5.5 数学归纳法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ５． ５　 数学归纳法 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例了解数学归纳法的原理．（数学抽象） ２．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（逻辑推理） 能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．（数学运算、逻辑推理） 学法指导 １．充分运用多米诺骨牌的影像或者实验体会数学归纳法的含义． ２．通过一些实际案例，认真体会归纳奠基和归纳递推的内涵以及归纳法推理的结构化特征． )*+,%-.+ 数学归纳法的定义 　 　 一个与自然数有关的命题，如果 （１）当ｎ ＝ ｎ０时，命题成立； （２）在假设ｎ ＝ ｋ（其中ｋ≥ｎ０）时命题成立的 前提下，能够推出ｎ ＝ ｋ ＋１时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于ｎ０的所有自然数 都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 知识解读：１．步骤（２）是用数学归纳法证明 命题的关键．归纳假设“当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥ｎ０）时 命题成立”起着已知的作用，证明“当ｎ ＝ ｋ ＋１时 命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根 据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当ｎ ＝ ｋ ＋１时命题也成立．而不能直接将ｎ ＝ ｋ ＋１代入归 纳假设，此时ｎ ＝ ｋ ＋１时命题成立也是假设，命题 并没有得证． ２．一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、 数列的通项及前ｎ项和等问题都可以用数学归纳 法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能 用数学归纳法解决． ３．第一个值ｎ０是命题成立的第一个正整数， 并不是所有的第一个值ｎ０都是１                  ． /012%345 题型探究 题型一 对数学归纳法的理解 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）用数学归纳法证明“凸ｎ边形的内角 和等于（ｎ － ２）π”时，归纳奠基中ｎ０ 的取值 应为 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ （２）一个关于自然数ｎ的命题，如果证得当ｎ ＝１时命题成立，并在假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ≥１且ｋ∈ Ｎ）时命题成立的基础上，证明了当ｎ ＝ ｋ ＋ ２时 命题成立，那么综合上述，对于 （Ｂ ） Ａ一切正整数命题成立 Ｂ．一切正奇数命题成立 Ｃ．一切正偶数命题成立 Ｄ．以上都不对 对点训练? （２０２３·广东佛山期末）用 数学归纳法证明“ １ｎ ＋１ ＋ １ ｎ ＋２ ＋…＋ １ ２ｎ ＞ １１ ３４”时， 由ｋ到ｋ ＋１，不等式左边的变化是 （Ｃ ） Ａ．增加 １２（ｋ ＋１）一项 Ｂ．增加１２ｋ ＋１和 １ ２ｋ ＋２两项 Ｃ．增加１２ｋ ＋１和 １ ２ｋ ＋２两项，同时减少 １ ｋ ＋１ 一项 Ｄ．以上结论都不正确 题型二 归纳—猜想—证明 ２．（２０２４·深圳市耀华实验学校高二联考）已 知数列｛ａｎ｝是正数组成的数列，其前ｎ                        项和为 !$* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # Ｓｎ，对于一切ｎ∈Ｎ均有ａｎ与２的等差中项等于Ｓｎ 与２的等比中项． （１）计算ａ１，ａ２，ａ３，并由此猜想数列｛ａｎ｝的通 项公式； （２）用数学归纳法证明（１）中你的猜想． ［分析］　 （１）由题意Ｓｎ ＝（ａｎ ＋２） ２ ８ ，令ｎ ＝１， 因为Ｓ１ ＝ ａ１，可求出ａ１ 的值，再反复代入，分别求 出ａ２，ａ３，总结出规律写出通项公式； （２）根据（１）中的猜想，利用归纳法进行证 明，假设当ｎ ＝ ｋ时成立，然后利用已知条件验证ｎ ＝ ｋ ＋１时也成立，从而求证． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法求数列通项公式 的一般步骤 １．由已知条件求出数列的前几项． ２．依据求出的前几项猜想数列的通项． ３．用数学归纳法证明上面的猜想是正确的． 对点训练? （２０２４·甘肃武威高二检 测）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １ － ｎａｎ（ｎ∈ Ｎ）． （１）计算ａ１，ａ２，ａ３，ａ４； （２）猜想ａｎ 的解析式，并用数学归纳法证明 你的结论． 题型三 用数学归纳法证明等式 ３．用数学归纳法证明：１ ＋ ３ × ２ ＋ ５ × ２２ ＋… ＋（２ｎ －１）×２ｎ － １ ＝ ２ｎ（２ｎ －３）＋３（ｎ∈Ｎ）． ［分析］　 按照数学归纳法证题的步骤进行 证明． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明等式时，一 是弄清ｎ取第一个值ｎ０ 时等式两端项的情况；二 是弄清从ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １等式两端的项是如何 变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证 明ｎ ＝ ｋ ＋ １时结论也成立，要设法将待证式与归 纳假设建立联系，并向ｎ ＝ ｋ ＋ １时证明目标的表 达式进行变形． 对点训练? 用数学归纳法证明： １２ １ × ３ ＋ ２２ ３ × ５ ＋ …＋ ｎ２ （２ｎ －１）（２ｎ ＋１） ＝ ｎ（ｎ ＋１） ２（２ｎ ＋１）．（ｎ∈Ｎ ） 题型四 用数学归纳法证明不等式 ４．用数学归纳法证明：１ ＋ １ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １ ｎ２ ＜ ２ － １ｎ（ｎ≥２）． ［分析］　 按照数学归纳法的步骤证明，由ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋１的推证过程可应用放缩技巧，使问 题简单化． 　 　 ［尝试作答                                                                              ］ !%! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明不等式和 证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： （１）在应用归纳假设证明过程中，方向不明 确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方 向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． （２）在推证“ｎ ＝ ｋ ＋ １时不等式也成立”的过 程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应 用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练? 用数学归纳法证明：１ ＋ １ 槡２ ＋ １ 槡３ ＋…＋ １ 槡ｎ ＜２槡ｎ（ｎ∈Ｎ）． 易错警示 　 　 未用归纳假设而致误 ５．用数学归纳法证明：２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ － １ ＝ ２（２ｎ － １ － １）（ｎ ＞２，ｎ∈Ｎ）． ［错解］　 （１）当ｎ ＝３时，左边＝２ ＋ ２２ ＝ ６，右 边＝２（２２ － １）＝６，等式成立． （２）假设ｎ ＝ ｋ时，结论成立，即２ ＋２２ ＋…＋２ｋ －１ ＝２（２ｋ －１ －１），那么由等比数列的前ｎ项和公式，得２ ＋２２ ＋…＋２ｋ －１ ＋２ｋ ＝２（１ －２ ｋ） １ －２ ＝２（２ ｋ －１）． 所以当ｎ ＝ ｋ ＋１时，等式也成立． 由（１）（２）可知，等式对任意ｎ ＞ ２，ｎ∈Ｎ都 成立． ［误区警示］　 错解中的第二步没用到归纳假 设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳 假设，造成使用数学归纳法失误． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 在用数学归纳法证明中，两个基本 步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基础，验证ｎ ＝ ｎ０ 时结 论成立的ｎ０不一定为１，根据题目要求，有时可为 ２，３等；第二步是递推的依据，证明ｎ ＝ ｋ ＋ １时命 题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就 不是数学归纳法                                    ． 6789%:;< １．用数学归纳法证明１ ＋２ ＋…＋（２ｎ ＋１）＝（ｎ ＋１） （２ｎ ＋１）时，在验证ｎ ＝１成立时，左边所得的代数 式是 （Ｃ ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ＋ ３ Ｃ． １ ＋ ２ ＋ ３ Ｄ． １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ２．（２０２３·玉溪模拟）已知ｎ为正偶数，用数学归纳 法证明１ － １２ ＋ １ ３ － １ ４ ＋…＋ １ ｎ －１ － １ ｎ ＝２ １ ｎ( ＋２ ＋ １ ｎ ＋４ ＋…＋ １ ２ )ｎ 时，若已假设ｎ ＝ ｋ（ｋ≥２）为偶数 时命题为真，则还需要用归纳假设再证ｎ ＝ 　 　 　 　 时等式成立． （Ｂ ） Ａ． ｎ ＝ ｋ ＋１ Ｂ． ｎ ＝ ｋ ＋２ Ｃ． ｎ ＝２ｋ ＋２ Ｄ． ｎ ＝２（ｋ ＋２） ３．某命题与自然数有关，如果当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ）时 该命题成立，则可推得ｎ ＝ ｋ ＋ １时该命题也成 立，现已知当ｎ ＝５时该命题不成立，则可推得 （Ｃ ） Ａ．当ｎ ＝６时，该命题不成立 Ｂ．当ｎ ＝６时，该命题成立 Ｃ．当ｎ ＝４时，该命题不成立 Ｄ．当ｎ ＝４时，该命题成立 ４．已知ｆ（ｎ）＝１ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ｎ（ｎ∈Ｎ ），计算 得ｆ（２）＝ ３２，ｆ（４）＞ ２，ｆ（８）＞ ５ ２，ｆ（１６）＞ ３， ｆ（３２）＞ ７２，由此推测，当ｎ ＞ ２时，有　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝满足Ｓｎ ＋ ａｎ ＝２ｎ ＋１． （１）写出ａ１，ａ２，ａ３，并推测ａｎ的表达式； （２）用数学归纳法证明所得的结论． 请同学们认真完成练案［１２                                ］ !%" 3.A能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的 即S+a1=1-(k+1)a4… 数，故a,=2+(n-1)35=35n-33.由a,=35n-33≤2019， 得<58号aeN,放此数列的项数为5级 又=1-a,车所以4+a=1-k+a… 4.B由题意，今年12月份的月产量为：(1+p)”,则增加的比 从而a4=k+1)(k+2)(k+1)儿(k+1)+1丁 率为1+D)°-a=(1+p)2-1 即n=k+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立 例3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2×(2-3)+3=1，左 记初始正方形的边长为a,经过(n-1)次生长后的正方边=右边，所以等式成立 (2)假设当n=k(k∈N·)时，等式成立，即1+3×2+5×2 形的边长为a。,经过(n-I)次生长后正方形的个数为b, +…+(2k-1)×21=2(2k-3)+3 由题可知，数列1口，是以，巨为首项，号为公比的等比数列。 则当n=k+1时，1+3×2+5×2+…+(2k-1)×2-1+ (2k+1)×2=2(2k-3)+3+(2k+1)×2=2(4k-2)+3= .a. -21- 2[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时，等式成立 由题意可知，6=1+2+2+…+21=·(2业=2-1， 2-1 由(1)(2)知，等式对任何neN'都成立 对点训练3：()当0=1时，左边=女3=分，右边=号 12 令b,=2*-1=1023,解得n=10. 最小正方形的边长为0=21-号=6 =了，左边=右边，等式成立 5.5数学归纳法 2 关键能力·攻重难 2)假设当a=keN)时等式成立，即有对+ 例1：(1)C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故的 2 (1) 值应为3 :(2h-1)(2k+1)2(2k+1) (2)B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题 则当n=k+1时， 对一切正奇数成立. 12 22 (k+1)2 对点训练1：C当a=k时，左边=女++…+ 1 1 1×3+3x5+…+(2k-1)(2k+万+(2h+1)2+3= k(k+1) (+1)2 (k+1)(k+2) 当ak+1时，左边2中3叶 2(2k+1)+(2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 即当n=k+1时等式成立 (+)+(k-万+(k+)+k*(k+1)+(收+厅故不等式左 由(1)(2)可得，对于任意的neN等式都成立， 边的变化是增加中和中2两项，同时减少中一项 1 例4：1)当n2时，1+宁-子<2-宁号命题成立 （2)假设n=k时命题成立，即1+分+分+…+< 1 例2：1)由22反得3=0+2 8,由S可求得a =2,4=6,4=10,由此猜想a,的通项公式a.=4n-2.2- nEN' 1 1 (2)①当m=1时，a1=2,等式成立： 当n=k+1时，1+京+京+…++k+< ②假设当n=k(k∈N)时，等式成立，即a4=4k-2, :2- 1 1 1 六a1=91-S=a1t2》_@+2) 8 8 =2-k十命题成立 (a41+a4)(a1-a-4)=0 又at1+a40,a41-a4-4=0, 由(1)(2)知原不等式在n≥2时均成立. .4e1=a:+4=4k-2+4=4(k+1)-2. 对点训练4：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 .当n=k+1时，等式也成立 边，不等式成立 由①②可知，a.=4n-2对任何meN“都成立. (2)假设当n=(≥1且keN)时，不等式成立，即1+ 对点训练2：(1)依题设可得，当n=1时.S,=a 即4==1-4，即a= *+<2 、/ 1111 故4=2=1×24=6=2×3 则当n=k+1时. 11 11 a=立=3×40=204×5 +派公+司 2+ (2)猜想：a,严n(m+1可 =2压++1<（历2+(+D2+山 +T Vk+1 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立， _2(k+1旦=2k+1 ②假设当n=k(keN”)时，猪想成立， /k+1 所以当n=k+1时，不等式成立 即a产+当n=6+1时，51-=l-（+1)a 由(1)(2)可知，原不等式对任意neN都成立. 139 例5：(1)当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(2-1)=6， 等式成立： 例2a1=2,a4=2n+a (2)假设n=k时，结论成立，即2+22+…+2-1 =2(2-1-1), 2 01 那么n=k+1时，2+22+…+2-1+2=2(2-1-1)+2= -2×3 2·2°-2=2(2-1)=2[209-4-1]. 2· 所以当n=k+1时，等式也成立 由(1)(2)可知.等式对任意n>2,n∈N都成立 a_2×n 课堂检测·固双基 an-1 n-It 1.C当n=1时，2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故 : 以上n-1个等式左右两边分别相乘得二=n·2-, 应选C 2.B由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥2)为偶数 即a,=n·2, 时命题为真， 且n=1时，a1=2也适合上式 则还需要用归纳假设再证n=k+2, .a。=n·2" 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数， ,“1两边取倒数得}-1=1， 故选B 例3：(1)由a,=1+a, a。a-1 3.C若n=4时，该命题成立，由条件可推得n=5命题成立. 它的逆否命题为：若n=5不成立，则n=4时该命题也不！ 数列侣是首项为宁，公差为1的等差数列 d 成立 4f2")>”+2 a. 2 自变量的取值依次为2,4=2,8=2,16=2， 2 32=2,…,故为2°.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，…，故 4.=2n-了 右边为2即2)>”生是 (2)%1=3a。+2. 2 a1+1=3(a.+1) 51)将n=12,3代人8+a=2+1中得，4=号=2- 又a1+1=2≠0， 2 ,数列1a。+11是首项为2，公比为3的等比数列 4=子=2-%=2- 7 0+1=2·3-.a=2·3-1-1 2b。 猜想a,=2-2 1 例4：()证明：由已知民+女=2得S7-且6.≠0. (2)①由(1)知当n=1时.命题成立： ②假设n=k时，命题成立，即a,=2- 取n=1,由S=6得6=子 则当n=k+1时，41+a2+…+a:+a41+a4=2(k+1)+1, 由于b。为数列S,{的前n项积， 且a1+a+…+a%=2k+1-a4, 2b1 2h2 26 六2k+1-a+2a1=2(k+1)+1=2k+3, 所以26-‘2h一气…26。-=6 24=4-=2- 2b2h, 所以‘2，… 2b。山 261=6.1 即当n=k+1时，命题成立 b以 2b山 根据①2得neN”。,=2-都成立 所以2b.-1。 由于6.1≠0 章末整合提升 要点专项突破 所以26产公即6-6，之其中neN 2 例1：由an1-a.=3°-n, 所以数列6.是以6，=子为首项，以d=宁为公差的等差 得a,-a-1=3-1-(n-1), 数列： 4,-1-a,-2=32-(n-2), 40 (2)由(1)可得，数列6是以6，=子为首项，以d=为 45-42=32-2,42-01=3-1. :公差的等差数列， 当n≥2时，以上n-1个等式两端分别相加，得(a。-a。-1) +(a。-1-a-2）+…+(a-a） 6=+(a-)x=1+受 =3-1+3-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+2+1], 2b。 2+n pa,-a1=31-3-)n(n- 5.=26,六1+m 1-3 2 当n=l时，a=5=2 3 又a=la=分×3”.2-号 2 2 显然a=1也适合上式， 当32时a=8-中 六a的通项公式为a,=号×3"2D-号 1 2 n(n+)显然对于n=l不成立， -140