精品解析：甘肃省兰州市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考试卷 数学 命题教师：魏婷婷 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是非零向量，“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ） A. 6人 B. 9人 C. 12人 D. 18人 5. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题．每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得3分．有错误选项得0分．） 9. 下列命题中正确的是 A. 单位向量的模都相等 B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C. 若与满足，且与同向,则 D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 10. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 11. 函数的部分图象如图所录，则（ ） A. B. 在的值域为 C. 将的图象向左平移个单位后为奇函数 D. 的单调递增区间为 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于_________． 13. ______． 14. 已知是钝角，，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 16. 已知单位向量与的夹角. （1）求与； （2）求与的夹角； （3）与垂直，求. 17. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 19. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期高一年级第一次月考试卷 数学 命题教师：魏婷婷 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，所以． 故选：B． 2. 设，是非零向量，“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A. 考点：充分必要条件、向量共线. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ） A. 6人 B. 9人 C. 12人 D. 18人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，进而可以知道中年人比青少年多多少个. 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知， 解得，故中年人比青少年多9人. 故选:B. 5. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知： . 故选：B. 6. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可． 【详解】解：某7个数的平均数为，方差为， 则这8个数的平均数为， 方差为． 故选：． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题． 7. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值. 【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. 故选：A 8. 在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 二、多项选择题（本大题共3小题．每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得3分．有错误选项得0分．） 9. 下列命题中正确的是 A. 单位向量的模都相等 B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C. 若与满足，且与同向,则 D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A正确； 向量共线包括同向和反向，故B不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C不正确； 根据相等向量的概念知，D正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题． 10. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 11. 函数的部分图象如图所录，则（ ） A. B. 在的值域为 C. 将的图象向左平移个单位后为奇函数 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式，再结合正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于，观察图象得，的最小正周期，解得， 由，得，而，则，A正确； 对于B，，由，得，，B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位后，得，是奇函数，C正确； 对于D，， 由，解得， 因此单调递增区间为，D正确． 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线，转化为两个向量共线且有一个公共点，求解参数即可. 【详解】因三点共线，故． ，， ． 故答案为：. 13. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得. 【详解】由 故答案为： 14. 已知是钝角，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可. 【详解】由是钝角，，则， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 【答案】（1）， （2）120分 （3）众数估计值为100分，平均数估计值为分 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率； （2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解； （3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质， 可得，解得. 所以及格率为. 【小问2详解】 得分在110分以下的学生所占比例为， 得分在130分以下的学生所占比例为， 所以第80百分位数位于内， 由，估计第80百分位数为120分. 【小问3详解】 由图可得，众数估计值为100分. 平均数估计值为（分）. 16. 已知单位向量与的夹角. （1）求与； （2）求与的夹角； （3）与垂直，求. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用数量积的定义和模的定义即可求得； （2）利用向量的夹角公式直接求解； （3）利用向量垂直列方程即可求得. 【小问1详解】 对于单位向量与，由，. 所以. . 【小问2详解】 设与的夹角为，则. 所以，所以. 【小问3详解】 因为与垂直，所以， 即，所以，解得：. 17. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 18. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【小问1详解】 依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 19. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】（1） （2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由， 可得，解得 故； 【小问2详解】 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $