5.3.1 第1课时等比数列的定义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １，则ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２的值为 （Ａ ） Ａ． １００　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ９９ Ｃ． １２０ Ｄ． １３０ ２．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的 内角为１２０°，公差为５°，那么这个多边形的边 数ｎ等于 （Ｃ ） Ａ １２ Ｂ １６ Ｃ ９ Ｄ １６或９ ３．在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＝ １３，ａ１ ＋ ａ６ ＝ ４， ａｎ ＝３７，则ｎ等于 （Ｃ ） Ａ． ５０ Ｂ． ４９ Ｃ． ５６ Ｄ． ５１ ４．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ３９，ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ２７，则数列｛ａｎ｝前９项的和为 （Ｃ ） Ａ． ２９７ Ｂ． １４４ Ｃ． ９９ Ｄ． ６６ ５．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ ＋１ ＋ ２ ｎ ＋１ ＋…＋ ｎ ｎ ＋１．又 ｂｎ ＝ ２ ａｎａｎ ＋ １ ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和． 请同学们认真完成练案［６                              ］ ５． ３　 等比数列 ５． ３． １　 等比数列 第１课时　 等比数列的定义 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．（数学抽象） ２．借助教材掌握等比数列的通项公式．（数学抽象） ３．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．（数学运算） 学法指导 １．要从现实生活的大量实例中体会等比关系，感受等比数列在生活实践中和数学文化中的广 泛性． ２．类比等差数列，感受“差”与“比（商）”的联系，进而认识到“等差”与“等比”的结构和概念的一 致性． ３．进一步体会基本量思想与方程思想在等比数列中的应用． !#$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # )*+,%-.+ 等比数列的定义 　 　 一般地，如果一个数列从　 第２项起，每一项 与它的前一项的比都等于　 同一个常数，那么这 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 　 公比，公比通常用字母　 　 　 　 表示（显然ｑ≠ ０）． 定义还可以叙述为：在数列｛ａｎ｝中，若ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｑ（ｑ为常数且ｑ≠０），则｛ａｎ｝是等比数列． 知识解读：对等比数列定义的理解 （１）由等比数列的定义知，数列除末项外的 每一项都可能为分母，故每一项均不为０，因此公 比也不为０，由此可知，若数列中含有“０”，则该数 列不可能是等比数列． （２）“从第２项起”是因为首项没有“前一 项”．同时注意公比是每一项与其前一项的比，前 后次序不能颠倒． （３）定义中的“同一常数”是定义的核心之 一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个 数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都是 一个与ｎ无关的常数，但是这些常数不相同，那么 此数列也不是等比数列．当且仅当这些常数相同 时，数列才是等比数列． （４）等比数列的定义可作为判定或证明等比 数列的依据，即判断ａｎ ＋ １ａｎ 或 ａｎ ａｎ － １ （ｎ≥２）是否为非 零常数ｑ． 等比数列的通项公式 　 　 等比数列的通项公式 设等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，则这 个等比数列的通项公式是ａｎ ＝ 　 ａ１ｑｎ － １（ａ１，ｑ≠ ０）． 知识解读：关于等比数列通项公式的推导，除 了教材第２９页的方法（归纳法和累乘法）外，我们 还有如下方法． 迭代法　 根据等比数列的定义，得ａｎ ＝ ａｎ － １ ｑ ＝（ａｎ － ２ｑ）ｑ ＝ ａｎ － ２ ｑ２ ＝（ａｎ － ３ ｑ）ｑ２ ＝ ａｎ － ３ ｑ３ ＝…＝ ａ２ｑ ｎ － ２ ＝（ａ１ｑ）ｑｎ － ２ ＝ ａ１ｑｎ － １（ｎ≥２）；当ｎ ＝ １时，上 面等式也成立．故当ｎ∈Ｎ时，ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １                                   ． /012%345 题型探究 题型一 等比数列的概念运用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．给出下列数列： ①２，２，４，８，１６，３２，…； ②在数列｛ａｎ｝中，ａ２ａ１ ＝ ２， ａ４ ａ３ ＝ ２； ③常数列ｃ，ｃ，ｃ，…，ｃ． 其中等比数列的个数为　 　 　 　 ． 对点训练? （２０２４·北京东城区高二期 末）定义函数ｆ（ｘ）＝［ｘ］，其中［ｘ］表示不超过ｘ 的最大整数，比如［π］＝ ３．根据以上定义，当ｘ ＝ 槡３ ＋ １时，数列ｘ － ｆ（ｘ），ｆ（ｘ），ｘ （Ｄ ） Ａ．是等差数列，也是等比数列 Ｂ．是等差数列，不是等比数列 Ｃ．是等比数列，不是等差数列 Ｄ．不是等差数列，也不是等比数列 题型二 等比数列通项公式及应用 ２．在等比数列｛ａｎ｝中， （１）ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ ２７，求ａｎ； （２）ａ２ ＋ ａ５ ＝ １８，ａ３ ＋ ａ６ ＝ ９，ａｎ ＝１，求ｎ． ［分析］　 （１）已知等比数列的通项公式ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ － １代入ａ１，ａ３，求出ｑ，最后求出ａｎ． （２）已知项的和，代入等比数列的通项公式， 求出ａ１，ｑ，由ａｎ ＝１求ｎ． 　 　 ［尝试作答                                   ］ ! % ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 由等比数列的通项公式可知， 若已知ａ１，ｑ，ｎ，ａｎ 中的三个，便可通过建立方程 或方程组求出另一个，这是解这类问题的基本思想 方法．但对于具体问题，则应具体观察和分析，找到较 为简捷的解题方法，如整体思想、设而不求思想．同时 还应注意等比定理的运用，即ｑ ＝ ａ２ａ１ ＝ ａ３ ａ２ ＝ ａ４ ａ３ ＝…＝ ａｎ ａｎ －１ ＝ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋…＋ ａｎ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ －１ ． （１）根据已知条件，建立关于ａ１，ｑ的方程组， 求出ａ１，ｑ后再求ａｎ，这是常规方法． （２）充分利用各项之间的关系，直接求出ｑ 后，再求ａ１，最后求ａｎ，这种方法带有一定的技巧 性，能简化运算． 对点训练? （１）（２０２２·乙卷（文））已 知等比数列ａ{ }ｎ 的前３项和为１６８，ａ２ － ａ５ ＝ ４２， 则ａ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４　 　 　 Ｂ． １２　 　 　 Ｃ． ６　 　 　 Ｄ． ３ （２）已知等比数列｛ａｎ｝，若ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ７， ａ１ａ２ａ３ ＝ ８，求ａｎ． 题型三 等比数列的判定与证明 ３．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １， ｂｎ ＝ ａｎ ＋１（ｎ∈Ｎ）． （１）求证：｛ｂｎ｝是等比数列； （２）求｛ａｎ｝的通项公式． ［分析］　 （１）欲证｛ｂｎ｝是等比数列，须证ｂｎ ＋１ｂｎ 为 常数，又ｂｎ ＝ ａｎ ＋１，∴ ｂｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋１ ＋ １，故只需将条件 式变换为ａｎ ＋１ ＋１与ａｎ ＋１的关系式即可获证． （２）只要求出了｛ｂｎ｝的通项公式，就可以求 出｛ａｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 判定数列是等比数列的常用 方法 （１）定义法：ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｑ（常数）或 ａｎ ａｎ － １ ＝ ｑ（常数） （ｎ≥２）｛ａｎ｝为等比数列． （２）等比中项法：ａ２ｎ ＋１ ＝ ａｎ·ａｎ ＋２（ａｎ≠０，ｎ∈ Ｎ）｛ａｎ｝为等比数列． （３）通项法：ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １（其中ａ１，ｑ为非零常 数，ｎ∈Ｎ）｛ａｎ｝为等比数列． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，Ｓｎ ＝ １３（ａｎ －１）（ｎ∈Ｎ ）． （１）求ａ１，ａ２； （２）求证：数列｛ａｎ｝是等比数列                                                                        ． !#& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 忽略等比数列中所有项均不为零致错 ４．已知等比数列｛ａｎ｝中的前三项为ａ，２ａ ＋ ２，３ａ ＋３，则实数ａ的值为　 － ４． ［错解］　 因为２ａ ＋ ２为等比中项，所以（２ａ ＋２）２ ＝ ａ（３ａ ＋３），整理得ａ２ ＋ ５ａ ＋ ４ ＝ ０，解得ａ ＝ －１或ａ ＝ －４． 答案为ａ ＝ －１或－４． ［误区警示］　 因为等比数列中各项均不为 零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中 验证，若所求结果使数列中的某些项为零，则该结 果不合题意，要舍去． 　 　 ［正解                                   ］ 6789%:;< １．已知等比数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６， 则ａ７等于 （Ａ ） Ａ． ６４　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ８１ Ｃ． １２８ Ｄ． ２４３ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，则公比ｑ 等于 （Ｂ ） Ａ． －２ Ｂ． １或－２ Ｃ． １ Ｄ． １或２ ３．给出下列命题：①若ａ－ ｂ ＝ － ｂ ｃ ，则－ ａ，ｂ，－ ｃ成 等比数列（ａｂｃ≠０）；②若ｂ２ ＝ ａｃ，则ａ，ｂ，ｃ成等 比数列；③若ａｎ ＋ １ ＝ ａｎｑ（ｑ为常数），则｛ａｎ｝是 等比数列．其中正确的命题有 （Ｂ ） Ａ． ０个 Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个 ４．等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ９８，ａｎ ＝ １ ３，公比ｑ ＝ ２ ３，则ｎ ＝ 　 　 　 ． ５．数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ － １，且ａｎ ＝３ａｎ － １ － ２ｎ ＋３（ｎ ∈Ｎ，且ｎ≥２）． （１）求ａ２，ａ３，并证明数列｛ａｎ － ｎ｝是等比数列； （２）求数列｛ａｎ｝的通项公式． 请同学们认真完成练案［７                       ］ 第２课时　 等比数列的性质 !"#$%&'( 课程目标 １．掌握等比数列的性质．（逻辑推理） ２．能利用等比数列的性质解决相关问题．（数学运算） ３．体会等比数列与指数函数的关系．（直观想象） 学法指导 要善于从指数函数的角度看待等比数列的性质和特征． ! ' ３ ２ ｎ ２ － １２３２ ｎ ＋ １ ２６０． ∴数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和 Ｓ′ｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ １２３２ ｎ，（ｎ≤２０）， ３ ２ ｎ ２ － １２３２ ｎ ＋ １ ２６０，（ｎ ＞ ２０）{ ． 　 　 对点训练４：（１）２４　 ３６　 ａ１ ＝ － １０，ｄ ＝ ２， 所以ａｎ ＝ － １０ ＋ ２（ｎ － １）＝ ２ｎ － １２． ａ６ ＝ ０， 故Ｓ３ ＝ ｜ － １０ ｜ ＋ ｜ － ８ ｜ ＋ ｜ － ６ ｜ ＝ ２４， Ｓ８ ＝ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋ ｜ ａ３ ｜ ＋…｜ ａ６ ｜ ＋ ｜ ａ７ ｜ ＋ ｜ ａ８ ｜ ＝ － ａ１ － ａ２ － …－ ａ６ ＋ ａ７ ＋ ａ８ ＝ ３６． （２）①因为在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ５ ＝ ８，ａ４ ＝ ２， 所以２ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２{ ， 解得ａ１ ＝ ８，ｄ ＝ － ２， 所以ａｎ ＝ ８ ＋（ｎ － １）×（－ ２）＝ １０ － ２ｎ． ②由ａｎ ＝ １０ － ２ｎ≥０，得ｎ≤５， ａ５ ＝ ０，ａ６ ＝ － ２ ＜ ０， 因为Ｔｎ ＝ ｜ａ１ ｜ ＋ ｜ａ２ ｜ ＋ ｜ａ３ ｜ ＋…＋ ｜ａｎ ｜，所以当ｎ≤５时， Ｔｎ ＝ ８ｎ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ×（－ ２）＝ ９ｎ － ｎ ２ ． 当ｎ ＞ ５时， Ｔｎ ＝ －［８ｎ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ×（－ ２）］＋ ２ ×（９ × ５ － ５ ２）＝ ｎ２ － ９ｎ ＋ ４０． 所以Ｔｎ ＝ ９ｎ － ｎ ２，ｎ≤５， ｎ２ － ９ｎ ＋ ４０，ｎ ＞ ５{ ． 　 　 例５：∵ １ｎ（ｎ ＋ ２）＝ １ ２ １ ｎ － １ ｎ( )＋ ２ ， ∴数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和Ｓｎ ＝ (１２ １ － １３ ＋ １２ － １４ ＋ １ ３ － １ ５ ＋…＋ １ ｎ － １ － １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ (１２ １ ＋ １２ － １ｎ ＋ １ － １ ｎ )＋ ２ ＝ ３４ － ２ｎ ＋ ３２（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２ ＝ Ｓ１２ － Ｓ７ ＝ １２２ ＋ １２ ＋ １ － ７２ － ７ － １ ＝ １００． ２． Ｃ　 ａｎ ＝ １２０ ＋ ５（ｎ － １）＝ ５ｎ ＋ １１５， 由ａｎ ＜ １８０得ｎ ＜ １３且ｎ∈Ｎ， 由ｎ边形内角和定理得， （ｎ － ２）× １８０ ＝ ｎ × １２０ ＋ ｎ（ｎ － １）２ × ５． 解得ｎ ＝ １６或ｎ ＝ ９ ∵ ｎ ＜ １３，∴ ｎ ＝ ９． ３． Ｃ　 设公差为ｄ，因为ａ１ ＋ ａ６ ＝ ２ａ１ ＋ ５ｄ ＝ ４，ａ１ ＝ １３ ，所以ｄ ＝ ２ ３ ，所以ａｎ ＝ １ ３ ＋（ｎ － １）× ２ ３ ＝ ３７，所以ｎ ＝ ５６． ４． Ｃ　 ∵ ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ３９，ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ２７，∴ ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ３ａ４ ＝ ３９，ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ３ａ６ ＝ ２７，即ａ４ ＝ １３，ａ６ ＝ ９． ∴ ｄ ＝ － ２，ａ１ ＝ １９． ∴ Ｓ９ ＝ １９ × ９ ＋ ９ × ８ ２ ×（－ ２）＝ ９９． ５．因为ａｎ ＝ １ｎ ＋ １ ＋ ２ ｎ ＋ １ ＋…＋ ｎ ｎ ＋ １ ＝ ｎ（ｎ ＋ １） ２ ｎ ＋ １ ＝ ｎ ２ ， 所以ｂｎ ＝ ２ａｎａｎ ＋ １ ＝ ２ ｎ ２· ｎ ＋ １ ２ ＝ ８ｎ（ｎ ＋ １）＝ ８ １ ｎ － １ ｎ( )＋ １ ． 因此数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ８ １１ －( )１２ ＋ ８ １２ －( )１３ ＋ …＋ ８ １ｎ － １ ｎ( )＋ １ ＝ ８ １ － １ｎ( )＋ １ ＝ ８ｎｎ ＋ １． ５． ３　 等比数列 ５． ３． １　 等比数列 第１课时　 等比数列的定义 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 第２项　 同一个常数　 公比　 ｑ 　 　 知识点２　 ａ１ｑｎ － １ 　 关键能力·攻重难 　 　 例１：０　 ①不是等比数列，因为ａ２ａ１≠ ａ３ ａ２ ． ②不一定是等比数列，因为不知道ａ３ａ２的值．事实上，即使 ａ３ ａ２ ＝ ２，数列｛ａｎ｝也未必是等比数列． ③不一定是等比数列，当ｃ ＝ ０时，数列不是等比数列． 　 　 对点训练１：Ｄ　 ［槡３ ＋ １］＝ ２， 所以ｘ － ｆ（ｘ） 槡＝ ３ － １，即三个数为槡３ － １，２，槡３ ＋ １． 而槡 槡 槡３ ＋１ ＋ ３ －１ ＝２ ３≠４，（槡３ ＋１）（槡３ －１）＝２≠４，所以数列 ｘ － ｆ（ｘ），ｆ（ｘ），ｘ不是等差数列，也不是等比数列． 　 　 例２：（１）ａ３ ＝ ａ１·ｑ２， 所以２７ ＝ ３ｑ２，所以ｑ ＝ ± ３， ａｎ ＝ ３ ｎ或ａｎ ＝ －（－ ３）ｎ； （２）设公比为ｑ，由题意，得 ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ４ ＝ １８ ａ１ｑ ２ ＋ ａ１ｑ ５{ ＝ ９ ①② 由② ① 得ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ３２． 又ａｎ ＝ １，∴ ３２ ×（１２ ） ｎ － １ ＝ １， 即２６ － ｎ ＝ ２０，∴ ｎ ＝ ６． 　 　 对点训练２：（１）Ｄ　 设等比数列ａ{ }ｎ 的公比为ｑ，ｑ≠０，由 题意，ｑ≠１． ∵前３项和为ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ａ１（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ １６８，ａ２ － ａ５ ＝ ａ１· ｑ － ａ１·ｑ４ ＝ ａ１·ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２， ∴ ｑ ＝ １２ ，ａ１ ＝ ９６， 则ａ６ ＝ ａ１·ｑ５ ＝ ９６ × １３２ ＝ ３， 故选Ｄ． （２）解法一：由等比数列的定义知ａ２ ＝ ａ１ｑ，ａ３ ＝ ａ１ｑ２，代入 已知得， ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ ７， ａ１·ａ１ｑ·ａ１ｑ２ ＝ ８{ ， 即ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２）＝ ７， ａ３１ｑ ３ ＝ ８{ ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２）＝ ７①， ａ１ｑ ＝ ２②{ ． 由②得ａ１ ＝ ２ｑ ，代入①得２ｑ ２ －５ｑ ＋２ ＝０                                                                       ， —１３２— ∴ ｑ ＝ ２，或ｑ ＝ １２ ．当ｑ ＝ ２时，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ ｎ － １；当ｑ ＝ １２时， ａ１ ＝ ４，ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 解法二：∵ ａ１ａ３ ＝ ａ２２，∴ ａ１ａ２ａ３ ＝ ａ３２ ＝ ８，∴ ａ２ ＝ ２． 从而ａ１ ＋ ａ３ ＝ ５， ａ１ａ３ ＝ ４{ ， 解之得ａ１ ＝ １，ａ３ ＝ ４，或ａ１ ＝ ４，ａ３ ＝ １，当 ａ１ ＝ １时，ｑ ＝ ２；当ａ１ ＝ ４时，ｑ ＝ １２ ．故ａｎ ＝ ２ ｎ － １，或ａｎ ＝ ２３ － ｎ ． 　 　 例３：（１）证明：∵ ａｎ ＋１ ＝２ａｎ ＋１，∴ ａｎ ＋１ ＋１ ＝２（ａｎ ＋１），即ｂｎ ＋１ ＝２ｂｎ， ∵ ｂ１ ＝ ａ１ ＋ １ ＝ ２≠０． ∴ ｂｎ≠０，∴ ｂｎ ＋ １ｂｎ ＝ ２，∴ ｛ｂｎ｝是等比 数列． （２）由（１）知｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ ２，公比为２的等比数列， ∴ ｂｎ ＝ ２ × ２ ｎ － １ ＝ ２ｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ，∴ ａｎ ＝ ２ｎ － １． 　 　 对点训练３：（１）由Ｓ１ ＝ １３ （ａ１ － １）， 得ａ１ ＝ １３ （ａ１ － １），所以ａ１ ＝ － １ ２ ， 又Ｓ２ ＝ １３ （ａ２ － １）， 即ａ１ ＋ ａ２ ＝ １３ （ａ２ － １），得ａ２ ＝ １ ４ ． （２）当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ １３ （ａｎ － １）－ １ ３ （ａｎ － １ － １）， 得ａｎａｎ － １ ＝ － １ ２ ，又ａ１ ＝ － １ ２ ， 所以｛ａｎ｝是首项为－ １２ ，公比为－ １ ２的等比数列． 　 　 例４：－ ４　 同上解， 但当ａ ＝ － １时，第二、三项均为零， 故ａ ＝ － １应舍去， 综上，ａ ＝ － ４． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 设等比数列的公比为ｑ， ∵ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ｑ（ａ１ ＋ ａ２）＝ ６，∴ ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ１ｑ ＝ ３，∴ ３ａ１ ＝ ３． ∴ ａ１ ＝ １， ∴ ａ７ ＝ ２ ６ ＝ ６４． ２． Ｂ　 ∵在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，∴ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ａ２ｑ ＋ ａ２ｑ ２ ＝ ２ｑ ＋ ２ｑ２ ＝ ４，即ｑ２ ＋ ｑ － ２ ＝ ０．解得ｑ ＝ １或ｑ ＝ － ２．故 选Ｂ． ３． Ｂ 　 ①显然正确；②中当ａｂｃ ＝ ０时不成立；③中当ｑ ＝ ０时不 成立．故选Ｂ． ４． ４　 由ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，得１３ ＝ ９ ８ × ( )２３ ｎ － １ ，即( )２３ ｎ － １ ＝ ８２７，故 ｎ ＝ ４． ５．（１）∵ ａ１ ＝ － １，ａｎ ＝ ３ａｎ － １ － ２ｎ ＋ ３， ∴ ａ２ ＝ ３ａ１ － ２ × ２ ＋ ３ ＝ － ４，∴ ａ３ ＝ ３ａ２ － ２ × ３ ＋ ３ ＝ － １５． ａｎ ＋１ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ －２（ｎ ＋１）＋３ －（ｎ ＋１） ａｎ －ｎ ＝ ３ａｎ － ３ｎ ａｎ － ｎ ＝ ３（ｎ ＝ １，２，３，…）． 又ａ１ － １ ＝ － ２，∴ ｛ａｎ － ｎ｝是以－ ２为首项，以３为公比的等 比数列． （２）由（１）知ａｎ － ｎ ＝ － ２·３ｎ － １， 故ａｎ ＝ ｎ － ２·３ｎ － １ ． 第２课时　 等比数列的性质 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 等比数列　 ±槡ａｂ　 ａ，Ｇ，ｂ 　 　 知识点２　 １．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ 　 ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 ３．（１）ｑ　 ｜ ｑ ｜ 　 （２）ｑ１·ｑ２ 　 　 知识点３　 （１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 三个实数ａ，ｂ，ｃ成等比数列，则ｂ２ ＝ ａｃ ＝（３ － 槡５）（ 槡３ ＋ ５）＝ ９ － ５ ＝ ４，则ｂ ＝ ± ２． （２）Ｂ　 因为ａｎ ＝（ｎ ＋ ８）ｄ，又因为ａ２ｋ ＝ ａ１·ａ２ｋ， 所以［（ｋ ＋ ８）ｄ］２ ＝ ９ｄ·（２ｋ ＋ ８）ｄ， 解得ｋ ＝ － ２（舍去）或ｋ ＝ ４． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 设公差为ｄ，由题意得ａ２２ ＝ ａ１·ａ５， ∵ ａ１ ＝ １，∴ （１ ＋ ｄ）２ ＝ １ ＋ ４ｄ，∴ ｄ２ － ２ｄ ＝ ０，∵ ｄ≠０， ∴ ｄ ＝ ２， ∴ Ｓ１０ ＝ １０ × １ ＋ １０ × ９ ２ × ２ ＝ １００，故选Ｂ． （２）－ ４　 由题意知２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ， ａ２ ＝ ｂｃ{ ， 消去ａ得４ｂ２ － ５ｂｃ ＋ ｃ２ ＝ ０， 因为ｂ≠ｃ，所以ｃ ＝ ４ｂ，所以ａ ＝ － ２ｂ， 代入ａ ＋ ３ｂ ＋ ｃ ＝ １０中解得ｂ ＝ ２，所以ａ ＝ － ４． 　 　 例２：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝ ０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝ ８，解得ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 　 　 对点训练２：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，为摆动 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例３：（１）－ ２　 ∵等比数列ａ{ }ｎ ， ∴ ａ２ａ４ａ５ ＝ ａ２ａ３ａ６ ＝ ａ３ａ６，解得ａ２ ＝ １， 而ａ９ａ１０ ＝ ａ２ｑ７ａ２ｑ８ ＝（ａ２）２ｑ１５ ＝ － ８，可得ｑ１５ ＝（ｑ５）３ ＝ － ８， 即ｑ５ ＝ － ２， ａ７ ＝ ａ２·ｑ５ ＝ １ ×（－ ２）＝ － ２． 故答案为－ ２． （２）Ｃ　 方法一：由ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝ ２２ｎ得ａ１ｑ４·ａ１ｑ２ｎ － ６ ＝ ａ２１ｑ２ｎ － ２ ＝ ２２ｎ，所以（ａ１ｑｎ － １）２ ＝（２ｎ）２ ． 又ａｎ ＞ ０，所以ａ１ｑｎ － １ ＝ ２ｎ ． 故ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ ｌｏｇ２（ａ１·ａ３·…· ａ２ｎ － １） ＝ ｌｏｇ２（ａｎ１ ｑ２ ＋ ４ ＋…＋（２ｎ － ２））＝ ｌｏｇ２［ａｎ１ ｑｎ（ｎ － １）］ ＝ ｌｏｇ２（ａ１ｑｎ － １）ｎ ＝ ｌｏｇ２（２ｎ）ｎ ＝ ｎ２ ． 方法二：由等比中项的性质，得ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，注 意到ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＝ ２ｎ ． 利用特殊值法，如令ｎ ＝ ２，则ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＝ ｌｏｇ２（２·２３） ＝ ｌｏｇ２２ ４ ＝ ４．只有Ｃ选项符合． 方法三：由等比中项的性质，得ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，注 意到ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＝ ２ｎ ． 于是ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ １ ＋ ３ ＋…＋（２ｎ － １） ＝ ｎ２ ． 方法四：ａ１·ａ２ｎ － １ ＝ ａ３·ａ２ｎ － ３ ＝ ａ５·ａ２ｎ － ５ ＝…＝（ａｎ）２ ＝ ２２ｎ，所以ｌｏｇ２ａ１ ＋ ｌｏｇ２ａ３ ＋…＋ ｌｏｇ２ａ２ｎ － １ ＝ ｌｏｇ２（ａ１ａ３…ａ２ｎ － １）＝ ｌｏｇ２［（ａ１ａ２ｎ － １）（ａ３ａ２ｎ － ３）…（ａ２ｎ － １ａ１）］ １ ２ ＝ ｌｏｇ２２ ｎ２ ＝ ｎ２                                                                       ． —１３３—