5.1.1 数列的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

书 ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第五章 　 数列 ５． １　 数列基础 ５． １． １　 数列的概念 !"#$%&'( 课程目标 １．理解数列的概念，了解数列的几种分类．（数学抽象） ２．理解数列通项公式的概念及意义．（数学抽象） ３．了解数列与函数的关系．（逻辑推理） ４．能够利用通项公式求数列的项，能够根据数列的已知项，求数列的通项公式．（数学运算） 学法指导 １．通过身边的具体案例感受数列的相关概念． ２．通过具体的数列，结合函数的概念理解数列的概念及其函数特征． ３．类比函数的表示方法体会数列的表示方法，理解函数解析式与数列的通项公式的关系． )*+,%-.+ 数列 　 　 １．数列的概念 按照　 一定次序排列的一列数称为数列．数 列中的每一个数都称为这个数列的　 　 　 项． ２．数列按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 　 　 知识解读：数列中的项与集合中的元素的 对比 （１）确定性：一个数是或不是某一数列中的 项是确定的，集合中的元素也具有确定性． （２）可重复性：数列中的数可以重复，而集合 中的元素不能重复出现（即互异性）． （３）有序性：一个数列不仅与构成数列的 “数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集 合中的元素没有顺序（即无序性）． （４）数列中的每一项都是数，而集合中的元 素还可以代表除数字外的其他事物． 数列的通项 　 　 １．通项公式 一般地，如果数列的第ｎ项ａｎ与ｎ之间的关 系可以用　 ａｎ ＝ ｆ（ｎ）来表示，其中ｆ（ｎ）是关于ｎ 的不含其他未知数的表达式，                       则称上述关系式为 !!" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 这个数列的一个通项公式． ２．对数列通项公式的两点说明 （１）并非所有的数列都有通项公式； （２）有的数列的通项公式在形式上不一定是 唯一的． 知识解读：数列的通项公式ａｎ ＝ ｆ（ｎ）揭示了 数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ与ｎ之间的函数关系，体现 了数列的本质，即数列项与序号之间的对应关系， 一旦知道了数列的通项公式，便可写出数列中的 任一项，从而确定数列的取值特点． 数列与函数的关系 　 　 １．数列的本质 数列｛ａｎ｝可以看成定义域为正整数集的子集 的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也 就是相应函数的解析式． 　 　 ２．数列按函数特性分类 类别 含义 递增数列 从第２项起，每一项都　 大于它的前一项的数列 递减数列 从第２项起，每一项都　 小于它的前一项的数列 常数数列（简 称为常数列） 各项都　 相等的数列 摆动数列 从第２项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 　 　 知识解读：数列是一种特殊的函数，因此，我 们可以借用函数的研究方法来研究数列，但也要 时刻注意两者之间的区别：一般函数的定义域为 连续区间［ａ，ｂ］，而数列的定义域则为离散的正整 数集的子集                             ． /012%345 题型探究 题型一 数列的概念及分类 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知下列数列： ①２ ０１５，２ ０１６，２ ０１７，２ ０１８，２ ０１９，２ ０２０； ②１，１２， １ ４，…， １ ２ｎ － １ ，…； ③１，－ ２３， ３ ５，…， （－１）ｎ － １·ｎ ２ｎ －１ ，…； ④１，０，－１，…，ｓｉｎ ｎπ２ ，…； ⑤２，４，８，１６，３２，…； ⑥ －１，－１，－１，－１． 其中，有穷数列是　 　 　 　 　 　 　 ，无穷数列是 　 　 　 　 　 ，递增数列是　 　 　 　 　 ，递减数列是 　 　 　 　 　 ，常数列是　 　 　 　 　 　 ，摆动数列是 　 　 　 　 　 ．（填序号） （２）下列四个数列中，既是无穷数列又是递 增数列的是 （Ｃ ） Ａ． １，１２， １ ３， １ ４，… Ｂ． ｓｉｎ π７，ｓｉｎ ２π ７ ，ｓｉｎ ３π ７ ，… Ｃ． － １，－ １２，－ １ ４，－ １ ８，… Ｄ． １，槡２，槡３，…，槡２１ 　 　 ［规律方法］　 解答数列概念题要紧扣相关定 义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无 穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期 性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减． 对点训练? （１）下列有关数列的说法正 确的是 （Ｄ ） ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－１，０，１与数列１，０，－１是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． Ａ．①②　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．③ （２）已知下列数列： ①２，２２，２２２，２ ２２２； ②０，１２， ２ ３，…， ｎ －１ ｎ ，…； ③１，１３， １ ９，…， １ ３ｎ － １ ，…； ④ －１，０，－１，０，…，（－１） ｎ －１ ２ ，…； ⑤ａ，ａ，ａ，ａ，…． 其中，有穷数列是　 ① 　 　 ，无穷数列是 　 ②③④⑤，递增数列是　 ①②，递减数列是 　 ③，常数列为　 ⑤．（将正确的序号填在横线上                                       ） !!# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二根据数列的前ｎ项写出数列的一个通项公式 ２．写出下面各数列｛ａｎ｝的一个通项公式： （１）９，９９，９９９，９ ９９９，…； （２）１，－３，５，－７，９，…； （３）１２，２， ９ ２，８， ２５ ２ ，…； （４）３，５，９，１７，３３，…． ［分析］　 观察给出的前几项，归纳、猜想出 通项公式． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 根据数列的前ｎ项写出其一个 通项公式的方法 首先从下面４个角度观察数列的前几项： （１）各项的符号特征；（２）各项能否分拆；（３）分式 的分子、分母的特征；（４）相邻项的变化规律． 其次寻找各项与对应的项的序号之间的规 律，一般方法为：（１）熟记一些特殊数列的通项公 式，如ａｎ ＝ １０ ｎ －１ ９ ，ａｎ ＝ ｎ，ａｎ ＝ ２ｎ － １，ａｎ ＝ ２ ｎ，ａｎ ＝ ｎ２等，熟悉它们的变化规律，并灵活运用； （２）将数列的各项分拆成若干个常见数列的 “和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分 子、分母分别求通项； （３）当一个数列各项的符号出现“＋”“－”相 间时，应把符号分离列出，可用（－ １）ｎ 或 （－１）ｎ ＋ １来实现； （４）当数列的奇偶项分别呈现各自的规律 时，可以考虑用分段的形式给出，也可以将给出的 各项统一化成某种形式． 对点训练? （１）写出数列－ １２ × １， １ ２ × ２， － １２ × ３， １ ２ × ４的一个通项公式　 　 　 　 　 　 　 　 ． （２）根据下面数列的前几项的值，写出数列 的一个通项公式： ①３，５，７，９，１１，１３，…； ② ２３， ４ １５， ６ ３５， ８ ６３， １０ ９９，…； ③０，１，０，１，０，１，…； ④１，３，３，５，５，７，７，９，９，…； ⑤２，－６，１２，－２０，３０，－４２，…． 题型三 数列中的项的求解与判断 ３．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ３ｎ２ － ２８ｎ． （１）写出数列的第４项和第６项； （２）－ ４９是否为该数列的一项？如果是，是 哪一项？６８是否为该数列的一项呢？ （３）数列｛ａｎ｝中有多少个负数项？ ［分析］　 （１）分别将ｎ ＝ ４，ｎ ＝ ６代入通项公 式，即可求得ａ４，ａ６；（２）令ａｎ ＝ －４９，ａｎ ＝６８，分别 求得ｎ的值，若ｎ∈Ｎ，则是数列的项，否则不是 该数列的项；（３）令ａｎ ＜ ０，求出ｎ的范围，范围内 正整数的个数即数列｛ａｎ｝中负数项的个数． 　 　 ［尝试作答                                                                               ］ !!$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 判断某数是否为数列中的项 的方法及步骤 （１）将所给项代入通项公式中． （２）解关于ｎ的方程． （３）若ｎ为正整数，说明某数是该数列的项； 若ｎ不是正整数，则不是该数列的项． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝的通项公 式为ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ，则下列各数中不是数列中的项的 是 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ４０ Ｃ． ５６ Ｄ． ９０ （２）已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ４ ｎ２ ＋ ３ｎ ． ①写出数列的第４项和第６项； ②试问１１０是该数列的项吗？若是，是第几项？ 若不是，请说明理由． 题型四 数列中的最值问题 ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝（ｎ ＋１）· １０( )１１ ｎ ，该数列｛ａｎ｝有没有最大项？若有，求出最大 项和最大项的序号；若没有，请说明理由． ［分析］　 探求数列的最大项可以通过作差 或不等式组解决． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．利用数列（函数）的单调性 可以求数列中的最大（最小）项． 一般常用方法为： 当ａｎ≥ａｎ ＋ １， ａｎ≥ａｎ{ － １ 时，ａｎ 是数列中的最大项；当 ａｎ≤ａｎ ＋ １， ａｎ≤ａｎ{ － １ 时，ａｎ是数列中的最小项． ２．数列是一种特殊的函数，因此在解决数列 问题时，可利用函数的知识、函数的观点、函数的 思想方法来解题． 对点训练? 数列｛（２５ － ２ｎ）２ｎ － １｝的最 大项所在的项数为　 　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 忽视数列中ｎ的取值范围致误 ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ － ７，则 数列｛ｎａｎ｝的最小项为第　 ３或４项． ［错解］　 ７２ 　 　 ［正解                                                                            ］ !!% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．（２０２４·山东荣成六中高二月考）数列－ １，３， －５，７，－９，…的一个通项公式为 （Ｃ ） Ａ． ａｎ ＝２ｎ －１　 Ｂ． ａｎ ＝（－１）ｎ（１ － ２ｎ） Ｃ． ａｎ ＝（－１）ｎ（２ｎ －１） Ｄ． ａｎ ＝（－１）ｎ ＋ １（２ｎ －１） ２．有下列命题： ①数列２３， ３ ４， ４ ５， ５ ６，…的一个通项公式是 ａｎ ＝ ｎ ｎ ＋１； ②数列的图像是一群孤立的点； ③数列１，－１，１，－１，…与数列－１，１，－１，１，… 是同一数列； ④数列１２， １ ４，…， １ ２ｎ是递增数列． 其中正确命题的个数为 （Ａ ） Ａ． １　 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 　 Ｄ． ０ ３．若数列ａｎ ＝ １ｎ ＋１ ＋ １ ｎ ＋２ ＋…＋ １ ２ｎ，则ａ５ － ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． － １ １０ Ｃ． １ ９０ Ｄ． １９ ９０ ４．已知数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ ３１ｎ ＋ ９（ｎ∈ Ｎ ＋），则｛ａｎ｝中的最大项为　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １），判 断４１９和４２０是否为数列中的项？若是，是数 列中的第几项？ 请同学们认真完成练案［１                                       ］ ５． １． ２　 数列中的递推 !"#$%&'( 课程目标 １．逐步体会递推公式是数列的一种表示方法．（数学抽象） ２．理解递推公式的概念及含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．（数学运算） ３．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．（数学运算） ４．理解数列的前ｎ项和，会根据数列的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ．（数学运算） 学法指导 与通项公式类似，递推公式也是给出数列的一种方式． !!& 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第五章　 数列 ５． １　 数列基础 ５． １． １　 数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 １．一定次序　 项 　 　 知识点２　 １． ａｎ ＝ ｆ（ｎ） 　 　 知识点３　 ２．大于　 小于　 相等 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）①⑥　 ②③④⑤　 ①⑤　 ②　 ⑥　 ③④　 ①为有 穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数 列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为４的周期数列；⑤为 递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列． （２）Ｃ 　 Ｄ是有穷数列，Ａ是递减数列，Ｂ是摆动数列， 故选Ｃ． 　 　 对点训练１：（１）Ｄ　 ①是错误的，例如无穷个３构成的常数 列３，３，３，…的各项都是３；②是错误的，数列－ １，０，１与数列１， ０，－ １各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的， 故选Ｄ． 　 　 （２）①　 ②③④⑤　 ①② 　 ③ 　 ⑤ 　 ①是有穷递增数列， ②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆 动数列；⑤是无穷数列，也是常数列． 　 　 例２：（１）各项加１后，变为１０，１００，１ ０００，１０ ０００，…，新数 列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ １０ｎ，可得原数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ １０ｎ － １． （２）数列各项的绝对值为１，３，５，７，９，…，是连续的正奇数， 记为数列｛ｂｎ｝，则数列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ ２ｎ － １，考虑到 （－ １）ｎ ＋ １具有转换正负号的作用，所以原数列｛ａｎ｝的一个通项 公式为ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ １（２ｎ － １）． （３）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 数再观察，各项变为１２ ， ４ ２ ， ９ ２ ， １６ ２ ， ２５ ２ ，…，所以数列｛ａｎ｝的一 个通项公式为ａｎ ＝ ｎ ２ ２ ． （４）３可看作２１ ＋ １，５可看作２２ ＋ １，９可看作２３ ＋ １，１７可 看作２４ ＋ １，３３可看作２５ ＋ １，…，所以数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． 　 　 对点训练２：（１）ａｎ ＝（－ １）ｎ·１２ｎ 　 数列各项负正相间，选 用符号选择器（－１）ｎ，分子均为１，分母是序号的２倍，所以ａｎ ＝ （－１）ｎ·１２ｎ ． （２）①从３开始的奇数列，ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． ②分子为偶数，分母为相邻两奇数的积 ａｎ ＝ ２ｎ （２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）． ③ａｎ ＝ １ ＋（－ １）ｎ ２ 或ａｎ ＝ ｜ ｓｉｎ ｎ － １ ２ π ｜ ． ④将数列变形为１ ＋ ０，２ ＋ １，３ ＋ ０，４ ＋ １，５ ＋ ０，６ ＋ １，７ ＋ ０， ８ ＋ １，…， 所以ａｎ ＝ ｎ ＋ １ ＋（－ １） ｎ ２ ． ⑤将数列变形为１ × ２，－ ２ × ３，３ × ４，－ ４ × ５，５ × ６，…， 所以ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ １ｎ（ｎ ＋ １）． 　 　 例３：（１）ａ４ ＝ ３ × １６ － ２８ × ４ ＝ － ６４，ａ６ ＝ ３ × ３６ － ２８ × ６ ＝ － ６０． （２）令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ － ４９，解得ｎ ＝ ７或ｎ ＝ ７３ （舍去）， 所以ｎ ＝ ７，即－ ４９是该数列的第７项． 令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ ６８，解得ｎ ＝ ３４３或ｎ ＝ － ２． 因为３４３ Ｎ ，－ ２Ｎ，所以６８不是该数列的项． （３）ａｎ ＝ ｎ（３ｎ － ２８），令ａｎ ＜ ０，又ｎ∈Ｎ，解得ｎ ＝ １，２，３，４， ５，６，７，８，９，即数列｛ａｎ｝中有９个负数项． 　 　 对点训练３：（１）Ｂ　 由题意令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ２，可得ｎ ＝ ２（负 值舍去），为正整数，即２是｛ａｎ｝的项；同理令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ４０，可 得ｎ不为正整数，即４０不是｛ａｎ｝的项；令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝５６，可得ｎ ＝８ （负值舍去），为正整数，即５６是｛ａｎ｝的项；令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝９０，可得ｎ ＝１０（负值舍去），是正整数，即９０是｛ａｎ｝的项．故选Ｂ． （２）①因为ａｎ ＝ ４ｎ２ ＋ ３ｎ， 所以ａ４ ＝ ４４２ ＋ ３ × ４ ＝ １ ７ ， ａ６ ＝ ４ ６２ ＋ ３ × ６ ＝ ２２７ ． ②令４ ｎ２ ＋ ３ｎ ＝ １１０，则ｎ ２ ＋ ３ｎ － ４０ ＝ ０，解得ｎ ＝ ５或ｎ ＝ － ８， 注意到ｎ∈Ｎ， 故将ｎ ＝ － ８舍去，所以１１０是该数列的第５项． 　 　 例４：解法一：ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ ２） １０( )１１ ｎ ＋ １ －（ｎ ＋ １）·１０( )１１ ｎ ＝ １０( )１１ ｎ × ９ － ｎ１１ ，则 当ｎ ＜ ９时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０，即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ； 当ｎ ＝ ９时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ０，即ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ； 当ｎ ＞ ９时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＜ ０，即ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ ． ∴ ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜…＜ ａ９ ＝ ａ１０ ＞ ａ１１ ＞ ａ１２ ＞…， ∴该数列中有最大项，为第９，第１０项，且ａ９ ＝ ａ１０ ＝ １０ × １０( )１１ ９ ． 解法二：根据题意，令ａｎ － １≤ａｎ， ａｎ≥ａｎ ＋ １{ ， 即 ｎ × １０( )１１ ｎ － １ ≤（ｎ ＋ １） １０( )１１ ｎ ， （ｎ ＋ １） １０( )１１ ｎ ≥（ｎ ＋ ２） １０( )１１ ｎ ＋ １{ ， 解得９≤ｎ≤１０．又ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ ９或ｎ ＝ １０． ∴该数列中有最大项，为第９，第１０项， 即ａ９ ＝ ａ１０ ＝ １０ × １０( )１１ ９                                                               ． —１２５— 　 　 对点训练４：１１　 令ａｎ ＝（２５ － ２ｎ）２ｎ － １，当ｎ≥２时，设ａｎ为 最大项，则ａｎ≥ａｎ － １， ａｎ≥ａｎ ＋ １{ ， 即（２５ － ２ｎ）２ ｎ － １≥（２７ － ２ｎ）２ｎ － ２， （２５ － ２ｎ）２ｎ － １≥（２３ － ２ｎ）２ｎ{ ，解得２１２ ≤ｎ≤ ２３２ ．因为 ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ １１，又当ｎ ＝ １时，有ａ１ ＝ ２３ ＜ ａ２ ＝ ４２，所以数列 ｛（２５ － ２ｎ）２ｎ － １｝的最大项所在的项数为１１． 　 　 例５：３或４　 ｎａｎ ＝ ｎ（ｎ － ７）＝ ｎ２ － ７ｎ ＝ ｎ －( )７２ ２ － ４９４ ． 因为ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ ３或ｎ ＝ ４时，数列｛ｎａｎ｝的项最小． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 选项Ａ、Ｂ、Ｄ中，ａ１ ＝ １不满足，排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选Ｃ． ２． Ａ　 ②正确，其余均不对． ３． Ｃ 　 依题意知，ａ５ － ａ４ ＝ １５ ＋ １ ＋ １ ５ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ５ － １ ４ ＋ １ ＋ １ ４ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ４ ＝ １９ ＋ １１０ － １５ ＝ １９０ ．故选Ｃ． ４． １２９　 ∵ ａｎ ＝ － ２ｎ ２ ＋ ３１ｎ ＋ ９ ＝ － ２ ｎ － ３１( )４ ２ ＋ １ ０３３８ （ｎ∈ Ｎ ＋）， 又７ ＜ ３１４ ＜ ８， ∴ ａ７ ＝ １２８，ａ８ ＝ １２９，ａ７ ＜ ａ８， ∴数列｛ａｎ｝中的最大项为１２９． ５．令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４１９， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４１９ ＝ ０， 此方程无正整数解，故４１９不是数列中的项． 令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４２０， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４２０ ＝ ０， ∴ （ｎ － ２０）（ｎ ＋ ２１）＝ ０， ∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ ２０． 故４２０是数列中的第２０项． ５． １． ２　 数列中的递推 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 首项（或前几项）　 递推关系　 　 　 知识点２　 １． Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ ２． Ｓ１，ｎ ＝ １， Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥２{ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ 　 因为数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ），所以ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ １ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ２ａ２ ＋ １ ＝ ６ ＋ １ ＝ ７， ａ４ ＝ ２ａ３ ＋ １ ＝ １４ ＋ １ ＝ １５． （２）①∵ ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２（ｎ≥３），且ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２， ∴ ａ３ ＝ ａ２ ＋ ａ１ ＝ ３，ａ４ ＝ ａ３ ＋ ａ２ ＝ ３ ＋ ２ ＝ ５， ａ５ ＝ ａ４ ＋ ａ３ ＝ ５ ＋ ３ ＝ ８． 故数列｛ａｎ｝的前５项依次为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ａ３ ＝ ３， ａ４ ＝ ５，ａ５ ＝ ８． ②∵ ｂｎ ＝ ａｎ ａｎ ＋ １ ，且ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ａ３ ＝ ３，ａ４ ＝ ５，ａ５ ＝ ８， ∴ ｂ１ ＝ ａ１ ａ２ ＝ １２ ，ｂ２ ＝ ａ２ ａ３ ＝ ２３ ，ｂ３ ＝ ａ３ ａ４ ＝ ３５ ，ｂ４ ＝ ａ４ ａ５ ＝ ５８ ． 故｛ｂｎ｝的前４项依次为ｂ１ ＝ １２ ，ｂ２ ＝ ２ ３ ，ｂ３ ＝ ３ ５ ， ｂ４ ＝ ５ ８ ． 　 　 对点训练１：①因为ａ１ ＝ ０，ａ２ ＝ １，ａ３ ＝ ４，ａ４ ＝ ９，ａ５ ＝ １６，所 以ａｎ ＝（ｎ － １）２ ． ②因为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ １ ２ ＝ ２ ４ ， ａ４ ＝ ２ ５ ，ａ５ ＝ １ ３ ＝ ２ ６ ，所以ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． 　 　 例２：因为ａ１ ＝ １， ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ － １（ｎ≥２）， 所以ａｎａｎ － １ ＝ ｎ － １ ｎ ，ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ ·ａｎ － １ａｎ － ２· ａｎ － ２ ａｎ － ３ ·…·ａ３ａ２· ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ ｎ － １ｎ · ｎ － ２ ｎ － １· ｎ － ３ ｎ － ２·…· ２ ３· １ ２·１ ＝ １ ｎ ． 又因为ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １， 符合上式，所以ａｎ ＝ １ｎ ． 　 　 对点训练２：（１）Ｃ　 由题意得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ ｌｎ（ｎ ＋ １）－ ｌｎ ｎ， 令ｎ分别为１，２，３，…，ｎ － １，累加得ａｎｎ － ａ１ １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ １ ＝ ｌｎ ｎ， ａｎ ｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ，∴ ａｎ ＝（ｌｎ ｎ ＋ ２）ｎ，故选Ｃ． （２）Ｃ　 由ｎａｎ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ可得ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｎ ＋ １ ｎ ， ∴ ａ２ ａ１ ·ａ３ａ２·…· ａｎ ａｎ － １ ＝ ２１ × ３ ２ ×…× ｎ ｎ － １． 即ａｎａ１ ＝ ｎ １ ．又ａ１ ＝ １，∴ ａｎ ＝ ｎ． 　 　 例３：（１） １３ ２ ，ｎ ＝１， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １３２ ．当ｎ ＞ ２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ ＋５ － （ｎ －１） ２ ＋ １２ （ｎ －１）[ ]＋５ ＝２ｎ － １ ２ ，当ｎ ＝１时，上式不成立． ∴ ａｎ ＝ １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． （２）当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ４； 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ （５ｎ － １）－ （５ｎ － １ － １）＝ ４ × ５ｎ － １ ． 对ｎ ＝ １时，上式也成立． 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ４ × ５ｎ － １ ．（ｎ≥１） 　 　 对点训练３：ａｎ ＝ ３，ｎ ＝ １，２ｎ，ｎ≥２{ ． 　 由条件得Ｓｎ ＝ ２ｎ ＋ １ － １． 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２２ － １ ＝ ３； 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（２ｎ ＋ １ － １）－（２ｎ － １）＝ ２ｎ ． 而２１ ＝ ２≠ａ１，故ａｎ ＝ ３，ｎ ＝ １，２ｎ，ｎ≥２{ ． 　 　 例４：［３，＋ ∞）　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １；当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ ｎ － １ － ２ｎ － １ ＋ １ ＝ ２ｎ － １，ａ１适合上式． 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － １， λａｎ≥４ｎ － ２，即λ≥４ｎ － ２２ｎ － １ 对一切ｎ∈Ｎ ＋恒成立， ∴ λ≥ ４ｎ － ２ ２ｎ( )－ １ ｍａｘ，令ｆ（ｎ）＝ ４ｎ － ２２ｎ － １ ，ｆ（１）＝ ２， 当ｎ≥２时，ｆ（ｎ ＋ １）－ ｆ（ｎ）＝ ４（ｎ ＋ １）－ ２ ２ｎ － ４ｎ － ２ ２ｎ － １                                                                       ＝ —１２６—