专题06 函数整数解问题 -2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题06 函数整数解问题 【题型归纳】 题型一：分离参数法（全分参） 题型二：分离参数法（半分参） 题型三：直接限制法 【方法技巧总结】 1、必要探路法：通过代入特殊值缩小参数范围，再证明极值的恒成立性，适用于含参数的复杂函数。 2、虚设零点法：当导数根难以直接求解时，虚设零点并利用零点存在性定理确定极值范围，结合指对代换求解。 3、直接限制法：根据函数在整数点的符号限制参数范围，尤其适用于选择题快速解题。 4、数形结合：将函数变形为直线与曲线的交点问题，通过图像辅助分析。 【典型例题】 题型一：分离参数法（全分参） 【例1】（2025·高二·福建宁德·期末）若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【变式1-3】（2025·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：分离参数法（半分参） 【例2】（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 . 【变式2-3】（2025·高三·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 . 题型三：直接限制法 【例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 . 【变式3-1】（2025·高二·广东中山·阶段练习）若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·高三·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·江西·开学考试）函数，若关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·福建泉州·阶段练习）当时，不等式在上恒成立，则实数的最大整数解是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·山东·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·河南南阳·期末）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高一·河南·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．1.5 D．2.3 12．（2025·高二·重庆渝中·阶段练习）函数对任意实数都满足，且，若不等式（其中）有且只有两个整数解，则实数的取值范围为 ． 13．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 14．（2025·高一·重庆·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是 . 15．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 16．（2025·高一·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 17．（2025·高二·山东菏泽·期中）已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是 . 18．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 19．（2025·广东广州·模拟预测）已知，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 . 20．（2025·高一·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 21．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是 . 22．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）已知关于的不等式在上有唯一的整数解，则实数的取值范围为 . 23．（2025·高三·上海闵行·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数整数解问题 【题型归纳】 题型一：分离参数法（全分参） 题型二：分离参数法（半分参） 题型三：直接限制法 【方法技巧总结】 1、必要探路法：通过代入特殊值缩小参数范围，再证明极值的恒成立性，适用于含参数的复杂函数。 2、虚设零点法：当导数根难以直接求解时，虚设零点并利用零点存在性定理确定极值范围，结合指对代换求解。 3、直接限制法：根据函数在整数点的符号限制参数范围，尤其适用于选择题快速解题。 4、数形结合：将函数变形为直线与曲线的交点问题，通过图像辅助分析。 【典型例题】 题型一：分离参数法（全分参） 【例1】（2025·高二·福建宁德·期末）若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， ，由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 作出的图象为， 由，， 当时，，即， 当时，，即， 因为， ，所以， 而， 即， 则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解， 只需 即， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式1-1】（2025·高一·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解， 则必有且同时成立，即图象夹在和之间， 易知，函数的图象大致如图， 结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为， 所以，且， 解得， 故选：B 【变式1-2】（2025·高三·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数，若不等式，即， 因为，可化为，令，可得， 令，可得，所以在R上单调递增， 又由，所以存在唯一的使得， 当时，，可得，所以单调递减， 当时，，可得，所以单调递增，且， 又因为，， 所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，， 所以的递增区间为，递减区间为和， 作出图象如图所示： 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 又， ，， 由的递增区间为，所以， 所以要使有三个整数解，则， 所以关于的不等式有且仅有三个整数解， 则的取值范围为. 故选：A. 题型二：分离参数法（半分参） 【例2】（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 【变式2-1】（2025·高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故，即，解得. 故选：C. 【变式2-2】（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为. 要使不等式仅有1个整数解，使需仅有1个整数解 即不等式仅有1个整数解， 设，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 又，当时，，当时，， 设，则直线恒过点， 在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示， 由图象可知，，要使不等式有1个整数解， 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2-3】（2025·高三·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 . 【答案】 【解析】由不等式，可得化为， 令且，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也为最大值， 且当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又由直线恒过定点， 当直线位于如图所示的两条直线和之间， 其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解， 则，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型三：直接限制法 【例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，， 即函数在上单调递增 函数的图像如下图所示： 由得出， 当时，显然不成立. 但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时. 即时，唯一整数解是， 当时，，使得不等式只有唯一整数解，此时， 即时，唯一整数解是. 综上，. 故答案为： 【变式3-1】（2025·高二·广东中山·阶段练习）若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，即有且只有三个整数解， 则，且， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 由于， ， 由于为单调递增函数，， 要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是， 所以，解得. 故选：A. 【变式3-2】（四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 设，，，， 显然，，， 其中在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为， 若，时，的图象在的上方，不等式无解， 则的整数解个数为0，不合要求， 所以， 当时，需满足，解得， 当时，需满足，解得， 当的整数解个数为时， 需满足，解得， 所以， 所以， 所以， 故 故选：C 【过关测试】 1．（2025·高三·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为，设， 则直线过定点， 因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方， 又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数， ∵，∴．设直线与曲线相切于点， 则有，消去a整理得，解得或， 若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去； 故，则切线的斜率为，解得． 又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，， 当时，解得，当直线绕着点旋转时， 要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数 的取值范围是． 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 3．（2025·高三·江西·开学考试）函数，若关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对函数求导可得，令，解得，令，解得或， 所以的递增区间为，递减区间为和，，当时，，当时， 作出图象如图所示： 当时，由，可得，由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由无解，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 又， ，，， 由的递增区间为，递减区间为和，所以， 所以要使有四个整数解，整数解只能是2，3，4，5，则，即 所以关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是 故选：D 4．（2025·高三·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时,，即递增， 时，，即递减， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，， 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解， 则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则，， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 5．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而，故当时，恒成立， 不等式， 当时，或，由，得， 原不等式的整数解有无数个，不符合题意； 当时，或，由，得，无正整数解， 因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解， 3个正整数解只能是，因此，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2025·高三·福建泉州·阶段练习）当时，不等式在上恒成立，则实数的最大整数解是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】将变形，得在上恒成立， 令，则， ∵，∴， 当时，令，则，所以， 令，则，所以， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上有最小值，， 问题化归成成立，求的最大值，令，则， ∵当时，单调递减，当时，单调递增， ∴在处取得最大值， ∵， ∴， ∵，，， 综上，可得实数的最大整数为4. 故选：C. 7．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得不等式有且仅有1个整数解， 即不等式有且仅有1个大于1的整数解， 时，， 不等式可化为， 即的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解， 令，则 令， 则 则在上单调递减，又， 则在上恒成立，则在上恒成立， 则在上单调递减， 又的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解， 则这个整数解为2，则 又， 则实数的取值范围为 故选：D 8．（2025·高二·山东·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】原不等式等价于， 设，， 所以，得．当时，， 所以在上单调递增，当时，， 所以在上单调递减，当时，取极大值. 又，且时，， 因此与的图像如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件； 当时，若1，2为不等式的解，只需要满足，即，解得； 当的切线过点时，设切点为， 则切线方程为，该直线过点，， 解得， 若是原不等式的解，则，解得； 综上k的取值范围为 故选：A. 9．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为． 由，得，则不等式恰有3个整数解． 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 易知的图象恒过点， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 由图象可知， 要使不等式恰有3个整数解， 则，解得， 故选：A． 10．（多选题）（2025·高二·河南南阳·期末）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为， 所以，即. 若，不等式化为，此不等式对任意恒成立，不符合条件. 若，不等式化为，即恰有一个整数解. 记，则，当，；当，； 可得在上单调递增，在上单调递减， 并且， 因此恰有一个整数解时，实数的取值不可能是B，C，D. 故选：BCD. 11．（多选题）（2025·高一·河南·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．1.5 D．2.3 【答案】ABC 【解析】由函数，画出图象，如图所示， 又由不等式，可得， 当时，，此时不等式无解； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，则整数解为， 因为，可得； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，只需． 综上所述：实数的取值范围为． 故选：ABC． 12．（2025·高二·重庆渝中·阶段练习）函数对任意实数都满足，且，若不等式（其中）有且只有两个整数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，其中为常数. ，又， 单调递减；单调递增；且， 当时，恒成立，的大致图像如图所示 不妨设，则的图像是一条过这个定点 的一条直线，由于，所以只需要考虑的整数解即可. 由图可知，两个整数解为1和0，只需， . 故答案为： 13．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图像，如图所示， 有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 14．（2025·高一·重庆·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是 . 【答案】12 【解析】函数的函数图象如下： 因为，则， 当时，则， 若时，此时不等式无整数解， 当时，由对称性可知，不等式至少有2个整数解； 当时，则， 令，则，则，要想不等式恰有1个整数解， 则是不等式的解，不是不等式的解， 由函数图象可知，函数在上单调递减， 所以，即，即， 所以实数的最大值是12. 故答案为：12. 15．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 【答案】 【解析】先作出的大致图象，如图， 令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数 相切时符合题意.因为，当且仅当时取得等号，又， 易知其定义域内单调递减，即， 此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根， 结合的图象知必有一根小于2，显然只有符合题意， 当时，有， 则，解方程，得的另一个正根为. 又，此时五个整数根依次是， 显然根和为. 故答案为： 16．（2025·高一·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 【答案】 【解析】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 17．（2025·高二·山东菏泽·期中）已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是 . 【答案】 【解析】由不等式，化为， 令且，则， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，取得极大值，也为最大值，且当时，， 画出函数的图象，如图所示，而直线恒过定点， 当直线位于如图所示的两条直线和之间， 其中包含，不包含时，恰有三个整数解，与的图象分别交于点， 则，所以实数的取值范围为. 故答案为： 18．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，；当时，； ，，， 且时，，作出函数的图象，如图所示： 直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数， 只需 解得， 故答案为:. 19．（2025·广东广州·模拟预测）已知，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增，且，， 所以存在，使，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式有整数解，即有整数解， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，不符合题意， 当时，因为， 显然0，1是的两个整数解，符合题意， 综上可知，. 故答案为： 20．（2025·高一·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，画出函数和的图像，如图所示： 不等式恰有一个整数解，则这个整数解为， 故且，解得. 故答案为： 21．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，作出和的图象， 由图像可知没有整数解，不符合题意； 当时，作出和的图象， 因为恰有个整数解， 所以是不等式的整数解， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 22．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）已知关于的不等式在上有唯一的整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】显然不符合题意，所以只能，这样由于，所以， 令，，其定义域为， 则，令，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由，，当时， 且当时，， 如图，画出函数的大致图象， 又由函数的图象是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象， 过点的直线介于，之间时满足条件，直线过点时，，即的值为2； 该直线过点时，，则的值为， 由图知的取值范围是. 故答案为： 23．（2025·高三·上海闵行·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数的图像，如图所示， 有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$