第8章 成对数据的统计分析(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

▲ ２１９ ▲ ▲ ２２０ ▲ 考案（三） １． Ｃ　 相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可 以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报 在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定 的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定 的，但是其结果也有一定的实际意义，故选Ｃ． ２． Ｃ　 由题意，ｘ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５５ ＝ ３， ｙ ＝ ２ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ６５ ＝ ３． ６， ∵经验回归方程为^ｙ ＝ １． １ｘ ＋ ａ， ∴ ３． ６ ＝ １． １ × ３ ＋ ａ， ∴ ａ ＝ ０． ３．故选Ｃ． ３． Ｂ　 因为经验回归方程^ｙ ＝ ２ｘ ＋ ａ^相应于点（３，６． ５）的 残差为－ ０． １， 所以６． ５ ＝ ６ ＋ ａ^ － ０． １，解得^ａ ＝ ０． ６． ４． Ｄ　 对于同一样本，｜ ａｄ － ｂｃ ｜越小，说明Ｘ与Ｙ相关性越 弱，而｜ ａｄ － ｂｃ ｜越大，说明Ｘ与Ｙ相关性越强，通过计算 知，对于选项Ａ，Ｂ，Ｃ，都有｜ ａｄ － ｂｃ ｜ ＝ ｜３５ － ６０ ｜ ＝ ２５；对 于选项Ｄ，有｜ ａｄ － ｂｃ ｜ ＝ ４０．故选Ｄ． ５． Ｃ　 因为χ２ ＝ ３０ ×（４ × ２ － １６ × ８） ２ １２ × １８ × ２０ × １０ ＝ １０ ＞ ７． ８７９ ＝ ｘ０． ００５， 所以有９９． ５％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄 有关． ６． Ｂ　 经验回归方程表示废品率ｘ％与每吨生铁成本ｙ （元）之间的相关关系，当经验回归方程为^ｙ ＝ ２３４ ＋ ３ｘ 时，表明废品率每增加１％，生铁成本每吨平均增加３ 元，故选Ｂ． ７． Ａ　 ｘ ＝ １０ ＋ １５ ＋ ２０ ＋ ２５ ＋ ３０５ ＝ ２０， ｙ ＝ １ ００３ ＋ １ ００５ ＋ １ ０１０ ＋ １ ０１１ ＋ １ ０１４５ ＝ １ ００８． ６， 利用公式可得ｂ^ ＝ １０ ×１ ００３ ＋１５ ×１ ００５ ＋２０ ×１ ０１０ ＋２５ ×１ ０１１ ＋３０ ×１ ０１４ －５ ×２０ ×１ ００８．６ １００ ＋２２５ ＋４００ ＋６２５ ＋９００ －５ ×４００ ＝ ０． ５６，又^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ９９７． ４． ∴经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ５６ｘ ＋ ９９７． ４．故选Ａ． ８． Ｃ　 对于Ａ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手 房均价ｙ与月份代码ｘ呈现正相关关系，故正确，不符合题 意；对于Ｂ，令ｘ ＝ １６，由^ｙ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． 槡０２８ ５ １６ ＝ １． ０５０ ９，所以可以预测２０２４年１月在售房均价约为 １． ０５０ ９万元／平方米，故正确，不符合题意；对于Ｃ，非线 性回归曲线不一定经过（ｘ，ｙ），故错误，符合题意；对于 Ｄ，Ｒ２越大，拟合效果越好，故正确，不符合题意． ９． ＡＣ　 高中甲的前５０名学生中有３０人学习效率高，即 ３０ ５０ × １００％ ＝ ６０％，所以Ａ正确；高中乙的前５０名学生 中有１０人学习效率高，即１０５０ × １００％ ＝ ２０％，所以Ｂ错 误；这１００名学生中学习效率高的学生有１００ × ０． ４ ＝ ４０ （人），根据题意填写２ × ２列联表如下： 学习效率高学习效率不高合计 高中甲 ３０ ２０ ５０ 高中乙 １０ ４０ ５０ 合计 ４０ ６０ １００ 计算观测值Ｋ２ ＝ １００ ×（３０ × ４０ － １０ × ２０） ２ ４０ × ６０ × ５０ × ５０ ＝ ５０ ３ ≈ １６． ６６７ ＞ １０． ８２８， 所以有９９． ９％的把握认为“学生学习效率高低与晚上 睡眠是否充足有关”，Ｃ正确；认为“学生学习效率高低 与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率不超过０ ０５，所 以Ｄ错误 故选ＡＣ． １０． ＢＣＤ　 经验回归直线是最能体现这组数据的变化趋势 的直线，不一定经过样本数据中的点，故Ａ不正确，Ｃ 正确；经验回归直线一定经过样本中心点，故Ｂ正确； 相关系数ｒ满足｜ ｒ ｜≤１，且｜ ｒ ｜越接近于１，相关程度越 大；｜ ｒ ｜越接近于０，相关程度越小，故Ｄ正确． １１． ＡＣ　 ｘ ＝ １５ ×（１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５）＝ ３，ｙ ＝ １ ５ ×（４． ９ ＋ ５． １ ＋ ５． ５ ＋ ５． ７ ＋ ５． ８）＝ ５． ４，因为ｙ关于ｘ的经验回 归方程为^ｙ ＝ ０． ２４ｘ ＋ ａ^，所以５． ４ ＝ ０． ２４ × ３ ＋ ａ^，解得^ａ ＝ ４． ６８，故Ａ正确；５ × ７５％ ＝ ３． ７５，故借阅量４． ９， ５． １，５． ５，５． ７，５． ８的７５％分位数为５． ７，故Ｂ不正确； 因为０． ２４ ＞ ０，所以ｙ与ｘ的线性相关系数ｒ ＞ ０，故Ｃ 正确；经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ２４ｘ ＋ ４． ６８，当ｘ ＝ ６时，^ｙ ＝ ６．１２，故２０２４年的借阅量约为６．１２万册，故Ｄ错误． １２． ＢＣＤ　 不可以根据残差和的大小来分析模型的拟合效 果的好坏，故Ａ错误；用^ｙ ＝ １３ ｘ ＋ １作为拟合直线时， 所得ｙ的实际值与ｙ的估计值的差的平方和即残差平 方和为：Ｓ１ ＝ １ －( )４３ ２ ＋ （２ － ２）２ ＋ （３ － ３）２ ＋ ４ － １０( )３ ２ ＋ ５ － １１( )３ ２ ＝ ７３ ．用^ｙ ＝ １ ２ ｘ ＋ １ ２作为拟合直 线时，所得残差平方和为：Ｓ２ ＝（１ － １）２ ＋（２ － ２）２ ＋ ３ －( )７２ ２ ＋（４ － ４）２ ＋ ５ －( )９２ ２ ＝ １２ ，∴ Ｓ２ ＜ Ｓ１，∴ ② 的拟合效果更好，故Ｂ正确；①的Ｒ２ ＝ １ － ７ ３ １０ ＝ ２３ ３０，② 的Ｒ２ ＝ １ － １ ２ １０ ＝ １９ ２０，∴ ①的Ｒ ２ 小于②的Ｒ２，∴ ②拟合 效果更好，故Ｃ正确；残差图中直线②的残差点分布的 水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更 窄，∴直线②拟合效果更好，故Ｄ正确． １３． ５８ 　 由等高堆积条形图可知，男生中喜欢国画的占 ８０％，女生中喜欢国画的占６０％，则这８０名学生中喜 欢国画的人数为５０ × ８０％ ＋ ３０ × ６０％ ＝ ５８． １４． ２４． ６８　 由表中数据可知： ｘ ＝ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６５ ＝ ４， ｙ ＝ ２． ２ ＋ ３． ８ ＋ ５． ５ ＋ ６． ５ ＋ ７． ０５ ＝ ５． 又∵经验回归直线一定经过样本点中心（ｘ，ｙ）， ∴ ５ ＝ ａ^ ＋ １． ２３ × ４，∴ ａ^ ＝ ０． ０８， ∴经验回归方程为^ｙ ＝ １． ２３ｘ ＋ ０． ０８． 故估计使用年限为２０年时，维修费用为^ｙ ＝ １． ２３ × ２０ ＋ ０． ０８ ＝ ２４． ６８（万元）． １５． １３ 　 样本点中心坐标为 １３ ２ ，( )８０ ，所以^ａ ＝ ８０ ＋ ４ × １３２ ＝ １０６，所以经验回归方程为^ｙ ＝ － ４ｘ ＋ １０６，经验证可 知有２个点位于回归直线左下方，其概率为２６ ＝ １ ３ ． １６． ６０　 ０． ００５　 由列联表数据可求得 ａ ＝ ５，ｂ ＝ １０，ｃ ＝ ２５，ｄ ＝ ２０， 所以ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＝ ６０；χ２ ＝ ５０ ×（２０ × １５ － ５ × １０） ２ ２５ × ２５ × ３０ × ２０ ≈ ８． ３３ ＞ ７． ８７９， 所以在犯错误的概率不超过０． ００５的前提下认为“喜爱 打篮球与性别有关”． １７．（１）以横轴表示树木的树龄，纵轴表示树木的体积，可 得相应的散点图如图所示： （２）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加 的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与 树龄成相关关系且呈正相关． １８．正确．由列联表中的数据， 得χ２ ＝ １８９ ×（５４ × ６３ － ４０ × ３２） ２ ９４ × ９５ × ８６ × １０３ ≈１０． ７５９． １０． ７５９ ＞ ７． ８７９ ＞ ６． ６３５， 若以７． ８７９为临界值，则在犯错误的概率不超过０． ００５ 的前提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革 的态度有关系； 若以６． ６３５为临界值，则在犯错误的概率不超过０． ０１ 的前提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革 的态度有关系． １９．（１）由表知：ｘ ＝ １７ ×（１ ＋２ ＋３ ＋４ ＋５ ＋６ ＋７）＝４，则∑ ７ ｉ ＝１ （ｘｉ － ｘ）２ ＝（－３）２ ＋（－２）２ ＋（－１）２ ＋ ０２ ＋１２ ＋２２ ＋３２ ＝２８， 故ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）槡 ２ ∑ｎｉ ＝ １（ｙｉ － ｙ）槡 ２ ＝ １４ ２８ × ７．槡 ０８ ≈ ０． ９９，所以ｒ的值非常接近于１，即可用线性回归模型 拟合ｙ与ｘ的关系； （２）由表知：ｙ ＝ １７ ×（２． ９０ ＋３． ３０ ＋３． ６０ ＋４． ４０ ＋４． ８０ ＋ ５．２０ ＋５．９０）＝４．３０，则ｂ^ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｘｉ － ｘ）２ ＝ １４２８ ＝０． ５，^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝４．３ －０．５ ×４ ＝２．３． 故所求经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ５ｘ ＋ ２． ３． 令ｘ ＝ ８，则^ｙ ＝ ０． ５ × ８ ＋ ２． ３ ＝ ６． ３（万元）                                                                                                                                                                                                                ． ▲ ２２１ ▲ ▲ ２２２ ▲ 所以估计该设备使用８年的失效费为６． ３万元． ２０．（１）根据表格中的５组数据，绘制散点图如图所示： （２）由表格数据可知： ｘ ＝ １５ （２ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ８）＝ ５， ｙ ＝ １５ （３０ ＋ ４０ ＋ ６０ ＋ ５０ ＋ ７０）＝ ５０， 故ｂ^ ＝ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ５ ｘ·ｙ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ５ ｘ ２ ＝ １ ３８０ － ５ × ５ × ５０１４５ － ５ × ２５ ＝ ６． ５， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ５０ － ６． ５ × ５ ＝ １７． ５， 故所求经验回归方程为^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５． （３）由（２）知，^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５， 令ｘ ＝ １０，解得^ｙ ＝ ８２． ５． 故广告费支出为１０万元时，销售额约为８２． ５万元． ２１．（１）由已知得，样本中有２５周岁以上（含２５周岁）组 工人６０名，２５周岁以下组工人４０名．所以，样本中日 平均生产件数不足６０件的工人中，２５周岁以上（含２５ 周岁）组工人有６０ × ０． ０５ ＝ ３（人），记为Ａ１，Ａ２，Ａ３；２５ 周岁以下组工人有４０ × ０． ０５ ＝ ２（人），记为Ｂ１，Ｂ２ ．从 中随机抽取２名工人，所有的可能结果共有１０种，它 们是：（Ａ１，Ａ２），（Ａ１，Ａ３），（Ａ２，Ａ３），（Ａ１，Ｂ１），（Ａ１，Ｂ２）， （Ａ２，Ｂ１），（Ａ２，Ｂ２），（Ａ３，Ｂ１），（Ａ３，Ｂ２），（Ｂ１，Ｂ２）．其 中，至少有１名“２５周岁以下组”工人的可能结果共有７ 种，它们是：（Ａ１，Ｂ１），（Ａ１，Ｂ２），（Ａ２，Ｂ１），（Ａ２，Ｂ２），（Ａ３， Ｂ１），（Ａ３，Ｂ２），（Ｂ１，Ｂ２）．故所求的概率Ｐ ＝ ７１０． （２）由题中频率分布直方图可知，在抽取的１００名工人 中，“２５周岁以上（含２５周岁）组”中的生产能手有６０ × ０． ２５ ＝ １５（人），“２５周岁以下组”中的生产能手有 ４０ × ０． ３７５ ＝ １５（人）， 据此可得２ × ２列联表如表： 年龄分组 生产能手非生产能手合计 ２５周岁以上 （含２５周岁）组 １５ ４５ ６０ ２５周岁以下组 １５ ２５ ４０ 合计 ３０ ７０ １００ 假设Ｈ０：生产能手与工人所在的年龄组无关． 根据列联表中的数据，经计算得到χ２ ＝ １００ ×（１５ × ２５ － １５ × ４５）２ ６０ × ４０ × ３０ × ７０ ≈１． ７９ ＜ ２． ７０６ ＝ ｘ０． １ ． 根据α ＝ ０． １的独立性检验，没有充分证据推断Ｈ０ 不 成立，因此可以认为Ｈ０ 成立，即认为生产能手与工人 所在的年龄组无关． ２２．（１）易知ｔ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５５ ＝ ３， ｙ ＝ ０． ５ ＋ ０． ６ ＋ １ ＋ １． ４ ＋ １． ７５ ＝ １． ０４，  ５ ｉ ＝ １ ｔ２ｉ ＝ １ ２ ＋ ２２ ＋ ３２ ＋ ４２ ＋ ５２ ＝ ５５，  ５ ｉ ＝ １ ｔｉｙｉ ＝ １ × ０． ５ ＋ ２ × ０． ６ ＋ ３ × １ ＋ ４ × １． ４ ＋ ５ × １． ７ ＝ １８． ８， ｂ^ ＝  ５ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）（ｙｉ － ｙ）  ５ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）２ ＝  ５ ｉ ＝ １ ｔｉｙｉ － ５ ｔ　ｙ  ５ ｉ ＝ １ ｔ２ｉ － ５ ｔ ２ ＝ １８． ８ － ５ × ３ × １． ０４ ５５ － ５ × ３２ ＝ ０． ３２， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｔ ＝ １． ０４ － ０． ３２ × ３ ＝ ０． ０８， 则ｙ关于ｔ的线性经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ３２ｔ ＋ ０． ０８． 当ｔ ＝ ６时，^ｙ ＝ ２． 即２０２３年７月份当地该品牌新能源汽车的销量约为２ 万辆． （２）根据题中的频数表可知，任意抽取１名拟购买新能 源汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于３ 万元的概率为１２０２００ ＝ ３ ５ ． 由题意可知ξ ～ Ｂ ３，( )３５ ，ξ的所有可能取值为０，１， ２，３． Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ０３ ( )３５ ０ ( )２５ ３ ＝ ８１２５， Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１３ ( )３５ １ ( )２５ ２ ＝ ３６１２５， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ２３ ( )３５ ２ ( )２５ １ ＝ ５４１２５， Ｐ（ξ ＝ ３）＝ Ｃ３３ ( )３５ ３ ( )２５ ０ ＝ ２７１２５， 故ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ ８１２５ ３６ １２５ ５４ １２５ ２７ １２５ 所以Ｅ（ξ）＝ ３ × ３５ ＝ ９ ５ ． 考案（四） １． Ｃ　 每位同学有５种选择，则不同的报名方法共有５ × ５ ＝ ２５ （种）选法．故选Ｃ． ２． Ｃ　 因为Ａ２ｎ ＝ ３Ｃ２ｎ － １，所以ｎ（ｎ － １）＝ ３（ｎ － １）（ｎ － ２）２ ， 即ｎ ＝ ６．故选Ｃ． ３． Ｂ　 由题意可分成两类： 第一类是将３个男生每个大学各推荐１人，共有Ａ３３Ａ２２ ＝ １２种推荐方法； 第二类是将３个男生分成两组分别推荐甲和乙，其余２ 个女生从剩下的大学中选，共有Ｃ２３Ａ２２Ａ２２ ＝ １２种推荐 方法． 故共有１２ ＋ １２ ＝ ２４种推荐方法，故选Ｂ． ４． Ｂ　 由题意得μ ＝ ０，σ ＝ ３，∴ Ｐ（３ ＜ ξ ＜ ６）＝ Ｐ（μ ＋ σ ＜ ξ ＜ μ ＋ ２σ） ＝ Ｐ（μ － ２σ ＜ ξ ＜ μ ＋ ２σ）－ Ｐ（μ － σ ＜ ξ ＜ μ ＋ σ）２ ＝ ９５． ４４％ － ６８． ２６％２ ＝ １３． ５９％ ． ５． Ｃ　 方法一（将４个１和２个０视为完全不同的元素）　 ４个１分别设为１Ａ，１Ｂ，１Ｃ，１Ｄ，２个０分别设为０Ａ，０Ｂ， 将４个１和２个０随机排成一行有Ａ６６ 种排法，将１Ａ， １Ｂ，１Ｃ，１Ｄ排成一行有Ａ４４种排法，再将ＯＡ，ＯＢ插空有 Ａ２５种排法，所以２个０不相邻的概率Ｐ ＝ Ａ ４ ４Ａ ２ ５ Ａ６６ ＝ ２３ ． 方法二（含有相同元素的排列）　 将４个１和２个０安 排在６个位置，则选择２个位置安排０，共有Ｃ２６种排法； 将４个１排成一行，把２个０插空，即在５个位置中选２ 个位置安排０，共有Ｃ２５种排法．所以２个０不相邻的概 率Ｐ ＝ Ｃ ２ ５ Ｃ２６ ＝ ２３ ． ６． Ａ　 依题意，注意到（１ － ｘ）６ 的展开式的通项为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ６·（－ ｘ）ｒ ＝ Ｃｒ６·（－ １）ｒ·ｘｒ，因此１ ＋ ａｘ( )２ （１ － ｘ）６展 开式中ｘ３的系数为１ × Ｃ３６ ×（－ １）３ ＋ ａ × Ｃ５６ ×（－ １）５ ＝ － ８，解得ａ ＝ － ２，故选Ａ． ７． Ａ　 设“甲气象台预报准确”为事件Ａ，“乙气象台预报 准确”为事件Ｂ，则Ｐ（Ａ）＝ ０． ８，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ７，且Ａ，Ｂ相 互独立，则在一次预报中这两个气象台的预报都不准确 的概率为Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝（１ － ０． ８）×（１ － ０． ７） ＝ ０． ０６． ８． Ｃ　 事件Ａ ＝｛取出２个球同为红色｝，事件Ｂ ＝｛取出的 ２个球同为白色｝，则事件Ａ与事件Ｂ是互斥事件，所以 ｆ（ｎ）＝ Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＋ Ｐ（Ｂ）＝ ２５ × １ ｎ ＋ １ ＋ ３ ５ × ｎ ｎ ＋ １ ＝ ３ｎ ＋ ２ ５（ｎ ＋ １），由于函数ｆ（ｎ）＝ ３ ５ － １ ５（ｎ ＋ １）在［１， ＋ ∞）上是单调递增函数，所以当ｎ ＝ １时，函数ｆ（ｎ）（ｎ ∈Ｎ）取得最小值ｆ（１）＝ １２ ． ９． ＡＢＤ　 ｘ ＝０ ＋１ ＋２ ＋３ ＋４５ ＝２，ｙ ＝ ２． ２ ＋ ｎ ＋ ４． ５ ＋ ４． ８ ＋ ６． ７ ５ ＝ １８． ２ ＋ ｎ５ ，所以样本点的中心为２， １８． ２ ＋ ｎ( )５ ，代入^ｙ ＝ ０． ９５ｘ ＋ ２． ６，得１８． ２ ＋ ｎ５ ＝ ０． ９５ × ２ ＋ ２． ６，解得ｎ ＝ ４． ３．故Ａ正确；因为ｙ关于ｘ的经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ９５ｘ ＋ ２． ６，所以变量ｘ，ｙ呈正相关关系，故Ｂ正确；若 ｘ ＝ ６，则求得^ｙ ＝８． ３，但不能断定ｙ的值一定是８． ３，故Ｃ 错误；若ｘ的值增加１，则ｙ的值约增加０．９５，故Ｄ正确． １０． ＢＣ　 槡ｘ ＋ １２ ４槡( )ｘ ８ 的展开式的通项公式为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ８· （槡ｘ）８ － ｒ· １２ ４槡( )ｘ ｒ ＝ ( )１２ ｒ ·Ｃｒ８·ｘ４ － ３ ４ ｒ，其展开式的各 项系数依次为１，４，７，７，３５８ ， ７ ４ ， ７ １６， １ １６， １ ２５６，所以，                                                                                                                                                                                                                展开 ▲ １８９ ▲ ▲ １９０ ▲ 考 案 （三） 第八章　 成对数据的统计分析 考试时间：１２０分钟，满分：１５０分． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．下列说法中正确的是 （Ｃ ） Ａ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义 Ｂ．独立性检验对分类变量关系的研究没有１００％的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没 有多大的实际意义 Ｃ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的 Ｄ．独立性检验如果得出的结论有９９％的可信度，就意味着这个结论一定是正确的 ２．相关变量ｘ，ｙ的样本数据如下： ｘ １ ２ ３ ４ ５ ｙ ２ ２ ３ ５ ６ 经回归分析可得ｙ与ｘ线性相关，并由最小二乘法求得经验回归方程^ｙ ＝ １． １ｘ ＋ ａ，则ａ ＝ （Ｃ ） Ａ． ０． １ Ｂ． ０． ２ Ｃ． ０． ３ Ｄ． ０． ４ ３．已知经验回归方程^ｙ ＝ ２ｘ ＋ ａ^相应于点（３，６． ５）的残差为－ ０． １，则^ａ的值为 （Ｂ ） Ａ． ０． ５ Ｂ． ０． ６ Ｃ． － ０． ５ Ｄ． － ０． ６ ４．假设有两个分类变量Ｘ和Ｙ，它们的取值分别为｛ｘ１，ｘ２｝和｛ｙ１，ｙ２｝，其２ × ２列联表如下： 　 　 Ｙ Ｘ　 　 ｙ１ ｙ２ 总计 ｘ１ ａ ｂ ａ ＋ ｂ ｘ２ ｃ ｄ ｃ ＋ ｄ 总计 ａ ＋ ｃ ｂ ＋ ｄ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ 对于同一样本，以下数据能说明Ｘ与Ｙ有关的可能性最大的一组为 （Ｄ ） Ａ． ａ ＝ ５，ｂ ＝ １０，ｃ ＝ ６，ｄ ＝ ７ Ｂ． ａ ＝ ５，ｂ ＝ ６，ｃ ＝ １０，ｄ ＝ ７ Ｃ． ａ ＝ ７，ｂ ＝ ６，ｃ ＝ １０，ｄ ＝ ５ Ｄ． ａ ＝ ６，ｂ ＝ ７，ｃ ＝ １０，ｄ ＝ ５ ５．某同学寒假期间对其３０位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下２ × ２列联表： 年龄 饮食习惯 偏爱蔬菜偏爱肉类 合计 ５０岁以下 ４ ８ １２ ５０岁以上 １６ ２ １８ 合计 ２０ １０ ３０ 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为 （Ｃ ） Ａ． ９５％ Ｂ． ９９％ Ｃ． ９９． ５％ Ｄ． ９９． ９％ ６．废品率ｘ％与每吨生铁成本ｙ（元）之间的经验回归方程为^ｙ ＝ ２３４ ＋ ３ｘ，表明 （Ｂ ） Ａ．废品率每增加１％，生铁成本增加３ｘ元 Ｂ．废品率每增加１％，生铁成本每吨平均增加３元 Ｃ．废品率每增加１％，生铁成本增加２３４元 Ｄ．废品率不变，生铁成本为２３４元 ７．两个相关变量满足如下关系： ｘ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ｙ １ ００３ １ ００５ １ ０１０ １ ０１１ １ ０１４ 两变量的经验回归方程为 （Ａ ） Ａ． ｙ^ ＝０．５６ｘ ＋９９７．４ Ｂ． ｙ^ ＝０．６３ｘ －２３１．２ Ｃ． ｙ^ ＝５０．２ｘ ＋５０１．４ Ｄ． ｙ^ ＝６０．４ｘ ＋４００．７ ８．如图是某市２０２２年１０月至２０２３年１０月间，每月在售二手房均价（单位：万元／平方米）的散点图．（图中月 份代码１ ～１３分别对应２０２２年１０月—２０２３年１０月） 根据散点图选择ｙ ＝ ａ ＋ ｂ槡ｘ和ｙ ＝ ｃ ＋ ｄｌｎ ｘ两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个经验回归方 程分别为^ｙ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． ０２８ ５槡ｘ和^ｙ ＝ ０． ９５５ ４ ＋ ０． ０３０ ６ｌｎ ｘ，并得到以下一些统计量的值： ｙ^ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． ０２８ ５槡ｘ ｙ^ ＝ ０． ９５５ ４ ＋ ０． ０３０ ６ ｌｎ ｘ Ｒ２ ０． ９２３ ０． ９７３ 注：ｘ是样本数据中ｘ的平均数，ｙ是样本数据中ｙ的平均数，则下列说法不一定成立的是 （Ｃ ） Ａ．当月在售二手房均价ｙ与月份代码ｘ呈现正相关关系 Ｂ．根据^ｙ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． ０２８ ５槡ｘ可以预测２０２４年１月在售二手房均价约为１． ０５０ ９万元／平方米 Ｃ．曲线^ｙ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． ０２８ ５槡ｘ与^ｙ ＝ ０． ９５５ ４ ＋ ０． ０３０ ６ｌｎ ｘ的图形经过点（ｘ，ｙ） Ｄ． ｙ^ ＝ ０． ９５５ ４ ＋ ０． ０３０ ６ｌｎ ｘ回归曲线的拟合效果好于^ｙ ＝ ０． ９３６ ９ ＋ ０． ０２８ ５槡ｘ的拟合效果 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符 合题目要求的，全部选对的得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分） ９．晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，高中甲的高三年级学生晚上１０点１０分必须休息，高中乙 的高三年级学生晚上１１点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息 有关人员分别对 这两所高中的高三年级学习总成绩前５０名学生的学习效率进行问卷调查，其中高中甲有３０名学生 的学习效率高，且从这１００名学生中随机抽取１人，抽到学习效率高的学生的概率是０． ４，则（　 ） 附：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）（ｃ ＋ ｄ） Ｐ（Ｋ２≥ｋ０） ０． ０５０ ０． ０１０ ０． ００５ ０． ００１ ｋ０ ３． ８４１ ６． ６３５ ７． ８７９ １０． ８２８ Ａ．高中甲的前５０名学生中有６０％的学生学习效率高 Ｂ．高中乙的前５０名学生中有４０％                                                                      的学生学习效率高 ▲ １９１ ▲ ▲ １９２ ▲ Ｃ．有９９． ９％的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关” Ｄ．认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过０． ０５ １０．在统计中，由一组样本数据（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ）利用最小二乘法得到两个变量的经验回归 方程为^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^，那么下面说法正确的是 （　 ） Ａ．经验回归直线^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^至少经过点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ）中的一个点 Ｂ．经验回归直线^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^必经过点（ｘ，ｙ） Ｃ．经验回归直线^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^表示最接近ｙ与ｘ之间真实关系的一条直线 Ｄ． ｜ ｒ ｜≤１，且｜ ｒ ｜越接近于１，相关程度越大；｜ ｒ ｜越接近于０，相关程度越小 １１．某地建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近５年借阅数据如表： 年份 ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３ 年份代码ｘ １ ２ ３ ４ ５ 年借阅量ｙ（万册） ４． ９ ５． １ ５． ５ ５． ７ ５． ８ 根据上表，可得ｙ关于ｘ的经验回归方程为^ｙ ＝ ０． ２４ｘ ＋ ａ^，下列结论正确的有 （　 　 ） Ａ． ａ^ ＝ ４． ６８ Ｂ．借阅量４． ９，５． １，５． ５，５． ７，５． ８的７５％分位数为５． ６ Ｃ． ｙ与ｘ的线性相关系数ｒ ＞ ０ Ｄ． ２０２４年的借阅量一定不少于６． １２万册 １２．对于表中ｘ，ｙ之间的一组数据： ｘ １ ３ ６ ７ ８ ｙ １ ２ ３ ４ ５ 甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为①ｙ^ ＝ １３ ｘ ＋ １和②ｙ^ ＝ １ ２ ｘ ＋ １ ２ ．若通过分析得出②的拟合 效果好，则下列分析理由正确的是 （　 ） Ａ．①的残差和大于②的残差和，所以②拟合效果更好 Ｂ．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②拟合效果更好 Ｃ．①的Ｒ２小于②的Ｒ２，所以②拟合效果更好 Ｄ．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直 线②拟合效果更好 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３．某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取８０名学生进行调查（其中有男生５０名， 女生３０名），并绘制等高堆积条形图（如图所示），则这８０名学生中喜欢国画的人数为　 　 　 　 ． １４．假设关于某设备的使用年限ｘ和所支出的维修费用ｙ（万元）有如下的统计资料： ｘ ２ ３ ４ ５ ６ ｙ ２． ２ ３． ８ ５． ５ ６． ５ ７． ０ 若由资料可知ｙ对于ｘ呈线性相关关系，且经验回归方程为^ｙ ＝ ａ^ ＋ ｂ^ｘ，其中已知ｂ^ ＝ １． ２３，请估计使 用年限为２０年时，维修费用为２４． ６８　 万元． １５．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下 数据： 单价ｘ（元） ４ ５ ６ ７ ８ ９ 销量ｙ（件） ９０ ８４ ８３ ８０ ７５ ６８ 由表中数据，求得经验回归方程为^ｙ ＝ － ４ｘ ＋ ａ^．若在这些样本点中任取一点，则它在经验回归直线 左下方的概率为　 　 　 　 ． １６．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班５０名学生进行了问卷调查，得到了如下的２ × ２ 列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ２０ ａ ２５ 女生 ｂ １５ ｃ 合计 ３０ ｄ ５０ 则ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＝ 　 　 　 　 ；在犯错误的概率不超过　 　 　 　 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 附：χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）． α ０． １０ ０． ０５ ０． ０２５ ０． ０１０ ０． ００５ ０． ００１ ｘα ２． ７０６ ３． ８４１ ５． ０２４ ６． ６３５ ７． ８７９ １０． ８２８ 四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分１０分）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 体积 ３０ ３４ ４０ ６０ ５５ ６２ ７０ （１）请作出这些数据的散点图； （２）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗                                                                      ？ ▲ １９３ ▲ ▲ １９４ ▲ １８．（本小题满分１２分）某大型企业人力资源部为了研究企业员工的工作积极性和对待企业改革态度 的关系，随机抽取了１８９名员工进行调查，所得数据如下表所示． 积极支持 企业改革 不太赞成 企业改革 总计 工作积极 ５４ ４０ ９４ 工作一般 ３２ ６３ ９５ 总计 ８６ １０３ １８９ 李明和张宇都对该题进行了独立性检验的分析，李明的结论是“在犯错误的概率不超过０． ０１的前 提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系”；张宇的结论是“在犯错误的概率 不超过０． ００５的前提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系”． 他们两人的结论正确吗？他们的结论为什么不一样？ １９．（本小题满分１２分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减 少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限ｘ （单位：年）与失效费ｙ（单位：万元）的统计数据如表所示： 使用年限（单位：年） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ 失效费（单位：万元） ２． ９０ ３． ３０ ３． ６０ ４． ４０ ４． ８０ ５． ２０ ５． ９０ （１）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系．请用相关系数加以说明（精确到０． ０１）； （２）求出ｙ关于ｘ的经验回归方程，并估算该种机械设备使用８年的失效费． 参考公式：ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）槡 ２ ∑ｎｉ ＝ １（ｙｉ － ｙ）槡 ２ ，ｂ^ ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ，^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ． 参考数据：∑７ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）＝ １４，∑ ７ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）２ ＝ ７． ０８． ２０．（本小题满分１２分）某种产品的广告费支出ｘ（单位：万元）与销售额ｙ（单位：万元）之间有如下对应 数据： ｘ ２ ４ ５ ６ ８ ｙ ３０ ４０ ６０ ５０ ７０ （１）画出散点图； （２）求经验回归方程； （３）试预测广告费支出为１０万元时，销售额为多少？ 附：ｂ^ ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ｎ ｘ·ｙ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２ ，^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ． 参考数据：∑５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ １４５，∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ １ ３８０                                                                      ． ▲ １９５ ▲ ▲ １９６ ▲ ２１．（本小题满分１２分）某工厂有２５周岁以上（含２５周岁）工人３００名，２５周岁以下工人２００名．为研 究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了１００名工人，先统计了 他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“２５周岁以上（含２５周岁）”和“２５周岁以下”分为 两组，再将两组工人的日平均生产件数分成５组：［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］分 别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （１）从样本中日平均生产件数不足６０件的工人中随机抽取２人，求至少抽到一名“２５周岁以下组” 工人的概率； （２）规定日平均生产件数不小于８０件者为“生产能手”，请你利用已知条件画出２ × ２列联表，根据 α ＝ ０． １的独立性检验，能否认为生产能手与工人所在的年龄组有关联？ 参考数据及公式如下： α ０． １ ０． ０５ ０． ０１ ０． ００５ ｘα ２． ７０６ ３． ８４１ ６． ６３５ ７． ８７９ χ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） ２２．（本小题满分１２分）某人计划于２０２３年７月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站 了解到近五个月实际销量如表所示： 月份 ２０２３． ０２ ２０２３． ０３ ２０２３． ０４ ２０２３． ０５ ２０２３． ０６ 月份编号ｔ １ ２ ３ ４ ５ 实际销量ｙ （万辆） ０． ５ ０． ６ １ １． ４ １． ７ （１）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量ｙ（万辆）与月份编号ｔ之间的 相关关系．请用最小二乘法求ｙ关于ｔ的线性经验回归方程：^ｙ ＝ ｂ^ｔ ＋ ａ^，并预测２０２３年７月份当地该 品牌新能源汽车的销量； （２）已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的２００名消费者的购车补 贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到下表： 补贴金额预期值 区间（万元） ［１，２）［２，３）［３，４）［４，５）［５，６）［６，７］ 频数 ２０ ６０ ６０ ３０ ２０ １０ 将频率视为概率，现用随机抽样的方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取３人， 记被抽取的３人中对补贴金额的心理预期值不低于３万元的人数为ξ．求ξ的分布列及均值Ｅ（ξ）． 参考公式：ｂ^ ＝ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ＝  ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ｎ ｘ　ｙ  ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２ ，^ａ ＝ ｙ － ｂ^                                                                      ｘ．