5.3.2 第2课时等比数列习题课(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ３，ａｎ ＝ ９６，Ｓｎ ＝ １８９，则ｎ的值为 （Ｃ ） Ａ． ４　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ２．等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且４ａ１，２ａ２，ａ３ 成等差数列．若ａ１ ＝ １，则Ｓ４等于 （Ｃ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． １５ Ｄ． １６ ３．（２０２３·新高考Ⅱ）记Ｓｎ为等比数列ａ{ }ｎ 的前ｎ 项和，若Ｓ４ ＝ － ５，Ｓ６ ＝ ２１Ｓ２，则Ｓ８ ＝ （Ｃ ） Ａ． １２０ Ｂ． ８５ Ｃ． － ８５ Ｄ． － １２０ ４．若等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ３ ＝ ３２，Ｓ３ ＝ ９ ２，则公比ｑ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ３ ＝ ２，前３ 项和 Ｓ３ ＝ ９ ２ ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）设等比数列｛ｂｎ｝满足ｂ１ ＝ ａ１，ｂ４ ＝ ａ１５，求 ｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ． 请同学们认真完成练案［９                          ］ 第２课时　 等比数列习题课 !"#$%&'( 课程目标 １．进一步理解等比数列中ａｎ与Ｓｎ的关系．（数学运算） ２．掌握几种与等比数列有关的求和方法．（数学运算） 学法指导 体会不同的求和方法中所蕴含的求和思想，能针对不同的数列选择恰当的求和方法． /012%345 题型探究 题型一 等比数列ａｎ与Ｓｎ的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ，ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４ 成等差数列，则Ｓｎ 与ａｎ 的关系是 （Ａ ） Ａ． Ｓｎ ＝２ａｎ －１ Ｂ． Ｓｎ ＝２ａｎ ＋１ Ｃ． Ｓｎ ＝４ａｎ －３ Ｄ． Ｓｎ ＝４ａｎ －１ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，对任意正整 数ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ，则下列关于｛ａｎ｝的论断中正确的 是 （Ｂ ） Ａ．一定是等差数列 Ｂ．可能是等差数列，但不会是等比数列 Ｃ．一定是等比数列 Ｄ．可能是等比数列，但不会是等差数列 　 　 ［规律方法］　 关于等比数列Ｓｎ与ａｎ的关系 （１）Ｓｎ与ａｎ的关系可以由Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ１ － ｑ 得到， 一般已知ａ１，ｑ即可得到二者之间的关系，也可以 通过特殊项验证判断． （２）Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ａｎ（ｎ≥２）是Ｓｎ与ａｎ                 之间的内 !$$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 在联系，既可以推出项ａ ｎ － １，ａｎ，ａｎ ＋ １之间的关系， 也可得到Ｓｎ － １，Ｓｎ，Ｓｎ ＋ １之间的关系，体现了Ｓｎ 与 ａｎ关系的本质． 对点训练? （１）等比数列｛ａｎ｝，若已知 ａｎ ＝３ ｎ － １，则Ｓｎ与ａｎ的关系是什么？ （２）记Ｓｎ 为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋１，则Ｓ６ ＝ 　 　 　 　 ． 题型二 分组转化求和 ２．已知数列１，１ ＋ ２，１ ＋ ２ ＋ ２２，…，１ ＋ ２ ＋ ２２ ＋…＋２ｎ，…． （１）求其通项公式ａｎ； （２）求这个数列的前ｎ项和Ｓｎ． ［分析］　 注意观察数列的每一项可以发现， 数列的第１，２，…，ｎ项依次为等比数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和，其中ａｎ ＝ ２ｎ － １ ．求该数列各项的和可先求 通项ａｎ，再依ａｎ的特征选择求和方法． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该 数列的前ｎ项和可考虑拆项后利用公式求解． 对点训练? 各项均为正数的等比数列 ｛ａｎ｝，ａ１ ＝ １，ａ２ａ４ ＝ １６，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ，且Ｓｎ ＝ ３ｎ ２ ＋ ｎ ２ （ｎ∈Ｎ ＋）． （１）求数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式； （２）若ｃｎ ＝ ａｎ ＋ ｂｎ，求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项 和Ｔｎ． 题型三 错位相减法求和 ３．设｛ａｎ｝是公比不为１的等比数列，ａ１ 为 ａ２，ａ３的等差中项． （１）求｛ａｎ｝的公比； （２）若ａ１ ＝ １，求数列｛ｎａｎ｝的前ｎ项和． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 错位相减法 若数列｛ａｎ｝为等差数列，数列｛ｂｎ｝是等比数列， 由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为｛ａｎｂｎ｝， 当求该数列的前ｎ项的和时，常常采用将｛ａｎｂｎ｝的各 项乘以公比ｑ，然后错位一项与｛ａｎｂｎ｝的同次项对应 相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求 和的方法称为错位相减法                                                                        ． !$% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，ａ１ ＝ － ９４，且４Ｓｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ －９． （１）求数列｛ａｎ｝的通项； （２）设数列｛ｂｎ｝满足３ｂｎ ＋（ｎ － ４）ａｎ ＝ ０（ｎ∈ Ｎ），记｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，若Ｔｎ≤λｂｎ对任意 ｎ∈Ｎ恒成立，求实数λ的取值范围． 易错警示 　 　 对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母 进行分类讨论而致误 ４．求数列１，ａ，ａ２，…的前ｎ项和Ｓｎ． ［错解］　 Ｓｎ ＝ １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ － １ ＝ １ － ａ ｎ １ － ａ ＝ ａ ｎ －１ ａ －１ ． ［误区警示］　 错误的原因在于忽略了对ａ的 取值进行分类讨论． 　 　 ［正解                                          ］ 6789%:;< １．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，且２ａ１，２，２ａ６成等比 数列，则｛ａｎ｝前６项的和为 （Ｃ ） Ａ． １５　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２１２ Ｃ． ６ Ｄ． ３ ２．等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，前ｎ项和为Ｓｎ，设 甲：ｑ ＞０，乙：｛Ｓｎ｝是递增数列，则 （Ｂ ） Ａ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 Ｂ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 Ｃ．甲是乙的充要条件 Ｄ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ３．已知各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ．若２Ｓ１，Ｓ３，Ｓ２成等差数列，则数列｛ａｎ｝的 公比为　 　 　 　 ． ４．在等比数列｛ａｎ｝中，公比ｑ是整数，ａ１ ＋ ａ４ ＝ １８，ａ２ ＋ ａ３ ＝ １２，则此数列的前８项和为　 　 　 　 ． ５．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ２ ＝ ０，ａ６ ＋ ａ８ ＝ － １０． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列ａｎ ２{ }ｎ 的前ｎ项和Ｓｎ． 请同学们认真完成练案［１０                              ］ !$& 比为，由等比数列的性质可得5=5。即5。=号5， : .4a2=4a1+a,即4a9=4a1+am192,即g2-4g+4=0 小+54 解得g=2又a=18号=15枚选C 3.C等比数列{a中，S=-5,S。=21S,显然公比g≠1， 50解得9=子又前3项之积a4==64,解 设首项为，则1-g=-5①.1-g）: 1-g 得a=4,4=2=12.故选B 21a(1-)2, (2)9因为数列引a,1为正项等比数列，所以S,S-5, 1-9 S-S也成等比数列，则(S。-S,)2=S,·(S-S),将S,=3, 化简2得q+92-20=0,解得4=4或g2=-5(不合题意. $-S。=12代人，可得S。=9. 舍去)， 例4：设a.表示第n年年底扣除消费资金后的资金，则： 代人①得。 4=10m1+2）-,-0w1+2）-+2）- 所以5-2==1-9)(1+g=子x(-15)× 1-g1-g =1001+2)-+2）-x, (1+16)=-85. 故选C 4=0(1+）广-1+）-](+2）- 41或-分因为0=号=号所以a++6=号 100+)-+）广-x+）-x 则41+2=3， 依此类推，得： 4=10(1+）广-+）广-x+广 所疗号3化简得2对-9-1=0，解得g1或分 5.(1)设a,的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a+ +）广-x+分）- 324=号.化简得4+2d=24+d=子，解得a=1,d 则1m×(号）广-[(3)广+（侵）'++小=200， 立，故通项公式a,=1+”, 2, 即a.-n+ 2 =2000 ! (2)由(1)得6=1,6=6=15，=8设6，的公比为g,则 2 解得x424(万元).·每年年底扣除的消费资金为424 万元 寸会8，从面g=2故6的所项和工2 1-9 对点训练4：C设牛，马、羊所吃禾苗分别为a,2,,则 1×1-2=2°-1. 1-2 1口，}是公比为与的等比数列， 第2课时等比数列习题课 所以S,= =50 关键能力·攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为g(9>0). 由a1=1,且-a4,a4成等差数列， 解得a,-9所以羊主人应偿还： 得2a=a-a,即2g=g-.得9=2 _1-a.×2 所以5=12，则S=2a,-1 例5：若q=1,则S=3和1=6，符合题意.此时，q=1,4=a (2)Ba1=3S.,a。=3S,-4,故a+4-an=30,即a,1 =2 4,(n≥2)，而n=1时，4，=3S,=3a1,可知该数列不是等比数 若9≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S,。“-】 列.当a。=0时，数列a,为等差数列.故本题正确答案为B 1-4 对点等108等-之号 1 21-2=6. 1-g 解得g=1(會去)或q=-2 (2)-63依题意，L作差得a1=2a， 此时，a3=a192=2×(-2)2=8. 所以数列{a.}是公比为2的等比数列， 综上所述，9=1，a3=2或9=-2，a3=8. 又因为a1=S=2a+1, 课堂检测·固双基 所以a1=-1,所以a,=-2 1.C由a.=a1q-,得96=3g-g-1=32-2 令m=6,9=2,这时5-3-=189，符合题意， 所以8=19边-6 1-2 例2：(1)an=1+2+22+…+2- 故选C. 2.C设等比数列|a.}的公比为 21 41,2a2,a成等差数列. ,这个数列的通项公式为a,=2”-1 136 (2)S。=a1+a2+a3+…+a =(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2”-1)） -(☐.-42 =(2+22+23+…+2*)-n =2×(1,22】-n=21-n-2 1 1-2 号-4()-(-4)( 对点训练2：(1)设公比为9，a1=1,aa4=16, 9=16,9>0.∴9=2 a.=2-1 8-3n+a 2 房(}” 当n≥2时么=8.-81n.a-户+a-业 由T,≤仙，得-4n~(子"≤A(n-4)·() 恒成立 2 2 即A(n-4)+3n≥0成立， =3n-1. n=4时不等式何成立： 当n=1时.b1=S=2满足上式.，b=3n-1. (2)c=a.+6n=2-+3m-1. n<4时.A≤-4=-3-4得As1: n-4 T,=C1+c3+…+e。 =(29+2+…+2-1)+[2+5+…+(3n-1)] n>4时A2=-3品得A3-3 +2±g-少-2-1+a 所以-3≤A1. 2 2 例4：5n=1+a+a2+…+a- 例3：(1)设{a.的公比为g,由题设得2a,=a+ 当a=1时，S。=1+1+…+1=n:当a≠1且a≠0时，S。= 即2a,=a19+a19 1-a_a-1 所以g+9-2=0,解得g=1(舍去)或9=-2 1-a -1 故a.的公比为-2 rn,(a=1). (2)记S.为数列na,的前n项和.由(1)及题设可得 当a=0时满足上式.∴S。 4,=(-2)-,所以S.=1+2×(-2)+…+n·(-2)- (). -25,=-2+2×(-2)2+…+(n-1)·(-2)°-↓+ 课堂检测·固双基 n·(-2). 1.C设数列a.为公差为d的等差数列， 所以35=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)-1-n·(-2)” 且21,2,2成等比数列， =1-（-2)-n·(-2 可得4=2·20=2+，可得a1+a6=2, 3 即有a,前6项的和为2×6(a+:)=6 所以3=g-+)-2少 9 2.B由题，当数列为-2，-4，-8，…时，满足q>0,但是S} 对点训练3：(1)当n=1时，4(a1+a)=3a-9, 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件 若5是递增数列，则必有a,>0成立，若g>0不成立，则会 出现一正一负的情况，是矛盾的，则9>0成立，所以甲是乙的 当n≥2时，由45.1=35.-9①， 必要条件.故选B 得45=35.-1-92，①-②得4如n1=3a 3.上各项均为正数的等比数列|a,的公比设为9，若2S,S, 2 00 S成等差数列. 导=子a,是首项为-是，公比为子的等比数列。 可得253=2S+S2 即为2(41+ag+:日)=2a1+a1+a1g, a=(-3(月 即有2g+g-1=0. 2)由36+(a-4)a=0,得6，=-”与= 解得4=宁(q=-1不合题意合去). 4.510由a1+a4=18和a2+4=12, a-4(, 得方程组+a9=18, 【a19+a19=12, 所以=-3×子-2×(-1×()+0×()+ 解得a=2,9=2或a=16,9=2 +a-4)(是) 因为9为整数，所以9=2,1=2，=2×，2=2”-2 1-2 .=-3×()-2×(-1x(+…+(a-5列 =510. 5.(1)设等差数列|a.的公差为d,由已知条件可得 ()广+(-4·() ta +d=0. 两式相碱得好7=-3×子+(+()广+(+… 务 l2a,+12d--10. 放数列{a.}的通项公式为a,=2-n *(-a-4)(任)” 2s++++ 137 所以5=分++…+2 1.0 3-1,2- 2+7 x0.5+49.5×0992=47.5+4950×0-0.99°)= 1-0.99 111 两式相碱得25，=一交交…一 972.5. 11 所以=分2产2 》-级6的<9 故到2039年年底不需要调整政策， 2 1-2 2 例3：(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额 构成一个等差数列，记为a,, 1111 立+交交+2m2m S。表示数列a.}的前n项和，则a1=4900,a2n=2510, 所以5=是 则3.240(a+an2】 =120×(4900+2510)=889200. 2 5.4数列的应用 故小张该笔贷款的总利息为889200-600000= 289200元. 关健能力·攻重难 (2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式， 例1：(1)f(n）=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+ 每月还款额为一个等比数列， 0.9n=14.4+0.2m(m+山+0.9n=0.1n+n+14.4. 2 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)29 (2)设该车的年平均费用为S万元， =600000×(1+0.004)2 5=m)=01n+n+4.4)=0+4兰+ n 所以 =600000×1.0040 ≥2/个.44+1 即x-60000×1.004m×0.0046000x261×0.04 1.0040-1 2.61-1 =2×1.2+1=3.4, =3891, 当且仅当n=12时，等号成立 故该汽车使用12年报废为宜 因为3891<1060×宁=500， 对点训练1：(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设 i 所以小张该笔贷款能够获批 除去设备引进费用，第n年的成本为“.，构成一等差数列，前n (3)小张采取等额本息贷款万式的总利息为3891×240 年成本之和为24n+nn,业x8=24n+4n(n-1)万元： :600000=933840-600000=333840(元)，因为333840 2 故fn）=100m-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n- >289200. 196=-4(n-10)2+204,neN,, 所以从经济利益的角度米考虑，小张应选择等额本金还款 所以当n=10时f(n)=204万元. 方式 答：引进生产线10年后总盈利最大为204万元 对点训练3：514由题知小明第1次还款a元后 (2)设n年后平均盈利为g(m)万元，则g(m)=m=-4n 还次本金及利总为[6000(1+0.5%)-a]元， 第2次还款a元后， 96+80,neN 还欠本金及利息为： n [6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a]元. 因为a)=-4(a+号》+0 第3次还款a元后， 还欠本金及利息为： 49 当neN,n+ 49 n n =4,当且仅当n=9 n=7 [6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)- ia元， 时取得等号， 以此类推，则第12次还款：元后，还欠本金及利总为： 故当n=7时，g(n)=g(7)=24万元 6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)1-…-a(1+0.5%） 答：引进生产线7年后平均盈利最多为24万元 a元， 例2：6设每天植树的棵数构成的数列为a,!,由题意可 此时已全部还清，则6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)”- 知它是等比数列，且首项为2，公比为2.可得212≥1m,即 …-a(1+0.5%）-a=0 2≥51.而2=32,2°=64，neN”,所以最少天数n=6, 即6000(1+0.5%)=a1-(1+0.5%)巴1 1-(1+0.5%) 对点训练2：(1)当1≤n≤10时，数列|a,}是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列， 解得a600×0.005x1.0530xL062-514. 1.0059-1 0.062 a,=45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n, 课堂检测·固双基 当11≤n≤20时，数列{a.是公比为0.99的等比数列，又 a10=50, 1.C第-年价格为：810×(1-号）=540： a。=50×0.99*-0 故实施新政策后第n年的人口总数a,的表达式为 第二年价格为：5400×1-号）-360： 「45+0.5n,1≤n≤10，neN, a={50x0.9-1,11≤n≤20，neN 第三年价格为：3600×(1-号）=2400 (2)设S,为数列a。I的前n项和，结合(1)知 2.B由题意，设塔尖有a盏灯，根据题意，由上往下数第n层有 m=So+(a1+a2+…+a)=l10x45.5+10x(I0- 2”-a盏灯，所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381, .a=3. -138