5.2.2 等差数列习题课(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

25x17+(7-0d=25x9+号9-10d 解得/0=2. ld=2. 解得d=-2 3.Can=S。-S-1=2,a+1=Sa+1-S。=3,公差d=u。1-4 S.=25m+2(m-1)(-2)=-(m-13)2+169. =3-2=1由3.=m（a,+=0,得4，=-0=-2 2 由二次函数的性质得当n=13时，S。有最大值169. .a.=-2+(m-1)·1=2,解得m=5. 方法二：先求出d=-2(同方法一). 4.C若{a,是等差数列，设数列{u,的首项为a,公差为d, 41=25>0. 则S=a,+a,. 2 由.=25-2(n-10≥0. 「m≤13 1 2 得 d d la1=25-2n≤0， n 当m=13时，S。有最大值169. 故侣}为等差数列。 方法三：先求出d=-2(同方法一）. 即甲是乙的充分条件 由S=S,得ao+a1+…+ar=0, 又a0+a=a1+a6四a2+01s=+a4, 反之，若{倍}为等卷数列则可设氵=D n +l n 放as+4=0. d=-2<0,m1>0,ag>0.a4<0 则产=S+(a-D,即8=n+na-D, 故n=13时，S,有最大值169. 当n≥2时，有S,-1=(n-1)S+(n-1)(n-2)D, 方法四：先求出d=-2(同方法一)，则S。的图像如图 上两式相减得：a,=S.-S。-1=S+2(n-1)D, 所示， 当n=1时，上式成立，所以0n=a,+2(n-1)D, 则a1-a.=1+2nD-[a,+2(n-1)D]=2D(常数)， 所以数列{a,}为等差数列. 即甲是乙的必要条件 综上所述，甲是乙的充要条件 1317 故木题选C 5(1)设公差为山，由题意得+41=山， la,+7d=5, 由S=S,知，图像的对称轴n9十7=13， 2 解得/，19. 1d=-2 故当：=13时，S。取得最大值169. 对点训练3：(1)20方法一：对任意neN",都有S,≤S .a。=41+(n-1)d=19-2(n-1)=21-2m 成立，即S为S的最大值.因为a,+a,+a=99,42+a+a%= (2)由题意，得0+d+4,+3=4, 93,所以a=33,a=31,放公差d=-2,a。=a4+(n-4)d= a,+2d+a1+4d-10. 41-2n,当S取得最大值时，对任意neN满足.≥0，解得 「41+2d=2 la,1≤0， la1+3d=5, n=20. 解得，=-4. 即满足对任意neN”,都有S≤S成立的k的值为20. 1d=3. 方法二：同方法一可得公差d=-2,a。=a,+(n-4)d= 3m=(-4)×10+10x9×3=95 2 41-2n,则n=1时，a=39,所以8.=号2+(a,-号)n=- 等差数列习题课 +40n=-(n-20)2+400,即当n=20时，S。取得最大值，从而关键能力·攻重难 满足对任意IeN°，都有S,≤S成立的的取值为20 例1：(1)153由41=-7,41=an+2,得a,4-a,=2,则 (2)7S,=5,所以其对称轴为n=3+1=7,知n=7时 a,4,…,,是首项为-7，公差为2的等差数列 2 所以S,=17×(-7)+17×()7-Dx2=153 S,取最大值， 2 例4：4，=S=6. (2)4700由a1=-7.a2=a。+2,可得a1-a。=2,故 n≥2时，0，=S-S-1=(2+3n+2)-[(n-1)2+a,4,…,是首项为-7，公差为2的等差数列，共 :50项. 3(n-1)+2]=2n+2. 6,(n=显然4-4，=6-6=0,4- a+m,+%+…+an=50x(-7)+50×(50-x2= 六a,={2n+2,(n≥2)， 2 2100. 2.1a,1不是等差数列. 同理，4,4446，，m是首项为3，公差为2的等差数列， 课堂检测·固双基 共50项. 1.Bs,a*am）_1(+al_l×16=88 2 2 2 4,+a+%+…+am=50×3+50x(50-业×2= 2 %+2d=6, 2600.故Sm=2100+2600=4700, 2.C由题意得 a,+号×3x2l=2, 对点训练1：8=子(》-15， -130 整理得n2-7m-60=0, (3)A由S.·√S-S-1·S=2S·S-1(n 解得n=12或n=-5(舍去). 2),两边同除以√S。·S-,得√S-√S-1=2:而S,=a1=1, (2)由s,=a,+2-n1,52=-1022, 2 2 ∴S。=1+2(n-1)=2n-1.S.=4n2-4n+1:再根据an= 解得n=4. S,-S-1.得a,=8n-8,所以ae=8×10-8=72 又an=a1+(n-1)d, 例3：(1)设等差数列1a.|的公差为d, 即-512=1+(4-1)d, 因为a=7,4+4=26,所以有8+24=7 解得d=-171, 2a1+10d=26. (3)曲a=24,得+，智 解得a1=3,d=2.所以a。=3+2(m-1)=2n+1: 2 s=3n+n,D×2=n2+2n 2 故+a,=a+a,-袋 例2：(1)Aa=5-53=42-1-32+1=7. (2因为a.=2n+1,所以6,2产(2a+12-可 （2a1时4=8=-子1-1=-子 当n≥2时，a,=S。-S1 所以=+++日) =-2+n-1-【-a-)+(a-- =-3n+ =-a而 即数列五，的前n项和了，=4(m+ 2(n=1). 所以a。= 对点训练3：()原式=行-+-行+…+ -3n+(n≥2). 5 言)兮)品 (3)因为4，+25.·S.-1=0, 所以an=-2S,·S- (2)①由题意，数列{a,的前n项和为S.=4n2+m,可得 S=4+k,S2=16+2k,因为42=20，所以16+2k-(4+k)=20, 当n=1时，a=2 解得k=8, 当n≥2，neN"时，a,=S。-S。-t 所以a=S,=12,S。=4n2+8n, 所1以S。-S。-1=-2SS-① 当n≥2时，S.-1=4(n-1)2+8(n-1), 因为a=7,所以3S≠0。 所以a.=S。-S,-1=4n2+8n-4(m-1)2-8(m-1)=8n +4, ①式的两边同除以SS-,得： 当n=1时，符合上式，所以数列a.的通项公式为a。= 8n+4. ②由①知a,-1=8n-4,可得6。-b.-1=8n-4(n≥2)，所以 所以数列位是首明为2.公差为2的等差数列， b3-61=12,b-6=20,b-63=28,…,b.-6.-1=8n-4, 所以b.-b,=12+20+28+…+(8n-4)= 所以时=2+2(a-)=2n,即：8=云 n-1)(2+8n-41=4n2-4,又由b,=3,可得6.=4加2-1(n 则4，=-25,5.，=2na-1n≥2). ≥2)， 当n=1时，b,=3,满足上式，所以b。=4n-1. 因为4=号不满足4，=2a-万n≥2).所以数列的 所站名'2-2+n公点+》 1/1 2 ,n=1, 111 通项公式为a。= 2n(n-1)n≥2. 对点训练2：(1)B4。=S。-S,-1=2°-2-=2"-'(n≥2)， 又S=2=2,4,=21=1,不符 an=1, 例4：等差数列1a,的公差4=骨。-2660 16 =3 12-t.n≥2. .a=2-1=2=128 .a.=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=34-63. 由an<0,得3n-63<0.即n<21. a2i2 由题意知，当n=1时，4，=S=0, ∴数列1a,的前20项是负数，第21项及以后的项都为非 负数. 当m≥2时3=-n2+1①. 设S.,S。分别表示数列1a,|和|1a1的前n项之和，当 S1=-(n-1)2+1②， 所以①-②，得4.=S。-S。1=-2n+1. a≤0时=-8=-+×学： 4,=0不适合a.=-2n+1. 当n>20时，S”,=-Sm+(S.-Sa)=S,-2S 0,n=1, .a,={-2n+1,n≥2 =-60m+aa,山x3-2x(-60×20+2019x3) 2 2 -131 名2+120 所以6、= 2 2 d d..1 ∴.数列la,的前n项和 因此数列认，的前知项和为3=8（什-）+8（行）片 S”.= 3-1盟+120.a>20 …+8什)=80 对点训练4：(1)243641=-10，d=2. 5.3等比数列 所以4。=-10+2(n-1)=2n-12. =0, 5.3.1等比数列 故S1=1-101+1-81+1-61=24, S.=la;l+lal+lo1 +..aol+lal logl =-a-a2- 第1课时等比数列的定义 …-a6++aw=36. (2)①因为在等差数列1a.1中，a,+2,=8,a4=2, 必备知识·探新知 所以2a,+41=8, 知识点1第2项同一个常数公比g l4+3d=2, 知识点2a,g1 解得a=8,d=-2. 关键能力·攻重难 所以a.=8+(n-1)×(-2)=10-2m ②由an=10-2n≥0，得n≤5， 例10①不是等比数到，因为会号 a=0,4%=-2<0, ②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使 因为7。=la1+la,l+lal+…+la.l,所以当n5时， T=8m+nn2x(-2)=9n-r2. =2,数列{a,|也未必是等比数列. 2 ③不一定是等比数列，当c=0时，数列不是等比数列. 当n>5时， 对点训练1：D[3+1]=2, T,=-[8m+nm,x(-2)j+2x(9x5-5)=2-9n 2 所以x-八x)=3-1,即三个数为3-1,2,5+1 +40. 丽5+1+5-1=23≠4，(3+1)(3-1)=2≠4，所以数列 x一八x)八x),x不是等差数列，也不是等比数列 所以T= 「9n-n2,n≤5. 1n2-9n+40,n>5. 例2：(1)=41·4， 例5ad2合 -L(1-1 所以27=3g,所以9=±3. 4。=3或4.=-(-3)“： 数列{+2}的前n项和s=(-+号- (2)设公比为9，由题意，得 「a19+a1g-18 ① 11 la192+ag3=9 ② 132n+3 n+2)=4~2(n+1)(n+2) 得4=宁4=2 课堂检测·固双基 又4，=132x(宁)=1， 1.A as dg ano +au +ag =5i -S; =122+12+1-72-7-1=100. 即20=2”n=6. 2.Ca.=120+5(m-1)=5n+115, 对点训练2：(1)D设等比数列{a}的公比为9,9≠0，由 由a,<180得n<13且n∈N”, 题意，9≠1. 由n边形内角和定理得， 前3项和为4，++0二2=168,4-4=， (m-2)×180=nx120+am,-x5. 1-9 2 q-a1·g=a1·g(1-g)=42, 解得n=16或n-9 9=74=96, n<13.∴.n=9. 3.C设公差为山，因为4+心=24，+5=4,4，=子，所以d= 则4=4寸=6×7=3. 号，所以a=背+(a-）×号=37，所以a=6 故选D. (2)解法一：由等比数列的定义知：=414,43=4，代入 4.Ca1+a,+a,=39,43+6+a,=27.a1+a+a=3a:=已知得， 39,03+a6+,=3w=27,即a4=13,6=9. ∫a,+a9+a92-7, 六.d=-2,4=19. la1·a9·a1g2=8, 8=10x998×(-2)=9 即01+9+)=7.0，(1+9+g)=70. n(n+1) laig=8. la1g=22. 2 2 由2得m=2,代人①得2对-5y+2=0, -132# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 等差数列习题课 !"#$%&'( 课程目标 １．进一步理解等差数列的定义、通项公式以及前ｎ项和公式．（逻辑推理） ２．理解等差数列的性质和等差数列前ｎ项和公式的性质．（数学运算） ３．掌握等差数列前ｎ项和之比的问题．（逻辑推理） 学法指导 １．深刻理解数列的项和关系，有了项ａｎ可以求和Ｓｎ，有了和Ｓｎ也可以求项ａｎ，两者在一定条件下 可以相互转化． ２．一些通项公式为分式的数列，分母为等差数列两项相乘的形式，求和可以考虑裂项法． /012%345 题型探究 题型一 等差数列的基本运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － ７，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２，则ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１７ ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － ７，ａ２ ＝ ３，ａｎ ＋ ２ ＝ ａｎ ＋２，则Ｓ１００ ＝ 　 　 　 　 ． 　 　 ［规律方法］　 等差数列运算的求解策略 由等差数列的前ｎ项和公式及通项公式可 知，若已知ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ，Ｓｎ中的三个便可求出其余 的两个，即“知三求二”． “知三求二”的实质是方 程思想，即建立方程组求解．这种求解思路称为 “基本量法”． 对点训练? 已知等差数列｛ａｎ｝中， （１）ａ１ ＝ ３２，ｄ ＝ － １ ２，Ｓｎ ＝ －１５，求ｎ； （２）ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ －５１２，Ｓｎ ＝ －１ ０２２，求ｄ； （３）Ｓ５ ＝ ２４，求ａ２ ＋ ａ４ ． 题型二 已知函数的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（１）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － １，则 ａ４ ＝ （Ａ ） Ａ． ７　 　 　 　 　Ｂ． ８　 　 　 　 　Ｃ． ９　 　 　 　 　Ｄ． １７ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ －１， 求数列｛ａｎ｝的通项公式． （３）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ满足ａ１ ＝ １ ２，ａｎ ＋２Ｓｎ·Ｓｎ － １ ＝ ０（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ），求数列｛ａｎ｝ 的通项公式． ［分析］　 （１）求ａ４  Ｓｎ ＝ ｎ２ － １ ａ４ ＝ Ｓ４ － Ｓ３； （２）求｛ａｎ｝的通项公式Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ － １ 分ｎ ＝１与ｎ≥２检验结论． （３）当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １，消去式中ａｎ， 得到Ｓｎ的递推关系｛Ｓｎ｝的通项公式ａｎ． 　 　 ［尝试作答                                                ］ ! ! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 １．由Ｓｎ求通项公式ａｎ的步骤 第一步：令ｎ ＝１，则ａ１ ＝ Ｓ１，求得ａ１； 第二步：令ｎ≥２，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １； 第三步：验证ａ１与ａｎ的关系； （１）若ａ１适合ａｎ，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ． （２）若ａ１不适合ａｎ，则ａｎ ＝ Ｓ１，ｎ ＝１， Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥２{ ． ２． Ｓｎ与ａｎ的关系式的应用 Ｓｎ “和”变“项” “项”变“和幑 幐帯帯帯帯” ａｎ （１）“和”变“项”． 首先根据题目条件，得到新式（与条件相 邻），然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最 后求通项公式． （２）“项”变“和”． 首先将ａｎ转化为Ｓｎ － Ｓｎ － １，得到Ｓｎ与Ｓｎ － １的 关系式，然后求Ｓｎ． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项 和Ｓｎ ＝２ｎ，则ａ８ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６４ Ｂ． １２８ Ｃ． ３２ Ｄ． ２１６ （２）设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ｎ２ ＋ １，那 么此数列的通项公式ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． （３）正项数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ １，前ｎ项和Ｓｎ 满足 Ｓｎ·Ｓｎ槡－ １ － Ｓｎ － １·Ｓ槡ｎ ＝ ２ Ｓｎ·Ｓｎ槡 － １（ｎ≥２），则 ａ１０ ＝ （Ａ ） Ａ． ７２ Ｂ． ８０ Ｃ． ９０ Ｄ． ８２ 题型三 裂项求和 ３．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ３ ＝ ７，ａ５ ＋ ａ７ ＝ ２６，｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ． （１）求ａｎ及Ｓｎ； （２）令ｂｎ ＝ １ａ２ｎ －１（ｎ∈Ｎ ＋），求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和Ｔｎ． ［分析］　 （１）设出公差，根据已知条件构造 方程组可求出首项和公差，进而求出ａｎ 及Ｓｎ； （２）先由（１）求出ｂｎ的通项公式，再根据通项的特 点选择求和的方法． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 对于形如 １ａｎａｎ ＋{ }ｋ （其中｛ａｎ｝ 为等差数列）的求和问题一般用裂项法，它的基本 思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂成两 项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数 几项，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列 的前ｎ项和．常用到的裂项公式有如下形式： （１） １ｎ（ｎ ＋ ｋ）＝ １ ｋ １ ｎ － １ ｎ ＋( )ｋ ． （２） １ ｎ ＋槡ｋ ＋槡ｎ ＝ １ｋ（ ｎ ＋槡ｋ －槡ｎ）． 对点训练? （１） １３ × ５ ＋ １ ５ × ７ ＋ １ ７ × ９ ＋… ＋ １１３ × １５ ＝ 　 　 　 　 　 ． （２）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ 且ａ２ ＝ ２０，Ｓｎ ＝４ｎ２ ＋ ｋｎ． ①求数列｛ａｎ｝的通项公式； ②若数列｛ｂｎ｝满足ｂ１ ＝ ３，ｂｎ － ｂｎ － １ ＝ ａｎ － １（ｎ ≥２），求数列１ｂ{ }ｎ 的前ｎ项和Ｔｎ                                                                        ． !#" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型四 含绝对值的数列的前ｎ项和 ４．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － ６０，ａ１７ ＝ － １２， 求数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和． ［分析］　 本题实际上是求数列｛ａｎ｝的前ｎ 项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首 先分清这个数列中的哪些项是负的，哪些项非负 的．由已知，数列｛ａｎ｝是首项为负数的递增数列， 因此应先求出这个数列从首项起哪些项是负数， 然后再分段求出前ｎ项的绝对值之和． 　 　 ［尝试作答             ］ 　 　 ［规律方法］　 已知｛ａｎ｝为等差数列，求数列 ｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和的步骤： 第一步，解不等式ａｎ≥０（或ａｎ≤０）寻找｛ａｎ｝ 的正负项分界点． 第二步，求和，①若ａｎ各项均为正数（或均为 负数），则｛｜ ａｎ ｜｝各项的和等于｛ａｎ｝的各项的和 （或其相反数）． ②若ａ１ ＞ ０，ｄ ＜ ０（或ａ１ ＜ ０，ｄ ＞ ０）这时数列 ｛ａｎ｝只有前面有限项为正数（或负数）可分段求 和再相加． 对点训练? （１）等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ － １０，ｄ ＝２，则数列｛｜ ａｎ ｜｝的前３项的和Ｓ３ ＝ 　 　 　 　 ，前８项的和Ｓ８ ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ５ ＝ ８，ａ４ ＝ ２． ①求数列｛ａｎ｝的通项公式； ②设Ｔｎ ＝ ｜ａ１ ｜ ＋ ｜ａ２ ｜ ＋ ｜ａ３ ｜ ＋…＋ ｜ａｎ ｜，求Ｔｎ． 易错警示 　 　 裂项求和要找准相加相消的规律 ５．求数列 １ｎ（ｎ ＋２{ }）的前ｎ项和． ［错解］　 ∵ １ｎ（ｎ ＋２）＝ １ ２（ １ ｎ － １ ｎ ＋２）， ∴数列 １ｎ（ｎ ＋２{ }）的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １ (２ １ － １３ ＋ １２ － １ ４ ＋ １ ３ － １ ５ ＋…＋ １ ｎ － １ ｎ )＋２ ＝ １ (２ １ ＋ １ ２ ＋ １ｎ － １ ｎ )＋２ ＝ ３ ４ ＋ １ ｎ（ｎ ＋２）． ［误区警示］　 错误的原因在于裂项相消时， 没有搞清剩余哪些项． 　 　 ［正解       ］ 　 　 ［点评］　 运用裂项相消法求和时，要弄清消 去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规 律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或 漏项、错项的错误                                                                      ． ! # ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １，则ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２的值为 （Ａ ） Ａ． １００　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ９９ Ｃ． １２０ Ｄ． １３０ ２．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的 内角为１２０°，公差为５°，那么这个多边形的边 数ｎ等于 （Ｃ ） Ａ １２ Ｂ １６ Ｃ ９ Ｄ １６或９ ３．在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＝ １３，ａ１ ＋ ａ６ ＝ ４， ａｎ ＝３７，则ｎ等于 （Ｃ ） Ａ． ５０ Ｂ． ４９ Ｃ． ５６ Ｄ． ５１ ４．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ３９，ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ２７，则数列｛ａｎ｝前９项的和为 （Ｃ ） Ａ． ２９７ Ｂ． １４４ Ｃ． ９９ Ｄ． ６６ ５．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ ＋１ ＋ ２ ｎ ＋１ ＋…＋ ｎ ｎ ＋１．又 ｂｎ ＝ ２ ａｎａｎ ＋ １ ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和． 请同学们认真完成练案［６                              ］ ５． ３　 等比数列 ５． ３． １　 等比数列 第１课时　 等比数列的定义 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．（数学抽象） ２．借助教材掌握等比数列的通项公式．（数学抽象） ３．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．（数学运算） 学法指导 １．要从现实生活的大量实例中体会等比关系，感受等比数列在生活实践中和数学文化中的广 泛性． ２．类比等差数列，感受“差”与“比（商）”的联系，进而认识到“等差”与“等比”的结构和概念的一 致性． ３．进一步体会基本量思想与方程思想在等比数列中的应用． !#$