第2章 专题强化8 小船渡河与关联速度问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（鲁科版2019）

DIERZHANG 第2章 专题强化8　小船渡河与关 联速度问题 1 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。 2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。 4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 学习目标 2 内容索引 一、小船渡河模型 二、关联速度模型 专题强化练 3 小船渡河模型 一 4 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ 答案　小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)怎样航行小船渡河时间最短？最短时间是多少？ 答案　由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 答案　不能。如图所示。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大(船头指向不变)，是否影响渡河时间？ 答案　不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3.小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明。(设v船>v水) 答案　船头指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 　(2023·福建省厦门一中高一月考)“十月里来秋风凉，中央红军远征忙；星夜渡过于都河，古陂新田打胜仗。“这是在于都县长征第一渡口纪念碑上的一首诗。设于都河宽600 m，水流速度大小恒定且处处相等，红军渡河时船头垂直河岸，船在静水中的速度为2 m/s，于正对岸下游240 m处靠岸，则红军夜渡于都河的时间为　　　，如果改变船头朝向，红军 　　　(选填“能”“不能”或“不确定”)到达正对岸。  例1 300 s 能 渡河时船头垂直河岸，由运动学公式可得t== s=300 s 船于正对岸下游240 m处靠岸，由合运动与分运动的等时性，可知水流速度大小为v2== m/s=0.8 m/s， 可知v1>v2，即船在静水中的速度大于水流速度， 如图所示，由运动的合成可知，改变船头朝向， 红军能到达正对岸。 　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 例2 答案　40 s时在正对岸下游120 m处 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间 t== s=40 s，小船沿河流方向的位移s=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合 应垂直于河岸，如图所示， 则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 拓展　如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　见解析 如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小 船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船 头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==， 解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 返回 关联速度模型 二 15 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ 答案　不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车=l1-l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 答案　不相等，船的速度大于车的速度。 (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ 答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　由v=v船cos α得v船=。 　(2023·福建省厦门一中高一期中)质量为m的物体，在汽车的牵引下由静止开始运动，当物体上升h高度时，汽车的速度为v，细绳与水平面间的夹角为θ，则下列说法中正确的是 A.此时物体的速度大小为vsin θ B.此时物体的速度大小为 C.若汽车做匀速运动，则绳子上的拉力大于物体的重力 D.若汽车做匀速运动，则绳子上的拉力等于物体的重力 例3 √ 将汽车的速度分解成沿绳子方向的分速度和垂直 于绳子的分速度，物体上升的速度等于汽车沿绳 子方向的分速度，故有v物=vcos θ，A、B错误； 若汽车做匀速运动，即汽车速度v保持不变，绳子 与水平面的夹角θ减小，由v物=vcos θ可知物体的速度增大，物体向上做加速运动，加速度方向向上，合力方向向上，绳子拉力大于物体重力，C正确，D错误。 　(2023·重庆市高一期中)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从初始位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，重力加速度为g，在此后的运动过程中，下列说法正确的是 A.物体A做加速运动 B.当轻绳与杆夹角为α时，物体A的速度为vsin α C.T小于mgsin θ D.T等于mgsin θ 例4 √ 当轻绳与杆夹角为α时，将物体B的速度方向沿绳方向和垂直绳方向分解，可知沿绳方向的速度为vBcos α，且vBcos α=vA，因为B匀速运动，B下降过程中α变小，cos α变大，因此物体A做加速运动，所以T大于mgsin θ。故选A。 　(多选)(2024·西安工业大学附中模拟)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是 A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 例5 √ √ 设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向 的分量为v1∥=v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥= v2sin θ，而v1∥=v2∥，题图所示位置时，有cos θ=， sin θ==，故A错误，B正确； 当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 1.分析“关联”速度的基本步骤 总结提升 2.常见的速度分解模型 总结提升 情景图示 定量结论   v=v∥=________   v物'=v∥=________ v物cos θ v物cos θ 总结提升 情景图示 定量结论   v∥=v∥' 即________________   v∥=v∥' 即________________ 返回 v物cos θ=v物'cos α v物cos α=v物'cos β 专题强化练 三 28 题号 1 2 3 4 5 6 答案 AB A (1)10 s　(2)12.5 s B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C (1)2.5 m/s　 (2)25 s　 (3)130 m　 s D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 考点一　小船渡河问题 1.(多选)(2023·福州市高一期中)下列各图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。假设船头方向为船在静水中的速度方向，则以下各图可能正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ √ 答案 船头方向垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，故A正确； 根据平行四边形定则知，若船头指向河对岸上游，合速度的方向有可能正好垂直河岸，过河的位移最小，故B正确； 由于河水流动速度v指向下游，因此当船头指向河对岸时，船的合速度方向不可能垂直河对岸，故C错误； 船头指向河对岸下游，合速度不可能沿图示方向，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2.(2023·莆田市高一期末)莆田市某高中进行防溺水安全教育，同学们讨论：消防员如何以一定的速率在最短时间内救援被困于礁石上的学生。如图，A、B间距适当，河中各处水流速度相等，下列说法正确的是 A.应在河岸A处沿v1方向进行救援 B.应在河岸B处沿v2方向进行救援 C.应在河岸B处沿v3方向进行救援 D.应在河岸B处沿v4方向进行救援 √ 若救援所用时间最短，则消防员相对静水的速度应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游。故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 3.(2023·漳州市高一期中)在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江自上游流下，水流速度v水=6 m/s，冲锋舟在静水中的航速v船=10 m/s，战士救人的地点A离岸边最近点O的距离为100 m。 (1)若战士想通过最短的时间将人送上岸， 求战士由A点至岸上的最短时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　10 s　 若战士想通过最短的时间将人送上岸，则船头应该指向正对岸，此时战士由A点至岸上的最短时间tmin== s=10 s 答案 (2)若战士想通过最短的航程将人送上岸，求战士由A点至岸上的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　12.5 s 若战士想通过最短的航程将人送上岸，则合速度方向指向正对岸， 则合速度v==8 m/s 战士由A点至岸上的时间t== s=12.5 s 答案 考点二　关联速度模型 4.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度 A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小船的速度v船=，θ为绳与水面的夹角，随着小船靠近岸边，θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，故选B。 答案 5.(2024·漯河市许慎高中检测)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是 A.若θ=30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ=60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA=vBtan θ D.vA=vBsin θ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，两球沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ=vBsin θ，即vA=vBtan θ，故C正确，D错误； 当θ=45°时，vA=vB，故A、B错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 6.(2023·福建师大附中高一期中)如图所示，A、B两球分别套在两无限长的光滑水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向 左的速度大小为v，此时B球的速度大小为　 　 　。 将A球的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于B沿绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度为v绳= vcos α，所以vB==。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 7.(2023·邵阳市高一期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 答案 设河宽为d，小船在静水中的速度为vc，去程时过河的时间为t1=，回程的时间t2==k，解得vc=，故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2023·柳州市高一期中)如图是一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN=2h时被救人员向B点运动的速率是 A.v0 　　B.2v0 　　C.v0 　　D.v0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设此时杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系 可知sin θ==，即θ=30°，将杆上N点的速度 分解成沿杆的分速度v1和垂直杆的速度v2，可 知v1=v0cos θ=v0，沿着同一根杆，各点的速度相同，故此时被救人员向B点运动的速率为v0。故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 9.(2023·潍坊市高一期末)一次防溺水应急演练活动中，在某段平直河道中央放入随水漂流的漂浮物(模拟溺水者)，巡河员发现在上游发生“溺水”，立刻驾驶小船从河岸以最短时间前往河中央施救，当小船到达河中央时恰好与“溺水者”相遇，施救后再以最短时间回到河岸。已知小船相对静水的速度为4 m/s，忽略小船加速和减速时间。该段河流的宽度为240 m，河水的流速与离岸距离的关系如图所示。则小船 A.前往河中央的运动轨迹为直线 B.前往河中央的最短时间为24 s C.返回河岸时的速度大小为4 m/s D.施救后返回河岸过程的位移大小为150 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题意可知，小船的速度不变，水流速度随 离岸的距离增大而增大，小船在水中运动时， 同时参与了一个匀速直线运动，一个变速直 线运动，由运动的合成规律，可知小船前往 河中央的运动轨迹为曲线，A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小船前往河中央的最短时间为t== s=30 s，B错误； 小船返回河岸时，水流速度是零，因此合速度为小船在静水中的速度，则小船速度为4 m/s，C正确； 答案 施救后返回河岸的运动过程中，小船在垂直 河岸方向的分运动是匀速直线运动，位移是 120 m，时间是30 s，由题图可知，当小船回 到河岸时，小船沿水流方向的位移为s水= t=×30 m=45 m，可得施救后小船返回河岸过程的位移大小为s== m=15 m，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 10.(2024·福州市闽侯县一中高一月考)如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器的球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则 A.v2=v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=v1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 如图所示，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两个方向，同时B球速度也分解成沿着杆与垂直于杆两个方向。根据矢量关系则有，对A球：v∥=v1sin θ，而对B球：v∥'=v2sin θ，由于A、B两球在同一杆上，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故C正确，A、B、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 11.(2023·广州市高一期中)小船横渡一条河流，水流速度的大小为v1，船在静水中的速度大小为v2，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0=20 s到达对岸下游30 m处；第二次船头保持与河岸成θ=53°角向上游航行时，如图所示，小船恰好能经过时间t1垂直河岸到达正对岸，已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。 (1)求船在静水中的速度大小v2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2.5 m/s　 答案 第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0=20 s到达对岸下游s0=30 m处，根据分运动的等时性与独立性有v1== m/s=1.5 m/s 第二次过河时，合速度方向垂直于河岸，则有 v2cos 53°=v1 解得v2=2.5 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)求第二次过河的时间t1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　25 s　 第一次船头垂直对岸方向航行时，根据分运动的等时性与独立性，可知河宽为d=v2t0=50 m 第二次过河的合速度v=v2sin 53°=2 m/s 则第二次过河的时间t1==25 s 答案 (3)若上游有大暴雨，导致水流速度增大到6.5 m/s，求小船到达河对岸的最小位移s及所用时间t2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　130 m　 s 答案 若上游有大暴雨，导致水流速度增大到v3=6.5 m/s，由于v2<v3，可知，当船头指向与合速度方向垂直时，航程最短，设此时船头指向与上游河岸成α，则有cos α=== 根据位移合成可知s= 解得s=130 m 此过程的合速度v'=v3sin α 其中sin α= 最短过河时间t2=，解得t2= s。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 尖子生选练 12.(2023·东营市高一期末)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A处的下游C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点距离为r。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟相对静水的速度最小值为 A.v　　　B.v　　　C.v　　　D.v √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 相对河岸速度最小且避开漩涡沿直线运动到对岸时合速度方向恰好与漩涡相切，如图所示，当冲锋舟相对静水的速度方向与合速度方 向垂直时相对静水的速度最小。sin θ=， tan =，联立解得v舟=v，故选D。 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化8　小船渡河与关联速度问题 [学习目标]　1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 一、小船渡河模型 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ (2)怎样航行小船渡河时间最短？最短时间是多少？ (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大(船头指向不变)，是否影响渡河时间？ 答案　(1)小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)不能。如图所示。 (4)不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3. 小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明。(设v船>v水) (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　(1)船头指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 例1　(2023·福建省厦门一中高一月考)“十月里来秋风凉，中央红军远征忙；星夜渡过于都河，古陂新田打胜仗。“这是在于都县长征第一渡口纪念碑上的一首诗。设于都河宽600 m，水流速度大小恒定且处处相等，红军渡河时船头垂直河岸，船在静水中的速度为2 m/s，于正对岸下游240 m处靠岸，则红军夜渡于都河的时间为　　　　，如果改变船头朝向，红军　　　　(选填“能”“不能”或“不确定”)到达正对岸。  答案　300 s　能 解析　渡河时船头垂直河岸，由运动学公式可得t== s=300 s 船于正对岸下游240 m处靠岸，由合运动与分运动的等时性，可知水流速度大小为v2== m/s=0.8 m/s， 可知v1>v2，即船在静水中的速度大于水流速度，如图所示，由运动的合成可知，改变船头朝向，红军能到达正对岸。 例2　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　(1)40 s时在正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿河流方向的位移s=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示， 则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 拓展　如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　见解析 解析　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二、关联速度模型 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　(1)不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车=l1-l2。 (2)不相等，船的速度大于车的速度。 (3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)由v=v船cos α得v船=。 例3　(2023·福建省厦门一中高一期中)质量为m的物体，在汽车的牵引下由静止开始运动，当物体上升h高度时，汽车的速度为v，细绳与水平面间的夹角为θ，则下列说法中正确的是(　　) A.此时物体的速度大小为vsin θ B.此时物体的速度大小为 C.若汽车做匀速运动，则绳子上的拉力大于物体的重力 D.若汽车做匀速运动，则绳子上的拉力等于物体的重力 答案　C 解析　将汽车的速度分解成沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度，物体上升的速度等于汽车沿绳子方向的分速度，故有v物=vcos θ，A、B错误；若汽车做匀速运动，即汽车速度v保持不变，绳子与水平面的夹角θ减小，由v物=vcos θ可知物体的速度增大，物体向上做加速运动，加速度方向向上，合力方向向上，绳子拉力大于物体重力，C正确，D错误。 例4　(2023·重庆市高一期中)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从初始位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，重力加速度为g，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　) A.物体A做加速运动 B.当轻绳与杆夹角为α时，物体A的速度为vsin α C.T小于mgsin θ D.T等于mgsin θ 答案　A 解析　当轻绳与杆夹角为α时，将物体B的速度方向沿绳方向和垂直绳方向分解，可知沿绳方向的速度为vBcos α，且vBcos α=vA，因为B匀速运动，B下降过程中α变小，cos α变大，因此物体A做加速运动，所以T大于mgsin θ。故选A。 例5　(多选)(2024·西安工业大学附中模拟)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是(　　) A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案　BD 解析　设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥=v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥=v2sin θ，而v1∥=v2∥，题图所示位置时，有cos θ=，sin θ=，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为=，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 1.分析“关联”速度的基本步骤 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v=v∥=v物cos θ v物'=v∥=v物cos θ v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β 专题强化练　[分值：100分] 1、2、4~6题每题7分，3题10分，共45分 考点一　小船渡河问题 1.(多选)(2023·福州市高一期中)下列各图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。假设船头方向为船在静水中的速度方向，则以下各图可能正确的是(　　) 答案　AB 解析　船头方向垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，故A正确；根据平行四边形定则知，若船头指向河对岸上游，合速度的方向有可能正好垂直河岸，过河的位移最小，故B正确；由于河水流动速度v指向下游，因此当船头指向河对岸时，船的合速度方向不可能垂直河对岸，故C错误；船头指向河对岸下游，合速度不可能沿图示方向，故D错误。 2.(2023·莆田市高一期末)莆田市某高中进行防溺水安全教育，同学们讨论：消防员如何以一定的速率在最短时间内救援被困于礁石上的学生。如图，A、B间距适当，河中各处水流速度相等，下列说法正确的是(　　) A.应在河岸A处沿v1方向进行救援 B.应在河岸B处沿v2方向进行救援 C.应在河岸B处沿v3方向进行救援 D.应在河岸B处沿v4方向进行救援 答案　A 解析　若救援所用时间最短，则消防员相对静水的速度应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游。故选A。 3.(10分)(2023·漳州市高一期中)在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江自上游流下，水流速度v水=6 m/s，冲锋舟在静水中的航速v船=10 m/s，战士救人的地点A离岸边最近点O的距离为100 m。 (1)(4分)若战士想通过最短的时间将人送上岸，求战士由A点至岸上的最短时间； (2)(6分)若战士想通过最短的航程将人送上岸，求战士由A点至岸上的时间。 答案　(1)10 s　(2)12.5 s 解析　(1)若战士想通过最短的时间将人送上岸，则船头应该指向正对岸，此时战士由A点至岸上的最短时间tmin== s=10 s (2)若战士想通过最短的航程将人送上岸，则合速度方向指向正对岸，则合速度 v==8 m/s 战士由A点至岸上的时间t== s=12.5 s 考点二　关联速度模型 4.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度(　　) A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 答案　B 解析　小船的速度v船=，θ为绳与水面的夹角，随着小船靠近岸边，θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，故选B。 5.(2024·漯河市许慎高中检测)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是(　　) A.若θ=30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ=60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA=vBtan θ D.vA=vBsin θ 答案　C 解析　当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，两球沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ=vBsin θ，即vA=vBtan θ，故C正确，D错误；当θ=45°时，vA=vB，故A、B错误。 6.(7分)(2023·福建师大附中高一期中)如图所示，A、B两球分别套在两无限长的光滑水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度大小为v，此时B球的速度大小为　　　。  答案　 解析　将A球的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于B沿绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度为v绳=vcos α，所以vB==。 7~10题每题8分，11题14分，共46分 7.(2023·邵阳市高一期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设河宽为d，小船在静水中的速度为vc，去程时过河的时间为t1=，回程的时间t2=，由题意知=k，解得vc=，故选B。 8.(2023·柳州市高一期中)如图是一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN=2h时被救人员向B点运动的速率是(　　) A.v0 B.2v0 C.v0 D.v0 答案　C 解析　设此时杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知sin θ==，即θ=30°，将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆的速度v2，可知v1=v0cos θ=v0，沿着同一根杆，各点的速度相同，故此时被救人员向B点运动的速率为v0。故选C。 9.(2023·潍坊市高一期末)一次防溺水应急演练活动中，在某段平直河道中央放入随水漂流的漂浮物(模拟溺水者)，巡河员发现在上游发生“溺水”，立刻驾驶小船从河岸以最短时间前往河中央施救，当小船到达河中央时恰好与“溺水者”相遇，施救后再以最短时间回到河岸。已知小船相对静水的速度为4 m/s，忽略小船加速和减速时间。该段河流的宽度为240 m，河水的流速与离岸距离的关系如图所示。则小船(　　) A.前往河中央的运动轨迹为直线 B.前往河中央的最短时间为24 s C.返回河岸时的速度大小为4 m/s D.施救后返回河岸过程的位移大小为150 m 答案　C 解析　由题意可知，小船的速度不变，水流速度随离岸的距离增大而增大，小船在水中运动时，同时参与了一个匀速直线运动，一个变速直线运动，由运动的合成规律，可知小船前往河中央的运动轨迹为曲线，A错误；小船前往河中央的最短时间为t== s=30 s，B错误；小船返回河岸时，水流速度是零，因此合速度为小船在静水中的速度，则小船速度为4 m/s，C正确；施救后返回河岸的运动过程中，小船在垂直河岸方向的分运动是匀速直线运动，位移是120 m，时间是30 s，由题图可知，当小船回到河岸时，小船沿水流方向的位移为s水=t=×30 m=45 m，可得施救后小船返回河岸过程的位移大小为s== m=15 m，D错误。 10.(2024·福州市闽侯县一中高一月考)如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器的球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则(　　) A.v2=v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=v1 答案　C 解析　如图所示，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两个方向，同时B球速度也分解成沿着杆与垂直于杆两个方向。根据矢量关系则有，对A球：v∥=v1sin θ，而对B球：v∥'=v2sin θ，由于A、B两球在同一杆上，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故C正确，A、B、D错误。 11.(14分)(2023·广州市高一期中)小船横渡一条河流，水流速度的大小为v1，船在静水中的速度大小为v2，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0=20 s到达对岸下游30 m处；第二次船头保持与河岸成θ=53°角向上游航行时，如图所示，小船恰好能经过时间t1垂直河岸到达正对岸，已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。 (1)(3分)求船在静水中的速度大小v2； (2)(5分)求第二次过河的时间t1； (3)(6分)若上游有大暴雨，导致水流速度增大到6.5 m/s，求小船到达河对岸的最小位移s及所用时间t2。 答案　(1)2.5 m/s　(2)25 s　(3)130 m　 s 解析　(1)第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0=20 s到达对岸下游s0=30 m处，根据分运动的等时性与独立性有v1== m/s=1.5 m/s 第二次过河时，合速度方向垂直于河岸，则有 v2cos 53°=v1 解得v2=2.5 m/s (2)第一次船头垂直对岸方向航行时，根据分运动的等时性与独立性，可知河宽为d=v2t0=50 m 第二次过河的合速度v=v2sin 53°=2 m/s 则第二次过河的时间t1==25 s (3)若上游有大暴雨，导致水流速度增大到v3=6.5 m/s，由于v2<v3，可知，当船头指向与合速度方向垂直时，航程最短，设此时船头指向与上游河岸成α，则有cos α=== 根据位移合成可知s= 解得s=130 m 此过程的合速度v'=v3sin α 其中sin α= 最短过河时间t2=，解得t2= s。 (9分) 12.(2023·东营市高一期末)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A处的下游C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点距离为r。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟相对静水的速度最小值为(　　) A.v B.v C.v D.v 答案　D 解析　相对河岸速度最小且避开漩涡沿直线运动到对岸时合速度方向恰好与漩涡相切，如图所示，当冲锋舟相对静水的速度方向与合速度方向垂直时相对静水的速度最小。sin θ=，tan =，联立解得v舟=v，故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$