5.1.2 数列中的递推(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．（２０２４·山东荣成六中高二月考）数列－ １，３， －５，７，－９，…的一个通项公式为 （Ｃ ） Ａ． ａｎ ＝２ｎ －１　 Ｂ． ａｎ ＝（－１）ｎ（１ － ２ｎ） Ｃ． ａｎ ＝（－１）ｎ（２ｎ －１） Ｄ． ａｎ ＝（－１）ｎ ＋ １（２ｎ －１） ２．有下列命题： ①数列２３， ３ ４， ４ ５， ５ ６，…的一个通项公式是 ａｎ ＝ ｎ ｎ ＋１； ②数列的图像是一群孤立的点； ③数列１，－１，１，－１，…与数列－１，１，－１，１，… 是同一数列； ④数列１２， １ ４，…， １ ２ｎ是递增数列． 其中正确命题的个数为 （Ａ ） Ａ． １　 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 　 Ｄ． ０ ３．若数列ａｎ ＝ １ｎ ＋１ ＋ １ ｎ ＋２ ＋…＋ １ ２ｎ，则ａ５ － ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． － １ １０ Ｃ． １ ９０ Ｄ． １９ ９０ ４．已知数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ ３１ｎ ＋ ９（ｎ∈ Ｎ ＋），则｛ａｎ｝中的最大项为　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １），判 断４１９和４２０是否为数列中的项？若是，是数 列中的第几项？ 请同学们认真完成练案［１                                       ］ ５． １． ２　 数列中的递推 !"#$%&'( 课程目标 １．逐步体会递推公式是数列的一种表示方法．（数学抽象） ２．理解递推公式的概念及含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．（数学运算） ３．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．（数学运算） ４．理解数列的前ｎ项和，会根据数列的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ．（数学运算） 学法指导 与通项公式类似，递推公式也是给出数列的一种方式． !!& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # )*+,%-.+ 数列的递推关系 　 　 如果已知数列的　 首项（或前几项），且数列 的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式 来表示，则称这个公式为数列的　 递推关系（也称 为递推公式或递归公式）． 　 　 知识解读：１．通项公式与递推公式的区别与 联系 类别 区别 结构 通项公式ａｎ是序号ｎ的函数式 ａｎ ＝ ｆ（ｎ） ａｎ ＝ ｆ（ｎ） 递推公式 已知ａ１（或前几项）及 相邻项（或相邻几项） 间的关系式 ａｎ ＝ ｆ（ａｎ －１ ） （ｎ ＞１） 　 　 ２．（１）与“不一定所有数列都有通项公式”一 样，并不是所有的数列都有递推公式． （２）用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列｛ａｎ｝的第１项（或前几 项）； ②递推关系——数列｛ａｎ｝的任意一项ａｎ 与 它的前一项ａｎ － １（ｎ≥２）（或前几项）间的关系，并 且这个关系可以用一个公式来表示． 数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 　 　 １．数列前ｎ项和的概念 一般地，给定数列｛ａｎ｝，称　 Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ …＋ ａｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和． ２．前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ的关系 如果数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ 与它的序号之 间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个 式子叫做这个数列的前ｎ项和公式． 显然Ｓ１ ＝ ａ１，而Ｓｎ － １ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ － １（ｎ≥ ２），于是我们有ａｎ ＝ 　 Ｓ１，ｎ ＝１， Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥２{ ． ． 知识解读：１．若ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １（ｎ≥２）中令ｎ ＝ １求得的ａ１与利用ａ１ ＝ Ｓ１求得的ａ１相同，则说明 ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １（ｎ≥２）也适合ｎ ＝ １的情况，数列的 通项公式可用ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １表示． ２．若ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １（ｎ≥２）中令ｎ ＝ １求得的 ａ１与利用ａ１ ＝ Ｓ１ 求得的ａ１ 不相同，则说明ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １（ｎ≥２）不适合ｎ ＝ １的情况，此时数列的 通项公式采用分段形式表示，即ａｎ ＝ Ｓ１，ｎ ＝１， Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥２{                                        ． /012%345 题型探究 题型一 由递推公式写出数列的前几项 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １ （ｎ∈Ｎ），那么ａ４的值为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １５ Ｄ． ３１ （２）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，以后各项 由ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２（ｎ≥３）给出． ①写出此数列的前５项； ②通过公式ｂｎ ＝ ａｎａｎ ＋ １构造一个新的数列 ｛ｂｎ｝，写出数列｛ｂｎ｝的前４项． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 由递推公式写出数列的项的 方法 （１）根据递推公式写出数列的前几项，首先 要弄清楚公式中各部分的关系，再依次代入计算． （２）若知道的是末项，                       通常将所给公式整理 !!' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 成用后面的项表示前面的项的形式，如ａ ｎ ＝ ２ａｎ ＋ １ ＋ １． （３）若知道的是首项，通常将所给公式整理 成用前面的项表示后面的项的形式，如ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ －１ ２ ． 对点训练? 根据各个数列的首项和递 推公式，写出它的前５项，并归纳出通项公式． ①ａ１ ＝ ０，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋（２ｎ －１）（ｎ∈Ｎ）； ②ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎａｎ ＋２（ｎ∈Ｎ ）． 题型二 由数列的递推公式求通项公式 ２．设数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ － １（ｎ ≥２），求数列的通项公式ａｎ． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 １．用“累加法”求数列的通项 公式 当ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｆ（ｎ）（ｎ≥２）满足一定条件时， 常用ａｎ ＝（ａｎ － ａｎ － １）＋（ａｎ － １ － ａｎ － ２）＋…＋（ａ２ － ａ１）＋ ａ１累加来求通项ａｎ． ２．用“累乘法”求数列的通项公式 当ａｎａｎ －１ ＝ ｇ（ｎ）（ｎ≥２）满足一定条件时，常用ａｎ ＝ ａｎ ａｎ －１ ·ａｎ －１ａｎ －２· ａｎ －２ ａｎ －３ ·…·ａ２ａ１·ａ１累乘来求通项ａｎ． 对点训练? （１）（２０２３·天津一中高二 检测）在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋ １ｎ ＋１ ＝ ａｎ ｎ ＋ ｌｎ １ ＋ １( )ｎ ，则ａｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ ＋ ｎｌｎ ｎ Ｂ． ２ｎ ＋（ｎ －１）ｌｎ ｎ Ｃ． ２ｎ ＋ ｎｌｎ ｎ Ｄ． １ ＋ ｎ ＋ ｎｌｎ ｎ （２）（２０２４·重庆铜梁一中高一检测）已知数列 ｛ａｎ｝中，ａ１ ＝１，ｎａｎ ＋１ ＝（ｎ ＋１）ａｎ，则数列｛ａｎ｝的通项 公式是 （Ｃ ） Ａ． ａｎ ＝ １ ｎ Ｂ． ａｎ ＝２ ｎ －１ Ｃ． ａｎ ＝ ｎ Ｄ． ａｎ ＝ ｎ ＋１ ２ｎ 题型三 由前ｎ项和Ｓｎ求通项公式 ３．（１）（２０２３·湖北省重点高中联考协作体 期中）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ ＋ ５，则数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． （２）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ 满足Ｓｎ ＝ ５ｎ －１，求数列的通项公式ａｎ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 由Ｓｎ求ａｎ的一般步骤 利用ａｎ ＝ Ｓｎ，ｎ ＝１， Ｓｎ － Ｓｎ －１，ｎ≥２{ ，可由数列的前ｎ项和 Ｓｎ求得数列的通项公式．解题过程通常分为四步： 第一步，令ｎ ＝１得ａ１； 第二步，令ｎ≥２得ａｎ； 第三步，在第二步求得的ａｎ 的表达式中取 ｎ ＝１，判断其值是否等于ａ１； 第四步，写出数列的通项公式（若第三步中ｎ ＝ １时，ａｎ表达式的值不等于ａ１，则数列的通项公式一 定要分段表示）                                                                        ． !!( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 对点训练? （２０２３·广东实验中学段 考）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且满足 ｌｏｇ２（Ｓｎ ＋１）＝ ｎ ＋ １，则数列｛ａｎ｝的通项公式为 　 　 　 　 ． 题型四 数列中的恒成立问题 ４．已知数列｛ａｎ｝满足前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ － １，且 λａｎ≥４ｎ －２对一切ｎ∈Ｎ ＋恒成立，则实数λ的取 值范围是　 　 　 　 ． ［规律方法］　 由ａｎ 与Ｓｎ 的关系求出数列 ｛ａｎ｝的通项公式，将不等式化简为λ≥４ｎ －２２ｎ － １ ，令 ｆ（ｎ）＝ ４ｎ －２ ２ｎ － １ ，利用作差法判断函数单调性求出 ４ｎ －２ ２ｎ － １ 的最大值即可得解． 对点训练? 数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ ｎａｎ ＝ ２ｎ － １（ｎ∈Ｎ ＋），则ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ．若存在ｎ∈Ｎ ＋使得ａｎ≤ｎ ＋１ｎ ·λ成立， 则实数λ的最小值为　 　 　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ， 若数列｛ａｎ｝为递增数列，则ｔ的取值范围是　 （－ ３，＋ ∞）． ［错解］　 ［－２，＋ ∞） ［误区警示］　 在错解中，忽略了数列的特 征，即ｎ的取值的离散性，常会得出－ ｔ２ ≤１，即ｔ ∈［－ ２，＋ ∞）错误结果．事实上，由抛物线的对 称性知，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｔｘ在［１，＋ ∞）上不单调 照样可以使得数列｛ａｎ｝单调，当对称轴位于区间 １，３( )２ 内时，ａ１ ＜ ａ２也成立． 　 　 ［正解                                         ］ 6789%:;< １．数列１，３，６，１０，１５，…的递推公式是 （Ｂ ） Ａ． ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ｎ，ｎ∈Ｎ ＋ Ｂ． ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ｎ，ｎ∈Ｎ ＋，ｎ≥２ Ｃ． ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋（ｎ ＋１），ｎ∈Ｎ ＋，ｎ≥２ Ｄ． ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋（ｎ －１），ｎ∈Ｎ ＋，ｎ≥２ ２．已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ １ａｎ － ２ （ｎ≥３），则ａ５ ＝ （Ａ ） Ａ． ５５１２　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １３ ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ３．（２０２４·甘肃天水一中高二月考）在数列｛ａｎ｝ 中，ａ１ ＝ － ２，ａｎ ＋ １ ＝ １ － １ａｎ，则ａ２ ０１９的值为 （Ｂ ） Ａ． － ２　 　 　 Ｂ． １３ 　 　 　 Ｃ． １ ２ 　 　 　 Ｄ． ３ ２ ４．（２０２３·四川成都高一期末）已知数列｛ａｎ｝的 前ｎ项和为Ｓｎ ＝２ｎ －１，则此数列的通项公式为 　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋（２ｎ ＋ １）， 写出它的前５项，并归纳出数列的一个通项 公式． 请同学们认真完成练案［２                                ］ !!) 　 　 对点训练４：１１　 令ａｎ ＝（２５ － ２ｎ）２ｎ － １，当ｎ≥２时，设ａｎ为 最大项，则ａｎ≥ａｎ － １， ａｎ≥ａｎ ＋ １{ ， 即（２５ － ２ｎ）２ ｎ － １≥（２７ － ２ｎ）２ｎ － ２， （２５ － ２ｎ）２ｎ － １≥（２３ － ２ｎ）２ｎ{ ，解得２１２ ≤ｎ≤ ２３２ ．因为 ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ １１，又当ｎ ＝ １时，有ａ１ ＝ ２３ ＜ ａ２ ＝ ４２，所以数列 ｛（２５ － ２ｎ）２ｎ － １｝的最大项所在的项数为１１． 　 　 例５：３或４　 ｎａｎ ＝ ｎ（ｎ － ７）＝ ｎ２ － ７ｎ ＝ ｎ －( )７２ ２ － ４９４ ． 因为ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ ３或ｎ ＝ ４时，数列｛ｎａｎ｝的项最小． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 选项Ａ、Ｂ、Ｄ中，ａ１ ＝ １不满足，排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选Ｃ． ２． Ａ　 ②正确，其余均不对． ３． Ｃ 　 依题意知，ａ５ － ａ４ ＝ １５ ＋ １ ＋ １ ５ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ５ － １ ４ ＋ １ ＋ １ ４ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ４ ＝ １９ ＋ １１０ － １５ ＝ １９０ ．故选Ｃ． ４． １２９　 ∵ ａｎ ＝ － ２ｎ ２ ＋ ３１ｎ ＋ ９ ＝ － ２ ｎ － ３１( )４ ２ ＋ １ ０３３８ （ｎ∈ Ｎ ＋）， 又７ ＜ ３１４ ＜ ８， ∴ ａ７ ＝ １２８，ａ８ ＝ １２９，ａ７ ＜ ａ８， ∴数列｛ａｎ｝中的最大项为１２９． ５．令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４１９， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４１９ ＝ ０， 此方程无正整数解，故４１９不是数列中的项． 令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４２０， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４２０ ＝ ０， ∴ （ｎ － ２０）（ｎ ＋ ２１）＝ ０， ∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ ２０． 故４２０是数列中的第２０项． ５． １． ２　 数列中的递推 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 首项（或前几项）　 递推关系　 　 　 知识点２　 １． Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ ２． Ｓ１，ｎ ＝ １， Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥２{ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ 　 因为数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ），所以ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ １ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ２ａ２ ＋ １ ＝ ６ ＋ １ ＝ ７， ａ４ ＝ ２ａ３ ＋ １ ＝ １４ ＋ １ ＝ １５． （２）①∵ ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２（ｎ≥３），且ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２， ∴ ａ３ ＝ ａ２ ＋ ａ１ ＝ ３，ａ４ ＝ ａ３ ＋ ａ２ ＝ ３ ＋ ２ ＝ ５， ａ５ ＝ ａ４ ＋ ａ３ ＝ ５ ＋ ３ ＝ ８． 故数列｛ａｎ｝的前５项依次为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ａ３ ＝ ３， ａ４ ＝ ５，ａ５ ＝ ８． ②∵ ｂｎ ＝ ａｎ ａｎ ＋ １ ，且ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ａ３ ＝ ３，ａ４ ＝ ５，ａ５ ＝ ８， ∴ ｂ１ ＝ ａ１ ａ２ ＝ １２ ，ｂ２ ＝ ａ２ ａ３ ＝ ２３ ，ｂ３ ＝ ａ３ ａ４ ＝ ３５ ，ｂ４ ＝ ａ４ ａ５ ＝ ５８ ． 故｛ｂｎ｝的前４项依次为ｂ１ ＝ １２ ，ｂ２ ＝ ２ ３ ，ｂ３ ＝ ３ ５ ， ｂ４ ＝ ５ ８ ． 　 　 对点训练１：①因为ａ１ ＝ ０，ａ２ ＝ １，ａ３ ＝ ４，ａ４ ＝ ９，ａ５ ＝ １６，所 以ａｎ ＝（ｎ － １）２ ． ②因为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ １ ２ ＝ ２ ４ ， ａ４ ＝ ２ ５ ，ａ５ ＝ １ ３ ＝ ２ ６ ，所以ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． 　 　 例２：因为ａ１ ＝ １， ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ － １（ｎ≥２）， 所以ａｎａｎ － １ ＝ ｎ － １ ｎ ，ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ ·ａｎ － １ａｎ － ２· ａｎ － ２ ａｎ － ３ ·…·ａ３ａ２· ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ ｎ － １ｎ · ｎ － ２ ｎ － １· ｎ － ３ ｎ － ２·…· ２ ３· １ ２·１ ＝ １ ｎ ． 又因为ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １， 符合上式，所以ａｎ ＝ １ｎ ． 　 　 对点训练２：（１）Ｃ　 由题意得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ ｌｎ（ｎ ＋ １）－ ｌｎ ｎ， 令ｎ分别为１，２，３，…，ｎ － １，累加得ａｎｎ － ａ１ １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ １ ＝ ｌｎ ｎ， ａｎ ｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ，∴ ａｎ ＝（ｌｎ ｎ ＋ ２）ｎ，故选Ｃ． （２）Ｃ　 由ｎａｎ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ可得ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｎ ＋ １ ｎ ， ∴ ａ２ ａ１ ·ａ３ａ２·…· ａｎ ａｎ － １ ＝ ２１ × ３ ２ ×…× ｎ ｎ － １． 即ａｎａ１ ＝ ｎ １ ．又ａ１ ＝ １，∴ ａｎ ＝ ｎ． 　 　 例３：（１） １３ ２ ，ｎ ＝１， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １３２ ．当ｎ ＞ ２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ ＋５ － （ｎ －１） ２ ＋ １２ （ｎ －１）[ ]＋５ ＝２ｎ － １ ２ ，当ｎ ＝１时，上式不成立． ∴ ａｎ ＝ １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． （２）当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ４； 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ （５ｎ － １）－ （５ｎ － １ － １）＝ ４ × ５ｎ － １ ． 对ｎ ＝ １时，上式也成立． 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ４ × ５ｎ － １ ．（ｎ≥１） 　 　 对点训练３：ａｎ ＝ ３，ｎ ＝ １，２ｎ，ｎ≥２{ ． 　 由条件得Ｓｎ ＝ ２ｎ ＋ １ － １． 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２２ － １ ＝ ３； 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（２ｎ ＋ １ － １）－（２ｎ － １）＝ ２ｎ ． 而２１ ＝ ２≠ａ１，故ａｎ ＝ ３，ｎ ＝ １，２ｎ，ｎ≥２{ ． 　 　 例４：［３，＋ ∞）　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １；当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ ｎ － １ － ２ｎ － １ ＋ １ ＝ ２ｎ － １，ａ１适合上式． 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － １， λａｎ≥４ｎ － ２，即λ≥４ｎ － ２２ｎ － １ 对一切ｎ∈Ｎ ＋恒成立， ∴ λ≥ ４ｎ － ２ ２ｎ( )－ １ ｍａｘ，令ｆ（ｎ）＝ ４ｎ － ２２ｎ － １ ，ｆ（１）＝ ２， 当ｎ≥２时，ｆ（ｎ ＋ １）－ ｆ（ｎ）＝ ４（ｎ ＋ １）－ ２ ２ｎ － ４ｎ － ２ ２ｎ － １                                                                       ＝ —１２６— － ４ｎ ＋ ６ ２ｎ ＜ ０，即函数ｆ（ｎ）在［２，＋ ∞）上单调递减，ｆ（ｎ）≤ｆ（２） ＝ ３， 综上所述，当ｎ ＝ ２时，４ｎ － ２ ２ｎ － １ 取最大值３，故λ≥３． 　 　 对点训练４：２ ｎ － １ ｎ 　 １ ２ 　 当ｎ≥２时，ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ （ｎ － １）ａｎ － １ ＋ ｎａｎ ＝ ２ｎ － １， ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋（ｎ － １）ａｎ － １ ＝ ２ｎ － １ － １， 两式相减得ｎａｎ ＝（２ｎ － １）－（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １， 所以ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ （ｎ≥２）．当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １满足上式， 综上所述，ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ ． 存在ｎ∈Ｎ ＋使得ａｎ≤ｎ ＋ １ｎ ·λ成立的充要条件为存在ｎ∈ Ｎ ＋使得λ≥２ ｎ － １ ｎ ＋ １， 设ｂｎ ＝ ２ ｎ － １ ｎ ＋ １，所以 ｂｎ ＋ １ ｂｎ ＝ ２ｎ ｎ ＋ ２ ２ｎ － １ ｎ ＋ １ ＝ ２（ｎ ＋ １）ｎ ＋ ２ ＞ １， 即ｂｎ ＋ １ ＞ ｂｎ，所以｛ｂｎ｝单调递增，｛ｂｎ｝的最小项ｂ１ ＝ １２ ，即 有λ≥ｂ１ ＝ １２ ，λ的最小值为 １ ２ ． 　 　 例５：（－ ３，＋ ∞）　 正解一：由数列｛ａｎ｝为递增数列，知 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋ ｔ（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｔｎ）＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ｔ ＞ ０恒成 立，即ｔ ＞ －（２ｎ ＋ １）恒成立． 而ｎ∈Ｎ，所以ｔ ＞ － ３，故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 正解二：ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ ＝（ｎ ＋ ｔ２ ） ２ － ｔ ２ ４ ， 由于ｎ∈Ｎ，且数列｛ａｎ｝为递增数列，结合二次函数的图 像可得－ ｔ２ ＜ ３ ２ ，解得ｔ ＞ － ３， 故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由题可知ａ１ ＝ １，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｎ（ｎ≥２）． ２． Ａ　 ｎ ＝ ３时，ａ３ ＝ ａ２ ＋ １ａ１ ＝ ３ ＋ １ ＝ ４； ｎ ＝ ４时，ａ４ ＝ ａ３ ＋ １ａ２ ＝ ４ ＋ １ ３ ＝ １３ ３ ； ｎ ＝ ５时，ａ５ ＝ ａ４ ＋ １ａ３ ＝ １３ ３ ＋ １ ４ ＝ ５５ １２ ． 故选Ａ． ３． Ｂ　 ∵ ａ１ ＝ － ２，ａｎ ＋ １ ＝ １ － １ａｎ， ∴ ａ２ ＝ １ ＋ １ ２ ＝ ３ ２ ，ａ３ ＝ １ － １ ａ２ ＝ １ － ２３ ＝ １ ３ ， ａ４ ＝ １ － １ ａ３ ＝ １ － ３ ＝ － ２， ∴数列｛ａｎ｝是周期Ｔ ＝ ３的周期数列， ∴ ａ２ ０１９ ＝ ａ３ ＝ １ ３ ． ４． ａｎ ＝ ２ ｎ － １ 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ － １ ＝ １， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ｎ － １ －（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １ ． 又２１ －１ ＝ １，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ５． ∵ ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋（２ｎ ＋ １）， ∴ ａ２ ＝ ａ１ ＋（２ × １ ＋ １）＝ ４， ａ３ ＝ ａ２ ＋（２ × ２ ＋ １）＝ ４ ＋ ５ ＝ ９， ａ４ ＝ ａ３ ＋（２ × ３ ＋ １）＝ ９ ＋ ７ ＝ １６， ａ５ ＝ ａ４ ＋（２ × ４ ＋ １）＝ １６ ＋ ９ ＝ ２５． 故该数列的一个通项公式是ａｎ ＝ ｎ２ ． ５． ２　 等差数列 ５． ２． １　 等差数列 第１课时　 等差数列的定义 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 从第２项　 它的前一项　 同一个常数　 公差　 　 　 知识点２　 ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ　 　 　 知识点３　 ｆ（ｎ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 数列４，６，８，…的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ２． 则２ｎ ＋ ２ ＝ ２ ０２０． 解得ｎ ＝ １ ００９． （２）由题意可知ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ － ３，所以公差ｄ ＝ ａ２ － ａ１ ＝ － ４． 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ １ － ４（ｎ － １）＝ ５ － ４ｎ． 所以ａ２０ ＝ ５ － ４ × ２０ ＝ － ７５． 即该数列的通项公式为ａｎ ＝ ５ － ４ｎ，第２０项为－ ７５． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２ ａ１ ＋ ４ｄ{ ＝ ８，解 ａ１ ＝ ０ ｄ{ ＝ ２ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：方法一：由题意可知ａｎ ＝ ａ１ ＋ （ｎ － １）ｄ（ａ１，ｄ为常 数），则ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ ４ ＝ ３［ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ］＋ ４ ＝ ３ａ１ ＋ ３（ｎ － １）ｄ ＋ ４ ＝ ３ｄｎ ＋ ３ａ１ － ３ｄ ＋ ４． 由于ｂｎ是关于ｎ的一次函数或常数函数（当ｄ ＝ ０时），故 ｛ｂｎ｝是等差数列． 方法二：根据题意，知ｂｎ ＋ １ ＝ ３ａｎ ＋ １ ＋ ４，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ １ ＋ ４ －（３ａｎ ＋ ４）＝ ３（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＝ ３ｄ（常数）． 由等差数列的定义知，数列｛ｂｎ｝是等差数列． 　 　 对点训练２：∵ ａｎ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２ｎ ＝ １０ ＋ ｎｌｇ ２， ∴ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝［１０ ＋（ｎ ＋ １）ｌｇ ２］－（１０ ＋ ｎｌｎ ２）＝ ｌｇ ２（ｎ∈ Ｎ ＋）， ∴数列｛ａｎ｝是首项为ａ１ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２，公差为ｌｇ ２的等差 数列． 　 　 例３：（１）由ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２ ａ槡ｎ ＋ １，可得ａｎ ＋ １ ＝（ ａ槡ｎ ＋ １）２ ． ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａｎ槡＋ １ ＝ ａ槡ｎ ＋ １， 即ａｎ槡＋ １ － ａ槡ｎ ＝ １． ∴ ｛ ａ槡ｎ｝是首项为ａ槡１ ＝ １，公差为１的等差数列． ∴ ａ槡ｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）＝ ｎ． ∴ ａｎ ＝ ｎ２ ． （２）由ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎａｎ ＋ ２，可得 １ ａｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １２ ， ∴ １ａ{ }ｎ 是首项为１ａ１ ＝ １，公差为 １ ２的等差数列                                                                       ． —１２７—