5.2.1 第1课时等差数列的定义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ５． ２　 等差数列 ５． ２． １　 等差数列 第１课时　 等差数列的定义 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．（逻辑推理） ２．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．（数学抽象） ３．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题． 学法指导 １．通过生活中的实例，找到数量关系，并发现其数字规律，归纳出等差数列的概念． ２．通过项与项之间的关系，明确等差数列“等差”的含义，找到基本量． ３．通过等差数列的直观表示，探求等差数列与一次函数的关系． )*+,%-.+ 等差数列的定义 　 　 一般地，如果一个数列　 从第２项　 　 起，每 一项与　 它的前一项的差都等于　 同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的　 公差，公差通常用字母ｄ表示． 知识解读：对等差数列定义的理解 （１）“从第２项起”因为首项没有“前一项”； （２）一个数列从第２项起，每一项与它前一项的 差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因 为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定 义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件． （３）求公差ｄ时，可以用ｄ ＝ ａｎ － ａｎ － １来求，也 可以用ｄ ＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ来求．注意公差是每一项与其 前一项的差，且用ｄ ＝ ａｎ － ａｎ － １求公差时，要求ｎ≥ ２，ｎ∈Ｎ ． 等差数列的通项公式 　 　 一般地，若等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为 ｄ，则通项公式为　 ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ －１）ｄ． 知识解读：等差数列的通项公式ａｎ中共含有 四个变量，即ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ，如果知道了其中任意三 个量，就可由通项公式求出第四个量． 等差数列的通项公式 　 　 由于ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），所以 当ｄ≠０时，等差数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ是一次函 数ｆ（ｘ）＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）（ｘ∈Ｒ）当ｘ ＝ ｎ时的函数 值，即ａｎ ＝ 　 ｆ（ｎ）． 知识解读：理解等差数列与一次函数的关系要 注意以下两点： （１）等差数列与一次函数的异同点 等差数列 一次函数 解析式ａｎ ＝ ｋｎ ＋ ｂ（ｋ≠０，ｎ∈Ｎ） ｆ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｂ（ｋ≠０） 不同点 定义域为Ｎ，图像是一 系列孤立的点（在直线 ｆ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｂ上） 定义域为Ｒ，图像是一 条直线 相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变 量的一次整式，等差数列的图像是相应的一次函数 图像上的一系列孤立的点 　 　 （２）等差数列的公差ｄ即为相应的直线的斜 率，由斜率公式知ｄ ＝ ａｐ － ａｑｐ － ｑ （ｐ，ｑ∈Ｎ ），且ｄ ＞ ０ 时等差数列单调递增；ｄ ＜ ０时等差数列单调递 减；ｄ ＝０时等差数列为常数列                                   ． !!* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 等差数列的通项公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２４·吉林长春高二检测）２ ０２０是 等差数列４，６，８，…的 （Ｂ ） Ａ．第１ ００８项 Ｂ．第１ ００９项 Ｃ．第１ ０１０项 Ｄ．第１ ０１１项 （２）已知等差数列１，－ ３，－ ７，－ １１，…，求它 的通项公式及第２０项． ［分析］　 （１）４，６，８公差通项公式解 方程得ｎ． （２）首项１与第二项－３公差通项公式 第２０项． 　 　 ［尝试作答             ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列通项公式的四个主 要应用 （１）已知ａｎ，ａ１，ｎ，ｄ中的任意三个量，求出第 四个量． （２）由等差数列的通项公式可以求出该数列 中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列 中的项． （３）根据等差数列的两个已知条件建立关于 “基本量”ａ１ 和ｄ的方程组，求出ａ１ 和ｄ，从而确 定通项公式，求得所要求的项． （４）若数列｛ａｎ｝的通项公式是关于ｎ的一次 函数或常数函数，则可判断数列｛ａｎ｝是等差数列． 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中，已 知ａ２ ＝ ２，ａ５ ＝ ８，则ａ９ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １２ Ｃ． １６ Ｄ． ２４ （２）等差数列｛ａｎ｝中， ①已知ａ３ ＝ － ２，ｄ ＝３，求ａｎ的值； ②若ａ５ ＝ １１，ａｎ ＝１，ｄ ＝ －２，求ｎ的值． 题型二 等差数列的判定或证明 ２．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ， 在数列｛ｂｎ｝中，ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ ４，试判断｛ｂｎ｝是不 是等差数列． ［分析］　 可以利用ａ１ 和ｄ写出｛ｂｎ｝的通项 公式，也可以直接利用定义判断ｂｎ ＋ １ － ｂｎ 是不是 常数． 　 　 ［尝试作答                                                                               ］ !"! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 等差数列的判定方法 方法 内容 定义法 ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ（ｎ≥２）或ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ｄ（ｄ为常数）｛ａｎ｝是等差数列 通项公式法ａｎ ＝ ｋｎ ＋ ｂ（ｋ，ｂ为常数）｛ａｎ｝是等差数列 等差中项法２ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ ＋ １（ｎ≥２）或２ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ａｎ ＋ ２｛ａｎ｝是等差数列 　 　 对点训练? 若数列｛ａｎ｝的通项公式为 ａｎ ＝１０ ＋ ｌｇ ２ ｎ，试证明：数列｛ａｎ｝为等差数列． 题型三 构造等差数列求通项公式 ３．（１）若数列｛ａｎ｝的各项均为正数，且满足 ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋２ ａ槡ｎ ＋１，ａ１ ＝ １，求ａｎ． （２）在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，且满足ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ａｎ ＋２ ，求ａｎ． ［分析］　 利用题中所给关系的结构特征，构 造等差数列，利用所构造的等差数列求ａｎ． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 构造法求数列通项的求解策略 给出数列的递推公式求通项公式时，根据递 推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方 法”“取倒数法”等，往往会构造出一个新数列满 足等差数列的条件．从而利用新数列的通项公式， 间接求出所求数列的通项公式． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １２， ａｎ ＋ １ ＝ ３ａｎ ３ － ａｎ ，试探究｛ａｎ｝的通项公式． 易错警示 　 　 求等差数列的公差时因考虑不周致误 ４．首项为－ ２４的等差数列从第１０项起开始 为正数，则公差的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． ｄ ＞ ８３ Ｂ． ｄ ＜３ Ｃ． ８３≤ｄ ＜３ Ｄ． ８ ３ ＜ ｄ≤３ ［错解］　 ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ － ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０，解得 ｄ ＞ ８３ ．故选Ａ． ［误区警示］　 该等差数列的首项为负数，从 第１０项起开始为正数，说明公差为正数，且第９ 项为非正数，第１０项为正数，解决此类问题时容 易忽视第９项的要求． 　 　 ［正解                                                                             ］ !"" － ４ｎ ＋ ６ ２ｎ ＜ ０，即函数ｆ（ｎ）在［２，＋ ∞）上单调递减，ｆ（ｎ）≤ｆ（２） ＝ ３， 综上所述，当ｎ ＝ ２时，４ｎ － ２ ２ｎ － １ 取最大值３，故λ≥３． 　 　 对点训练４：２ ｎ － １ ｎ 　 １ ２ 　 当ｎ≥２时，ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ （ｎ － １）ａｎ － １ ＋ ｎａｎ ＝ ２ｎ － １， ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋（ｎ － １）ａｎ － １ ＝ ２ｎ － １ － １， 两式相减得ｎａｎ ＝（２ｎ － １）－（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １， 所以ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ （ｎ≥２）．当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １满足上式， 综上所述，ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ ． 存在ｎ∈Ｎ ＋使得ａｎ≤ｎ ＋ １ｎ ·λ成立的充要条件为存在ｎ∈ Ｎ ＋使得λ≥２ ｎ － １ ｎ ＋ １， 设ｂｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ ＋ １，所以 ｂｎ ＋ １ ｂｎ ＝ ２ｎ ｎ ＋ ２ ２ｎ － １ ｎ ＋ １ ＝ ２（ｎ ＋ １）ｎ ＋ ２ ＞ １， 即ｂｎ ＋ １ ＞ ｂｎ，所以｛ｂｎ｝单调递增，｛ｂｎ｝的最小项ｂ１ ＝ １２ ，即 有λ≥ｂ１ ＝ １２ ，λ的最小值为 １ ２ ． 　 　 例５：（－ ３，＋ ∞）　 正解一：由数列｛ａｎ｝为递增数列，知 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋ ｔ（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｔｎ）＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ｔ ＞ ０恒成 立，即ｔ ＞ －（２ｎ ＋ １）恒成立． 而ｎ∈Ｎ，所以ｔ ＞ － ３，故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 正解二：ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ ＝（ｎ ＋ ｔ２ ） ２ － ｔ ２ ４ ， 由于ｎ∈Ｎ，且数列｛ａｎ｝为递增数列，结合二次函数的图 像可得－ ｔ２ ＜ ３ ２ ，解得ｔ ＞ － ３， 故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由题可知ａ１ ＝ １，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｎ（ｎ≥２）． ２． Ａ　 ｎ ＝ ３时，ａ３ ＝ ａ２ ＋ １ａ１ ＝ ３ ＋ １ ＝ ４； ｎ ＝ ４时，ａ４ ＝ ａ３ ＋ １ａ２ ＝ ４ ＋ １ ３ ＝ １３ ３ ； ｎ ＝ ５时，ａ５ ＝ ａ４ ＋ １ａ３ ＝ １３ ３ ＋ １ ４ ＝ ５５ １２ ． 故选Ａ． ３． Ｂ　 ∵ ａ１ ＝ － ２，ａｎ ＋ １ ＝ １ － １ａｎ， ∴ ａ２ ＝ １ ＋ １ ２ ＝ ３ ２ ，ａ３ ＝ １ － １ ａ２ ＝ １ － ２３ ＝ １ ３ ， ａ４ ＝ １ － １ ａ３ ＝ １ － ３ ＝ － ２， ∴数列｛ａｎ｝是周期Ｔ ＝ ３的周期数列， ∴ ａ２ ０１９ ＝ ａ３ ＝ １ ３ ． ４． ａｎ ＝ ２ ｎ － １ 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ － １ ＝ １， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ｎ － １ －（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １ ． 又２１ －１ ＝ １，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ５． ∵ ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋（２ｎ ＋ １）， ∴ ａ２ ＝ ａ１ ＋（２ × １ ＋ １）＝ ４， ａ３ ＝ ａ２ ＋（２ × ２ ＋ １）＝ ４ ＋ ５ ＝ ９， ａ４ ＝ ａ３ ＋（２ × ３ ＋ １）＝ ９ ＋ ７ ＝ １６， ａ５ ＝ ａ４ ＋（２ × ４ ＋ １）＝ １６ ＋ ９ ＝ ２５． 故该数列的一个通项公式是ａｎ ＝ ｎ２ ． ５． ２　 等差数列 ５． ２． １　 等差数列 第１课时　 等差数列的定义 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 从第２项　 它的前一项　 同一个常数　 公差　 　 　 知识点２　 ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ　 　 　 知识点３　 ｆ（ｎ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 数列４，６，８，…的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ２． 则２ｎ ＋ ２ ＝ ２ ０２０． 解得ｎ ＝ １ ００９． （２）由题意可知ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ － ３，所以公差ｄ ＝ ａ２ － ａ１ ＝ － ４． 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ １ － ４（ｎ － １）＝ ５ － ４ｎ． 所以ａ２０ ＝ ５ － ４ × ２０ ＝ － ７５． 即该数列的通项公式为ａｎ ＝ ５ － ４ｎ，第２０项为－ ７５． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２ ａ１ ＋ ４ｄ{ ＝ ８，解 ａ１ ＝ ０ ｄ{ ＝ ２ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：方法一：由题意可知ａｎ ＝ ａ１ ＋ （ｎ － １）ｄ（ａ１，ｄ为常 数），则ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ ４ ＝ ３［ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ］＋ ４ ＝ ３ａ１ ＋ ３（ｎ － １）ｄ ＋ ４ ＝ ３ｄｎ ＋ ３ａ１ － ３ｄ ＋ ４． 由于ｂｎ是关于ｎ的一次函数或常数函数（当ｄ ＝ ０时），故 ｛ｂｎ｝是等差数列． 方法二：根据题意，知ｂｎ ＋ １ ＝ ３ａｎ ＋ １ ＋ ４，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ １ ＋ ４ －（３ａｎ ＋ ４）＝ ３（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＝ ３ｄ（常数）． 由等差数列的定义知，数列｛ｂｎ｝是等差数列． 　 　 对点训练２：∵ ａｎ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２ｎ ＝ １０ ＋ ｎｌｇ ２， ∴ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝［１０ ＋（ｎ ＋ １）ｌｇ ２］－（１０ ＋ ｎｌｎ ２）＝ ｌｇ ２（ｎ∈ Ｎ ＋）， ∴数列｛ａｎ｝是首项为ａ１ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２，公差为ｌｇ ２的等差 数列． 　 　 例３：（１）由ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２ ａ槡ｎ ＋ １，可得ａｎ ＋ １ ＝（ ａ槡ｎ ＋ １）２ ． ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａｎ槡＋ １ ＝ ａ槡ｎ ＋ １， 即ａｎ槡＋ １ － ａ槡ｎ ＝ １． ∴ ｛ ａ槡ｎ｝是首项为ａ槡１ ＝ １，公差为１的等差数列． ∴ ａ槡ｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）＝ ｎ． ∴ ａｎ ＝ ｎ２ ． （２）由ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎａｎ ＋ ２，可得 １ ａｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １２ ， ∴ １ａ{ }ｎ 是首项为１ａ１ ＝ １，公差为 １ ２的等差数列                                                                       ． —１２７— ∴ １ａｎ ＝ １ ＋ １２ （ｎ － １）＝ ｎ ＋ １ ２ ． ∴ ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． 　 　 对点训练３：将ａｎ ＋ １ ＝ ３ａｎ３ － ａｎ变形为 １ ａｎ ＋ １ － １ａｎ ＝ － １３ ， 令ｂｎ ＝ １ａｎ，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ － １ ３ ， ∴数列｛ｂｎ｝构成等差数列，首项ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ ２，公差ｄ ＝ － １ ３ ， ∴ ｂｎ ＝ ｂ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ － １３ （ｎ － １）＝ ７ － ｎ ３ ， ∴ ａｎ ＝ ３ ７ － ｎ． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． Ｃ　 Ｃ项不满足等差数列的定义． ５．（１）ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ为任意正 整数，所以此数列为等差数列． （２）因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２（不 是常数），所以此数列不是等差数列． 第２课时　 等差数列的性质 必备知识·探新知 　 　 知识点２　 （１）ｎ － ｍ　 （２）ａｐ ＋ ａｑ 　 ２ａｐ 　 　 知识点３　 ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 　 知识点４　 （１）ｄ　 ｃｄ　 ２ｄ　 （２）ｐｄ１ ＋ ｑｄ２ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 ａ，ｂ的等差中项为 ａ ＋ ｂ ２ ＝ １ 槡槡３ ＋ ２ ＋ １ 槡槡３ － ２ ２ ＝ 槡槡槡槡３ － ２ ＋ ３ ＋ ２ ２ 槡＝ ３． （２）Ｂ　 由题意得２（３ｘ ＋ ３）＝ ｘ ＋（６ｘ ＋ ６），所以ｘ ＝ ０． 所以等差数列的前三项为０，３，６，公差为３， 所以等差数列的第四项为９．故选Ｂ． （３）因为１ａ ， １ ｂ ， １ ｃ成等差数列， 所以２ｂ ＝ １ ａ ＋ １ ｃ ，化简得２ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）， 又ｂ ＋ ｃａ ＋ ａ ＋ ｂ ｃ ＝ ｂｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ＋ ａｂ ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）＋ ｃ ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝ ２ａｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝（ａ ＋ ｃ） ２ ａｃ ＝ （ａ ＋ ｃ）２ ｂ（ａ ＋ ｃ） ２ ＝ ２·ａ ＋ ｃｂ ， 所以ｂ ＋ ｃａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 ２ｘ ＝ ａ ＋ ｂ， ２ｂ ＝ ｘ ＋ ２ｘ{ ，所以ａ ＝ ｘ２ ，ｂ ＝ ３２ ｘ． 所以ａｂ ＝ １ ３ ． （２）Ｂ 　 在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ２ ＝ ４，ａ４ ＝ ２，则ａ４ ＝ １ ２ （ａ２ ＋ ａ６）＝ １ ２ （４ ＋ ａ６）＝ ２，解得ａ６ ＝ ０．故选Ｂ． （３）由已知１ｂ ＋ ｃ， １ ｃ ＋ ａ， １ ａ ＋ ｂ成等差数列，可得 ２ ｃ ＋ ａ ＝ １ ｂ ＋ ｃ ＋ １ａ ＋ ｂ， 所以２ｃ ＋ ａ ＝ ２ｂ ＋ ａ ＋ ｃ （ｂ ＋ ｃ）（ａ ＋ ｂ）， 所以（２ｂ ＋ ａ ＋ ｃ）（ｃ ＋ ａ）＝ ２（ｂ ＋ ｃ）（ａ ＋ ｂ）， 所以ａ２ ＋ ｃ２ ＝ ２ｂ２， 所以ａ２，ｂ２，ｃ２也成等差数列． 　 　 例２：解法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∵ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ，ａ６０ ＝ ａ１ ＋ ５９ｄ， ∴ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ５９ｄ ＝ ２０{ ，解得 ａ１ ＝ ６４ １５， ｄ ＝ ４１５ { ． ∴ ａ７５ ＝ ａ１ ＋ ７４ｄ ＝ ６４ １５ ＋ ７４ × ４ １５ ＝ ２４． 解法二：∵ ｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１５，ａ３０，ａ４５，ａ６０，ａ７５也为等差数列． 设其公差为ｄ，则ａ１５为首项，ａ６０为第４项， ∴ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋ ３ｄ，即２０ ＝ ８ ＋ ３ｄ，解得ｄ ＝ ４． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋ ｄ ＝ ２０ ＋ ４ ＝ ２４． 解法三：∵ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋（６０ － １５）ｄ，∴ ｄ ＝ ａ６０ － ａ１５６０ － １５ ＝ ４ １５ ． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋（７５ － ６０）ｄ ＝ ２０ ＋ １５ × ４１５ ＝ ２４． 　 　 对点训练２：７　 解法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由题意，得ａ１ ＋ ｄ ＝ ３， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ６{ ，∴ ａ１ ＝ ５ ２ ， ｄ ＝ １２ { ． ∴ ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ５ ２ ＋ ９ ２ ＝ ７． 解法二：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∴ ａ８ － ａ２ ＝ ６ｄ ＝ ３，∴ ｄ ＝ １２ ． ∴ ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ２ｄ ＝ ６ ＋ ２ × １ ２ ＝ ７． 　 　 例３：（１）Ａ　 ∵ ｛ａｎ｝是等差数列，∴ ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３， 故ａ１３ ＝ ２ × ６ － ３ ＝ ９． （２）３５　 方法一：设数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的公差分别为ｄ１，ｄ２，因 为ａ３ ＋ ｂ３ ＝（ａ１ ＋ ２ｄ１）＋（ｂ１ ＋ ２ｄ２）＝（ａ１ ＋ ｂ１）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ７ ＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１， 所以ｄ１ ＋ ｄ２ ＝ ７，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝（ａ３ ＋ ｂ３）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１ ＋ ２ × ７ ＝ ３５． 方法二：因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列． 所以数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列，所以２（ａ３ ＋ ｂ３）＝ （ａ１ ＋ ｂ１）＋（ａ５ ＋ ｂ５），所以２ × ２１ ＝ ７ ＋ ａ５ ＋ ｂ５，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５． （３）Ｄ　 方法一：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ５ａ５ ＝ ７５０， ∴ ａ５ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ＝ ３００． 方法二：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ａ１ ＋ ４ｄ ＋ ａ１ ＋ ５ｄ ＋ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２（ａ１ ＋ ４ｄ                                                                      ） —１２８—