x）·(2x) 例1：(1)D由导函数图像可知函数f八x)在(-，0)上增 =2x0082x-2x2in2x 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D 1 (2)Bf'(x)= 2/ar-1 (ax-1)'=2m- (2)D由f代x)的图像可知，y=f(x)在(-，0)上是增函 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-，0)上的图像 f'0=2a =1 全部在x轴上方)，故排除A,C,从原函数图像上可以看出，在区 解得a=2. 间(0，x)上原函数是增函数f'(x)>0:在区间(x,2)上原函 (3)10f'(x)=5(2x+1)·(2x+1)'=10(2x+1)4, 数是诚函数f'(x)<0:在区间(2，+0)上原函数是增函数， :f'(x)>0.故排除B.故选D. f'(0)=10 例4：(1)：fx)=x3++b的导数'(x)=3x2+a, 对点训练1：(1)B由导数的图像可得，导函数'(x)的值 在[-1,0]上逐渐增大，故函数f尺x)在[-1,0]上增长速度逐渐 由题意可得f'(2)=12+a=3,f2)=8+2a+b=-6, 增大，故函数(x)的图像是下凹型的.导函数'(x)的值在[0， 解得a=1,b=-16. 1]上逐渐减小，故函数八x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图像 (2):切线与直线y=-聋+3垂直，心切线的斜*牡=4. 是上凸型的，故选B 设切点的坐标为(0。)，则'(x)=3x后+1=4。 (2)(-分(2,3)函数=x)在区间(-3)和 .知=士1 由)=2+x-16.可得6=1+1-16=-14，或6=-1-1区间(2,3)上单调递减，所以在区间-了)和区间(2,3)上， -16=-18 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. =f'(x)<0,所以W(x)<0的解集为(-子儿(2,3) 即y=4x-18或y=4x-14 例2：(1)函数定义域为R,且'(x)=6x2-6x 对点调练4：1f()=a-士f'()=a-l 令f(x)>0,即6x2-6x>0. 解得x>1或x<0: 又：f1)=a, 令f(x)<0,即6x2-6x<0.解得0<x<1 ∴.切线1的斜率为a-1,且过点(1，a) 所以八x)的单调递增区间是(-，0]和[1，+)，单调递 ,.切线1的方程为y-a=(a-1)(x-1) 减区间是[0.1]， 令x=0,得y=1,故1在y轴上的截距为1 例5：(1-2x)eay=e-a+x(e-)'=ea+xe-·(1 (2)函数x)的定义域为(0，+x),且(x)=-血 2 -2x)'=e-2+xc2,(-2)=(1-2x)c-24 课堂检测·固双基 令r(x)>0,即-h5>0,得0<x<e: L.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D, 2.A根据题意f(x)=sin2x+e, 令(x)<0,即-h<0,得>e, 2 则f‘(x)=2cos2x+2e 所以f(x)的单调递增区间是(0，c】,单湖递减区间是 2 3Af"（x)=2x+i-a [e,+） 所以W2)=号-a=-1,解得a=子 7 (3)函数f代x)的定义域为(0，π)，且∫(x)=2m 4.1函数fx)=xe, 令f)>0即号 sin x >0, 则f'(x)=e+e=(1+x)e, ∴f'(0)=(1+0)e°=l. 解得0<x<君安爱<<： 故答案为1， 令f(x)<0,即 -n<0,解得号<<君 玉因为代到=兰所以e)=名 又因为'(x)=·-c-业 故x)的单调递增区间是(0，】和[后小，单调递诚区 2 所W'(c)=c-D 间是剖 (4)函数定义域为R,且f(x)=e+a. 依题意知fc)+f'(c)=0, ①当a≥0时f(x)=e+a>0恒成立，尺x)在R上单调递增： 所以三+C-山=0. ②当a<0时，由f(x)=e+a>0,得e>-a, 所以x>ln(-a）, 所以2r-1=0,得c=2 由f(x)=e+a<0,得e<-a,所以x<n(-a) 所以f(x)在(n(-a),+）上单调递增，在(-， -146 n(-a))上单调递域 综上，当a≥0时f(x)的单调递增区间是(-，+)，无 ')号+京是2-5+2 单调递减区间： 当a<0时f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+),单调 f')>0.得0<x<或x>2,《)<0,得<x<2 递减区间是(-，n(-a)]. 故函数)的单调递增区间为(0，），(2，+)，单调递 对点训练2：(1)函数x)的定义域为R, f'(x）=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0 诚区间为（行2） 即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1, 函数x)的单湖递增区向为(-为，-1)和(1，+)， 课堂检测·固双基 令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1 1.Dfx）=(x-3)e', ∴.函数f尺x)的单调递藏区间为(-1,1) f'(x)=e+(x-3)e'=(x-2)e', 由f(x)>0得x>2,∴.选D. (2)函数f(x)的定义域为(-，0)U(0,+), 2.D根据导函数图像，y=f八x)的递增区间为(-3，-1)，(0， 1),递诚区间为(-1,0)，(1,3)，观察选项可得D符合，故 选D, '(x)>0,则(x+B)(x-6>0, 3.C对函数)求导可得()=a心- x>不，或x<-石 ∴函数的单调递增区间为(-，-⑥和（石，+ 依题意，a-≥0在(1,2)上恒成立， f"(x)<0,则(x+瓜(x-瓜<0， 即a≥上在(1,2)上恒成立， e -石<x<B,且x≠0 设g()亡e(1,2),期g):二e ·函数的单调递诚区间为(-B,0)和(0，B) (e')2 e'(x+1)】 例3：由已知，得f(x)=3x2-a (xe')2, 因为fx)在（一，+）上是增函数， 易知当xe(1,2)时，g'(x)<0, 所以f(x)=3x2-a≥0在(-x,+x)上何成立， 则函数g(x)在(1,2)上单调递诚， 即a≤3x2对x∈R恒成立， 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 则a≥g()=g(1)==e 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在R上是增 故选C 函数，所以a≤0. i4.C 对点训练3：(1)f(x)=3x2-a 函数x)=-n的定义城为(0，+x)f'()=x ①当a≤0时，f(x)≥0， ! ·八x)在(-，+）上为增函数.此时不满足题意 上，(x)<0,即x-<0,解得0<x<1,故选C @当a>0时，令32-a=0,得± 5.函数的定义城为0，+).且/()=子-4 当-@<x<时<0 (1)当a≤0时f(x)>0恒成立fx)在(0，+)上单调递增： 2当a>0时.曲r)=2->0,解得0<x<2 x)在(-,3 3a a 上为减函数， 由f()<0,解得x>2 九)的单粥递减区间为-令习， 所以)在(0，名）上单调递增，在（合，+）上单调递减 1,即a=3 综上，当：≤0时八x)的单调递增区间是(0，+)，无单调递 诚区间： (2)由题意，可知f(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立 25088a 当>0时()的单调递增区间是(0，名)，单测递诚区间 3-a≤0. 即a的取值范围是[3，+∞). (3)fx)=x3-am-1…f(x）=3x2-a 6.2.2导数与函数的极值、最值 由()=0，得=±(e≥0) 第1课时函数的导数与极值 尺x)在区间(-1,1)上不单调， 0<<1,即0<a<3. 必备知识·探新知 知识点11.(x)<f(）极大值点f(x)>f(）极 故a的取值范围为(0,3)。 小值点极值2.f(。）=0 例4：由已知得x>0,则函数《x)的定义域为(0，+%)， 知识点2极大值极小值 0=a+号-是(2)a+号-1=0.得a 关键能力·攻重雄 例1：(1)CDE对于A,反例：设f八x)=xf（x)≥f0)=0, 147