6.1.4 求导法则及其应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ６． １． ４　 求导法则及其应用 !"#$%&'( 课程目标 １．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．（数学运算） ２．能求简单的复合函数的导数．（数学运算） 学法指导 １．类比数和向量的四则运算，感受导数的四则运算法则，体会导数运算是导数发挥工具性作用的 基础． ２．感受导数运算法则和基本初等函数导数公式综合作用下的复合函数的求导法则． )*+,%-.+ 导数的四则运算法则 符号表达 文字叙述 ［ｆ（ｘ）± ｇ（ｘ）］′ ＝ 　 ｆ ′ （ｘ）± ｇ′（ｘ） 两个函数的和（差） 的导数，等于这两 个函数的导数的和 （差） ［ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］′ ＝ 　 ｆ ′（ｘ） ｇ（ｘ）＋ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ） 两个函数的积的导 数，等于第一个函 数的导数乘上第二 个函数，加上第一 个函数乘上第二个 函数的导数 ｆ（ｘ） ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）－ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ） ［ｇ（ｘ）］２ （ｇ（ｘ）≠０） 两个函数的商的导 数，等于分子上函 数的导数乘分母上 的函数减去分子上 的函数乘分母上函 数的导数，再除以 分母上函数的平方 　 　 知识解读：导数运算法则的提示 （１）对导数的运算法则只要求能熟练运用这 些法则求简单函数的导数即可． （２）函数的和（差）的导数运算法则，可推广 到任意有限个可导函数的和（差），即［ｆ１（ｘ）± ｆ２（ｘ）±…± ｆｎ（ｘ）］′ ＝ ｆ１ ′（ｘ）± ｆ２ ′（ｘ）±…± ｆｎ′（ｘ）． （３）函数的积与商的导数运算法则，要特别 注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同， 积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上 是“－”． 常用结论 ①若ｃ为常数，则［ｃｆ（ｘ）］′ ＝ ｃ ｆ ′（ｘ）． ②若ａ，ｂ为常数，则［ａｆ（ｘ）± ｂｇ（ｘ）］′ ＝ ａ ｆ ′（ｘ） ± ｂｇ′（ｘ）． ③ １ｇ（ｘ[ ]） ′ ＝ － ｇ′（ｘ） ［ｇ（ｘ）］２ ． 复合函数的导数 　 　 （１）定义：一般地，对于两个函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）和ｕ ＝ ｇ（ｘ），如果通过中间变量ｕ，ｙ可以表示成ｘ的 函数，那么称这个函数为函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）和ｕ ＝ ｇ（ｘ） 的复合函数，记作ｙ ＝ ｆ（ｇ（ｘ））． （２）求导法则：对于复合函数ｙ ＝ ｆ（ｇ（ｘ）），ｙ′ｘ ＝ 　 ｙ′ｕ·ｕ′ｘ，即ｙ对ｘ的导数等于　 ｙ对ｕ的导数与 　 ｕ对ｘ的导数的乘积． 知识解读：复合函数求导的步骤： （１）分解复合函数为基本初等函数，适当选 取中间变量； （２）求每一层基本初等函数的导数； （３）每层函数求导后，需把中间变量转化为 自变量的函数                                            ． !&' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # /012%345 题型探究 题型一 利用导数公式求函数的导数 １．求下列函数的导数． （１）ｙ ＝ ｃｏｓ π６；（２）ｙ ＝ １ ｘ５ ；（３）ｙ ＝ ｘ ２ 槡ｘ ； （４）ｙ ＝ ｌｇｘ；（５）ｙ ＝５ ｘ；（６）ｙ ＝ ｃｏｓ π２ －( )ｘ ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 ［分析］　 若不能直接运用导数公式求导，可 先对函数解析式化简再用公式求导． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 简单函数求导的解题策略 （１）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式 求解． （２）对于不能直接利用公式的类型，一般遵 循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的 运算失误． （３）要特别注意“１ｘ与ｌｎ ｘ”“ａ ｘ 与ｌｏｇａｘ” “ｓｉｎ ｘ与ｃｏｓ ｘ”的导数区别． 对点训练? 下列结论：①（ｓｉｎ ｘ）′ ＝ ｃｏｓ ｘ； ②（ｘ ５３）′ ＝ ｘ ２３；③（ｌｏｇ３ｘ）′ ＝ １３ｌｎ ｘ；④（ｌｎ ｘ）′ ＝ １ ｘ ． 其中正确的有 （Ｃ ） Ａ． ０个 Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个 题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 ２．（１）（２０２４·广州市第十三中学期中）函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １ｘ的导数ｆ ′（ｘ）＝ （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 Ａ． １ － １ ｘ２ Ｂ． １ － １ｘ Ｃ． １ ＋ １ ｘ２ Ｄ． １ ＋ １ｘ （２）（２０２３·北京市十一学校期末）函数ｙ ＝ ｘ２ ｓｉｎ ｘ的导数为 （Ｄ ） Ａ． ｙ′ ＝２ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ Ｂ． ｙ′ ＝ ｘ２ｃｏｓ ｘ Ｃ． ｙ′ ＝２ｘｃｏｓ ｘ Ｄ． ｙ′ ＝２ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｘ２ｃｏｓ ｘ （３）（２０２４·北京八中期中）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘｘ 的 导数是 （Ｃ ） Ａ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ ｘ２ Ｂ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ － ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ Ｄ． ｙ′ ＝ － ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ 　 　 ［规律方法］　 应用导数的四则运算法则的 思路方法及注意事项 （１）熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商 的求导法则． （２）应用和、差、积、商的求导法则求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的 求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等 变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可 以减少运算量，提高运算速度，避免出错． （３）对于三个以上函数的积、商的导数，依次 转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 　 　 对点训练? （１）（２０２４·河南洛阳高二 期末）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ，则ｆ ′ π( )２ 的 值为 （Ｄ ） Ａ． π２ Ｂ． １ Ｃ． －１ Ｄ．                                                                    ０ !&( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）（２０２４·福建南安侨光中学高三月考）已 知ｆ（ｘ）＝ ｅ２ ０２０ ＋ ｘ·ｌｎ ｘ，则ｆ ′（１）＝ （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ｅ２ ０２０ ＋ １ Ｃ． ｅ２ ０２０ － １ Ｄ． ｅ２ ０２０ （３）求下列函数的导数： ①ｙ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ ＋３； ②ｙ ＝ ２ ｘ２ ＋ ３ ｘ３ ． 题型三 复合函数的求导 ３．求下列函数的导数： （１）ｙ ＝（４ － ３ｘ）２； （２）ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )４ ； （３）ｙ ＝ ｌｎ（４ｘ －１）； （４）ｙ ＝ ｅｘ２ ． ［分析］　 先分析每个复合函数的构成，再按 照复合函数的求导法则进行求导． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 求复合函数导数的步骤 分解 适当选取中间变量，正确分解复合关系成ｙ ＝ ｆ（ｕ），ｕ ＝ ｇ（ｘ） 的形式↓ 求导 分步逐层求导，即先求ｙ′ｕ，再求ｕ′ ｘ ↓  回代 计算ｙ′ｕ·ｕ′ｘ，并把ｕ ＝ ｇ（ｘ） 代入 对点训练? （１）（２０２３·浙江省北仑中 学高二检测）函数ｙ ＝ ｘ２ｃｏｓ ２ｘ的导数为（Ｂ ） Ａ． ｙ′ ＝２ｘｃｏｓ ２ｘ － ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ Ｂ． ｙ′ ＝２ｘｃｏｓ ２ｘ －２ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ ｘ２ｃｏｓ ２ｘ －２ｘｓｉｎ ２ｘ Ｄ． ｙ′ ＝２ｘｃｏｓ ２ｘ ＋２ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ （２）（２０２３·福建福州一中高二检测）若ｆ（ｘ） ＝ ａｘ槡－１，且ｆ ′（１）＝１，则ａ的值为 （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ （３）（２０２３·湖北黄石高二检测）函数ｆ（ｘ）＝（２ｘ ＋１）５，则ｆ ′（０）的值为　 １０　 　 ． 题型四 综合应用问题 ４．已知曲线ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ＋ ｂ在点Ｐ（２，－６） 处的切线方程是１３ｘ － ｙ －３２ ＝ ０． （１）求ａ，ｂ的值； （２）如果曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的某一切线与直线ｌ：ｙ ＝ － １４ ｘ ＋３垂直，求切点坐标与切线的方程． ［分析］　 （１）由ｆ（ｘ）在点Ｐ处的切线方程可 知ｆ ′（２），及ｆ（２）＝ － ６，得到ａ，ｂ的方程组，解方 程组可求出ａ，ｂ； （２）由曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的切线与ｌ垂直，可得切 线斜率ｋ ＝ ｆ ′（ｘ０），从而解出ｘ０，求得切点坐标 和ｋ． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 １．导数的应用中，求导数是一 个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构 特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导 数运算法则的结构形式时，先恒等变形，                                                                        然后分析 !&) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题 途径． ２．求参数的问题一般依据条件建立参数的方 程求解． 对点训练? 已知ａ∈Ｒ，设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｌｎ ｘ的图像在点（１，ｆ（１））处的切线为ｌ，则ｌ 在ｙ轴上的截距为　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量 及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开 始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量 变成自变量的函数． ５．函数ｙ ＝ ｘｅ１ －２ｘ的导数为　 　 　 　 　 　 　 ． ［错解］　 ｙ′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘ（ｅ１ －２ｘ）′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘｅ１ －２ｘ ＝（１ ＋ ｘ）ｅ１ －２ｘ ． 　 　 ［正解           ］ 　 　 ［点评］　 错解中对ｅ１ －２ｘ求导数，没有按照复 合函数的求导法则进行，导致求导不完全                            ． 6789%:;< １．（２０２４·天津期末）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｅｘ的导数是 （Ｄ ） Ａ． ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｆ ′（ｘ）＝１ ＋ １ｘ Ｃ． ｆ ′（ｘ）＝１ ＋ ｘｅｘ － １ Ｄ． ｆ ′（ｘ）＝１ ＋ ｅｘ ２．（２０２４·大庆高二检测）已知ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ｅ２ｘ，则ｆ ′（ｘ）＝ （Ａ ） Ａ． ２ｃｏｓ ２ｘ ＋２ｅ２ｘ Ｂ． ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｅ２ｘ Ｃ． ２ｓｉｎ ２ｘ ＋２ｅ２ｘ Ｄ． ｓｉｎ ２ｘ ＋ ｅ２ｘ ３．（２０２４·泉州高二检测）已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（２ｘ ＋ １） － ａｘ，且ｆ ′（２）＝ －１，则ａ ＝ （Ａ ） Ａ． ７５ Ｂ． ６ ５ Ｃ． － ３５ Ｄ． － ４ ５ ４．（２０２３·河北区一模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ， ｆ ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数，则ｆ ′（０）＝ 　 　 　 　 ． ５．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｘ在ｘ ＝ ｃ处的导数值与函数的 值互为相反数，求ｃ的值． 请同学们认真完成练案［１６                           ］ !&* +1=0 (2)x+y-2=0由题意知，y'=e,曲线在点(0,1)处的斜 6.1.4求导法则及其应用 *与=6=1，设m,a=>0)的导数为y=x> 必备知识·探新知 知识点1f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f尺x)g'(x) 1 0),曲线)=支(x>0)在点P处的切线斜率=一京(m>0), 知识点2y.·u,y对uu对x : 关健能力·攻重难 由题意知kk=-1,所以k=-1,由此易得m=1,n=1,即点P 的坐标为(1,1)，k2=-1点P处的切线方程为x+y-2=0. 例1：ay=m君-9y-0 对点训练2：(1y=xn3+1fx)=3∴f"(x)=3n3. (2):y=↓. =x5…y=-5x5 +.f'(0)=ln3, ∴，所求切线方程为y=xn3+1. (2)Cy'=3x2, 压x 点(2,8)处的切线斜竿k=∫'(2)=12， (4)y=1g,y= 1 ∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, xin 10' .k=12,b=-16,.k-b=28 (5)5y=5”,y=55 (3)D切线的斜率长=m子=-1”()=一 6y=c(受-=血y=sk 设切点为(%)，则'()=-1-马 对点训练1：C①(imx)=msx,正确：②()'=；子， =-1, ∴0=1或-1，∴切点坐标为(1,1)或(-1，-1) 错误：8(og'=山3错误：国（血x)'=,正确：所以①④ 例3：易知P点在曲线y=x上，当P点为切点时，由上面解正确，故选C 法知切线方程为12x-y-16=0 当P点不是切点时，设切点为A(,%),由定义可求得切 例2：()Af(=(+)=x+() 线的斜率为k=3 1在线上水=…=站. (2)Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'= 2xsin x+xcos x. -3x后+4=0.(0+1)(0-2)2=0，=-1或6 =2(舍去)， 3)c=(} %=-1,k=3,此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ =cosx）'-cosx·x 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 =二sinx-cosx 。_xsin x+cosx =0和3x-y+2=0. 课堂检测·固双基 对点训练2：(1)D因为f'(x)=sinx+xc0s x-sinx= 1.By'=2x,y'x==1 x@s.所W'(）=0,放选D k=1,.8=45°，故选B. (2)Afx)=e2+x·nx, 2Cy=如x的定义域为(0，+)，且y=士，设切点为（气 f'(x)=nx+1,f'(1)=m1+1=1. n).媚儿女切线方程为y-h6=亡-5.因 (3)①y'=(x3-x2-x+3)'=(x)'-(x2)'-x'+3= 3x2-2x-1. 为切线过点(0,0)，所以-ln。=-1得x。=e,故切线的斜率 ②方法一：因为y=2x+3x3 为始 所以y=(2x2+3x3)'=(2x2)'+(3x3)' 3C设x)=eg(x)=lhx,则'(x)=k,g'(x)= 方法三：y=(径+)▣()+() 12 设直线与曲线切点的横坐标为， 则行}解得长=。故选C 22少以-÷是 U'(x)=g() 例3：(1)设y=u2,4=4-3x,则y,‘=2u,4,'=-3,于是y 43-f=3g) =y.′·4，'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24 fr-到=品 (2)设y=0s4,4=2x-平，则y'=-m,4'=2, 5.1fx)=xg(x)=In x. f)=2xg=且x>0"-g到=2x-=1 于是y'=%'4'=-2sim2x-） 即2公--1=0，解得x=1或x=-之（舍去）. 即y=-2m(2x-平） 故x=1, : (3)设y=n4,u=4x-1,则y'= 4'=4, 145 4 于是y'=y·4=4- 6.2利用导数研究函数的性质 即(>) 4 6.2.1导数与函数的单调性 (4)设y=e“,=x2,则y.'=e“,4,‘=2x, 必备知识·探新知 于是y.'=y'·4'=e·2x,即y=2xe 知识点1.∫(x)>0增函数了(x)<0减函数2较 对点训练3：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(oos2x) 快较慢 关键能力·攻重难 =2x0s2x+x2(-sim2x）·(2x) 例1：(1)D由导函数图像可知函数f八x)在(-，0)上增 =2x0082x-2x2in2x 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D 1 (2)Bf'(x)= 2/ar-1 (ax-1)'=2m- (2)D由f代x)的图像可知，y=f(x)在(-，0)上是增函 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-，0)上的图像 f'0=2a =1 全部在x轴上方)，故排除A,C,从原函数图像上可以看出，在区 解得a=2. 间(0，x)上原函数是增函数f'(x)>0:在区间(x,2)上原函 (3)10f'(x)=5(2x+1)·(2x+1)'=10(2x+1)4, 数是诚函数f'(x)<0:在区间(2，+0)上原函数是增函数， :f'(x)>0.故排除B.故选D. f'(0)=10 例4：(1)：fx)=x3++b的导数'(x)=3x2+a, 对点训练1：(1)B由导数的图像可得，导函数'(x)的值 在[-1,0]上逐渐增大，故函数f尺x)在[-1,0]上增长速度逐渐 由题意可得f'(2)=12+a=3,f2)=8+2a+b=-6, 增大，故函数(x)的图像是下凹型的.导函数'(x)的值在[0， 解得a=1,b=-16. 1]上逐渐减小，故函数八x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图像 (2):切线与直线y=-聋+3垂直，心切线的斜*牡=4. 是上凸型的，故选B 设切点的坐标为(0。)，则'(x)=3x后+1=4。 (2)(-分(2,3)函数=x)在区间(-3)和 .知=士1 由)=2+x-16.可得6=1+1-16=-14，或6=-1-1区间(2,3)上单调递减，所以在区间-了)和区间(2,3)上， -16=-18 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. =f'(x)<0,所以W(x)<0的解集为(-子儿(2,3) 即y=4x-18或y=4x-14 例2：(1)函数定义域为R,且'(x)=6x2-6x 对点调练4：1f()=a-士f'()=a-l 令f(x)>0,即6x2-6x>0. 解得x>1或x<0: 又：f1)=a, 令f(x)<0,即6x2-6x<0.解得0<x<1 ∴.切线1的斜率为a-1,且过点(1，a) 所以八x)的单调递增区间是(-，0]和[1，+)，单调递 ,.切线1的方程为y-a=(a-1)(x-1) 减区间是[0.1]， 令x=0,得y=1,故1在y轴上的截距为1 例5：(1-2x)eay=e-a+x(e-)'=ea+xe-·(1 (2)函数x)的定义域为(0，+x),且(x)=-血 2 -2x)'=e-2+xc2,(-2)=(1-2x)c-24 课堂检测·固双基 令r(x)>0,即-h5>0,得0<x<e: L.D函数的导数为f'(x)=1+e,故选D, 2.A根据题意f(x)=sin2x+e, 令(x)<0,即-h<0,得>e, 2 则f‘(x)=2cos2x+2e 所以f(x)的单调递增区间是(0，c】,单湖递减区间是 2 3Af"（x)=2x+i-a [e,+） 所以W2)=号-a=-1,解得a=子 7 (3)函数f代x)的定义域为(0，π)，且∫(x)=2m 4.1函数fx)=xe, 令f)>0即号 sin x >0, 则f'(x)=e+e=(1+x)e, ∴f'(0)=(1+0)e°=l. 解得0<x<君安爱<<： 故答案为1， 令f(x)<0,即 -n<0,解得号<<君 玉因为代到=兰所以e)=名 又因为'(x)=·-c-业 故x)的单调递增区间是(0，】和[后小，单调递诚区 2 所W'(c)=c-D 间是剖 (4)函数定义域为R,且f(x)=e+a. 依题意知fc)+f'(c)=0, ①当a≥0时f(x)=e+a>0恒成立，尺x)在R上单调递增： 所以三+C-山=0. ②当a<0时，由f(x)=e+a>0,得e>-a, 所以x>ln(-a）, 所以2r-1=0,得c=2 由f(x)=e+a<0,得e<-a,所以x<n(-a) 所以f(x)在(n(-a),+）上单调递增，在(-， -146