第2章 专题强化9 平抛运动的重要推论 与斜面(曲面)相结合的平抛运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DIERZHANG 第2章 专题强化9　平抛运动的重要推论　 与斜面(曲面)相结合 的平抛运动 1 1.熟练运用平抛运动的规律解决相关问题(重点)。 2.能应用平抛运动的重要推论解决相关问题(重点)。 3.掌握平抛运动与斜面(曲面)相结合的问题的解题方法(重难点)。 学习目标 2 一、平抛运动的两个重要推论 二、与斜面有关的平抛运动 专题强化练 三、与曲面有关的平抛运动 内容索引 3 平抛运动的两个重要推论 一 4 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。请推导。 答案　从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ== ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ== ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。请推导。 答案　速度偏向角的正切值tan θ= ① 位移偏向角的正切值 tan α=== ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 　(2023·廊坊市高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是 A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1=φ2 D.无法确定 例1 √ 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任 一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方 向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β， 则tan α=2tan β，由上述关系式结合题图中的几 何关系可得tan (φ+θ)=2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1=φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。 　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) A.d 　　　B.2d 　　　C.d 　　　D.d 例2 √ 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 返回 与斜面有关的平抛运动 二 13 1.如图甲所示，将小球从斜面上A处以初速度v0水平抛出，又落在斜面上B点，不计空气阻力。 (1)小球位移方向怎样？水平分位移和竖直分位移有什么关系？ 答案　位移方向沿斜面向下。 水平分位移和竖直分位移之比等于斜面倾角的正切值，tan θ=== (2)从抛出至落至斜面上所需时间多长？ 答案　由上式得，t= 2.如图乙所示，将小球从斜面外某处以初速度v0水平抛出，斜面倾角为θ，不计空气阻力。 (1)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间； 答案　小球垂直击中斜面，此时速度方向垂直于斜面。 tan θ== 得t= (2)若小球以最小位移击中斜面，求小球到达斜面经过的时间。 答案　此时位移与斜面垂直 tan θ== 得t= 　(多选)(2023·福建省龙岩一中高一期中)2022年冬奥会在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度va、vb沿水平方向飞出，va∶vb=1∶2，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中 A.先后落在雪坡上的速度方向不一定相同 B.先后在空中飞行的时间之比为2∶1 C.在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶4 D.先后下落的高度之比为1∶4 例3 √ √ 设雪坡与水平方向的夹角为α，运动员先后落在 雪坡上的速度方向与水平方向的夹角为θ，根据 平抛运动推论可知tan θ=2tan α，可知运动员先 后落在雪坡上的速度方向一定相同，故A错误； 根据平抛运动规律可知x=v0t，y=gt2，tan α=，联立可得运动员在空中飞行的时间为t=，可知运动员先后在空中飞行的时间之比为ta∶tb=va∶vb=1∶2，运动员先后下落的高度之比为ya∶yb=∶= 1∶4，故B错误，D正确； 将运动员的运动分解为沿雪坡面和垂直雪坡面两 个分运动，则在垂直雪坡面方向的初速度大小为 v0y=v0sin α，垂直雪坡面方向的加速度大小为ay= gcos α，则运动员在空中离雪坡面的最大距离为 dmax==，则运动员在空中离雪坡面的最大距离之比为da∶db =∶=1∶4，故C正确。 返回 与曲面有关的平抛运动 三 20 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向   分解速度，构建速度矢量三角形 tan θ=_____=_____ 情景示例 解题策略 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面   分解速度，构建速度矢量三角形 tan θ=_____=_____ 情景示例 解题策略 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示(以水平位移大于半径为例)，   利用几何关系求解位移关系 x、y与半径R的关系R2= _________ (x-R)2+y2 　(2023·六安市高一期末)如图，可视为质点的小球，位于半径为 m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则小球的初速度为(不计空气阻力， 重力加速度为g=10 m/s2) A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s 例4 √ 小球运动过程中，水平位移x=R+Rcos 60°=v0t，小球恰好与半圆柱体相切于B点，可知在B点的速度与水平方向的夹角为30°，则vy=v0tan 30°=gt，联立解得v0=3 m/s，故选C。 　(2023·福州市高一期末)如图所示，将一个小球(可视为质点)从半球形坑的边缘A以速度v0沿直径方向水平抛出，落在坑壁某点B，忽略空气阻力。对A到B过程说法中正确的是 A.v0越大，小球运动时间越长 B.v0越大，小球运动位移越大 C.v0越大，小球运动加速度越大 D.v0取适当值，小球可能垂直坑壁落入坑中 例5 √ 根据题意可知，小球做平抛运动，竖直方向上， 有h=gt2，解得t=，可知当小球落在圆心正 下方时，运动时间最长为tm=，水平方向上有R=v0tm，解得v0= 抛出时，运动时间最长，若初速度v0>，则v0越大，小球运动时间越短，若初速度v0<，则v0越大，小球运动时间越长，故A错误； 根据题意，设落在坑壁上时位移与水平方向的 夹角为θ，则有tan θ=，由A分析可知，当小 球的初速度大于 时，小球落在半圆的左半边，v0越大，竖直位移越大，水平位移越大，则合位移越大； 由题图可知，落在右半边时的位移大于落在 左半边时的位移，当小球的初速度大于 时，初速度越大，时间越短，则tan θ越小，即位移与水平方向夹角越小，由几何关系可知，位移越大，综上所述，v0越大，小球运动位移越大，故B正确； 根据题意可知，小球做平抛运动，加速度为重力加速度，大小与初速度无关，故C错误； 若小球垂直坑壁落入坑中，则小球落地速度的 方向沿半径方向，由几何关系可知，此时，速 度与水平方向的夹角等于位移与水平方向夹角 的2倍，由平抛运动规律可知，落地速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的2倍，相互矛盾，则无论v0为何值，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。 返回 专题强化练 四 31 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C A D 40　2 B A 题号 8 9 10 11 12 13 答案 D CD C AD (1)45 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.(2024·淮北市龙兴中学高一期末)如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向 延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气 阻力，则小球运动的时间为 A.1 s 　　　B.2 s 　　　C.3 s 　　　D.4 s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 答案 13 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平=OM=2QM=6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t==3 s，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 2.(2023·上海市黄浦区高一期末)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C.若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变 D.若仅小球初速度增大，则θ增大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 小球落地时竖直方向的速度vy=gt，根据题意可 得tan θ=，解得v0=，A错误； 设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α， 根据平抛运动的推论2tan α=tan θ，可知α≠， B错误； 竖直方向高度不变，根据h=gt2，可得t=，若小球初速度增大， 则平抛运动的时间不变，C正确； 根据tan θ=，可知若小球初速度增大，则θ减小，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 考点二　与斜面有关的平抛运动 3.(2023·福建省厦门第十中学高一期中)如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出该小球，不计空气阻力，则它落在斜面上的 A.b与c之间某一点 B.c点 C.c与d之间某一点 D.d点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 过c点作一水平面，以速度v水平抛出时，落在b点，以速度2v抛出时，若下降高度相同，则水平位移是原来的2倍，会落在c点正下方的e点，故它落在斜面上时会落在b与c之间某一点，故A正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 4.(2023·广州市高一期中)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为 A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x=　v0t，y=gt2，tan θ=，解得t=，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB=tan 37° ∶tan 53°=9∶16，A、B、C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 5.(2023·福州市高一期末)如图所示，以20 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上(g取10 m/s2，不计空气阻力)，则物体撞击斜面时的速度为　 　 m/s，完成这段飞行的时间为 　　　 s。  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 2 答案 13 物体垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，则有tan 30°= 解得vy==20 m/s 则物体撞击斜面时的速度为v==40 m/s 完成这段飞行的时间为t==2 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 考点三　与曲面有关的平抛运动 6.如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ=60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为 A.h 　　　B.h 　　　C.h 　　　D.2h √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ=2tan α= ，解得x=h，所以A、C、D错误，B正确。 答案 13 7.(2023·达州市高一期中)如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心，小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出，经时间t=小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为 A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 设小球落点在D点，如图所示，根据题意，OD为半径，则根据平抛运动的推论有=，有CE=2OE，由几何关系有OE=，又因h=gt2，联立解得OC=OE=，故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 8.(2023·福建省莆田华侨中学高一月考)如图所示为某跳台滑雪运动员从助滑道滑下，然后从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆的示意图，其中Ek-t图像是运动员从a到b飞行时的动能随飞行时间变化的关系图像，不计空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是 A.运动员(含装备)的质量为80 kg B.运动员在a处的速度大小为20 m/s C.斜坡的倾角为30° D.在b处时，重力的瞬时功率为1.2×104 W √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 答案 13 由题意可知，运动员做平抛运动， 在2 s时间内下落的高度h=gt2= ×10×22 m=20 m，由动能定理 可得mgh=Ekb-Eka，解得m=60 kg， 故A错误； 运动员在a点时的动能是3×103 J，由动能公式可得Eka=m=3×103 J， 解得va=10 m/s，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 设运动员在水平方向的位移为x，斜 坡的倾角为θ，由竖直方向的位移与 水平方向位移关系，可得tan θ== ==1，解得斜坡的倾角为θ= 45°，故C错误； 运动员在b处时，重力的瞬时功率为P=mg·gt=60×10×10×2 W=1.2 ×104 W，故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 9.(多选)(2023·漳州市高一期中)如图，某人从O点对准正前方竖直靶上的a点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上b、c两点，且与竖直方向的夹角分别为60°与30°，忽略空气阻力，则 A.两飞镖离开手时，速度大小相同 B.两飞镖在空中运动时间相同 C.两飞镖击中靶的速度大小相同 D.ac间距为ab间距的3倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 13 平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动， 则有h=gt2，两飞镖在空中下落的高度不同，可 知在空中运动时间不相同，B错误； 水平方向做匀速直线运动，根据x=v0t，两飞镖 在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，A错误； 根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，可得tan 60°=，tan 30°==，D正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为vby=，飞镖打在靶上b点时的速度大小为vb==2，飞镖打在 靶上c点时的竖直分速度为vcy==， 飞镖打在靶上c点时的速度大小为vc== 2=vb，C正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 10.(2023·泉州市高一期中)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力。关于两小球的判断正确的是 A.落在a点的小球质量大 B.落在a点的小球在空中飞行时间长 C.落在b点的小球飞行过程中速度变化大 D.落在a点和b点的小球速度方向可能相同 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 小球落点到抛出点的水平距离与初速度有关， 与质量无关，故A错误； 落在a点的小球比落在b点的小球下落高度小， 根据t=可知落在a点的小球在空中飞行时间短，故B错误； 平抛运动属于匀变速曲线运动，根据Δv=gΔt可知落在b点的小球飞行过程中速度变化大，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 设两小球位移偏向角和速度偏向角分别为α和β， 则tan α===tan β，落在a点和b点的小球 位移偏向角不同，所以落在a点和b点的速度方 向不可能相同，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 11.(多选)(2023·龙岩市高一期末)如图甲所示，自行车坠山赛是一项惊险刺激的极限运动，若将运动员和自行车视为质点，该运动过程可简化为如图乙模型，运动员控制自行车以速度v0=6 m/s从O点水平飞出，抵达斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ继续做直线运动，已知斜面长度12.5 m，运动 员与自行车受到的斜面阻力恒为重力 的0.3倍，倾角为53°(sin 53°=0.8， cos 53°=0.6)，不计空气阻力，取重 力加速度为g=10 m/s2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 下列说法正确的是 A.到达底端Q点时的速度大小为15 m/s B.到达底端Q点时的速度大小为12 m/s C.若撤去斜面，仍从O点以相同速度水 　平飞出，落地点在Q点的左侧 D.若撤去斜面，仍从O点以相同速度水平飞出，落地点在Q点的右侧 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 13 抵达斜面上端P处时，速度方向恰好 沿着斜面方向，则速度偏转角为53°， 有cos 53°=，解得到达P处时的速 度大小vP==10 m/s，紧贴斜面PQ运动的过程，根据动能定理有mgssin 53°-0.3mgs=m-m，解得到达底端Q点时的速度大小vQ=15 m/s，A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 由于在斜面上的加速度为a=gsin 53° -0.3g=0.5g，则在斜面上运动时，在 竖直方向的加速度为ay=asin 53°= 0.4g，由此可知，有斜面时在竖直 方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，下落时间变小，仍从O点以相同速度水平飞出，水平位移变小，即落地点在Q点的右侧，故C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 12.(2023·福建省莆田一中高一期中)滑雪比赛惊险刺激，如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过t=3.0 s落到斜坡上的A点，已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50 kg，不计空气阻力，运动员视为质点(sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，g取10 m/s2)。求： (1)A点与O点的竖直距离h； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　45 m　 运动员在竖直方向做自由落体运动，h=gt2，解得h=45 m 答案 13 (2)运动员离开O点时的速度大小v0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　20 m/s　 运动员离开O点后的水平位移x==60 m，运动员离开O点时的速度v0==20 m/s 答案 13 (3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间t1。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　1.5 s 当运动员的速度方向与斜坡平行时，离斜坡最远，则有tan 37°=，解得t1=1.5 s。 答案 13 尖子生选练 13.(2023·湖南省高一期末)如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2∶v1为 A.2 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 小球从A点以初速度v1向右平抛，反弹后经过B点， 由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低 点。由平抛运动的规律有R=v1t1，R=g，解得 v1=； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 小球从C点以初速度v2向右平抛，要使小球能反弹 回C点，小球必须垂直打在碗上，如图所示，设碰 撞点为D，连接OD，过D点作DE⊥AB于E，则O为 小球平抛水平位移的中点，有ED=g，CO=OE=v2t2，根据几何关系有(ED)2+(OE)2=R2，解得v2==，故选B。 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化9　平抛运动的重要推论　与斜面(曲面)相结合的平抛运动 [学习目标]　1.熟练运用平抛运动的规律解决相关问题(重点)。2.能应用平抛运动的重要推论解决相关问题(重点)。3.掌握平抛运动与斜面(曲面)相结合的问题的解题方法(重难点)。 一、平抛运动的两个重要推论 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。请推导。 答案　从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ== ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ== ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。请推导。 答案　速度偏向角的正切值tan θ= ① 位移偏向角的正切值 tan α=== ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 例1　(2023·廊坊市高一期末)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是(　　) A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1=φ2 D.无法确定 答案　C 解析　根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α=2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ+θ)=2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1=φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。 例2　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　) A.d B.2d C.d D.d 答案　C 解析　把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 二、与斜面有关的平抛运动 1.如图甲所示，将小球从斜面上A处以初速度v0水平抛出，又落在斜面上B点，不计空气阻力。 (1)小球位移方向怎样？水平分位移和竖直分位移有什么关系？ (2)从抛出至落至斜面上所需时间多长？ 答案　(1)位移方向沿斜面向下。 水平分位移和竖直分位移之比等于斜面倾角的正切值，tan θ=== (2)由上式得，t= 2.如图乙所示，将小球从斜面外某处以初速度v0水平抛出，斜面倾角为θ，不计空气阻力。 (1)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间； (2)若小球以最小位移击中斜面，求小球到达斜面经过的时间。 答案　(1)小球垂直击中斜面，此时速度方向垂直于斜面。 tan θ== 得t= (2)此时位移与斜面垂直 tan θ== 得t= 例3　(多选)(2023·福建省龙岩一中高一期中)2022年冬奥会在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，某运动员(可视为质点)从雪坡上先后以初速度va、vb沿水平方向飞出，va∶vb=1∶2，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从飞出到落到雪坡上的整个过程中(　　) A.先后落在雪坡上的速度方向不一定相同 B.先后在空中飞行的时间之比为2∶1 C.在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶4 D.先后下落的高度之比为1∶4 答案　CD 解析　设雪坡与水平方向的夹角为α，运动员先后落在雪坡上的速度方向与水平方向的夹角为θ，根据平抛运动推论可知tan θ=2tan α，可知运动员先后落在雪坡上的速度方向一定相同，故A错误；根据平抛运动规律可知x=v0t，y=gt2，tan α=，联立可得运动员在空中飞行的时间为t=，可知运动员先后在空中飞行的时间之比为ta∶tb=va∶vb=1∶2，运动员先后下落的高度之比为ya∶yb=∶=1∶4，故B错误，D正确；将运动员的运动分解为沿雪坡面和垂直雪坡面两个分运动，则在垂直雪坡面方向的初速度大小为v0y=v0sin α，垂直雪坡面方向的加速度大小为ay=gcos α，则运动员在空中离雪坡面的最大距离为dmax==，则运动员在空中离雪坡面的最大距离之比为da∶db=∶=1∶4，故C正确。 三、与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度矢量三角形 tan θ== 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度矢量三角形 tan θ== 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示(以水平位移大于半径为例)， 利用几何关系求解位移关系 x、y与半径R的关系 R2=(x-R)2+y2 例4　(2023·六安市高一期末)如图，可视为质点的小球，位于半径为 m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则小球的初速度为(不计空气阻力，重力加速度为g=10 m/s2)(　　) A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s 答案　C 解析　小球运动过程中，水平位移x=R+Rcos 60°=v0t，小球恰好与半圆柱体相切于B点，可知在B点的速度与水平方向的夹角为30°，则vy=v0tan 30°=gt，联立解得v0=3 m/s，故选C。 例5　(2023·福州市高一期末)如图所示，将一个小球(可视为质点)从半球形坑的边缘A以速度v0沿直径方向水平抛出，落在坑壁某点B，忽略空气阻力。对A到B过程说法中正确的是(　　) A.v0越大，小球运动时间越长 B.v0越大，小球运动位移越大 C.v0越大，小球运动加速度越大 D.v0取适当值，小球可能垂直坑壁落入坑中 答案　B 解析　根据题意可知，小球做平抛运动，竖直方向上，有h=gt2，解得t=，可知当小球落在圆心正下方时，运动时间最长为tm=，水平方向上有R=v0tm，解得v0=，即当小球以抛出时，运动时间最长，若初速度v0>，则v0越大，小球运动时间越短，若初速度v0<，则v0越大，小球运动时间越长，故A错误；根据题意，设落在坑壁上时位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ=，由A分析可知，当小球的初速度大于时，小球落在半圆的右半边，当小球小于初速度小于时，小球落在半圆的左半边，v0越大，竖直位移越大，水平位移越大，则合位移越大；由题图可知，落在右半边时的位移大于落在左半边时的位移，当小球的初速度大于时，初速度越大，时间越短，则tan θ越小，即位移与水平方向夹角越小，由几何关系可知，位移越大，综上所述，v0越大，小球运动位移越大，故B正确；根据题意可知，小球做平抛运动，加速度为重力加速度，大小与初速度无关，故C错误；若小球垂直坑壁落入坑中，则小球落地速度的方向沿半径方向，由几何关系可知，此时，速度与水平方向的夹角等于位移与水平方向夹角的2倍，由平抛运动规律可知，落地速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的2倍，相互矛盾，则无论v0为何值，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。 专题强化练　[分值：100分] 1~7题每题6分，共42分 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.(2024·淮北市龙兴中学高一期末)如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　) A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s 答案　C 解析　由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平=OM=2QM=6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t==3 s，故选C。 2.(2023·上海市黄浦区高一期末)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C.若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变 D.若仅小球初速度增大，则θ增大 答案　C 解析　小球落地时竖直方向的速度vy=gt，根据题意可得tan θ=，解得v0=，A错误；设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论2tan α=tan θ，可知α≠，B错误；竖直方向高度不变，根据h=gt2，可得t=，若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，C正确；根据tan θ=，可知若小球初速度增大，则θ减小，D错误。 考点二　与斜面有关的平抛运动 3.(2023·福建省厦门第十中学高一期中)如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出该小球，不计空气阻力，则它落在斜面上的(　　) A.b与c之间某一点 B.c点 C.c与d之间某一点 D.d点 答案　A 解析　过c点作一水平面，以速度v水平抛出时，落在b点，以速度2v抛出时，若下降高度相同，则水平位移是原来的2倍，会落在c点正下方的e点，故它落在斜面上时会落在b与c之间某一点，故A正确。 4.(2023·广州市高一期中)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为(　　) A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16 答案　D 解析　根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x=v0t，y=gt2，tan θ=，解得t=，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB=tan 37°∶tan 53°=9∶16，A、B、C错误，D正确。 5.(6分)(2023·福州市高一期末)如图所示，以20 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上(g取10 m/s2，不计空气阻力)，则物体撞击斜面时的速度为　　　　 m/s，完成这段飞行的时间为　　　　 s。  答案　40　2 解析　物体垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，则有tan 30°= 解得vy==20 m/s 则物体撞击斜面时的速度为v==40 m/s 完成这段飞行的时间为t==2 s 考点三　与曲面有关的平抛运动 6.如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ=60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　) A.h B.h C.h D.2h 答案　B 解析　小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ=2tan α=，解得x=h，所以A、C、D错误，B正确。 7.(2023·达州市高一期中)如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心，小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出，经时间t=小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设小球落点在D点，如图所示，根据题意，OD为半径，则根据平抛运动的推论有=，有CE=2OE，由几何关系有OE=，又因h=gt2，联立解得OC=OE=，故选A。 8~11题每题8分，12题16分，共48分 8.(2023·福建省莆田华侨中学高一月考)如图所示为某跳台滑雪运动员从助滑道滑下，然后从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆的示意图，其中Ek-t图像是运动员从a到b飞行时的动能随飞行时间变化的关系图像，不计空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　) A.运动员(含装备)的质量为80 kg B.运动员在a处的速度大小为20 m/s C.斜坡的倾角为30° D.在b处时，重力的瞬时功率为1.2×104 W 答案　D 解析　由题意可知，运动员做平抛运动，在2 s时间内下落的高度h=gt2=×10×22 m=20 m，由动能定理可得mgh=Ekb-Eka，解得m=60 kg，故A错误；运动员在a点时的动能是3×103 J，由动能公式可得Eka=m=3×103 J，解得va=10 m/s，故B错误；设运动员在水平方向的位移为x，斜坡的倾角为θ，由竖直方向的位移与水平方向位移关系，可得tan θ====1，解得斜坡的倾角为θ=45°，故C错误；运动员在b处时，重力的瞬时功率为P=mg·gt=60×10×10×2 W=1.2×104 W，故D正确。 9.(多选)(2023·漳州市高一期中)如图，某人从O点对准正前方竖直靶上的a点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上b、c两点，且与竖直方向的夹角分别为60°与30°，忽略空气阻力，则(　　) A.两飞镖离开手时，速度大小相同 B.两飞镖在空中运动时间相同 C.两飞镖击中靶的速度大小相同 D.ac间距为ab间距的3倍 答案　CD 解析　平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有h=gt2，两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，B错误；水平方向做匀速直线运动，根据x=v0t，两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，A错误；根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，可得tan 60°=，tan 30°=，联立可得=，D正确；飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为vby=，飞镖打在靶上b点时的速度大小为vb==2，飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为vcy==，飞镖打在靶上c点时的速度大小为vc==2=vb，C正确。 10.(2023·泉州市高一期中)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力。关于两小球的判断正确的是(　　) A.落在a点的小球质量大 B.落在a点的小球在空中飞行时间长 C.落在b点的小球飞行过程中速度变化大 D.落在a点和b点的小球速度方向可能相同 答案　C 解析　小球落点到抛出点的水平距离与初速度有关，与质量无关，故A错误；落在a点的小球比落在b点的小球下落高度小，根据t=可知落在a点的小球在空中飞行时间短，故B错误；平抛运动属于匀变速曲线运动，根据Δv=gΔt可知落在b点的小球飞行过程中速度变化大，故C正确；设两小球位移偏向角和速度偏向角分别为α和β，则tan α===tan β，落在a点和b点的小球位移偏向角不同，所以落在a点和b点的速度方向不可能相同，故D错误。 11.(多选)(2023·龙岩市高一期末)如图甲所示，自行车坠山赛是一项惊险刺激的极限运动，若将运动员和自行车视为质点，该运动过程可简化为如图乙模型，运动员控制自行车以速度v0=6 m/s从O点水平飞出，抵达斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ继续做直线运动，已知斜面长度12.5 m，运动员与自行车受到的斜面阻力恒为重力的0.3倍，倾角为53°(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)，不计空气阻力，取重力加速度为g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.到达底端Q点时的速度大小为15 m/s B.到达底端Q点时的速度大小为12 m/s C.若撤去斜面，仍从O点以相同速度水平飞出，落地点在Q点的左侧 D.若撤去斜面，仍从O点以相同速度水平飞出，落地点在Q点的右侧 答案　AD 解析　抵达斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，则速度偏转角为53°，有cos 53°=，解得到达P处时的速度大小vP==10 m/s，紧贴斜面PQ运动的过程，根据动能定理有mgssin 53°-0.3mgs=m-m，解得到达底端Q点时的速度大小vQ=15 m/s，A正确，B错误；由于在斜面上的加速度为a=gsin 53°-0.3g=0.5g，则在斜面上运动时，在竖直方向的加速度为ay=asin 53°=0.4g，由此可知，有斜面时在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，下落时间变小，仍从O点以相同速度水平飞出，水平位移变小，即落地点在Q点的右侧，故C错误，D正确。 12.(16分)(2023·福建省莆田一中高一期中)滑雪比赛惊险刺激，如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过t=3.0 s落到斜坡上的A点，已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50 kg，不计空气阻力，运动员视为质点(sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，g取10 m/s2)。求： (1)(4分)A点与O点的竖直距离h； (2)(6分)运动员离开O点时的速度大小v0； (3)(6分)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间t1。 答案　(1)45 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s 解析　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，h=gt2，解得h=45 m (2)运动员离开O点后的水平位移x==60 m，运动员离开O点时的速度v0==20 m/s (3)当运动员的速度方向与斜坡平行时，离斜坡最远，则有tan 37°=，解得t1=1.5 s。 (10分) 13.(2023·湖南省高一期末)如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2∶v1为(　　) A.2 B. C. D. 答案　B 解析　小球从A点以初速度v1向右平抛，反弹后经过B点，由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点。由平抛运动的规律有R=v1t1，R=g，解得v1=；小球从C点以初速度v2向右平抛，要使小球能反弹回C点，小球必须垂直打在碗上，如图所示，设碰撞点为D，连接OD，过D点作DE⊥AB于E，则O为小球平抛水平位移的中点，有ED=g，CO=OE=v2t2，根据几何关系有(ED)2+(OE)2=R2，解得v2=，可得=，故选B。 学科网（北京）股份有限公司 $$