第二章 专题强化 竖直面内的圆周运动-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（教科版2019）

DIERZHANG 第二章 专题强化　竖直面内的圆周运动 1 掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。 学习目标 2 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 二、竖直面内圆周运动轻杆(管道)模型 专题强化练 内容索引 3 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 一 4 如图所示，图甲中小球受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？ 答案　小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 答案　由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的压力情况： ①v=； 答案　当v=时，拉力或弹力为零。 ②v>； 答案　当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 ③v<。 答案　当v<时，小球不能到达最高点。 (2024·盐城市高一期末)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ 例1 答案　2 m/s 在最高点，由牛顿第二定律得 mg+F1=m 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，即F1≥0 联立得v≥ 代入数值得v≥2 m/s 所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。 (2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？ 答案　15 N 将v2=4 m/s代入 mg+F2=m 得F2=15 N (3)若轻绳能承受的最大张力为50 N，小球的速度不能超过多大？ 答案　6 m/s 由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得 F3-mg=m 将F3=50 N代入得 v3=6 m/s 即小球的速度不能超过6 m/s。 　(2023·四川成都市高一期中)某老师给同学们演示了盛水的水杯在竖直平面内做圆周运动，在整个运动过程(包括最高点时)水都不从杯口漏出，示意图如图所示，杯中水的质量m=0.1 kg，水的重心到手的距离L=70 cm，g取10 m/s2。 (1)整个装置在最高点时水不流出，求水杯在最高点 的最小速率； 例2 答案　 m/s 在最高点时，水的重力提供向心力，则有mg=m，解得v== m/s (2)若水杯在最高点的速率为v=5 m/s，求此时水对水杯的压力。 答案　 N，方向竖直向上 若水杯在最高点的速率为v=5 m/s，则对水，由N+mg=m，可得N=m-mg= N，由牛顿第三定律可知水对水杯的压力大小为 N，方向竖直向上。 返回 竖直面内圆周运动轻杆(管道)模型 二 15 1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 在最高点，弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图   动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时N=mg v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 长L=0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力(g取10 m/s2)。 (1)A在最高点的速度为1 m/s； 例3 答案　16 N，方向竖直向下 设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有 相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根 据牛顿第二定律有mg=m，代入数据解得v0== m/s。 当A在最高点的速度为v1=1 m/s时，因v1<v0，此时小球A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg-F1=m，代入数据解得F1=16 N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向竖直向下。 (2)A在最高点的速度为4 m/s。 答案　44 N，方向竖直向上 当A在最高点的速度为v2=4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg+F2=m，代入数据解得F2=44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向竖直向上。 (2023·四川内江市高一期中)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是 A.v的最小值为 B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 例4 √ 小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力， 当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最 小速度为零，故A错误； 根据公式a=可知，当v=时，小球的加速度为a=g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误； 当v=时，小球需要的向心力为F=m=2mg=F弹+mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确； 当v<时，小球需要的向心力F=m<mg，可知 小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有 mg-N=m，可得N=mg-m，则v逐渐减小的过程 中，管道对小球的弹力N逐渐增大，故D错误。 返回 专题强化练 三 25 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 答案 BC BC B B B C C B 题号 10 答案 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 5R 11. (1)2 m/s　(2)2 m/s　(3)2 m 27 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (1)10mg　(2)　(3)g 28 1.(多选)(2023·阳泉市第十一中学高一期中)图甲是在笼中表演的摩托飞车，其中某次在竖直平面内的表演可简化为图乙所示，将竖直平面看作半径为r的圆。已知摩托车和驾驶员(可简化为质点)的总质量为M，重力加速度为g，关于在竖直平面内表演的摩托车和驾驶员，下列说法正确的是 A.在最高点受到的最小弹力为Mg B.在最高点的最小速度为 C.在最低点超重，在最高点失重 D.在最低点失重，在最高点超重 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础强化练 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最高点受到的最小弹力为0，此时由重力提供向心力，故A错误； 在最高点受到弹力为0时的速度最小，Mg=M，得v=，故B正确； 在最低点有竖直向上的加速度，处于超重状态，在最高点有竖直向下的加速度，处于失重状态，故C正确，D错误。 答案 2.(多选)(2023·四川自贡市高一期中)如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是 A.若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球 的拉力为mg B.若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球 的拉力为0 C.若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的弹力为mg D.若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的弹力为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则 小球恰好到达最高点，若小球和O点间用细线相连， 在最高点时，小球重力提供向心力，线上拉力为0， 故A错误，B正确； 小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则小球恰好到达最高点，若小球和O点间用轻杆相连，在最高点时，小球速度为零，轻杆对小球的弹力大小为mg，故D错误，C正确。 答案 3.(2023·四川眉山市高一期中)如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动。球转到最高点A时，线速度的大小为，此时 A.杆受到0.5mg的拉力 B.杆受到0.5mg的压力 C.杆受到1.5mg的拉力 D.杆受到1.5mg的压力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设此时杆对小球的作用力为拉力，则有mg+T=m，解得T=-，负号说明力的方向竖直向上，即球受到的力为杆的支持力，根据牛顿第三定律可知杆受到的压力，故B正确，A、C、D错误。 答案 4.(2023·四川成都市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为v=4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据牛顿第二定律mg+T=m，可得绳的张力T=0，可知“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力提供向心力，处于完全失重状态，没有水从容器中流出，容器底受到的压力为零，故A、D错误，B正确； “水流星”通过最高点时，仅受重力，重力提供向心力，处于完全失重状态，故C错误。 答案 5.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的固定光滑圆形轨道的内侧运动，经过最高点且不脱离轨道的临界速度为v，当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是(重力加速度为g) A.9mg B.8mg C.3mg D.2mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当小球以速度v通过最高点时，有mg=m，当小球以速度3v通过最高点时，有mg+N=m，联立可得N=8mg，根据牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力大小为8mg。故选B。 答案 6.(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 A.在Q点最大 B.在Q点最小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，此时只有小环的重力分力提供小环所需向力心，可知P点必在Q点上方，如图所示 设P点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2 在P点，由牛顿第二定律得mgcos θ=m 联立解得cos θ= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿 着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力， 所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点 到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P点到Q点，小环重力沿大圆环直径的分力逐渐减小，从Q点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2(0≤θ≤π) 在该处根据牛顿第二定律得 F+mgcos θ=m(0≤θ≤π) 联立可得F=2mg-3mgcos θ 则大圆环对小环作用力的大小为 |F|=|2mg-3mgcos θ| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小， 由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。 答案 7.如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为8mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。不计空气阻力，求A、B两球落地点间的距离。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　5R 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，对A球，由牛顿第二定律得mg+8mg=m，得vA=3，同理对B球mg- 0.75mg=m，得vB=，两球离开管道后均做平抛运动，设落地时间为t，则2R=gt2，得t= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差，对A球sA=vAt，解得sA=6R，对B球sB=vBt，解得sB=R，所以A、B两球落地点间的距离为sA-sB=5R。 答案 8.(2023·乐山市峨眉第二中学校考)小明同学的质量为m(视为质点)，他在荡秋千时，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点。两根秋千绳均长为L，小明运动到A位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是 A.在B位置时，小明所受的合力为零 B.在A位置时，小明处于失重状态 C.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在B位置时，该人受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误； 在A位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该人处于超重状态，故B错误； 在A位置时，由牛顿第二定律可得2F-mg=m，可知每根秋千绳的拉力大小为F=，故C正确，D错误。 答案 9.(2023·四川绵阳市高一期末)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。则 A.当地的重力加速度大小为 B.小球的质量为 C.v2=c时，小球对杆的弹力方向向下 D.v2=3b时，小球受到的弹力大小是重力的3倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最高点，若v=0，则F=mg=a；若F=0，由题图乙知，v2=b，则有mg=m=m，解得g=，m=，故A错误，B正确； 由图像可知，当v2<b时，杆对小球的弹力方向竖直向上，当v2>b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，则当v2=c时，杆对小球的弹力方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知小球对杆的弹力方向向上，故C错误； 当v2=3b时，根据牛顿第二定律有F+mg=m，解得F=2mg，故D错误。 答案 10.(2023·四川绵阳市高一月考)利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如一根长为2L的细线中点系一质量为m小球，两线上端系于水平横杆上，A、B两点相距也为L，若小球受沿轨迹切线方向的变力F的作用下，恰能到达最高点且在竖直面内做匀速圆周运动，则小球运动到最低点时，每根线承受的张力为(重力加速度为g) A.2mg B.6mg C.5mg D.mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设小球恰好过最高点时速度为v1，有mg=m，由于小球做匀速圆周运动，设在最低点时每根线承受的张力为T，由牛顿第二定律得2cos 30°T-mg=m，解得T=mg，故选D。 答案 11.(2023·四川凉山高一期中)如图所示，长l=0.4 m的轻绳系着质量m=1 kg的小球在竖直面内做圆周运动，小球恰能通过圆周的最高点，当小球运动到最低点时因绳子拉力刚好达到最大承受力而断裂，已知重力加速度大小g=10 m/s2，绳子最大承受力F=60 N，小球做圆周运动的最低点到水平地面的高度h=5 m，不计一切阻力，求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)小球通过圆周最高点的速度大小v1； 答案　2 m/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于小球恰好能过圆周最高点， 有mg=m，得v1= 解得v1=2 m/s 答案 (2)小球在最低点的速度大小v2(结果可用根号表示)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2 m/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最低点，由题可知F=60 N 由F-mg=m 解得v2=2 m/s 答案 (3)小球落地点到圆周运动最低点的水平距离x(结果可用根号表示)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 绳子断裂后，小球将做平抛运动，在竖直方向由h=gt2 得t=1 s 在水平方向，由x=v2t，得x=2 m。 答案 12.(2022·安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为如图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 (1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； 答案　10mg 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1， 受力分析可知mg+N1-F1=m 解得N1=10mg 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； 答案　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知F2-N2-mg=m 由题意可知，当N2=0时，陀螺通过最低点时的速度 为最大值，解得v2= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处(左侧)时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。 答案　g 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处(左侧)时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为N3，陀螺所受的重力为mg。 则F3-N3=m 解得N3=4mg 由牛顿第三定律可知N3'=N3，F3'=F3 固定支架对轨道的作用力为 F= 解得F=g。 返回 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化　竖直面内的圆周运动 ［学习目标］　掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 如图所示，图甲中小球受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？ (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的压力情况： ①v=；②v>；③v<。 答案　(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)①当v=时，拉力或弹力为零。 ②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 ③当v<时，小球不能到达最高点。 例1　(2024·盐城市高一期末)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为50 N，小球的速度不能超过多大？ 答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)6 m/s 解析　(1)在最高点，由牛顿第二定律得 mg+F1=m 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，即F1≥0 联立得v≥ 代入数值得v≥2 m/s 所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。 (2)将v2=4 m/s代入 mg+F2=m 得F2=15 N (3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得 F3-mg=m 将F3=50 N代入得 v3=6 m/s 即小球的速度不能超过6 m/s。 例2　(2023·四川成都市高一期中)某老师给同学们演示了盛水的水杯在竖直平面内做圆周运动，在整个运动过程(包括最高点时)水都不从杯口漏出，示意图如图所示，杯中水的质量m=0.1 kg，水的重心到手的距离L=70 cm，g取10 m/s2。 (1)整个装置在最高点时水不流出，求水杯在最高点的最小速率； (2)若水杯在最高点的速率为v=5 m/s，求此时水对水杯的压力。 答案　(1) m/s　(2) N，方向竖直向上 解析　(1)在最高点时，水的重力提供向心力，则有mg=m，解得v== m/s (2)若水杯在最高点的速率为v=5 m/s，则对水，由N+mg=m，可得N=m-mg= N，由牛顿第三定律可知水对水杯的压力大小为 N，方向竖直向上。 二、竖直面内圆周运动轻杆(管道)模型 1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 在最高点，弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时N=mg v= 的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 例3　长L=0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力(g取10 m/s2)。 (1)A在最高点的速度为1 m/s； (2)A在最高点的速度为4 m/s。 答案　(1)16 N，方向竖直向下　(2)44 N，方向竖直向上 解析　设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg=m，代入数据解得v0== m/s。 (1)当A在最高点的速度为v1=1 m/s时，因v1<v0，此时小球A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg-F1=m，代入数据解得F1=16 N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向竖直向下。 (2)当A在最高点的速度为v2=4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg+F2=m，代入数据解得F2=44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向竖直向上。 例4　(2023·四川内江市高一期中)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　) A.v的最小值为 B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 答案　C 解析　小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a=可知，当v=时，小球的加速度为a=g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v=时，小球需要的向心力为F=m=2mg=F弹+mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v<时，小球需要的向心力F=m<mg，可知小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg-N=m，可得N=mg-m，则v逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力N逐渐增大，故D错误。 专题强化练　［分值：100分］ 1~6题每题7分，7题12分，共54分 1.(多选)(2023·阳泉市第十一中学高一期中)图甲是在笼中表演的摩托飞车，其中某次在竖直平面内的表演可简化为图乙所示，将竖直平面看作半径为r的圆。已知摩托车和驾驶员(可简化为质点)的总质量为M，重力加速度为g，关于在竖直平面内表演的摩托车和驾驶员，下列说法正确的是(　　) A.在最高点受到的最小弹力为Mg B.在最高点的最小速度为 C.在最低点超重，在最高点失重 D.在最低点失重，在最高点超重 答案　BC 解析　在最高点受到的最小弹力为0，此时由重力提供向心力，故A错误；在最高点受到弹力为0时的速度最小，Mg=M，得v=，故B正确；在最低点有竖直向上的加速度，处于超重状态，在最高点有竖直向下的加速度，处于失重状态，故C正确，D错误。 2.(多选)(2023·四川自贡市高一期中)如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是(　　) A.若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为mg B.若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0 C.若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的弹力为mg D.若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的弹力为0 答案　BC 解析　小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则小球恰好到达最高点，若小球和O点间用细线相连，在最高点时，小球重力提供向心力，线上拉力为0，故A错误，B正确；小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则小球恰好到达最高点，若小球和O点间用轻杆相连，在最高点时，小球速度为零，轻杆对小球的弹力大小为mg，故D错误，C正确。 3.(2023·四川眉山市高一期中)如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动。球转到最高点A时，线速度的大小为，此时(　　) A.杆受到0.5mg的拉力 B.杆受到0.5mg的压力 C.杆受到1.5mg的拉力 D.杆受到1.5mg的压力 答案　B 解析　设此时杆对小球的作用力为拉力，则有mg+T=m，解得T=-，负号说明力的方向竖直向上，即球受到的力为杆的支持力，根据牛顿第三定律可知杆受到的压力，故B正确，A、C、D错误。 4.(2023·四川成都市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为v=4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　根据牛顿第二定律mg+T=m，可得绳的张力T=0，可知“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力提供向心力，处于完全失重状态，没有水从容器中流出，容器底受到的压力为零，故A、D错误，B正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力提供向心力，处于完全失重状态，故C错误。 5.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的固定光滑圆形轨道的内侧运动，经过最高点且不脱离轨道的临界速度为v，当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是(重力加速度为g)(　　) A.9mg B.8mg C.3mg D.2mg 答案　B 解析　当小球以速度v通过最高点时，有mg=m，当小球以速度3v通过最高点时，有mg+N=m，联立可得N=8mg，根据牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力大小为8mg。故选B。 6.(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　) A.在Q点最大 B.在Q点最小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 答案　C 解析　方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，此时只有小环的重力分力提供小环所需向力心，可知P点必在Q点上方，如图所示 设P点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律mgR(1-cos θ)=mv2 在P点，由牛顿第二定律得mgcos θ=m 联立解得cos θ= 从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P点到Q点，小环重力沿大圆环直径的分力逐渐减小，从Q点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。 方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2(0≤θ≤π) 在该处根据牛顿第二定律得 F+mgcos θ=m(0≤θ≤π) 联立可得F=2mg-3mgcos θ 则大圆环对小环作用力的大小为 |F|=|2mg-3mgcos θ| 根据数学知识可知|F|的大小在cos θ=时最小， 由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。 7.(12分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为8mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。不计空气阻力，求A、B两球落地点间的距离。 答案　5R 解析　两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，对A球，由牛顿第二定律得mg+8mg=m，得vA=3，同理对B球mg-0.75mg=m，得vB=，两球离开管道后均做平抛运动，设落地时间为t，则2R=gt2，得t= A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差，对A球sA=vAt，解得sA=6R，对B球sB=vBt，解得sB=R，所以A、B两球落地点间的距离为sA-sB=5R。 8~10题每题7分，11题12分，共33分 8.(2023·乐山市峨眉第二中学校考)小明同学的质量为m(视为质点)，他在荡秋千时，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点。两根秋千绳均长为L，小明运动到A位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是(　　) A.在B位置时，小明所受的合力为零 B.在A位置时，小明处于失重状态 C.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D.在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 答案　C 解析　在B位置时，该人受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误；在A位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该人处于超重状态，故B错误；在A位置时，由牛顿第二定律可得2F-mg=m，可知每根秋千绳的拉力大小为F=，故C正确，D错误。 9.(2023·四川绵阳市高一期末)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。则(　　) A.当地的重力加速度大小为 B.小球的质量为 C.v2=c时，小球对杆的弹力方向向下 D.v2=3b时，小球受到的弹力大小是重力的3倍 答案　B 解析　在最高点，若v=0，则F=mg=a；若F=0，由题图乙知，v2=b，则有mg=m=m，解得g=，m=，故A错误，B正确；由图像可知，当v2<b时，杆对小球的弹力方向竖直向上，当v2>b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，则当v2=c时，杆对小球的弹力方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2=3b时，根据牛顿第二定律有F+mg=m，解得F=2mg，故D错误。 10.(2023·四川绵阳市高一月考)利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如一根长为2L的细线中点系一质量为m小球，两线上端系于水平横杆上，A、B两点相距也为L，若小球受沿轨迹切线方向的变力F的作用下，恰能到达最高点且在竖直面内做匀速圆周运动，则小球运动到最低点时，每根线承受的张力为(重力加速度为g)(　　) A.2mg B.6mg C.5mg D.mg 答案　D 解析　设小球恰好过最高点时速度为v1，有mg=m，由于小球做匀速圆周运动，设在最低点时每根线承受的张力为T，由牛顿第二定律得2cos 30°T-mg=m，解得T=mg，故选D。 11.(12分)(2023·四川凉山高一期中)如图所示，长l=0.4 m的轻绳系着质量m=1 kg的小球在竖直面内做圆周运动，小球恰能通过圆周的最高点，当小球运动到最低点时因绳子拉力刚好达到最大承受力而断裂，已知重力加速度大小g=10 m/s2，绳子最大承受力F=60 N，小球做圆周运动的最低点到水平地面的高度h=5 m，不计一切阻力，求： (1)(4分)小球通过圆周最高点的速度大小v1； (2)(4分)小球在最低点的速度大小v2(结果可用根号表示)； (3)(4分)小球落地点到圆周运动最低点的水平距离x(结果可用根号表示)。 答案　(1)2 m/s　(2)2 m/s　(3)2 m 解析　(1)由于小球恰好能过圆周最高点， 有mg=m，得v1= 解得v1=2 m/s (2)在最低点，由题可知F=60 N 由F-mg=m 解得v2=2 m/s (3)绳子断裂后，小球将做平抛运动，在竖直方向由h=gt2 得t=1 s 在水平方向，由x=v2t，得x=2 m。 12.(13分)(2022·安吉县高级中学高一开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为如图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)(3分)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小； (2)(5分)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小； (3)(5分)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处(左侧)时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小。 答案　(1)10mg　(2)　(3)g 解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1， 受力分析可知mg+N1-F1=m 解得N1=10mg (2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知F2-N2-mg=m 由题意可知，当N2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2= (3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处(左侧)时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为N3，陀螺所受的重力为mg。 则F3-N3=m 解得N3=4mg 由牛顿第三定律可知N3'=N3，F3'=F3 固定支架对轨道的作用力为 F= 解得F=g。 学科网（北京）股份有限公司 $$