第3章 第3节 第2课时 竖直平面内的圆周运动分析-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DISANZHANG 第3章 第2课时　竖直平面内的 　圆周运动分析 1 1.掌握汽车过凸形路面及凹形路面的受力情况及临界判断方法(重点)。 2.掌握竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。 学习目标 2 内容索引 一、汽车过凹凸桥 二、轻绳(过山车)和轻杆(管道)模型 课时对点练 3 汽车过凹凸桥 一 4 汽车在经过凸形路面和凹形路面时都不宜高速行驶，这是为什么呢？ 答案　汽车经过凹形路面时压力大于重力，速度越大，压力越大，易压坏路面或车辆爆胎。汽车经过凸形路面时压力小于重力，速度大了易发生飞车。 梳理与总结 项目 汽车过凸形路面 汽车过凹形路面 受力分析   (凸形路面顶端) (凹形路面底部) 路面对汽车的支持力 _____=m，N=_______ _____=m，N=______ 汽车对路面的压力 N'=N=________ N'=N=________ G-N G-m N-G G+m G-m G+m 项目 汽车过凸形路面 汽车过凹形路面 驾驶员处于超重还是失重状态 _____ _____ 讨论 v增大，N'______；当v增大到_______时，N'=0 v增大，N'_____ 失重 超重 减小 增大 　(2023·泉州市高一期末)如图，一辆质量为1 600 kg的汽车驶过凹凸形路面。汽车驶过顶端P和底部Q两点时对路面的压力大小分别为NP、NQ，则NP　　　NQ(选填“大于”“小于”或“等于”)。若已知汽车驶过P点时速度大小为10 m/s，P点处圆弧半径为40 m，重力加速度大小g=10 m/s2，则NP=　　　　 N。  例1 小于 1.2×104 汽车驶过顶端P点有mg-NP=m，解得NP= mg-m，汽车驶过底部Q点有NQ-mg=m，解得NQ=mg+m，可知，NP小于NQ；若已知汽车驶过P点时速度大小为10 m/s，P点处圆弧半径为40 m，根据上述解得NP=1 600×10 N-1 600× N=1.2×104 N。 　(2023·常德市高一期中)质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥(g=10 m/s2)，则： (1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车状态处于超重还是失重？ 例2 答案　2.4×104 N　失重　 汽车到达桥最高点时，速度v=36 km/h=10 m/s，竖直方向受重力和支持力，二力的合力提供向心力有mg-N= 则支持力为N=mg-，可得N=2.4×104 N 根据牛顿第三定律，桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态； (2)如果设计为凹形路面，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对路面的压力大小，此时汽车状态处于超重还是失重？ 答案　3.6×104 N　超重 最低点时对汽车有N-mg=，可得N=+mg=3.6×104 N，根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力大小为3.6×104 N，大于重力，所以汽车处于超重状态。 返回 轻绳(过山车)和轻杆(管道)模型 二 13 1.轻绳(过山车)模型 如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球受轨道的弹力和重力作用，两小球都在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？ 其动力学方程如何？ 答案　小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 答案　由于小球过最高点时，绳(轨道)不可 能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉 力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下小球受到轻绳拉力或轨道的弹力情况： ①v=； 答案　当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 答案　当v=时，拉力或弹力为零。 ②v>； 答案　当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。 ③v<。 2.轻杆(管道)模型 (1)如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型(小球在最高点) 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图   动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 (2)小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 ①v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 ②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 ③v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或弹力)F。重力和拉力(或弹力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 　(2023·河北唐山滦南县第一中学高一期末)长l=0.5 m、质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m=2 kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时，如图所示，求下列情况中，杆受到的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力)。(g取10 m/s2) (1)当v1=1 m/s时，大小　　　 N，是　　力；  例3 16 压 对小球受力分析，假设杆对小球的作用力方向竖直 向上，大小为F 根据牛顿第二定律有mg-F=m，解得F=mg-m= 16 N 故杆对小球的作用力方向向上，是支持力 由牛顿第三定律得杆受到的力大小为16 N，方向向下，为压力。 (2)当v2=4 m/s时，大小　　 N，是　　力。  44 拉 根据牛顿第二定律有mg-F=m，解得F=mg-m=-44 N 负号表示力F的方向与题目假设的方向相反，大小为44 N 杆对小球的作用力方向向下，是拉力。由牛顿第三定律得，杆受到的力大小为44 N，方向向上，为拉力。 　(2023·德州市高一期末)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m=0.5 kg，绳长l=30 cm，g=10 m/s2，水和杯子均可视为质点，求： (1)在最高点水不流出的最小速率； 例4 答案　 m/s　 在最高点水不流出的临界条件是重力恰好提供水做圆周运动的向心力，即mg=m，解得vmin= m/s (2)水在最高点速率v=3 m/s时，水对杯底的压力大小。 答案　10 N 因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有 N+mg=m，解得N=10 N 由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力为N'=N=10 N。 返回 课时对点练 三 25 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 AB B 　R D D A 题号 7 8 9 10 11 12 答案 C D D D 最低 Mg+mg+mω2r (1)10mg　(2)　(3)g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 考点一　汽车过凹凸桥 1.(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时 A.汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供 B.车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力 C.桥对车的支持力小于汽车的重力 D.为了防止爆胎，车应高速驶过 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ 答案 由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所 需要的向心力由车受到的支持力和重力的 合力提供，即N-mg=，即桥对车的支持力大于汽车的重力，即车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误； 因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2.(2023·兰州市高一期中)如图所示，当汽车通过凸桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的。如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g=10 m/s2) A.15 m/s　　B.20 m/s　　C.25 m/s　　D.30 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当v=10 m/s时，mg-mg=m，当N=0时，mg=m，联立解得v1=20 m/s，故选B。 答案 3.(2023·福建厦门第二中学高一月考)如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形凸桥运动，当汽车通过凸桥最高点B时，对桥面的压力恰好为0，此时汽车的速度为　　　，若以此速度水 平飞出，汽车落地点与B点的水平距离为　　　。 (已知重力加速度为g)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R 在最高点B时，对桥面的压力恰好为0，则mg=m，解得v=； 根据平抛运动规律可得h=R=gt2，s=vt，解得s=R。 答案 考点二　轻绳(过山车)和轻杆(管道)模型 4.如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是 A.小球在圆周最高点时的向心力一定等于重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其 　在最高点的速率为零 D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能 等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球在最高点的 瞬时速度的大小，A错误； 小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供， 则绳子的拉力为零，B错误； 小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，有v=，C错误； 小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球重力，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 5.(2023·池州市高一期中)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(g为重力加速度) A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就 　会掉下来 B.人在最高点时对座位不可能产生压力 C.人在最低点时对座位的压力等于mg D.人在最低点时对座位的压力大于mg √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由 重力提供向心力mg=m，解得临界速度为v0=， 当人在最高点时的速度大于临界速度时，人对座椅产 生向外侧的压力，没有保险带，人也不会掉下来，故 A、B错误； 人在最低点时，根据牛顿第二定律N-mg=m>0，所以N>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 6.(2023·泉州市月考)如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度v= ，g为重力加速度，R是球心到O点的距离， 则球对杆的作用力是 A.mg的拉力 B.mg的压力 C.mg的压力 D.mg的拉力 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最高点，设杆对球的作用力向下，大小为F， 根据牛顿第二定律得mg+F=m，又v=， 解得F=mg>0，说明假设正确，即可知道杆对 球产生的是拉力，根据牛顿第三定律得知，球对杆的作用力是mg的拉力，方向向上。故选A。 答案 7.(2023·南通市高一期末)如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球 A.可能做匀速圆周运动 B.通过最高点时的最小速度为 C.在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力 D.在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向 圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误； 因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通 过最高点时的最小速度为0，故B错误； 因为从最高点到最低点，重力做正功，动能增大，所以小球在最低点速度大，合力F=m，所以在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力，故C正确； 在下半圆运动时，受到外侧管壁弹力，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2023·北京市怀柔区高一期末)如图，是用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是 A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些 B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些 C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态 D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 答案 玩具车静止在拱桥顶端时N=mg，玩具车通过拱桥顶端时有mg-N=m，由牛顿第三定律知N'=N=mg-m，处于失重状态，速度越大，示数越小，故选项D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 9.(2023·河北石家庄一中高一期末)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T- v2图像如图乙所示，则 A.数据a与小球的质量无关 B.当地的重力加速度为 C.当v2=c时，轻质绳的拉力大小为+a D.当v2=2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设绳长为R，由牛顿第二定律知 小球在最高点满足T+mg=m， 即T=v2-mg，由题图乙知a=mg， =，所以g=，R=，A、B错； 当v2=c时，有T1+mg=m，将g和R的值代入得T1=-a，C错； 当v2=2b时，由T2+mg=m，可得T2=a=mg，故拉力与重力大小相等，D对。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 10.(2024·上海市格致中学高一月考)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是 A.衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R B.衣物转到a位置时的脱水效果最好 C.衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg D.衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在 转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣 物所受合力的大小始终为F合=mω2R，在 a、b位置，由于重力方向始终竖直向下， 向心力方向始终指向圆心，可知衣物所 受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设在a、b两点的支持力分别为N1和N2， 根据牛顿第二定律有mg+N1=m，N2- mg=m，可知N1<N2，结合牛顿第三定 律可知，衣物对滚筒壁的压力在a位置 比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B错误，D正确； 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 11.(2023·厦门市高一期末)偏心振动轮广泛应用于生产中的各个领域，如图甲为内振式振动压路机。压路机内部偏心振动轮简化为图乙所示，轮上有一质量为m的偏心块，压路机的其余部分总质量为M。若偏心轮绕转轴О在竖直平面内做匀速圆周运动，已知偏心块角速度为ω，重心距O点距离为r，重力加速度为g。则当偏心块运动到图乙中　　　(选填“最高”或“最低”)位置时，压路机对路面压力最大，其最大值为　　　 　 。  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 最低 Mg+mg+mω2r 答案 当偏心块运动到最低位置时T1=mg+mω2r，最高位置时T2=mω2r-mg，可知当偏心块运动到最低位置时，压路机对路面压力最大，其最大值为N=T1+Mg=Mg+mg+mω2r。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 尖子生选练 12.(2024·青岛市第五十八中学高一月考)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度 为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　10mg　 答案 当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：mg+N1-F1=m，解得N1=10mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　　 答案 设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引 力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，陀螺所受的重力为 mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2-N2-mg=m 由题意可知，当N2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最 大值，解得v2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　g 答案 设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为N3，陀螺所受的重力为mg。 则：F=F3-N3=m，解得N3=4mg 由牛顿第三定律可知N3'=N3，F3'=F3 固定支架对轨道的作用力为F=，解得F=g。 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 第2课时　竖直平面内的圆周运动分析 [学习目标]　1.掌握汽车过凸形路面及凹形路面的受力情况及临界判断方法(重点)。2.掌握竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。 一、汽车过凹凸桥 汽车在经过凸形路面和凹形路面时都不宜高速行驶，这是为什么呢？ 答案　汽车经过凹形路面时压力大于重力，速度越大，压力越大，易压坏路面或车辆爆胎。汽车经过凸形路面时压力小于重力，速度大了易发生飞车。 项目 汽车过凸形路面 汽车过凹形路面 受力分析 (凸形路面顶端) (凹形路面底部) 路面对汽车的支持力 G-N=m，N=G-m N-G=m，N=G+m 汽车对路面的压力 N'=N=G-m N'=N=G+m 驾驶员处于超重还是失重状态 失重 超重 讨论 v增大，N'减小；当v增大到时，N'=0 v增大，N'增大 例1　(2023·泉州市高一期末)如图，一辆质量为1 600 kg的汽车驶过凹凸形路面。汽车驶过顶端P和底部Q两点时对路面的压力大小分别为NP、NQ，则NP　　　NQ(选填“大于”“小于”或“等于”)。若已知汽车驶过P点时速度大小为10 m/s，P点处圆弧半径为40 m，重力加速度大小g=10 m/s2，则NP=　　　　 N。  答案　小于　1.2×104 解析　汽车驶过顶端P点有mg-NP=m，解得NP=mg-m，汽车驶过底部Q点有NQ-mg=m，解得NQ=mg+m，可知，NP小于NQ；若已知汽车驶过P点时速度大小为10 m/s，P点处圆弧半径为40 m，根据上述解得NP=1 600×10 N-1 600× N=1.2×104 N。 例2　(2023·常德市高一期中)质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥(g=10 m/s2)，则： (1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车状态处于超重还是失重？ (2)如果设计为凹形路面，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对路面的压力大小，此时汽车状态处于超重还是失重？ 答案　(1)2.4×104 N　失重　(2)3.6×104 N　超重 解析　(1)汽车到达桥最高点时，速度v=36 km/h=10 m/s，竖直方向受重力和支持力，二力的合力提供向心力有mg-N= 则支持力为N=mg-，可得N=2.4×104 N 根据牛顿第三定律，桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态； (2)最低点时对汽车有N-mg=，可得N=+mg=3.6×104 N，根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力大小为3.6×104 N，大于重力，所以汽车处于超重状态。 二、轻绳(过山车)和轻杆(管道)模型 1.轻绳(过山车)模型 如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球受轨道的弹力和重力作用，两小球都在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？ (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下小球受到轻绳拉力或轨道的弹力情况： ①v=；②v>；③v<。 答案　(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)①当v=时，拉力或弹力为零。 ②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 ③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。 2.轻杆(管道)模型 (1)如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型(小球在最高点) 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 (2)小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 ①v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 ②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 ③v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或弹力)F。重力和拉力(或弹力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 例3　(2023·河北唐山滦南县第一中学高一期末)长l=0.5 m、质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m=2 kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时，如图所示，求下列情况中，杆受到的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力)。(g取10 m/s2) (1)当v1=1 m/s时，大小　　　　 N，是　　　　力；  (2)当v2=4 m/s时，大小　　　　 N，是　　　　力。  答案　(1)16　压　(2)44　拉 解析　(1)对小球受力分析，假设杆对小球的作用力方向竖直向上，大小为F 根据牛顿第二定律有mg-F=m，解得F=mg-m=16 N 故杆对小球的作用力方向向上，是支持力 由牛顿第三定律得杆受到的力大小为16 N，方向向下，为压力。 (2)根据牛顿第二定律有mg-F=m，解得F=mg-m=-44 N 负号表示力F的方向与题目假设的方向相反，大小为44 N 杆对小球的作用力方向向下，是拉力。由牛顿第三定律得，杆受到的力大小为44 N，方向向上，为拉力。 例4　(2023·德州市高一期末)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m=0.5 kg，绳长l=30 cm，g=10 m/s2，水和杯子均可视为质点，求： (1)在最高点水不流出的最小速率； (2)水在最高点速率v=3 m/s时，水对杯底的压力大小。 答案　(1) m/s　(2)10 N 解析　(1)在最高点水不流出的临界条件是重力恰好提供水做圆周运动的向心力，即 mg=m，解得vmin= m/s (2)因为3 m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圆周运动的向心力，所以对于水有 N+mg=m，解得N=10 N 由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力为N'=N=10 N。 课时对点练　[分值：80分] 1~7题每题6分，共42分 考点一　汽车过凹凸桥 1.(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　) A.汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供 B.车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力 C.桥对车的支持力小于汽车的重力 D.为了防止爆胎，车应高速驶过 答案　AB 解析　由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所需要的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供，即N-mg=，即桥对车的支持力大于汽车的重力，即车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误；因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。 2.(2023·兰州市高一期中)如图所示，当汽车通过凸桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的。如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g=10 m/s2)(　　) A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s 答案　B 解析　当v=10 m/s时，mg-mg=m，当N=0时，mg=m，联立解得v1=20 m/s，故选B。 3.(6分)(2023·福建厦门第二中学高一月考)如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形凸桥运动，当汽车通过凸桥最高点B时，对桥面的压力恰好为0，此时汽车的速度为　　　　，若以此速度水平飞出，汽车落地点与B点的水平距离为　　　　。(已知重力加速度为g)  答案　　R 解析　在最高点B时，对桥面的压力恰好为0，则mg=m，解得v=； 根据平抛运动规律可得h=R=gt2，s=vt，解得s=R。 考点二　轻绳(过山车)和轻杆(管道)模型 4.如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(　　) A.小球在圆周最高点时的向心力一定等于重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零 D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案　D 解析　小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球在最高点的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，有v=，C错误；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球重力，D正确。 5.(2023·池州市高一期中)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(g为重力加速度)(　　) A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B.人在最高点时对座位不可能产生压力 C.人在最低点时对座位的压力等于mg D.人在最低点时对座位的压力大于mg 答案　D 解析　在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力mg=m，解得临界速度为v0=，当人在最高点时的速度大于临界速度时，人对座椅产生向外侧的压力，没有保险带，人也不会掉下来，故A、B错误；人在最低点时，根据牛顿第二定律N-mg=m>0，所以N>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 6.(2023·泉州市月考)如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度v=，g为重力加速度，R是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是(　　) A.mg的拉力 B.mg的压力 C.mg的压力 D.mg的拉力 答案　A 解析　在最高点，设杆对球的作用力向下，大小为F，根据牛顿第二定律得mg+F=m，又v=，解得F=mg>0，说明假设正确，即可知道杆对球产生的是拉力，根据牛顿第三定律得知，球对杆的作用力是mg的拉力，方向向上。故选A。 7.(2023·南通市高一期末)如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球(　　) A.可能做匀速圆周运动 B.通过最高点时的最小速度为 C.在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力 D.在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力 答案　C 解析　由分析知，小球在运动过程中合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；因为在最高点圆形管道内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；因为从最高点到最低点，重力做正功，动能增大，所以小球在最低点速度大，合力F=m，所以在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力，故C正确；在下半圆运动时，受到外侧管壁弹力，故D错误。 8~11题每题7分，共28分 8.(2023·北京市怀柔区高一期末)如图，是用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是(　　) A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些 B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些 C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态 D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 答案　D 解析　玩具车静止在拱桥顶端时N=mg，玩具车通过拱桥顶端时有mg-N=m，由牛顿第三定律知N'=N=mg-m，处于失重状态，速度越大，示数越小，故选项D正确。 9.(2023·河北石家庄一中高一期末)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T- v2图像如图乙所示，则(　　) A.数据a与小球的质量无关 B.当地的重力加速度为 C.当v2=c时，轻质绳的拉力大小为+a D.当v2=2b时，小球受到的拉力与重力大小相等 答案　D 解析　设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足T+mg=m，即T=v2-mg，由题图乙知a=mg，=，所以g=，R=，A、B错；当v2=c时，有T1+mg=m，将g和R的值代入得T1=-a，C错；当v2=2b时，由T2+mg=m，可得T2=a=mg，故拉力与重力大小相等，D对。 10.(2024·上海市格致中学高一月考)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是(　　) A.衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R B.衣物转到a位置时的脱水效果最好 C.衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg D.衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的小 答案　D 解析　衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合=mω2R，在a、b位置，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误；设在a、b两点的支持力分别为N1和N2，根据牛顿第二定律有mg+N1=m，N2-mg=m，可知N1<N2，结合牛顿第三定律可知，衣物对滚筒壁的压力在a位置比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B错误，D正确；衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。 11.(7分)(2023·厦门市高一期末)偏心振动轮广泛应用于生产中的各个领域，如图甲为内振式振动压路机。压路机内部偏心振动轮简化为图乙所示，轮上有一质量为m的偏心块，压路机的其余部分总质量为M。若偏心轮绕转轴О在竖直平面内做匀速圆周运动，已知偏心块角速度为ω，重心距O点距离为r，重力加速度为g。则当偏心块运动到图乙中　　　　(选填“最高”或“最低”)位置时，压路机对路面压力最大，其最大值为　　　　 。  答案　最低　Mg+mg+mω2r 解析　当偏心块运动到最低位置时T1=mg+mω2r，最高位置时T2=mω2r-mg，可知当偏心块运动到最低位置时，压路机对路面压力最大，其最大值为N=T1+Mg=Mg+mg+mω2r。 12.(10分)(2024·青岛市第五十八中学高一月考)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)(2分)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)(3分)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； (3)(5分)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。 答案　(1)10mg　(2)　(3)g 解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：mg+N1-F1=m，解得N1=10mg (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2-N2-mg=m 由题意可知，当N2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2= (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为N3，陀螺所受的重力为mg。 则：F=F3-N3=m，解得N3=4mg 由牛顿第三定律可知N3'=N3，F3'=F3 固定支架对轨道的作用力为F=，解得F=g。 学科网（北京）股份有限公司 $$