第7章 随机变量及其分布(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

▲ １８５ ▲ ▲ １８６ ▲ 考 案 （二） 第七章　 随机变量及其分布 考试时间：１２０分钟，满分：１５０分． 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是 （Ｄ ） Ａ．第一次出现的点数 Ｂ．第二次出现的点数 Ｃ．两次出现点数之和 Ｄ．两次出现相同点的种数 ２．某班有６０名学生，一次考试后数学成绩Ｘ ～ Ｎ（１１０，１０２），若Ｐ（１００≤Ｘ≤１１０）＝ ０． ３５，则估计该班学 生数学成绩在１２０分以上的人数为 （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． ８ Ｃ． ７ Ｄ． ６ ３．若随机变量ξ ～ Ｂ（ｎ，０． ６），且Ｅ（ξ）＝ ３，则Ｐ（ξ ＝ １）的值是 （Ｃ ） Ａ． ２ × ０． ４４ Ｂ． ２ × ０． ４５ Ｃ． ３ × ０． ４４ Ｄ． ３ × ０． ６４ ４．已知随机变量Ｘ ～ Ｂ ６，１( )２ ，则Ｄ（２Ｘ ＋ １）等于 （Ａ ） Ａ． ６ Ｂ． ４ Ｃ． ３ Ｄ． ９ ５．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件Ａ：“甲骰子的点数大于３”，事件Ｂ：“甲、乙两骰子的点数之和等于７”，则 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）的值等于 （Ｂ ） Ａ． １３ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ９ Ｄ． １ １８ ６．随机变量Ｘ的概率分布为Ｐ（Ｘ ＝ ｎ）＝ ａｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＝ １，２，３，４），其中ａ为常数，则Ｐ ７ ４ ＜ Ｘ ＜ １３( )４ 的值 为 （Ｄ ） Ａ． ２３ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ５ １６ ７．一批排球中正品有ｍ个，次品有ｎ个，ｍ ＋ ｎ ＝ １０（ｍ≥ｎ），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽 取１０次，Ｘ表示抽到的次品个数．若Ｄ（Ｘ）＝ ２． １，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概 率ｐ ＝ （Ｂ ） Ａ． ４４４５ Ｂ． １４ １５ Ｃ． ７ ９ Ｄ． １３ １５ ８．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差Ｄ（ξ）的最大值为 （Ｂ ） ξ ０ １ ２ Ｐ ｙ ０． ４ ｘ Ａ． ０． ７２ Ｂ． ０． ６ Ｃ． ０． ２４ Ｄ． ０． ４８ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符 合题目要求的，全部选对的得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分） ９．已知随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ － １ ０ １ Ｐ １２ １ ３ １ ６ 则下列结论正确的是 （　 ） Ａ． Ｅ（Ｘ）＝ － １３ Ｂ． Ｅ（Ｘ ＋ ４）＝ － １ ３ Ｃ． Ｄ（３Ｘ ＋ １）＝ ５ Ｄ． Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ １ ６ １０．一个课外兴趣小组共有５名成员，其中有３名女性成员，２名男性成员，现从中随机选取２名成员进 行学习汇报，记选出女性成员的人数为Ｘ，则下列结论正确的是 （　 ） Ａ． Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １１０ Ｂ． Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ３ ５ Ｃ． Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ １ ５ Ｄ． Ｅ（Ｘ）＝ ４ ５ １１．已知随机变量Ｘ ～Ｎ（０．４，σ２１），Ｙ ～Ｎ（０．８，σ２２），其正态分布曲线如图所示，则下列说法正确的是（　 ） Ａ． Ｐ（Ｘ≥０． ４）＝ Ｐ（Ｙ≥０． ８） Ｂ． Ｐ（Ｘ≥０）＝ Ｐ（Ｙ≥０） Ｃ． Ｘ的取值比Ｙ的取值更集中于平均值左右 Ｄ．两支密度曲线与ｘ轴之间的面积均为１ １２．甲罐中有５个红球，２个白球和３个黑球，乙罐中有４个红球，３个白球和３个黑球．先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐，分别以Ａ１，Ａ２和Ａ３ 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐 中随机取出一球，以Ｂ表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （　 ） Ａ． Ｐ（Ｂ）＝ ２５ Ｂ． Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＝ ５ １１ Ｃ．事件Ｂ与事件Ａ１相互独立 Ｄ． Ａ１，Ａ２，Ａ３是两两互斥的事件 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３．已知随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，σ２），且Ｐ（－ ２≤Ｘ≤０）＝ ０． ４，则Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ 　 　 　 　 ． １４．袋中有２个红球，２个白球，２个黑球共６个球，现有一个游戏：从袋中任取３个球，恰好三种颜色各 取到１个则获奖，否则不获奖．有３个人参与这个游戏，则恰好有１人获奖的概率是　 　 　 　 ． １５．商场每月售出的某种商品的件数Ｘ是一个随机变量，其分布列如下表． Ｘ １ ２ ３ … １２ Ｐ １１２ １ １２ １ １２ … １ １２ 每售出一件可获利３００元，如果销售不出去，每件每月需要保养费１００元．该商场月初进货９件这种 商品，则销售该商品获利的期望为１ ５００元　 ． １６．袋中有４个红球，ｍ个黄球，ｎ个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都 是红球的概率为１６，一红一黄的概率为 １ ３，则ｍ － ｎ ＝ 　 　 　 　 ，Ｅ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分１０分）某跳高运动员一次试跳２米高度成功的概率是失败概率的４倍且每次试跳成功 与否相互之间没有影响． （１）求甲试跳三次，第三次才成功的概率； （２）求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率                                                                      ． ▲ １８７ ▲ ▲ １８８ ▲ １８．（本小题满分１２分）某班有６名班干部，其中男生４人，女生２人，任取３人参加学校的义务劳动． （１）设所选３人中女生人数为Ｘ，求Ｘ的分布列； （２）求男生甲或女生乙被选中的概率； （３）设“男生甲被选中”为事件Ａ，“女生乙被选中”为事件Ｂ，求Ｐ（Ｂ）和Ｐ（Ｂ ｜Ａ）． １９．（本小题满分１２分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与 空气质量等级对应关系，如下表（假设该区域空气质量指数不会超过３００）： 空气质量指数 空气质量等级 （０，５０］ １级优 （５０，１００］ ２级良 （１００，１５０］ ３级轻度污染 （１５０，２００］ ４级中度污染 （２００，２５０］ ５级重度污染 （２５０，３００］ ６级严重污染 该社团将该校区在２０２０年１００天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图 所示，把该直方图所得频率估计为概率． （１）请估算２０２０年（以３６５天计算）全年空气质量优、良的天数（未满一天按一天计算）； （２）该校２０２０年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现５级重度污染，需要净化空气费用 １０ ０００元，出现６级严重污染，需要净化空气费用２０ ０００元，记这三天净化空气总费用为Ｘ元，求Ｘ 的分布列． ２０．（本小题满分１２分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为２３和 ３ ５，现安 排甲组研发新产品Ａ，乙组研发新产品Ｂ．设甲、乙两组的研发是相互独立的． （１）求至少有一种新产品研发成功的概率； （２）若新产品Ａ研发成功，预计企业可获得利润１２０万元，若新产品Ｂ研发成功，预计企业可获得利 润１００万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望． ２１．（本小题满分１２分）某市举办数学知识竞赛活动，共５ ０００名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环 节共３道题，其中２道单选题，１道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得２分，答错 得０分，答对多选题得３分，答错得０分，答完３道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩． （１）通过分析可以认为学生初试成绩Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），其中μ ＝ ６６，σ２ ＝ １４４，试估计初试成 绩不低于９０分的人数； （２）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为２３，多选题的正答率为 １ ２，且每道题回答正 确与否互不影响．记小强复试成绩为Ｙ，求Ｙ的分布列及数学期望． 附：Ｐ（μ －σ≤Ｘ≤μ ＋σ）≈０．６８２ ７，Ｐ（μ －２σ≤Ｘ≤μ ＋２σ）≈０．９５４ ５，Ｐ（μ －３σ≤Ｘ≤μ ＋３σ）≈０．９９７ ３． ２２．（本小题满分１２分）某校设计了一个试验考查方案：考生从６道备选题中一次性随机抽取３道题，按照题目 要求独立完成全部试验操作，规定：至少正确完成其中２道题才可通过．已知６道备选题中考生甲有４道题 能正确完成，２道题不能完成，考生乙每道题正确完成的概率都是２３，且每道题正确完成与否互不影响． （１）求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望； （２）请分析比较甲、乙两考生的试验操作能力                                                                      ． ▲ ２１５ ▲ ▲ ２１６ ▲ 顺序不变，故只有１种选择，因此一共有６０ ４８０ × １ － １ ＝ ６０ ４７９（种）重新站队的方法． 方法二：９名学生站队共有Ａ９９种站队方法，３名女生有 Ａ３３种站队顺序，因此一共有Ａ ９ ９ Ａ３３ ＝ ６０ ４８０（种）站队方 法，所以重新站队的方法有６０ ４８０ － １ ＝ ６０ ４７９（种）． （３）由（１）知，男生有６人，女生有３人，第一步：将６ 名男生分成３组，每组２人，共有Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ Ａ３３ ＝ １５（种） 分法； 第二步：三名女生站好队，然后将３组男生插入她们形 成的空中，共有Ａ３３Ａ３４ ＝ １４４（种）站队方法； 第三步：３组男生站队方法共有（Ａ２２）３ ＝ ８（种），故一共 有１５ × １４４ × ８ ＝ １７ ２８０（种）站队方法． ２１．（１）由题意可得各项二项式系数之和为２ｎ ＝ ５１２，则ｎ ＝ ９． 故通项公式Ｔｒ ＋１ ＝Ｃｒ９·ｘ９ － ｒ·３ － ｒ·ｘ － １ ３ ｒ ＝Ｃｒ９·３ － ｒ·ｘ９ － ４ｒ ３， 由题意可得９ － ４ｒ３为整数，则ｒ是３的倍数， 因为０≤ｒ≤９，所以ｒ的值为０或３或６或９， 则有理项为Ｔ１ ＝ ｘ９，Ｔ４ ＝ ２８９ ｘ ５，Ｔ７ ＝ ２８２４３ ｘ， Ｔ１０ ＝ １ １９ ６８３ｘ３ ． （２）设第ｒ ＋１项的系数ｔｒ ＋１最大，因为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ９·３ － ｒ· ｘ９ － ４ｒ ３， 所以，ｔｒ ＋ １ｔｒ ＝ Ｃｒ９·３ － ｒ Ｃｒ － １９ ·３ － ｒ ＋ １ ＝ １０ － ｒ ３ｒ ≥１， ｔｒ ＋ ２ ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ ＋ １９ ·３ － ｒ － １ Ｃｒ９·３ － ｒ ＝ ９ － ｒ ３ｒ ＋ ３≤１， 解得３２ ≤ｒ≤ ５ ２ ， 因为ｒ为整数，所以ｒ ＝ ２． 故展开式中系数最大的项Ｔ３ ＝ Ｃ２９ × ３ －２·ｘ９ － ４ × ２ ３ ＝ ４ｘ １９ ３ ． ２２．（１）将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为０，则 共有Ａ２４ ＝ １２（种）；②若个位数为２或４，则共有２ × ３ × ３ ＝ １８（种）．所以共有３０个符合题意的三位偶数． （２）将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为０，则共 有Ａ２４ ＝ １２（种）；②若十位数字为１，则共有Ａ２３ ＝ ６ （种）；③若十位数字为２，则共有Ａ２２ ＝ ２（种）．所以共 有２０个符合题意的“凹数”． （３）将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数 字在一、三位置，则共有Ａ２２·Ａ３３ ＝ １２（种）；②若两个奇 数数字在二、四位置，则共有Ａ２２·Ｃ１２·Ａ２２ ＝ ８（种）； ③若两个奇数数字在三、五位置，则共有Ａ２２·Ｃ１２·Ａ２２ ＝ ８ （种）．所以共有２８个符合题意的五位数． 考案（二） １． Ｄ　 由于两次出现相同点的种数是定值６，故不是随机 变量． ２． Ａ　 因为数学成绩Ｘ ～ Ｎ（１１０，１０２）， 所以由Ｐ（１００≤Ｘ≤１１０）＝ ０． ３５可得Ｐ（１１０≤Ｘ≤１２０） ＝ ０． ３５， 所以该班学生数学成绩在１２０分以上的概率为Ｐ（Ｘ ＞ １２０）＝ １ － ０． ５ － ０． ３５ ＝ ０． １５， 所以估计该班学生数学成绩在１２０分以上的人数为 ０． １５ × ６０ ＝ ９（人），故选Ａ． ３． Ｃ　 因为Ｅ（ξ）＝ ｎ × ０． ６ ＝ ３，所以ｎ ＝ ５． 所以Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１５ × ０． ６ ×（１ － ０． ６）４ ＝ ３ × ０． ４４ ． ４． Ａ　 Ｄ（２Ｘ ＋ １）＝ Ｄ（Ｘ）× ２２ ＝ ４Ｄ（Ｘ），Ｄ（Ｘ）＝ ６ × １２ × １ －( )１２ ＝ ３２ ，所以Ｄ（２Ｘ ＋ １）＝ ４ × ３２ ＝ ６． ５． Ｂ　 由题意可得事件Ａ：“甲骰子的点数大于３”包含点数为 ４，５，６三种情况，所以Ｐ（Ａ）＝ ３６ ＝ １ ２ ． 又事件Ｂ：“甲、乙两骰子的点数之和等于７”， 所以事件Ａ与事件Ｂ都发生所包含的情况有（４，３）， （５，２），（６，１），共３个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰 子，共有３６种情况，所以事件Ａ与事件Ｂ都发生的概率 为Ｐ（ＡＢ）＝ ３３６ ＝ １ １２，故Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ）＝ １ ６ ． ６． Ｄ　 ∵ Ｐ（Ｘ ＝ ｎ）＝ ａｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＝ １，２，３，４）， ∴ ａ２ ＋ ａ ６ ＋ ａ １２ ＋ ａ ２０ ＝ １，∴ ａ ＝ ５ ４ ． ∴ Ｐ ７４ ＜ Ｘ ＜ １３( )４ ＝ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ５４ × １６ ＋ ５４ × １１２ ＝ ５ １６，故选Ｄ． ７． Ｂ　 由题意知抽取１０次，每次抽到次品的概率为ｎ１０，则 方差Ｄ（Ｘ）＝ １０ × ｎ１０ × １ － ｎ( )１０ ＝ ２． １， 又ｍ≥ｎ，则ｎ≤５，∴解得ｎ ＝ ３， ∴所求的概率为ｐ ＝ １ － Ｃ ２ ３ Ｃ２１０ ＝ １４１５．故选Ｂ． ８． Ｂ　 由分布列的性质，可得ｘ ＋ ｙ ＋ ０． ４ ＝ １，所以ｙ ＝ ０． ６ － ｘ，又由期望的公式，可得Ｅ（ξ）＝ ０． ４ ＋ ２ｘ，所以Ｅ（ξ２） ＝ ０． ４ ＋ ４ｘ，则Ｄ（ξ）＝ Ｅ（ξ２）－（Ｅ（ξ））２ ＝ ０． ４ ＋ ４ｘ － （０． ４ ＋ ２ｘ）２ ＝ － ４ｘ２ ＋ ２． ４ｘ ＋ ０． ２４ ＝ － ４（ｘ － ０． ３）２ ＋ ０． ６，所以当ｘ ＝ ０． ３时，方差最大值为０． ６，故选Ｂ． ９． ＡＣＤ　 由已知Ｅ（Ｘ）＝（－ １）× １２ ＋ ０ × １ ３ ＋ １ × １ ６ ＝ － １３ ，故Ａ正确；Ｅ（Ｘ ＋ ４）＝ Ｅ（Ｘ）＋ ４ ＝ － １ ３ ＋ ４ ＝ １１ ３ ， 故Ｂ错误；由Ｄ（Ｘ）＝ － １ ＋( )１３ ２ × １２ ＋ ０ ＋( )１３ ２ × １３ ＋ １ ＋( )１３ ２ × １６ ＝ ５ ９ ，可得Ｄ（３Ｘ ＋ １）＝ ３ ２Ｄ（Ｘ）＝ ９ × ５ ９ ＝ ５，故Ｃ正确；由分布列可知Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １） ＝ １６ ，故Ｄ正确，所以选ＡＣＤ． １０． ＡＢ　 由题意得，Ｘ的所有可能取值为０，１，２，Ｐ（Ｘ ＝ ０） ＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１２ × Ｃ １ ３ Ｃ２５ ＝ ６１０ ＝ ３ ５ ，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３ Ｃ２５ ＝ ３１０，故Ａ、Ｂ正确，Ｃ错误，Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １ １０ ＋ １ × ３ ５ ＋ ２ × ３１０ ＝ ６ ５ ，故Ｄ不正确． １１． ＡＣＤ　 因为Ｐ（Ｘ≥０． ４）＝ １２ ，Ｐ（Ｙ≥０． ８）＝ １ ２ ，所以 Ｐ（Ｘ≥０． ４）＝ Ｐ（Ｙ≥０． ８），所以Ａ正确；由题图可得 Ｐ（Ｘ≥０）＞ Ｐ（Ｙ≥０），所以Ｂ错误；由题图可得曲线Ｘ 在均值０． ４附近图象比曲线Ｙ在均值０． ８附近图象更 陡，所以Ｘ的取值比Ｙ的取值更集中于平均值左右，即 Ｃ正确；两支密度曲线与ｘ轴之间的面积都等于所有 概率和，即均为１，所以Ｄ正确． １２． ＢＤ　 由题意Ａ１，Ａ２，Ａ３是两两互斥的事件，Ｐ（Ａ１）＝ ５１０ ＝ １２ ，Ｐ（Ａ２）＝ ２ １０ ＝ １ ５ ，Ｐ（Ａ３）＝ ３ １０，Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＝ Ｐ（ＢＡ１） Ｐ（Ａ１）＝ １ ２ × ５ １１ １ ２ ＝ ５１１，故Ｂ正确； Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ·Ａ１）＋ Ｐ（Ｂ·Ａ２）＋ Ｐ（Ｂ·Ａ３）＝ ５１０ × ５ １１ ＋ ２１０ × ４ １１ ＋ ３ １０ × ４ １１ ＝ ９ ２２，故Ａ、Ｃ不正确；Ａ１，Ａ２，Ａ３ 是 两两互斥的事件，故Ｄ正确．故选ＢＤ． １３． ０． １ 　 ∵ 随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，σ２），且 Ｐ（－ ２≤Ｘ≤０）＝ ０． ４， ∴ Ｐ（０≤Ｘ≤２）＝ ０． ４， ∴ Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ ０． ５ － ０． ４ ＝ ０． １， 故答案为０． １． １４． ５４１２５　 设中奖为事件Ａ，则事件Ａ包含的基本事件个数 为（Ｃ１２）３ ＝ ８，所有的基本事件共有Ｃ３６ ＝ ２０，所以中奖 概率为Ｐ（Ａ）＝ ８２０ ＝ ２ ５ ； 有３个人参与这个游戏，设中奖人数为Ｘ，则Ｘ ～ Ｂ ３，( )２５ ，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１３ × ２５ × １ －( )２５ ２ ＝ ５４１２５． １５． １ ５００元　 由题意知Ｅ（Ｘ）＝（１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ １２）× １１２ ＝ ６． ５． ∵每售出一件可获利３００元，如果销售不出去， 每件每月需要保养费１００元，该商场月初进货９件这 种商品，则销售该商品获利的期望为６ × ３００ －（９ － ６） × １００ ＝ １ ５００（元）． 故答案为１ ５００元． １６． １ 　 ８９ 　 由题意可得，Ｐ （ξ ＝ ２） ＝ Ｃ２４ Ｃ２４ ＋ ｍ ＋ ｎ ＝ １２ （４ ＋ｍ ＋ ｎ）（３ ＋ｍ ＋ ｎ）＝ １ ６ ，化简得（ｍ ＋ ｎ） ２ ＋ ７（ｍ ＋ ｎ）－ ６０ ＝ ０，得ｍ ＋ ｎ ＝ ５，取出的两个球一红一黄的 概率Ｐ ＝ Ｃ １ ４Ｃ １ ｍ Ｃ２４ ＋ ｍ ＋ ｎ ＝ ４ｍ３６ ＝ １ ３ ，解得ｍ ＝ ３，故ｎ ＝ ２．所以 ｍ － ｎ ＝ １，易知ξ的所有可能取值为０，１，２，且Ｐ（ξ                                                                                                                                                                                                                ＝ ▲ ２１７ ▲ ▲ ２１８ ▲ ２）＝ １６ ，Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１４Ｃ １ ５ Ｃ２９ ＝ ５９ ，Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ２５ Ｃ２９ ＝ ５１８，所 以Ｅ（ξ）＝ ０ × ５１８ ＋ １ × ５ ９ ＋ ２ × １ ６ ＝ ８ ９ ． １７．设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为ｐ，则失 败概率为１ － ｐ．依题意有ｐ ＝ ４（１ － ｐ），解得ｐ ＝ ４５ ． （１）由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以 试跳三次中第三次才成功的概率为（１ － ｐ）２ｐ ＝ ( )１５ ２ × ４５ ＝ ４ １２５． （２）甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，设甲在 三次试跳中恰有两次成功的概率为Ｐ，则Ｐ ＝ Ｃ２３ × ( )４５ ２ × １５ ＝ ４８ １２５． １８．（１）Ｘ的所有可能取值为０，１，２． 依题意得Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ ３ ４ Ｃ３６ ＝ １５ ， Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ ２ ４Ｃ １ ２ Ｃ３６ ＝ ３５ ， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ １ ４Ｃ ２ ２ Ｃ３６ ＝ １５ ． ∴ Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ １５ ３ ５ １ ５ （２）设“甲、乙都不被选中”为事件Ｃ，则Ｐ（Ｃ）＝ Ｃ ３ ４ Ｃ３６ ＝ １ ５ ，∴所求概率为Ｐ（Ｃ）＝ １ － Ｐ（Ｃ）＝ １ － １ ５ ＝ ４ ５ ． （３）Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ ２ ５ Ｃ３６ ＝ １０２０ ＝ １ ２ ， Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｃ１４ Ｃ３６ Ｃ２５ Ｃ３６ ＝ ４１０ ＝ ２ ５ ． １９．（１）由频率分布直方图可估算２０２０年（以３６５天计 算）全年空气质量优、良的天数为（０． ００２ × ５０ ＋ ０． ００４ × ５０）× ３６５ ＝ ０． ３ × ３６５ ＝ １０９． ５≈１１０． （２）由题意知，Ｘ的所有可能取值为０，１０ ０００，２０ ０００， ３０ ０００，４０ ０００，５０ ０００，６０ ０００， 由频率分布直方图知空气质量指数为（０，２００］的概率 为４５ ， 空气质量指数为（２００，２５０］的概率为１１０， 空气质量指数为（２５０，３００］的概率为１１０， 则Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ( )４５ ３ ＝ ６４１２５， Ｐ（Ｘ ＝ １０ ０００）＝ Ｃ１３ × １１０ × ( )４５ ２ ＝ ２４１２５，Ｐ（Ｘ ＝ ２０ ０００） ＝ Ｃ２３ × １( )１０ ２ × ４５ ＋ Ｃ １ ３ × １ １０ × ( )４５ ２ ＝ ２７１２５， Ｐ（Ｘ ＝ ３０ ０００）＝ １( )１０ ３ ＋ Ｃ１３ × １ １０ × Ｃ １ ２ × １ １０ × ４ ５ ＝ ４９１ ０００， Ｐ（Ｘ ＝ ４０ ０００）＝ Ｃ２３ × １( )１０ ２ × １１０ ＋ Ｃ ２ ３ × １( )１０ ２ × ４５ ＝ ２７１ ０００， Ｐ（Ｘ ＝ ５０ ０００）＝ Ｃ２３ × １( )１０ ２ × １１０ ＝ ３ １ ０００， Ｐ（Ｘ ＝ ６０ ０００）＝ １( )１０ ３ ＝ １１ ０００． 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １０ ０００ ２０ ０００ ３０ ０００ ４０ ０００ ５０ ０００ ６０ ０００ Ｐ ６４１２５ ２４ １２５ ２７ １２５ ４９ １ ０００ ２７ １ ０００ ３ １ ０００ １ １ ０００ ２０．（１）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件Ａ且 事件Ｂ为事件Ａ的对立事件，则事件Ｂ为新产品Ａ，Ｂ 都没有研发成功，因为甲、乙成功的概率分别为２３ ， ３ ５ ， 则Ｐ（Ｂ）＝ １ －( )２３ × １ －( )３５ ＝ １３ × ２５ ＝ ２１５， 再根据对立事件概率之间的概率公式可得 Ｐ（Ａ）＝ １ － Ｐ（Ｂ）＝ １３１５， 所以至少有一种新产品研发成功的概率为１３１５． （２）设该企业可获得利润为ξ， 则由题可得ξ的取值有０，１２０ ＋０，１００ ＋０，１２０ ＋１００， 即ξ的取值为０，１２０，１００，２２０． 则有Ｐ（ξ ＝ ０）＝ １ －( )２３ × １ －( )３５ ＝ ２１５； Ｐ（ξ ＝ １２０）＝ ２３ × １ －( )３５ ＝ ４１５； Ｐ（ξ ＝ １００）＝ １ －( )２３ × ３５ ＝ １５ ； Ｐ（ξ ＝ ２２０）＝ ２３ × ３ ５ ＝ ２ ５ ； 所以ξ的分布列如下： ξ ０ １２０ １００ ２２０ Ｐ ２１５ ４ １５ １ ５ ２ ５ 则数学期望Ｅ（ξ）＝ ０ × ２１５ ＋ １２０ × ４ １５ ＋ １００ × １ ５ ＋ ２２０ × ２５ ＝ ３２ ＋ ２０ ＋ ８８ ＝ １４０（万元）． ２１．（１）∵ σ２ ＝ １４４， ∴ σ ＝ １２．又μ ＝ ６６， ∴ μ ＋ ２σ ＝ ６６ ＋ ２ × １２ ＝ ９０， ∴ Ｐ（Ｘ≥９０）＝ Ｐ（Ｘ≥ μ ＋ ２σ）＝ １２ （１ － ０． ９５４ ５） ＝ ０． ０２２ ７５， ∴估计不低于９０分的人数有０．０２２ ７５ ×５ ０００≈１１３． （２）Ｙ的所有可能取值为０，２，３，４，５，７， ∴ Ｐ（Ｙ ＝ ０）＝ １２ × １ ３ × １ ３ ＝ １ １８； Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｃ１２ × ２３ × １ ３ × １ ２ ＝ ４ １８ ＝ ２ ９ ； Ｐ（Ｙ ＝ ３）＝ １３ × １ ３ × １ ２ ＝ １ １８； Ｐ（Ｙ ＝ ４）＝ ２３ × ２ ３ × １ ２ ＝ ４ １８ ＝ ２ ９ ； Ｐ（Ｙ ＝ ５）＝ Ｃ１２ × ２３ × １ ３ × １ ２ ＝ ４ １８ ＝ ２ ９ ； Ｐ（Ｙ ＝ ７）＝ ２３ × ２ ３ × １ ２ ＝ ４ １８ ＝ ２ ９ ． ∴ Ｙ的分布列为 Ｙ ０ ２ ３ ４ ５ ７ Ｐ １１８ ２ ９ １ １８ ２ ９ ２ ９ ２ ９ ∴ Ｅ（Ｙ）＝ ０ × １１８ ＋ ２ × ２ ９ ＋ ３ × １ １８ ＋ ４ × ２ ９ ＋ ５ × ２ ９ ＋ ７ × ２９ ＝ ２５ ６ ． ２２．（１）设考生甲、乙正确完成试验操作的题数分别为Ｘ， Ｙ，则Ｘ所有可能的取值为１，２，３；Ｙ所有可能的取值为 ０，１，２，３． ∵ Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ １ ４Ｃ ２ ２ Ｃ３６ ＝ １５ ，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２４Ｃ １ ２ Ｃ３６ ＝ ３５ ，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ ３ ４Ｃ ０ ２ Ｃ３６ ＝ １５ ， ∴考生甲正确完成题数的分布列为 Ｘ １ ２ ３ Ｐ １５ ３ ５ １ ５ Ｅ（Ｘ）＝ １ × １５ ＋ ２ × ３ ５ ＋ ３ × １ ５ ＝ ２． ∵ Ｐ（Ｙ ＝ ０）＝ Ｃ０３ １ －( )２３ ３ ＝ １２７， 同理Ｐ（Ｙ ＝ １）＝ ２９ ，Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ ４ ９ ，Ｐ（Ｙ ＝ ３）＝ ８ ２７． ∴考生乙正确完成题数的分布列为 Ｙ ０ １ ２ ３ Ｐ １２７ ２ ９ ４ ９ ８ ２７ Ｅ（Ｙ）＝ ０ × １２７ ＋ １ × ２ ９ ＋ ２ × ４ ９ ＋ ３ × ８ ２７ ＝ ２． （２）∵ Ｄ（Ｘ）＝（１ － ２）２ × １５ ＋（２ － ２） ２ × ３５ ＋（３ － ２） ２ × １５ ＝ ２ ５ ，Ｄ（Ｙ）＝（０ － ２） ２ × １２７ ＋（１ － ２） ２ × ２９ ＋（２ － ２）２ × ４９ ＋（３ － ２） ２ × ８２７ ＝ ２３ 或Ｄ（Ｙ）＝ ｎｐ（１ － ｐ）＝ ３ × ２ ３ × １ ３ ＝( )２３ ， ∴ Ｄ（Ｘ）＜ Ｄ（Ｙ）． ∵ Ｐ（Ｘ≥２）＝ ３５ ＋ １ ５ ＝ ０． ８，Ｐ（Ｙ≥２）＝ ４ ９ ＋ ８ ２７≈ ０． ７４， ∴ Ｐ（Ｘ≥２）＞ Ｐ（Ｙ≥２）． 从正确完成题数的数学期望考查，两人的水平相当；从 正确完成题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确完成 ２道题的概率考查，甲通过的可能性大，因此可以判定 甲的试验操作能力较强                                                                                                                                                                                                                ．