19.3 矩形、菱形、正方形-2024-2025学年八年级下册数学同步测控全优设计（沪科版）

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(2)身C-2A叶，啊连每以下是能数，厘山如了) 在相人排中，由好量发理，将摆)=A君一 AF-BF.DEAF. 男量 4Y1,42,。=4, AFAE+EFBF+E下 5DE-F. 文耀eDN,N.N连形AN是平# ∠0E=,4厘CF⊥D BD是形AD的对线 ,BP表直平8AC.”AB= 64 文，∠A店=∠F', AG平◆∠BAD,∠AB0∠CAD △4△PASA1,,=0 ZAD.SADCD. :AB=AD.4B=D 元EF⊥MC,AFCE是菱为 其：A非C,帽放利AD晟平行编相 置P”A月4》.7AT12星 :F直平令对角线A,A-E,AF=F 的山菱刚性魔可得△小非为重角工角每，根每自同 ECECFRAF,品网边0LFCE是菱. 爱度是群从表，聊★(E鳞头 ,国边非A》灵流想. ()A下是线授C的中A,厚由如下： AFCE是菱和. 4C⊥BDaA-0X于AC08=0-D- AKD是菱0，AH海《围. .解1D明，边UAD 直民△A中，以1=-(F= -∠B=∠D=0,AB-p.AD=a,ADg, AEm.∠EC=∠PE. 在民△A且C章，O为C的中点 -0- “:AP是△A用C的角平舟汽 R△AB1△'D(HI1: ,BFCF,序AF是线值C的中A ()与AC⊥EF时，用峰0A且下无流和，足自中下， 14,D解桥”菱和AD, 体素泰 .》15 解(1)挂明，加图1，原遥年要，∠D=∠店E, A=A:∠EAF十AF=,∠1C+∠AF.牌 YRC-AD.CE-AF E,F分别是AB,AD的中 又AD0x-∴.∠DUC=∠ADD, 1E∠CF, ∠08E=∠ADB,4DF=且F。 又A限-AC,,AEAE 义，AC上F,m连形A假F元或到 EF=M0EF⊥AA .△A△AF,÷=4, 长解【1)⑧地形AD为是形，理中如子： ADC..FD/BG. .2位=AD.网理写得A, 又及E,四鸡8BFDG是平行四边 MDE.DEAE-A 种好时位每A仪》为盖彩： 或ARA2,LE=(EF■AF, D5BF,形BFDG是菱移： 吴∠4=45. ()国境利AD为夏影， ∠LEB∠ABE+∠AC4 0MC=4.OB=0,AC王8D ,A≠A, 1-3AD--5÷m-D-受 ∠AE+∠AE+∠AE=0, 在K△中4用=一 同边每E围活是票什得边转。不是篷利故送 ·∠1f-m D3B= 解新桥的可和AD=A, ,在直AF中AB+A=IF, BEVFT+ 】.解(1)明，在经形ACD中，AB=4,-2. '.∠A-∠CL D=R-D水=夏-1 ∴(=A=-A=-，4DA.∠D=∠ :AB0C.∠&uC=∠DCL 革表养 J。 ∠CA∠C,,ABC 2后解析走接DPF,对分到棉线A,N,地提 E-D5- AB-C-CD-AD. 0√源√岸)-()- DE,射1N考△DFPF的中8线，两保MN=宁DF.四 C--4}- ADC,A=CD,AC⊥D,O- 生：台气发D市桑是时，人材，N之用的原离最经，周为 12.巴解析：AD,CD令时平分∠A和∠ACB. ∴--4（仔）-吾 +∠DMC-∠IAC,∠DCA-2∠d 最小域.作用上AD于表H,则IH=DP,在 AFCF-CE-AE “,A民9(1D,用8A元.9边形AUE为年分国边制 △HA其中∠月A=0,A=s,两往AH■4， 与量克厘，得H时4，种候MN两2月， ∴回进形AF是菱都， ∴需委条件∠DC-∠D 第2绿时菱形的判定 I2试F作EH⊥AR子H 超民清单 四AHFD灵形， 美ZDI T∠A,∠DA-Z 4AH-F-子，FH-D-2. 需是备并∠良C=∠L雾要条件心A排 保基密 1,33正方形 1.C解析”阳连琴AD的两晕对角风亚和平身，则 ·D仪A E-号-兰-1. 13,证雨？网填形A改D,DEF年是题与：ABF ∠AIM=CFBX, A上D时.均可判定线形AaD是蓬形，身 AFeH+H=+了 △ABMOAPRN△TM, 1.1)平行国边形43)附等育角看有平分 D时可可移A改D是:∠AD 1(1)相等12)直期)标家康直 季 B解A ,.m边春队N是平行时边到， ∠AD=∠AB,ABAD, ∠QMEm∠D,∠思A=∠D ,△AHA@△FN,.W=V 1.B解新”时边形AD光玉求影，∠B=0 “X址月形一EB型一=a, 4h尾AYD严等 ,点》是C物中是，2A■， 每DN是无g. 3D解桥A达项：苏AI一D, 14.解1》适写：AH=D,二，∠AD=∠AI 方形ACD的仪 :ABCD,:9边每A以D是平杆雪填每，为AB 1C解轿在正孝彩ATD中，AB=AD,∠AD=了， AD可到边AD是：，AD 回罐每A里是平什回罐利， 在等晚△A出中.AB如A民，∠BA=∠AEB=阳 无AA分 ∠AD∠CD∠A0=∠D. 时，又AHCD,,司边再A假是骨国边形，吉 ,ACLD,AlAD,.》=DL 在△LDE中，AD=AE.∠AE=∠D+∠BAE AB=AD时到尾情连形AHD是菱形，C喝项： ,AD是△A的◆我 +=13, (D时，△ABD△D5S A=∠ D=÷B'CD △A和△（ :∠AD=∠沿.沿D,∠AD=∠CBD 所，∠AED=4的一1=1 ,A打D,∠C十∠A=1,《A+A恒 .回连到AE是菱型（友D为中雄我，号得C1 二.AAONDO△CYNILASA》. ,AD及C,克A山发D,阴填制ACD是平 满∠ED=∠AN-∠A2D=-15=45 ),路项A正确， AC平∠DAE 其ACL BD:□A仪D是菱： D落境其院视明臂生寥的二条连相等，如了且足等晚 木解(【)越明，？得填形位D是丝方形 .2D==/A..A=1 ,轴又主” ∠AE=∠ADF=0-AB=AD=TD. 3.AEAF(成FAC等) 解折最越用连形A仪了 回道形AF是菱利.成调C卫确 AF+AC-HC,可裤ABLAC -C.AE-DF. 昆平行四边形，致可多如布连相等友时角纸垂直的是 来阳d)中f-了=-(y- AB=AD 月这项A可片期回理型A官是是形，选两力正确： 六C-5mm-子×-×254y 在△限E和△LDF中，∠I4E∠，ADF, 4.证期为漆1，AMD中AENP, 其有布物选项H不晚判瓷厚建利D国E是菱彩（生时 AE-O8 CAC=∠AP 15,解(11献这口地级AD为瓷形，已知一红你建相 △RME≌△ADFSASI.BEAF EF平分C:M=( 象口解传养有系移抖韩康，图降承 ，故具需弄其为平同速可 2)自(I得△&AAF,∠EBA=∠FD L第：：AB2,∠CA=∠ACD ∠GAE+∠A:=, 66 ∠AG=00 128,写解桥是松D,根据正方形的性清，得D 17.旺明如国，线M会前作E 19,4综合与实我多边形的镶嵌 ,1n=4-DE=1,AE=3- BE-AF干Ak=干了=4 第=M-于C,AE-(F2,国出E An文F手E,FC见 A子F, 侧厚地每BEF是平杆四 1.C2D4.C 在R心AE中，于AXAE--EXA 0深--？二3-工可为青请边利r为菱都，两出 天5解新正二角附。正方彩，正止速利的内角分利为 DF=DE=BF。F√+可2乃，所x雪进利 ,厚连形A议D是区岁附， ∠ACm9,∠AHD ,36们-行--13=0， 川E取的其长是4×1高- …等一个为工方0 年D解督德度A中的四这形是短利：选便目中的同速 1a8 解相镜IE=a,剩C=-AD=D=2: 限解(1)每小调点两图有6个正三角彩的内角，格好值成 的同建郑是正者。 十什理动用EF是正方形 7.任明，四注形AKD是是形 世赠克利AGF是L者利，∠AF=5 WE-MF △DH是苦晚直周三A形，，D=DH=2r ,1⊥AV.∠=， )不线.延十速形的内两不越包点 人AE年境熟秒 ∠FfE=,∠CWE∠FMN 3》姓，多发不单一-中国两希： .AE=AF,∠AE求m∠AFEm 品-DH0-,身女2--厚 1s,解11短明：世∠议D=.∠Q=”. ∠FD=∠AEB10-45了一5， .8H·i0-(山-2r3·=2. 品∠HCP∠DQ .△A”2A54A写. R=ENBE=1=了 =D AB=AD,想A指D是正求 48-+-r-1@ 在△P和△Q中.《∠P=∠D口. 线静 等证明小》同形ACD是平什国填和：从)=从 C-QC 又”△ACE是等边三角形， 1①如周， .1=0106236 品平行四填非A联D是菱： W△BCP△DQ 10,D解折：正★填的角及为12，土三满形的内 12:△AE是￥过玉青U,,∠AE纪= ∠DF,具 有，，120+=360, ∠RC-∠FE 写“？时，一，身是三周形和江六连的的个载戈出 B1M,4∠AB)-字∠A'-河 ∠DEF=∠改下= 111 ∠AED-2∠EAD.,∠ED= 店⊥Q小 ∴，AX=∠A0中A=A5, N I C 巴以△P为等进三角利 为4#1 ,围请形A兴D是菱 14正明出臂纯相AD风主方 kF=,川=0L ∴∠℃D=,又中=CD, 只食三作瓜多这都的内商可以注成一个周角，即可形 国生时A溪)是正方和 夏AMHE, ZCPD∠P= 这不明的二种是多连形来组我平面： i∠MI+∠E=w-∠AFD+∠MME 12.6解折两 一个会异A数但的 煤提能 失C解”同形AD是和 ,∠EA=∠AF ∴∠EP0=1=∠CPD=∠CPB=1产=G 鱼为10：就扣翼是管横，则需要一年州月为120的 ∠A=,HA=A.∠H4R=∠DAE=5 △m@△MFAA8,EF, L多边1.热正凌竹考方)，址备为 文AE=AE.△ABE△ADERAR △DEP角等壁直商三高都. ∠ADE ABE90- ,ADC∠D=∠E,∠AM=∠ 活素表 有5=2特他1 ∠A=140”一45-°=7 灵0是D的令A.“C=0, 解A是∠F的平分线：（是∠F的平分 14,解具山的内用考时A的内用为营不 ·△MUDE2△EC GH是∠，C的平令我，CHA∠D对的平命瓶，证 (21s∠n=∠AE港=4 男*下，”臂边彩D为玉为都， ”2女多线形A和3中压多边每BT处一是闻图 时，赠边制A》是王方 模采（密线， :公ADE福LE起米是△A上E AWD3AEC. 3+2子-0.新月士=0 ·ADAF,∠D=∠AFB-9-.AB=AP ,.41=. R△，ARLFGCHI.. 21多量不唯一，如屑所女： ACED死平骨可边形， ”.1=1,AA, 在AD◆，AB=AD,∠AC=∠MC AB-AE.ZBAE A是∠F的平线：是∠BF的平真 90 GH⊥G∠GH■'： :时边彩AD是平行球边彩 40 ME+∠HE=0-∠GB+∠HC-: AP=P.AH=A,∠BA'=∠DA=5 △ABP△ADPISAS.HP=DP 平什同形AED是， 中(H是∠C的平◆找， AB-AEAN-CD.AF-CD 11幼时物国U,答重不生+与1时众中可1 PELA罪，PF1BC,∠AC=。 如4，过玉H作HN⊥C于孟N, .遵形P军是绿形 15.期唯路1d9+B-9X18y- 16正明(1)W理填0D具色为都 ∠AG=∠-，AD=,夏，AG1述 D十3y=洛 LD期后图，是排， .∠D4+∠DF-9=∠CD+∠ADF, ∠D.G■∠DE, 六，△A△k7ASA》: 解纤，Gm→缝二x y=1 延吴气干日， C M N 些理，得⊙2十3y=8, E是C的中点 ∠NH-∠AI. 正星兵解为3二 ..BE-CE. -∠M+/C=阳，/B+∠M,=D', 光C=∠HBE9 tt1:④1G2 点B和点D展于直线C对非 NB-ND. △0n△HEA ∠-∠MD-4.∠MH- 证写烧某一个A有：个正三岛相仁y个正★雄师的 制B1现是DN十1N的最今植， ,BH■CnAB, ∠AG,品AGGH 内鸟可以得或一个尾用。事爆理套可停才程0：十 ,AA@GNHCAAS》, 方形ACD的边表是8，D=2,M= .枫=fN,4N=AB=仪，.HG=N. ..Mtn. DN十MN的最女值是 AHP,膝-AH+A很 iCN-HN.∠CNm.∠CH” 称CHL∠的平鲁线. 6819.3 矩形、菱形、正方形o|数学 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1 矩形 第1课时矩形的性质 (2)若 AB=6，AD=4， 求 △CDE 的周长. 1知识清单 1.(1)有一个角是角的平行四边形叫作矩形， (2)性质1 矩形的四个角都是角. 性质2 矩形的对角线. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的. 知识点二直角三角形斜边上的中线的性质 5.如图，在 △ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点D，E，F 分别是 1练基础千里之行始于足下 AB、BC、CA 的中点，若 EF=2， 则线段CE 的长是 . 知识点一矩形的概念与性质 A 1.(湖北十堰中考)矩形具有而平行四边形不一定具有 D 的性质是() F ( A.对边相等 E B.对角相等 C -B E A D B C.对角线相等 (第5题图) (第6题图) D.对角线互相平分 6.如图，在 △ABC 中， ，AB=13，BC=12， ，点D，E分别 2.(湖南株洲中考)对于任意的矩形，下列说法一定正 是 AB、BC 的中点，连接 DE、CD. DE=2.5， 确的是() △ACD 的周长是 A.对角线垂直且相等 7.如图，在四边形 ABCD 中， B.四边都互相垂直 $$\angle A B C = \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， E ， F$$ C.四个角都相等 E 分别是 AC，BD 的中点. A D.是轴对称图形，但不是中心对称图形 求证； EF⊥BD. 3.(湖北荆州中考)如图，矩形 M ABCD 的顶点A，B，C分别落 A D 在 ∠MON 的边 OM，ON 上， 若 OA=OC， .要求只用无刻度 的直尺作 ∠MON 的平分线， B ：C N 小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点E，作射线 OE， 射线 OE 平分 ∠MON， 有以下儿条儿何性质： ① 矩形的 四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三 角形的“三线合一”.小明的作法依据是() 1练提能 1 首尺竿头更进一步 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.(广东广州中考)如图，矩形 ABCD 中， A F D 4.如图，在矩形 ABCD 中，E是 D 对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AB的中点，连接 DE、CE. BC，AD 于点 E，F， 若 BE=3，AF=5， (1)求证； △ADE≅△BCE； B E 则 AC 的长为() A E B $$A . 4 \sqrt 5$$ $$B . 4 \sqrt 3$$ C.10 D.8 45 |数学|o第19章四边形 9.(四川眉山中考)如图，在矩形ABCD中，AB=6, (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD. BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E, 交BC于点F,则DE的长是() A.1 C.2 n号 16.如图，矩形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,点E,F 在BD上，BE=DF (1)求证：AE=CF: (第9题图) (第10题阁) 10.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD, (2)若AB=6,∠COD=60°， 连接AE,若∠ADB=40°，则∠E的度数是( 求矩形ABCD的面积. A.20°B.25 C.30 D.35 11.(山东济南二摸)如图，点O是矩形ABCD的对角 线AC的中点，E是BC的中点，AB=5,BC=12,则 四边形OECD的周长为 1练素养探究创新发展素养 E (第11题周) (第12题图) 1.如图，在矩形ABCD中，AB= 12.(内蒙古道辽中考)如图.在矩形ABCD中，AD=8, 2,AD=3,E是BC边上一点， 对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点 将△ABE沿AE折叠，使点B E,且AE平分∠BAC,则AB的长为 落在点B'处，连接CB,则 13.(黑龙江中考)如图，矩形ABCD A D CB的最小值是( 中，AB=4,BC=6,点P是矩 A.√13-2B.13+2C.√13-3D.1 形ABCD内一动点，且SAmB= 2.如图，△ABC是等腰直角三角 S△D,则PC+PD的最小值为 形，∠C=90°，点D是AB的中 点，点P是AB上的一个动点 14.(贵州安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= (点P与点A,B不重合)，矩形 90°，且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动 PECF的顶点E,F分别在BC, 点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点 AC上. N,连接MN,则线段MN的最小值为 (I)探究DE与DF的关系，并给出证明： (2)当点P满足什么条件时，线段EF最短？（直接 给出结论，不必说明理由) D 15.在矩形ABCD中，点E在BC上， AE=AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：DF=AB: 46 19.3矩形、菱形，正方形0|数学| 第2课时 矩形的判定 知识点二矩形的性质与判定的综合应用 知识清单 6.(云南中考)如图，四边形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O, (1)对角线 的平行四边形是矩形. AO=COC,BO0=OD,且∠AOB=2 (2)矩形的判定定理三个角是 的四边 ∠OAD. 形是矩形 (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若∠AOB：∠ODC=4:3,求∠ADO的度数. 练基础|千里之行始于足下 知识点一矩形的判定 1.下面检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确 的是() A.用卷尺测量对角线是否互相平分 B.用卷尺测量对角线是否相等 7.已知△ABC中，∠A=90°， C.用曲尺测量对角线是否互相垂直 (1)请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹， D.依据勾股定理的逆定理，用曲尺测量门框的三个 不写作法)： 角是否为直角 (2)如图2，设BC边上的中线为AD,求证：BC三 2.已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个 2AD. 平行四边形为矩形的是() A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC-BD D.AB⊥BC 3.如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是矩形. 4.已知l∥1：，1与l1,l2分别交于 A,B两点，过A,B分别作两组内 错角的平分线交于C,D,如图所 练提能|百尺竿头更进一步 示，则四边形ACBD的形状是 8.(山东临沂中考)如图，在 □ABCD中，M,N是 5.(江西中考)如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD= BD上两点，BM=DN,连 BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证： 接AM,MC.CN,NA.添 四边形ABCD是矩形. 加一个条件，使四边形 AMCV是矩形，这个条件是( A.OM-TAC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 9.在□ABCD中，AB=3,BC=4,当□ABCD的面积 最大时，下列结论①AC=5,②∠A+∠C=180°： ③ACLBD:④AC=BD,正确的有() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ |数学|o第19章四边形 10.依次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是 14.(山东青岛中考)如图，在 矩形，则四边形ABCD一定是() □ABCD中，对角线AC A.菱形 与BD相交于点O,点 B.对角线相等的四边形 E,F分别为OB,OD的 C.矩形 中点，延长AE至G,使 D,对角线互相垂直的四边形 EG=AE,连接CG. 11.如图，在矩形ABCD中， D (1)求证：△ABE≌△CDF: AB>BC,点E,F,G,H分 (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形 别是边DA,AB,BC,CD的 EGCF是矩形？请说明理由， 中点，连接EG,HF,则图中 的矩形共有 个 12.(湖南怀化中考)已知：如图， 在□ABCD中，AE⊥BC,CF ⊥AD,E,F分别为垂足. (1)求证：△ABE≌△CDF: (2)求证：四边形AECF是矩形. |练素养探究创新发展秦养 (黑龙江大庆中考)如图，在矩形 A ABCD中，AB=3,BC=4.M、N 在对角线AC上，且AM=CN,E F分别是AD、BC的中点. (1)求证：△ABM≌△CDN: (2)点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG 的长. 13.如图，将□ABCD的边DA 延长到点F,使DA=AF, CF交边AB于点E, (1)求证：BE=AE: (2)若2∠D=∠BEF,求 证：四边形AFBC是矩形 48 19.3矩形、菱形，正方形0|数学| 19.3.2菱形 第1课时 菱形的性质 7.(浙江衢州中考)已知：如图， 知识清单 在菱形ABCD中，点E,F分 别在边BC,CD上，且BE= (1)有一组 相等的平行四边形叫作菱形， DF,连接AE,AF,求证： (2)性质1菱形的四条边都 AE=AF. 性质2菱形的两条对角线互相 练基础|干里之行始于足下 知识点菱形的定义和性质 1,(广西玉林中考)菱形不具备的性质是() A.是轴对称图形 B是中心对称图形 C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等 2.(河北中考)如图，蒌形 D ABCD中，∠D=150°，则A 8.如图，已知菱形ABCD的边长 ∠1=( 为2cm,∠BAD=120°，对角线 A.30 B.25 AC、BD相交于点O. C.20 D.15 (I)求证：△ABC是等边三角形： 3.(贵州贵阳中考)如图，菱形 (2)求对角线AC与BD的长： ABCD的周长是4cm, (3)求菱形ABCD的面积. ∠ABC=60°，那么这个菱形的 对角线AC的长是() A.I cm B.2 em C.3 cm D.4 em 4.(内蒙古呼和浩特中考)已知菱形的边长为3，较短的 一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的 长为() A.22B.2V5 C.4瓦 D.2√10 5.(湖北十堰中考)如图，已知菱形ABCD的对角线 AC,BD交于点O,E为BC的中点，若OE=3,则菱 形的周长为 练提能|百尺竿头更进一步 9.如图，四边形ABCD是菱形，过 点A作BD的平行线交CD的 延长线于点E,则下列式子不 成立的是( A.DA=DE (第5题图) (第6题图) B.∠ABC-2∠E 6.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一 C.∠EAC=90 点，PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距 D.BD-CE 离为 |数学|o第19章四边形 10.(四川泸州中考)一个菱形的边长为6，面积为28， 15.已知：如图，在菱形ABCD中，F是 则该菱形的两条对角线的长度之和为() BC上任意一点，连接AF交对角线 A.8 B.12 C.16 D.32 BD于点E,连接EC IL.如图，折叠菱形纸片ABCD,使得A'D'对应边过点 (1)求证：AE=EC: C,若∠B=60°，AB=2,当A'E⊥AB时，AE的长 (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60时. 是() 点F在线段BC上的什么位置？ A.23 B.25-2 说明理由， C.v⑤ D.1+3 (第11题图) (第12题图) 12.(广西防城港中考)如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已 知BO=4,S装那D=24,则AH= 13.若一个菱形的边长为2.则这个菱形两条对角线的 16.如图，△ABC中，AB=AC=1, 平方和为 ∠BAC=45°，△AEF是由 14.(山东聊城中考)在菱形ABCD巾， △ABC绕点A按顺时针方向 点P是BC边上一点，连接AP,点 旋转得到的，连接BE,CF相交 E,F是AP上的两点，连接DE, 于点D BF,使得∠AED=∠ABC, (1)求证：BE=CF: ∠ABF=∠BPF, (2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长. 求证：(1)△ABF≌△DAE: (2)DE=BF+EF. 练素养|探究创新发展素养 如图，已知AB=8,P为线段 AB上的一个动点，分别以 AP.PB为边在AB的同侧 作菱形APCD和菱形 PBFE,点P,C,E在同一条直线上，∠DAP=60°， M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段 AB上移动时，点M,N之间的距离最短为 (结果保留根号). 50 19.3矩形、菱形，正方形0|数学| 第2课时 菱形的判定 5.(广西贺州中考）如图，在矩形 知识清单 ABCD中，E,F分别是BC,AD 边上的点，且AE=CF 定理1 都相等的四边形是菱形， (1)求证：△ABE≌△CDF; B E 定理2 对角线互相 的平行四边形是 (2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说 菱形. 明理由， 练基础千里之行始于足下 知识点一菱形的判定 1.(宁夏中考)如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O,且互 相平分.添加下列条件，仍不能判 定四边形ABCD为菱形的 知识点二菱形的判定与性质的综合应用 是() 6.(甘肃兰州中考)如图，AC=8, A.AC⊥BD B.AB-AD 分别以A、C为圆心，以长度5 C.AC=BD D.∠ABD=∠CBD 为半径作弧，两条弧分别相交 2.(上海二模)在四边形ABCD中，AB∥CD,AB= 于点B和D.依次连接A,B、 AD,添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的 C,D,连接BD交AC于点O. 是() (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由： A.AB=CD B.AD∥BC (2)求BD的长. C.BC=CD D.AB=BC 3.如图□ABCD中，AF、CE分 别是∠BAD和∠BCD的角平 分线，根据现有的图形，请添 B 加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加一个条 件可以是 ,(只需写出一个即可，图中不 能再添加别的“点”或“线”) 7.(江苏宿迁中考)如图，矩形ABCD 4.如图，已知□ABCD的对角线 中，AB=4,BC=2,点E、F分别在 AC的垂直平分线与边AD、BC 分别交于点E、F,求证：四边形 AB,CD上，且BE=DF= 2 AFCE是菱形. (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)求线段EF的长， 51 |数学|o第19章四边形 13.如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF, 练提能百尺竿共更进一步 AD,BE相交于M,BC,DF相交于N,求证：四边形 BMDN是菱形. 8.(安徽合肥二模)如图，AD是△ABC的中线，点O是 AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于 点E,连接CE,添加下列条件仍不能判断四边形 ADCE是菱形的是( A.AB⊥AC B.AB=AC C.AC平分∠DAE D.AB:+AC=BC (第8题图) (第9题图) 9.(江西中考)如图，由10根完全相同的小棒拼接而 成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的 图形恰好有3个菱形的方法共有( A.3种B.4种 C.5种 D.6种 10.(天津摸拟)如图，AC、BD是菱形ABCD的对角 线，E,F分别是边AB、AD的中点，连接EF,EO, FO,则下列结论错误的是( 14.如图，在四边形ABCD中， AB=AD,BD平分∠ABC, AC⊥BD,垂足为点O. (1)求证：四边形ABCD是 菱形： A.EF=DO (2)若CD=3,BD=2√5，求四边形ABCD的面积. B.EF⊥AO C.四边形EOFA是菱形 D.四边形EBOF是菱形 1L,如图，四边形ABCD沿直线AC对折后重合，如果 AC,BD交于O,AB∥CD,则结论①AB=CD,② AD∥BC,③AC⊥BD,④AO=CO,®AB⊥BC,其 中正确的结论是 (填序号). (第11题图) (第12题图) 12.如图，在△ABC中，AD,CD分别平分∠BAC和 ∠ACB,AE∥CD,CE∥AD,若从三个条件： ①AB=AC:②AB=BC:③AC=BC中，选择一个 作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 (填序号). 52 19.3矩形、菱形、正方形0|数学| 15.如图，在四边形ABCD中， AB∥DC,AB=AD,对角线 练素养|挥究创新发展素养 AC,BD交于点O,AC平分 ∠BAD,过点C作CE⊥AB A 如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上 交AB的延长线于点E,连接OE. 折叠，顶点C落到点E处.BE交AD于点F, (1)求证：四边形ABCD是菱形： (1)求证：BF=DF: (2)若AB=√5，BD=2,求OE的长. (2)如图2，过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接 FG交BD于点O. ①求证：四边形BFDG是菱形： ②若AB=3,AD=4,求FG的长. 图1 图2 53 |数学|o第19章四边形 19.3.3 正方形 (2)若AB=4,DE=1,求AG的长 知识清单 1.(1)有一个角是直角，且有一组邻边相等的 叫作正方形。 (2)性质1正方形的四条边都 ,四个角 都是 知识点二正方形的判定方法 性质2正方形的对角线相等且互相 6,四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判别此四边 2.(1)有一组邻边 的矩形是正方形： 形为正方形的是() (2)有一个角是 的菱形是正方形： A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD (3)对角线 的菱形是正方形：对角线 B.AD∥BC,∠ABC=∠ADC 的矩形是正方形： C.AO=CO,BO=DO.AB=BC D.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD 练基础千里之行始于足下 7.如图，等边△AEF的顶点E,F在矩 形ABCD的边BC,CD上，且 知识点一正方形的定义与性质 ∠CEF=45. 1,(贵州毕节中考)如图，点E在正方 D 求证：矩形ABCD是正方形. 形ABCD的边AB上，若EB=1, EC=2,那么正方形ABCD的面积 为() A.3 B.3 C.5 D.5 2.(内蒙古鄂尔多斯中考)如图， 在正方形ABCD的外侧，作等 边△ABE,则∠BED为( A.15 B.35 8.如图，已知平行四边形ABCD C.45 D.55 中，对角线AC,BD交于点O,E 3.如图，四边形ABCD、AEFG是正 是BD延长线上的点，且△ACE 方形，点E,G分别在AB、AD上， 是等边三角形 连接FC,过点E作EH∥FC交 (1)求证：四边形ABCD是菱形： BC于点H.若AB=4,AE=1,则 (2)若∠AED=2∠EAD,求证： BH的长为 四边形ABCD是正方形. H C 4.(湖南长沙中考)如图，正方形ABCD,点E,F分别 在AD,CD上，且DE=CF,AF与 A E D BE相交于点G. (1)求证：BE=AF: 54