5.2.1 第2课时等差数列的性质(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

∴ １ａｎ ＝ １ ＋ １２ （ｎ － １）＝ ｎ ＋ １ ２ ． ∴ ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． 　 　 对点训练３：将ａｎ ＋ １ ＝ ３ａｎ３ － ａｎ变形为 １ ａｎ ＋ １ － １ａｎ ＝ － １３ ， 令ｂｎ ＝ １ａｎ，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ － １ ３ ， ∴数列｛ｂｎ｝构成等差数列，首项ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ ２，公差ｄ ＝ － １ ３ ， ∴ ｂｎ ＝ ｂ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ － １３ （ｎ － １）＝ ７ － ｎ ３ ， ∴ ａｎ ＝ ３ ７ － ｎ． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． Ｃ　 Ｃ项不满足等差数列的定义． ５．（１）ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ为任意正 整数，所以此数列为等差数列． （２）因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２（不 是常数），所以此数列不是等差数列． 第２课时　 等差数列的性质 必备知识·探新知 　 　 知识点２　 （１）ｎ － ｍ　 （２）ａｐ ＋ ａｑ 　 ２ａｐ 　 　 知识点３　 ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 　 知识点４　 （１）ｄ　 ｃｄ　 ２ｄ　 （２）ｐｄ１ ＋ ｑｄ２ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 ａ，ｂ的等差中项为 ａ ＋ ｂ ２ ＝ １ 槡槡３ ＋ ２ ＋ １ 槡槡３ － ２ ２ ＝ 槡槡槡槡３ － ２ ＋ ３ ＋ ２ ２ 槡＝ ３． （２）Ｂ　 由题意得２（３ｘ ＋ ３）＝ ｘ ＋（６ｘ ＋ ６），所以ｘ ＝ ０． 所以等差数列的前三项为０，３，６，公差为３， 所以等差数列的第四项为９．故选Ｂ． （３）因为１ａ ， １ ｂ ， １ ｃ成等差数列， 所以２ｂ ＝ １ ａ ＋ １ ｃ ，化简得２ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）， 又ｂ ＋ ｃａ ＋ ａ ＋ ｂ ｃ ＝ ｂｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ＋ ａｂ ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）＋ ｃ ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝ ２ａｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝（ａ ＋ ｃ） ２ ａｃ ＝ （ａ ＋ ｃ）２ ｂ（ａ ＋ ｃ） ２ ＝ ２·ａ ＋ ｃｂ ， 所以ｂ ＋ ｃａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 ２ｘ ＝ ａ ＋ ｂ， ２ｂ ＝ ｘ ＋ ２ｘ{ ，所以ａ ＝ ｘ２ ，ｂ ＝ ３２ ｘ． 所以ａｂ ＝ １ ３ ． （２）Ｂ 　 在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ２ ＝ ４，ａ４ ＝ ２，则ａ４ ＝ １ ２ （ａ２ ＋ ａ６）＝ １ ２ （４ ＋ ａ６）＝ ２，解得ａ６ ＝ ０．故选Ｂ． （３）由已知１ｂ ＋ ｃ， １ ｃ ＋ ａ， １ ａ ＋ ｂ成等差数列，可得 ２ ｃ ＋ ａ ＝ １ ｂ ＋ ｃ ＋ １ａ ＋ ｂ， 所以２ｃ ＋ ａ ＝ ２ｂ ＋ ａ ＋ ｃ （ｂ ＋ ｃ）（ａ ＋ ｂ）， 所以（２ｂ ＋ ａ ＋ ｃ）（ｃ ＋ ａ）＝ ２（ｂ ＋ ｃ）（ａ ＋ ｂ）， 所以ａ２ ＋ ｃ２ ＝ ２ｂ２， 所以ａ２，ｂ２，ｃ２也成等差数列． 　 　 例２：解法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∵ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ，ａ６０ ＝ ａ１ ＋ ５９ｄ， ∴ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ５９ｄ ＝ ２０{ ，解得 ａ１ ＝ ６４ １５， ｄ ＝ ４１５ { ． ∴ ａ７５ ＝ ａ１ ＋ ７４ｄ ＝ ６４ １５ ＋ ７４ × ４ １５ ＝ ２４． 解法二：∵ ｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１５，ａ３０，ａ４５，ａ６０，ａ７５也为等差数列． 设其公差为ｄ，则ａ１５为首项，ａ６０为第４项， ∴ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋ ３ｄ，即２０ ＝ ８ ＋ ３ｄ，解得ｄ ＝ ４． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋ ｄ ＝ ２０ ＋ ４ ＝ ２４． 解法三：∵ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋（６０ － １５）ｄ，∴ ｄ ＝ ａ６０ － ａ１５６０ － １５ ＝ ４ １５ ． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋（７５ － ６０）ｄ ＝ ２０ ＋ １５ × ４１５ ＝ ２４． 　 　 对点训练２：７　 解法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由题意，得ａ１ ＋ ｄ ＝ ３， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ６{ ，∴ ａ１ ＝ ５ ２ ， ｄ ＝ １２ { ． ∴ ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ５ ２ ＋ ９ ２ ＝ ７． 解法二：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∴ ａ８ － ａ２ ＝ ６ｄ ＝ ３，∴ ｄ ＝ １２ ． ∴ ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ２ｄ ＝ ６ ＋ ２ × １ ２ ＝ ７． 　 　 例３：（１）Ａ　 ∵ ｛ａｎ｝是等差数列，∴ ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３， 故ａ１３ ＝ ２ × ６ － ３ ＝ ９． （２）３５　 方法一：设数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的公差分别为ｄ１，ｄ２，因 为ａ３ ＋ ｂ３ ＝（ａ１ ＋ ２ｄ１）＋（ｂ１ ＋ ２ｄ２）＝（ａ１ ＋ ｂ１）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ７ ＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１， 所以ｄ１ ＋ ｄ２ ＝ ７，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝（ａ３ ＋ ｂ３）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１ ＋ ２ × ７ ＝ ３５． 方法二：因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列． 所以数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列，所以２（ａ３ ＋ ｂ３）＝ （ａ１ ＋ ｂ１）＋（ａ５ ＋ ｂ５），所以２ × ２１ ＝ ７ ＋ ａ５ ＋ ｂ５，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５． （３）Ｄ　 方法一：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ５ａ５ ＝ ７５０， ∴ ａ５ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ＝ ３００． 方法二：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ａ１ ＋ ４ｄ ＋ ａ１ ＋ ５ｄ ＋ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２（ａ１ ＋ ４ｄ                                                                      ） —１２８— ＝ ３００． 　 　 对点训练３：（１）Ａ 　 （ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７）＋ （ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９）＝ ２（ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８）， 即５８ ＋（ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９）＝ ８８， 所以ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ３０． （２）２４　 方法一：∵ ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，∴ ５ａ８ ＝ １２０， ∴ ａ８ ＝ ２４，∴ ２ａ９ － ａ１０ ＝（ａ８ ＋ ａ１０）－ ａ１０ ＝ ａ８ ＝ ２４． 方法二：∵ ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，∴ ａ１ ＋ ３（ａ１ ＋ ７ｄ）＋（ａ１ ＋ １４ｄ）＝ １２０， ∴ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２４，∴ ２ａ９ － ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２４． 　 　 例４：设四个数分别为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ， 则：（ａ －３ｄ）＋（ａ － ｄ）＋（ａ ＋ ｄ）＋（ａ ＋３ｄ）＝２６　 ①（ａ － ｄ）（ａ ＋ ｄ）＝４０{ ② 由①，得ａ ＝ １３２ ．代入②，得ｄ ＝ ± ３ ２ ． ∴四个数为２，５，８，１１ 或１１，８，５，２． 　 　 对点训练４：设这三个数为ａ ＋ ｄ，ａ，ａ － ｄ（ｄ ＞ ０） 则３ａ ＝ １２，（ａ ＋ ｄ）·ａ·（ａ － ｄ）＝ ４８{ ．解得ａ ＝ ４，ｄ ＝ ２{ ．所以这三个数 是６，４，２． 　 　 例５：Ｂ 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 因为｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ 与ａ２ 的等差中项为１，ａ２ 与ａ３ 的等差中项为２，所以ａ１ ＋ ａ２ ＝ ２，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ４，两式相减得ａ３ － ａ１ ＝ ２ｄ ＝ ４ － ２，解得ｄ ＝ １． ２． ０　 ａ１ ＋ ａ１０１ ＋ ａ２ ＋ ａ１００ ＋…＋ ａ５０ ＋ ａ５２ ＋ ａ５１ ＝ １０１２ （ａ１ ＋ ａ１０１）＝ ０，∴ ａ１ ＋ ａ１０１ ＝ ０． ３． ４　 ａ３ ＋ ａ５ ＝ ２ａ４，ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３ ＝ ３ａ１０， ∴ ３（ａ３ ＋ ａ５）＋ ２（ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３）＝ ６ａ４ ＋ ６ａ１０ ＝ ６（ａ４ ＋ ａ１０） ＝ ２４， ∴ ａ４ ＋ ａ１０ ＝ ４． ４． ９０　 因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，所以｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成 了等差数列，所以（ａ２ ＋ ｂ２）－（ａ１ ＋ ｂ１）＝（ａ３ ＋ ｂ３）－（ａ２ ＋ ｂ２），所以ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０． ５．设等差数列的前三项分别为ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，由题意， 得ａ － ｄ ＋ ａ ＋ ａ ＋ ｄ ＝ ２１， ａ（ａ － ｄ）（ａ ＋ ｄ）＝ ２３１{ ， 即３ａ ＝ ２１， ａ（ａ２ － ｄ２）{ ＝ ２３１，解得ａ ＝ ７，ｄ ＝ ± ４{ ． ∵等差数列｛ａｎ｝是递增数列，∴ ｄ ＝ ４． ∴等差数列的首项为３，公差为４． ∴ ａｎ ＝ ３ ＋ ４（ｎ － １）＝ ４ｎ － １． ５． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 　 ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋…＋ ａ２ ＋ ａ１ 　 ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 　 ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １）ｄ２ 　 　 知识点２　 二次函数　 小　 大　 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｓ４ ＝ ４ａ１ ＋ ４ ×（４ － １）２ ｄ ＝ ４ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ２ ＋ ６ｄ ＝ ２０， ∴ ｄ ＝ ３． 故Ｓ６ ＝ ６ａ１ ＋ ６ ×（６ － １）２ ｄ ＝ ６ａ１ ＋ １５ｄ ＝ ３ ＋ １５ｄ ＝ ４８． （２）∵ Ｓｎ ＝ ｎ·３２ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ （－ １ ２ ）＝ － １５，整理得ｎ ２ － ７ｎ － ６０ ＝ ０， 解得ｎ ＝ １２或ｎ ＝ － ５（舍去），∴ ａ１２ ＝ ３２ ＋ （１２ － １）× －( )１２ ＝ －４． （３）由Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎ（－ ５１２ ＋ １） ２ ＝ － １ ０２２，解得ｎ ＝ ４． 又由ａｎ ＝ ａ１ ＋ （ｎ － １）ｄ，即－ ５１２ ＝ １ ＋ （４ － １）ｄ，解得ｄ ＝ － １７１． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则 ａ３ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ９ｄ ＝ １３， Ｓ７ ＝ ７ａ１ ＋ ７ × ６ ２ ｄ ＝ ７ａ１ ＋ ２１ｄ ＝ ３５ { ， 解得ａ１ ＝ ２， ｄ ＝ １{ ， ∴ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２ ＋ ７ ＝ ９，故选Ｂ． （２）Ｃ　 Ｓ２ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ ｄ ＝ ４　 ① Ｓ４ ＝ ４ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ２０　 ② 由①②解得ａ１ ＝ １２ ，ｄ ＝ ３．故选Ｃ． （３）Ｃ　 等差数列ａ{ }ｎ 中，ａ２ ＋ ａ６ ＝ ２ａ４ ＝ １０， 所以ａ４ ＝ ５， ａ４ａ８ ＝ ５ａ８ ＝ ４５， 故ａ８ ＝ ９， 则ｄ ＝ ａ８ － ａ４８ － ４ ＝ １，ａ１ ＝ ａ４ － ３ｄ ＝ ５ － ３ ＝ ２， 则Ｓ５ ＝ ５ａ１ ＋ ５ × ４２ ｄ ＝ １０ ＋ １０ ＝ ２０． 故选Ｃ． 　 　 例２：（１）Ｂ　 Ｓｎ － Ｓｎ － ４ ＝ ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２ ＋ ａｎ － ３ ＝ ８０． Ｓ４ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４０． 两式相加得４（ａ１ ＋ ａｎ）＝ １２０，∴ ａ１ ＋ ａｎ ＝ ３０． 由Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ２１０，∴ ｎ ＝ １４． （２）Ｃ　 由已知ＳｎＳ′ｎ ＝ ７ｎ ＋ ２ ｎ ＋ ３ ， ａ７ ｂ７ ＝ Ｓ１３ Ｓ′１３ ＝ ９３１６ ． （３）设等差数列｛ａｎ｝共有（２ｎ ＋ １）项，则奇数项有（ｎ ＋ １） 项，偶数项有ｎ项，中间项是第（ｎ ＋ １）项，即ａｎ ＋ １， ∴ Ｓ奇 Ｓ偶 ＝ １ ２ （ａ１ ＋ ａ２ｎ ＋ １）（ｎ ＋ １） １ ２ （ａ２ ＋ ａ２ｎ）ｎ ＝ （ｎ ＋ １）ａｎ ＋ １ ｎａｎ ＋ １ ＝ ｎ ＋ １ｎ ＝ ４４ ３３ ＝ ４ ３ ，得ｎ ＝ ３． ∴ ２ｎ ＋ １ ＝ ７． 又Ｓ奇＝（ｎ ＋ １）·ａｎ ＋ １ ＝ ４４， ∴ ａｎ ＋ １ ＝ １１． 故这个数列的中间项为１１，共有７项． 　 　 对点训练２：（１）Ｃ　 ∵共有１０项，∴ Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ５ｄ，∴ ５ｄ ＝ １５，∴ ｄ ＝ ３． （２）Ｃ　 由Ｓｍ，Ｓ２ｍ － Ｓｍ，Ｓ３ｍ － Ｓ２ｍ成等差数列，且Ｓｍ ＝ ３０，Ｓ２ｍ ＝ ２０，得２（Ｓ２ｍ － Ｓｍ）＝ Ｓｍ ＋ Ｓ３ｍ － Ｓ２ｍ， 即２（１００ － ３０）＝ ３０ ＋ Ｓ３ｍ － １００， 解得Ｓ３ｍ ＝ ２１０． 　 　 例３：方法一：由Ｓ１７ ＝ Ｓ９，                                                                      得 —１２９— # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝２ｎ ＋５，则此数列（Ａ ） Ａ．是公差为２的等差数列 Ｂ．是公差为５的等差数列 Ｃ．是首项为５的等差数列 Ｄ．是公差为ｎ的等差数列 ２．等差数列－３，１，５，…的第１５项的值是（Ｂ ） Ａ． ４０　 　 　 Ｂ． ５３　 　 　 Ｃ． ６３　 　 　 Ｄ． ７６ ３．等差数列１，－１，－３，－５，…，－８９，它的项数为 （Ｃ ） Ａ ９２　 　 　 Ｂ ４７　 　 　 Ｃ ４６　 　 　 Ｄ ４５ ４．以下选项中构不成等差数列的是 （Ｃ ） Ａ． ２，２，２，２ Ｂ． ３ｍ，３ｍ ＋ ａ，３ｍ ＋２ａ，３ｍ ＋３ａ Ｃ． ｃｏｓ ０，ｃｏｓ １，ｃｏｓ ２，ｃｏｓ ３ Ｄ． ａ －１，ａ ＋１，ａ ＋３ ５．判断下列数列是否为等差数列？ （１）ａｎ ＝３ｎ ＋２； （２）ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ． 请同学们认真完成练案［３                        ］ 第２课时　 等差数列的性质 !"#$%&'( 课程目标 能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题．（数学运算） 学法指导 在学习等差数列的性质时，要类比一次函数的性质归纳出等差数列的性质，特别是中心对称性． )*+,%-.+ 等差中项 　 　 由三个数ａ，Ａ，ｂ组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列．这时，Ａ叫做ａ与ｂ的等差中项． 事实上，若ａ，Ａ，ｂ成等差数列，则Ａ ＝ ａ ＋ ｂ２ ， 且Ａ是ａ与ｂ的等差中项；若Ａ ＝ ａ ＋ ｂ２ ，即Ａ － ａ ＝ ｂ － Ａ，则ａ，Ａ，ｂ成等差数列． 知识解读：在等差数列｛ａｎ｝中，任取相邻的三 项ａｎ － １，ａｎ，ａｎ ＋ １（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），则ａｎ 是ａｎ － １与 ａｎ ＋ １的等差中项． 反之，若ａｎ － １ ＋ ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ对任意的ｎ≥２，ｎ∈ Ｎ均成立，则数列｛ａｎ｝是等差数列． 因此，数列｛ａｎ｝是等差数列２ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ ＋ １（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）．用此结论可判断所给数列是 否为等差数列，称为等差中项法． 等差数列中的项与序号的关系 　 　 （１）两项关系 ａｎ ＝ ａｍ ＋（　 ｎ － ｍ）ｄ（ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ） 则ａｎ ＋ ａｍ ＝ 　 ａｐ ＋ ａｑ ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ 　 ２ａｐ 　 　                     ． !"# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 等差数列的项的对称性 　 　 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两 项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中 间项的２倍），即ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ 　 ａｎ － １ 　 　 ＝ ａｋ ＋ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １２ （其中ｎ为奇数且ｎ≥３）． 等差数列的性质 　 　 （１）若｛ａｎ｝是公差为ｄ的等差数列，则下列 数列： ①｛ｃ ＋ ａｎ｝（ｃ为任一常数）是公差为　 　 的等差 数列； ②｛ｃ·ａｎ｝（ｃ为任一常数）是公差为　 　 　 　 　 　 　 的等差数列； ③｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ ｋ｝（ｋ为常数，ｋ∈Ｎ）是公差为 　 　 　 　 的等差数列． （２）若｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝分别是公差为ｄ１，ｄ２的等差 数列，则数列｛ｐａｎ ＋ ｑｂｎ｝（ｐ，ｑ是常数）是公差为 　 　 　 　 的等差数列． 等差数列的单调性 　 　 由等差数列和一次函数的关系可知等差数列 的单调性受公差ｄ的影响． （１）当ｄ ＞０时，数列为递增数列，图像如图１ 所示； （２）当ｄ ＜０时，数列为递减数列，图像如图２ 所示； （３）当ｄ ＝ ０时，数列为常数列，图像如图３ 所示． 知识解读：通过对比等差数列和一次函数的 异同，可以看出等差数列的性质实质上是一次函 数性质的直接反映，因此研究等差数列的性质，可 以回归到对一次函数性质的研究，一次函数最重 要的性质是单调性和中心对称性（直线上的点都 是对称中心）                                 ． /012%345 题型探究 题型一 等差中项的应用 １．（１）已知ａ ＝ １ 槡３ ＋槡２ ，ｂ ＝ １ 槡３ －槡２ ，则ａ，ｂ的 等差中项为 （Ａ ） Ａ．槡３　 　 　 Ｂ．槡２　 　 　 Ｃ． １槡３ 　 　 　 Ｄ． １ 槡２ （２）（２０２４·广东东莞高三模拟）等差数列ｘ， ３ｘ ＋３，６ｘ ＋６，…的第四项等于 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． ９ Ｃ． １２ Ｄ． １８ （３）已知１ａ， １ ｂ， １ ｃ成等差数列，证明： ｂ ＋ ｃ ａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． ［分析］　 （１）求ａ，ｂ的等差中项等差中项 的定义等式计算． （２）先根据已知求出ｘ的值，再求出数列的第 四项． （３）先由条件得到ａ，ｂ，ｃ的关系，再计算ｂ ＋ ｃａ ＋ ａ ＋ ｂｃ ，化简可得等于２ ａ ＋ ｃ( )ｂ ． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 １．等差中项的应用策略 （１）涉及等差数列中相邻三项问题可用等差 中项求解． （２）在一个等差数列中，从第２项起，每一项 （有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一 项的等差中项，即２ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ ＋ １；实际上，等差 数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差 中项，即２ａｎ ＝ ａｎ － ｍ ＋ ａｎ ＋ ｍ（ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ ＜ ｎ）                                   ． !"$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ２．等差中项法判定等差数列 若数列｛ａｎ｝满足２ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ ＋ １（ｎ≥２），则 可判定数列｛ａｎ｝是等差数列． 对点训练? （１）一个等差数列的前４项 是ａ，ｘ，ｂ，２ｘ，则ａｂ等于 （Ｃ ） Ａ． １４ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ３ Ｄ． ２ ３ （２）（２０２３·江苏淮安高二期末）在等差数列 ｛ａｎ｝中，若ａ２ ＝ ４，ａ４ ＝ ２，则ａ６ ＝ （Ｂ ） Ａ． －１ Ｂ． ０ Ｃ． １ Ｄ． ６ （３）已知１ｂ ＋ ｃ， １ ｃ ＋ ａ， １ ａ ＋ ｂ成等差数列，试证： ａ２，ｂ２，ｃ２也成等差数列． 题型二 等差数列通项公式的推广 ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ － ｍ）ｄ的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．若｛ａｎ｝为等差数列，ａ１５ ＝ ８，ａ６０ ＝ ２０，求 ａ７５ ． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 对点训练? 等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ ３， ａ８ ＝ ６，则ａ１０ ＝ 　 　 　 　 　 ． 题型三 用性质ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ， ｑ∈Ｎ ＋，且ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ）解题 ３．（１）（２０２３·天津宝坻区高二月考）在等差 数列｛ａｎ｝中，已知ａ５ ＝ ３，ａ９ ＝ ６，则ａ１３ ＝ （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． １２ Ｃ． １５ Ｄ． １８ （２）（２０２４·塘沽高二检测）设数列｛ａｎ｝， ｛ｂｎ｝都是等差数列．若ａ１ ＋ ｂ１ ＝ ７，ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ２１，则 ａ５ ＋ ｂ５ ＝ 　 　 　 ３５． （３）（２０２４·湖北武汉高三月考）在等差数列 ｛ａｎ｝中，若ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０，则ａ２ ＋ ａ８ ＝ （Ｄ ） Ａ． １５０ Ｂ． １６０ Ｃ． ２００ Ｄ． ３００ ［分析］　 （１）根据等差数列的性质得出 ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３，然后将值代入即可求出结果． （２）方法一：求ａ５ ＋ ｂ５各设出公差利用通 项公式； 方法二：求ａ５ ＋ ｂ５｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列 ｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列． （３）求ａ２ ＋ ａ８的值ａ３ ＋ ａ７ ＝ ａ４ ＋ ａ６ ＝ ２ａ５ ａ５ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ． ［规律方法］　 等差数列运算的两条常用思路 （１）根据已知条件，列出关于ａ１，ｄ的方程 （组），确定ａ１，ｄ，然后求其他量． （２）利用性质巧解，观察等差数列中的项的 序号，若满足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ ＝ ２ｒ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ，ｒ∈ Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ ＝２ａｒ ． 特别提醒：递增等差数列ｄ ＞ ０，递减等差数 列ｄ ＜０，解题时要注意数列的单调性对ｄ取值的 限制． 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ５８，ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ ４４，则ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ 的值为 （Ａ ） Ａ． ３０ Ｂ． ２７ Ｃ． ２４ Ｄ． ２１ （２）已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，则２ａ９ － ａ１０ ＝ 　 　 　 ２４． 题型四 等差数列中的对称设项 ４．成等差数列的四个数之和为２６，第二个数 和第三个数之积为４０，求这四个数． ［分析］　 已知四个数成等差数列，有多种设 法，但如果四个数的和已知，常常设为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋３ｄ更简单．再通过联立方程组求解                                                                        ． !"% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［尝试作答              ］ 　 　 ［规律方法］　 三个数或四个数成等差数列 时，设未知量的技巧如下： （１）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为奇数时，可 设中间一项为ａ，再用公差为ｄ向两边分别设项： …，ａ －２ｄ，ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋２ｄ，…． （２）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为偶数时，可 设中间两项为ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，再以公差为２ｄ向两边 分别设项：…，ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ，…，这样 可减少计算量． 对点训练? （２０２４·龙岩高二检测）设 三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为 １２，三个数的积为４８，求这三个数． 易错警示 　 　 对等差数列的定义理解不透彻而致误 ５．（２０２３·宁夏银川高二期末）已知数列 ｛ａｎ｝是无穷数列，则“２ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ３”是“数列｛ａｎ｝ 为等差数列”的 （Ｂ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ［错解］　 Ｃ ［误区警示］　 应用定义法判断或证明一个 数列是等差数列时，必须要判定或证明ａｎ ＋ １ － ａｎ 或ａｎ － ａｎ － １（ｎ≥２）等于一个常数，不能只对数列 的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列 中的每一项都满足等差的要求． 　 　 ［正解                                                        ］ 6789%:;< １．已知｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ 与ａ２ 的等差中项为 １，ａ２与ａ３的等差中项为２，则公差ｄ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２　 　 　 　 Ｂ． ３２ 　 　 　 　 Ｃ． １　 　 　 　 Ｄ． １ ２ ２．等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１０１ ＝０，则ａ１ ＋ ａ１０１ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． ３．等差数列｛ａｎ｝中，３（ａ３ ＋ ａ５）＋ ２（ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３） ＝２４，则ａ４ ＋ ａ１０ ＝ 　 　 　 　 ． ４．数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，且ａ１ ＝ １５，ｂ１ ＝ ３５，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ７０，则ａ３ ＋ ｂ３ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知单调递增的等差数列｛ａｎ｝的前三项之和为 ２１，前三项之积为２３１，求数列的通项公式． 请同学们认真完成练案［４                  ］ !"&