5.4 数列的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ５． ４　 数列的应用 !"#$%&'( 课程目标 １．能够将实际问题抽象为数列模型，提高分析问题和解决问题的能力．（数学建模） ２．会利用等差数列、等比数列的通项公式及前ｎ项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效 应等问题．（数学运算） 学法指导 １．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系． ２．建模：利用数学知识及其他相关知识建立相应的数学模型． ３．求模：求解数学模型，得出数学结论． ４．还原：将数学结论还原为实际问题的答案． /012%345 题型探究 题型一 等差数列的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某种汽车购买时费用为１４． ４万元，每年应 交付保险费、汽油费共０． ９万元，汽车的维修费 为：第一年０． ２万元，第二年０． ４万元，第三年０． ６ 万元……依等差数列逐年递增． （１）设使用ｎ年该车的总费用（包括购车费 用）为ｆ（ｎ），试写出ｆ（ｎ）的表达式； （２）求这种汽车使用多少年报废最合算（即 该车使用多少年平均费用最少）． ［分析］　 （１）由已知及等差数列前ｎ项和公 式，即可得到ｆ（ｎ）的表达式；（２）由（１）中使用ｎ 年该车的总费用，我们可以得到ｎ年平均费用表 达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最 小时的ｎ值，进而得到结论． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列与最值的求解策略 本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转 化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解 题的关键． 对点训练? 近几年，我国在电动汽车领 域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力 总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我 国永磁电机的技术已处于国际领先水平，某公司 计划今年年初用１９６万元引进一条永磁电机生产 线，第一年需要安装、人工等费用２４万元，从第二 年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一 年增加８万元，该生产线每年年产值保持在１００ 万元． （１）引进该生产线几年后总盈利最大，最大 是多少万元？ （２）引进该生产线几年后平均盈利最多，最 多是多少万元                                         ？ !$' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 等比数列的应用 ２．（２０２４·江西省南昌市期中）某住宅小区计 划植树不少于１００棵，若第一天植２棵，以后每天 植树的棵数是前一天的２倍，则需要的最少天数ｎ （ｎ∈Ｎ）等于　 　 　 　 ． ［分析］ 　 建立数列模型→ 求等比数列 前ｎ项和 → 得出不等式，利 用指数函数性质 估算最少天数 ［规律方法］　 应用等比数列前ｎ项和公式解 决实际问题的步骤 （１）构建数列模型； （２）由题设确定数列为等比数列，并求公比 ｑ，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出 公比ｑ； （３）利用等比数列前ｎ项和公式进行计算． 对点训练? 若某地区２０１９年人口总数 为４５万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口 总数将发生如下变化：从２０２０年开始到２０２９年 年底每年人口比上一年增加０． ５万人，从２０３０年 开始到２０３９年年底每年人口为上一年的９９％ ． （１）求实施新政策后第ｎ年的人口总数ａｎ的 表达式（注：２０２０年为第１年）； （２）若实施新政策后，从２０２０年到２０３９年年 底平均每年的人口总数超过４９万，则需调整政 策，否则无须调整．试判断到２０３９年年底是否需 要调整政策．（附：０． ９９１０≈０． ９） 题型三 数列中的复利计算问题 ３．市民小张计划贷款６０万元用于购买一套 商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等 额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还 款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息，每个月的还款额均相同．银行规定， 在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若２０１９ 年７月７日贷款到账，则２０１９年８月７日首次还 款）． 已知小张该笔贷款年限为２０年，月利率为 ０． ００４． （１）若小张采取等额本金的还款方式，现已 得知第一个还款月应还４ ９００元，最后一个还款 月应还２ ５１０元，试计算小张该笔贷款的总利息； （２）若小张采取等额本息的还款方式，银行 规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一 半，已知小张家庭平均月收入为１万元，判断小张 该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （３）对比两种还款方式，从经济利益的角度 来考虑，小张应选择哪种还款方式． 参考数据：１． ００４２４０≈２． ６１． 　 　 ［尝试作答                                                                                      ］ !$( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 １．由题意可知，等额本金还款 方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由 等差数列的前ｎ项和公式求得其还款总额，减去 本金即还款的利息． ２．根据题意，采取等额本息的还款方式，每月 还款额为一个等比数列，设小张每月还款额为ｘ 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其 还款额，与收入的一半比较即可判断． ３．计算出等额本息还款方式时所付出的总利 息，两个利息比较即可判断． 对点训练? 小明于１０月５日在某电商 平台上通过零首付购买了一部售价６ ０００元的手 机，约定从下月５日开始，每月５日按等额本息 （每期以相同的额度偿还本金和利息）还款ａ元，１ 年还清，其中月利率为０． ５％，则小明每月还款数 ａ ＝ 　 　 　 　 元（精确到个位）． （参考数据： １． ００５１１≈ １． ０５６；１． ００５１２ ≈ １． ０６２；１． ００５１３ ≈ １． ０６７               ） 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格 每年降低１３，现在价格为８ １００元的计算机３年 后的价格可降低为 （Ｃ ） Ａ． ３００元　 　 　 　 　 　 Ｂ． ９００元 Ｃ． ２ ４００元　 　 Ｄ． ３ ６００元 ２．有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯？”通过 计算得到的答案是 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ３．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称 “孙子定理”，该定理涉及的是数的整除问题， 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日 常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展 做出了巨大贡献．现有这样一个整除问题：将１ 到２ ０１９这２ ０１９个整数中能被５除余２且被７ 除余２的数按从小到大的顺序排成一列，构成 数列｛ａｎ｝，那么此数列的项数为 （Ａ ） Ａ． ５８ Ｂ． ５９ Ｃ． ６０ Ｄ． ６１ ４．某工厂去年１２月份的月产量为ａ，若该厂产量 月平均增长率为ｐ，则今年１２月份的月产量比 去年同期增加的比率为 （Ｂ ） Ａ．（１ ＋ ｐ）１２ Ｂ．（１ ＋ ｐ）１２ － １ Ｃ．（１ ＋ ｐ）１１ Ｄ． １２ｐ ５．如图所示，是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上 连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形 的直角边上再连接正方形……如此继续．一共 得到１ ０２３个正方形，设初始正方形的边长为 槡２，则最小正方形的边长为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１１                                            ］ !$) 所以宁=+分+… 10 3-n,2-n x0.5+49.5x-099】=47.5+4950×(1-0.99")= 2” 2+1 1-0.99 两式相减得5。= 972.5. 11 1422-n 》极65<9 所以宁5=7 故到2039年年底不需要调整政策. 1 12 2*1 例3：(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额 构成一个等差数列，记为a,{, 1111 =22+22+2m2 S。表示数列}a.的前n项和，则m1=4900,42m=2510, 所以8=是 则S2= 240(a+am）=120×(4900+2510)=889200. 2 5.4数列的应用 故小张该笔贷款的总利息为889200-600000= 289200元. 关键能力·攻重难 (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式， 例1：(1)f八m)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2m)+ 每月还款额为一个等比数列， 0.9m=14.4+02n++0.9m=0.1n2+n+14.4 2 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)29 (2)设该车的年平均费用为$万元， =600000×(1+0.004)20 +14.4+1 w=2m)=01r2+n+14.4)=0 n 所以 =600000×1.00420 ≥2/1.44+1 px.6000x104"×Q0460000×2.61x0.004 1.0040-1 261-1 =2×1.2+1=3.4, =3891, 当且仅当n=12时，等号成立 故该汽车使用12年报废为宜 因为3891<1000×分=500， 对点训练1：(1)设引进设备n年后总盈利为f八n)万元，设 所以小张该笔贷款能够获批 除去设备引进费用，第n年的成本为a,构成一等差数列，前n (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240 年成本之和为24n+n,Dx8=24n+4n(m-1)万元： 600000=933840-600000=333840(元)，因为333840 2 故fn)=100n-[24m+4n(n-1)+196]=-4n2+80n- >289200. 196=-4(n-10)2+204,neN,, 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款 所以当n=10时八n)m=204万元 方式. 答：引进生产线10年后总盈利最大为204万元 对点训练3：514由题知小明第1次还款a元后。 (2)设n年后平均盈利为g(m)万元，则g()=m=-4n 还欠本金及利息为[6000(1+0.5%)-a]元， n 第2次还款4元后， 196+80.neN 还欠本金及利息为： [6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%）-a]元， 因为ga)=-4(a+号）+0 第3次还款4元后， 还欠本金及利息为： 49 /49 当neN,n+≥2√n· =14,当且仅当程= 49 ,n=7 [6000(1+0.5%)'-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)- 0元， 时取得等号， 以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为： 故当n=7时，g(n)=g(7)=24万元. 6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)"-…-a(1+0.5%）- 答：引进生产线7年后平均盈利最多为24万元 元， 例2：6设每天植树的棵数构成的数列为。|，由题意可 此时已全部还清，则6000(1+0.5%)2-4(1+0.5%)" 知它是等比数列，且首项为2.公比为2.可得21二22≥100，即 …-a(1+0.5%）-a=0, 2”≥51.而2°=32,2°=64.neN”,所以最少天数n=6. 即6000(1+0.5%)2=g1-1+0.5%)巴 1-(1+0.5%) 对点训练2：(1)当1≤n≤10时，数列|a,是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列， 解得a-6000x0.05×1.05-30x1062=514 1.0052-1 0.062 a.=45.5+0.5×(n-1）=45+0.5m 课堂检测·固双基 当11≤n≤20时，数列{a{是公比为0.99的等比数列，又 ao=50. 1.C第-年价格为：8100×-写）-5400： .a。=50×0.99-0 故实施新政策后第n年的人口总数a,的表达式为 第二年价格为5400x-号）=360： f45+0.5n,1≤n≤10，neN* 4={50x0.9-m,11≤n≤20，neN, 第三年价格为：3600×1-号）=2400 (2)设S。为数列{a1的前n项和，结合(1)知。 2.B由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n层有 m=5o+(a1+aa+…+an)=10×45.5+10x(10-l2 2-a盏灯，所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381, .a=3. -138 3.A能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的 即5+a4+1=1-(k+1)a+ 数，故a,=2+(n-1)35=35n-33.由a.=35n-33≤2019， 得<58器eN,故此数列的项数为5级 又S=1-a,=所以+aa=1-(k+1a, 4.B由题意，今年12月份的月产量为a(1+P)2,则增加的比 从而a1=(k+1)(k+2(k+1)儿(k+1)+可 率为01+D)严-“=(+pn-1 即n=素+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立 例3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2×(2-3)+3=1，左 56 记初始正方形的边长为a,经过(n-1)次生长后的正方 边=右边，所以等式成立， (2)假设当n=k(keN")时，等式成立，即1+3×2+5×2 形的边长为a。,经过(n-I)次生长后正方形的个数为b, +…+(2k-1)×2-1=2(24-3)+3. 由恶可知，数列。，是以，反为首项，号为公比的等比数列。 则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2张-1)×2-1+ :(2k+1)×2*=2(2k-3)+3+(2h+1)×2=2*(4k-2)+3= =21 2[2(k+1)-3]+3, 即当n=+1时，等式成立 由题意可知，6=1+2+2+…+21·(2-山=2”-1. 2-1 由(I)(2)知，等式对任何neN都成立. 令6.=2*-1=1023，解得n=10. 小最小正方形输边长为。=2-里=6 对点训练：当41时，左边=品-分，右边-号 了，左边=右边，等式成立 5.5数学归纳法 22 关键能力·攻重难 2)假设当n=kkeN时等式成立，即有3有…子 例1：(1)C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故的 2 k(k+1) 值应为3. (2-1)(2h+1)2(2k+1) (2)B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题 则当n=春+1时， 对一切正奇数成立 12 22 2 (传+1)2 对点训练1：C当a=时，左边=女++…+ 1 1 1×3*3x5+…+(2k-1)(2+万+(2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1)2 (+1)(片+2) 当=1时，左边=中2中3一 2(2k+1)+(2k+1)(2+3 2(2k+3) 即当n=+1时等式成立 1 (+)+(k-万+(k+)+k+(k+)+(k+故不等式左 由(1)(2)可得，对于任意的n∈N等式都成立. 边的变化是增加中和+2两项，同时减少 一项。 例4：山)当2时，1+分=号2-宁号命画成立。 例2：0由”2V2区得82 (2)假设n=k时命题成立，即1+方+号+…+衣< ”8一，由S可求得a, =2,a:=6,a1=10,由此猜想0n|的通项公式a。=4n-2, 2- n∈N" 1 1 (2)①当n=1时，a,=2,等式成立： 当n=6+1时，1+++…++(k+1< ②假设当n=k(k∈N”)时，等式成立，即=4-2， 2- a1=51-S=01+2)2_(a4+2) 8 8 (a1+a)(a41-a:-4)=0. =2+命题成立. 又a1+a1≠0a1-a4-4=0, 由(1)(2)知原不等式在n≥2时均成立 a1=a+4=4h-2+4=4(k+1)-2, 对点训练4：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 .当n=k+1时，等式也成立 边，不等式成立 由①②可知，a,=4n-2对任何neN都成立. (2)假设当n=(≥1且eN)时，不等式成立，即1+ 对点训练2：(1)依题设可得，当n=1时，S,=a 2 即4=8=1-4，即a=分 、 1111 故4=71×24=62x3 则当n=+1时， 1+1 1 1 0=123×40=20-4×5 迈3 瓜+I 2+ (2)猜想：4，=n(m+厅 -2压++1<(+(+D+1 √k+I √k+I 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立 2(k+1D=2√k+I ②假设当n=k(k∈N")时，猜想成立， k+l 1 所以当n=k+1时，不等式成立 即ak+当n=+1时，1=1-（k+)风 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N·都成立. -139