第二章 4 圆周运动的实例分析-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（教科版2019）

DIERZHANG 第二章 4　圆周运动的实例分析 1 1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥、旋转秋千的运动及受力，会寻找实际问题中向心力的来源(重难点)。 2.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。 学习目标 2 一、汽车通过拱形桥 二、“旋转秋千” 三、火车转弯 课时对点练 四、离心运动 内容索引 3 汽车通过拱形桥 一 4 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析     桥或路面对汽车的支持力 =m，N=G-m =m，N=G+m 汽车对桥或路面的压力 N'=N=G-m<G N'=N=G+m>G G-N N-G 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 处于超重 还是失重 状态 ______ ______ 讨论 v增大，N' ；当v增大到时，N'=0 v增大，N'_____ 失重 超重 减小 增大 　(2023·四川绵阳市高一期中)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径R1=20 m，最高点为A点；凹弧的半径R2=50 m，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车的特技演员驶过桥面，设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg，行驶过程中可将车和演员视为质点，取g=10 m/s2，忽略空气阻力。试求： 例1 (1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小； 答案　750 N 摩托车通过凸弧最高点A时，由牛顿第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N (2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小。 答案　1 800 N 摩托车通过凹弧最低点B时，由牛顿第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N 由牛顿第三定律可知，车对桥面的压力大小等于桥面对车的支持力大小，为1 800 N。 返回 “旋转秋千” 二 11 “旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型。如图所示，在一根长为l的细线下端系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。 (1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供的？ 答案　细线的拉力和重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。 (2)“旋转秋千”细线与中心轴的夹角α与什么因素有关(设小球的质量为m，角速度为ω，线长为l)？ 答案　如图所示，设匀速圆周运动的半径为r F合=mgtan α，r=l·sin α 由牛顿第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α 则cos α= 由此可以看出，细线与中心轴的夹角与“旋转秋千”的角速度和线长有关，而与小球的质量无关。 　(多选)(2023·四川绵阳市高一期中)长度L=0.5 m的细线，拴一质量m=2 kg的小球(不计大小)，另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α= 37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是 A.细线的拉力大小为16 N B.小球运动的角速度为5 rad/s C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s D.小球的向心力大小为15 N 例2 √ √ 细线的拉力大小为F==25 N，A错误； 根据牛顿第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正确； 小球运动的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s，C错误； 向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N，D正确。 　(2023·四川自贡市高一期中)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则下列说法正确的是 A.A球的角速度大于B球的角速度 B.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力 C.A球运动的周期小于B球运动的周期 D.A球的线速度大于B球的线速度 例3 √ 以小球为研究对象，对小球受力分析，由牛顿第二定律 有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半径较大，则A 的角速度较小，根据周期T=，可知A的周期较大，故A、C错误； 小球受到的支持力N=，由于两球的质量m与角度θ相同，可知筒壁对A、B两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对筒壁的压力相等，故B错误； 根据牛顿第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半径较大，则A球的线速度大于B球的线速度，故D正确。 返回 火车转弯 三 19 火车轨道和车轮轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示， (1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？ 答案　如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。 (2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？ 答案　如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和设计的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供。 1.铁路弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=___________，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。 梳理与总结 2.若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度。 (1)当v=v0时，轮缘 侧压力。 (2)当v>v0时，轮缘受到 的挤压力， 易损坏。 (3)当v<v0时，轮缘受到 的挤压力， 易损坏。 不受 外轨向内 外轨 内轨向外 内轨 1.汽车在水平弯道上转弯时，由什么力提供向心力？在保证安全行驶的情况下，最大速度是多少？ 讨论交流 答案　汽车在水平弯道转弯时，由静摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。 2.高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。 答案　路面有一定的倾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，减小车辆与路面间的摩擦力，避免转弯速度较快时发生侧滑。 　如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法不正确的是 A.该弯道的半径r= B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D.当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an=gtan θ 例4 √ 依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，有mgtan θ=man=m 解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为 an=gtan θ，r= 即v= 显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确； 当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。 返回 离心运动 四 27 1.定义：做圆周运动的物体沿圆周运动的 方向飞出或 圆心而去的运动。 2.物体做离心运动的原因 合外力提供的向心力 或 。 切线 远离 消失 不足 3.离心运动、近心运动的判断 物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定(如图所示)。 (1)当F合=0时，物体沿 方向做 ； (2)当0<F合<mω2r时，“提供”不足，物体做 。 (3)当F合=mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做 ； (4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做 。 切线 匀速直线运动 离心运动 匀速圆周运动 近心运动 4.离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的 ；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过 。 脱水筒 限定的值 　 (2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是 A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ 例5 √ 当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会做离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。 返回 课时对点练 五 32 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AD D A B B A AC BC 题号 9 10 12 答案 D D BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s 34 考点一　汽车通过拱形桥问题 1.(多选)(2023·成都市高一期中)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时 A.汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力 B.汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力 C.汽车的向心加速度方向竖直向下 D.汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础对点练 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 汽车通过凹形桥的最低点时，汽车的向心加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根据牛顿第三定律可知，汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力，汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故选A、D。 答案 2.(2023·遂宁市第二中学高一期中)如图，一汽车过拱形桥，汽车质量为2×103 kg，拱形桥的半径为100 m，当汽车行驶到拱形桥的最高点时速度为10 m/s，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为(重力加速度g取10 m/s2) A.10% B.110% C.100% D.90% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在最高点对汽车受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为×100%=90%，故A、B、C错误，D正确。 √ 答案 考点二　圆锥摆问题 3.(2023·四川自贡市高一期末)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在悬点A处，另一端与一小球相连。现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动。测得A至小球球心的距离为L，A、O之间的距离为H。已知当地重力加速度为g，则小球的运动周期T为 A.2π B.2π C.2π D.2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故选A。 答案 4.(2024·内江市高一期中)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示。当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为(重力加速度为g) A.R= B.R= C.R= D.R= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图： 根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得： mgtan θ=m，化简得：R=。故选B。 答案 考点三　交通工具转弯问题 5.(2023·四川绵阳市高一期中)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是 A.仅减小弯道半径 B.仅增大弯道半径 C.仅适当减小内外轨道的高度差 D.仅适当减小内外轨道平面的倾角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内外轨均不受挤压时，有mgtan θ =m，解得v=，故可知当速度增大时，应增大弯道半径，A错误，B正确； 根据前面分析，当速度增大时，应增大θ可避免外轨受损；而当减小内外轨道的高度差时，θ减小，减小内外轨道平面的倾角时，θ也减小，故不能达到避免转弯时外轨受损效果，C、D错误。 答案 6.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为 A.50 m B.100 m C.150 m D.200 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，解得最小转弯半径为R==50 m，故选A。 答案 考点四　离心运动 7.(多选)(2023·内江市高一月考)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是 A.脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的 B.水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大 C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好 D.靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 脱水过程中，衣物随洗衣机一起转动，开始时做离心运 动随后紧贴筒壁，A正确； 水滴依附在衣服上的附着力是一定的，当水滴做圆周运 动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误； 由F=mω2R可知，加快脱水筒转动角速度，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，C正确； 由F=mω2R可知，靠近中心的衣物与四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圆周运动的半径较小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脱水效果差，D错误。 答案 8.(多选)(2023·江西高一期中)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 A.汽车的速率为 B.汽车的速率为 C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为 D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能力综合练 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由受力分析可知汽车在B点时有mg-mg=， 解得汽车的速率v=，A错误，B正确； 汽车在A点时，有N-mg=，解得N=，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为，C正确，D错误。 答案 9.(2023·山东青岛市高一期中)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度大于，g为重力加速度，则 A.这时内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B.这时铁轨对火车的支持力等于 C.这时铁轨对火车的支持力小于 D.这时铁轨对火车的支持力大于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好提 供需要的向心力时，有mgtan θ=m，解得此时 火车的速度正好是v0=，当火车转弯的速度大于，需要的向心力增大，而重力与支持力的合力不变，所以合力小于需要的向心力，外轨就要对火车产生一个向里的力，所以此时外轨对外侧车轮轮缘有挤压，选项A错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当内外轨没有挤压力时，火车受重力和轨道的支 持力，其中N=，当外轨对火车有沿轨道平面 向下的作用力时，可以把这个力分解为水平和竖直向下两个分力，相当于重力变大，所以支持力变大，即大于，选项D正确，B、C错误。 答案 10.(2023·四川成都市高一期末)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.A的线速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为两座椅A、B均绕着圆盘轴做圆周运动，故角速度ωA=ωB， 假设圆盘转动的角速度很大，则A、B均会被甩起来，由于绳 长相等，可知A做圆周运动的半径小于B的半径，由v=ωr可知 A的线速度比B的小，故A错误； 又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B错误； 由F向=ma向，可知<，对座椅进行受力分析，如图所示，拉力和重力的合力提供A、B做圆周运动的向心力，则有F向=mgtan θ，可知悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B小，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由T=，结合牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，故D正确。 答案 11.(2023·成都市高一期中)在用高级沥青铺设的高速公路上，为了行驶安全，汽车的实际速度总是会根据路况来适当调整。已知汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，试分析： (1)若某段水平弯道的半径为120 m，且弯道路面是水平的，求汽车过弯不发生侧滑的最大速率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　20 m/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若过弯道不发生侧滑，则路面对汽车的最大静摩擦力提供向心力，根据题意有mg=m 解得v1=20 m/s 答案 (2)为减少事故发生，某水平弯道的路面设计为倾斜，其弯道半径为120 m，弯道路面的倾斜角度为37°，要使汽车通过此水平倾斜弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过该弯道时的规定速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　30 m/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若过弯道不产生侧向摩擦力，则支持力沿水平方向的分力提供向心力 水平方向：Nsin 37°=m 竖直方向：Ncos 37°=mg 联立解得v2=30 m/s 答案 (3)现有一段在竖直面内的圆拱形路面，其半径为120 m，要使汽车在通过最高点时不飞离路面，求汽车通过圆拱形路面最高点时的最大速率。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　20 m/s 要求汽车在最高点不飞离路面，则速度最大时应是重力恰好提供向心力，即mg=m 解得v3=20 m/s。 答案 12.(多选)(2023·四川遂宁市高一期中)如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在Q上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向成30°角(图中P位置)。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动。细线与竖直方向成60°角(图中P'位置)。两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断正确的是 A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变 B.小球运动的角速度变大 C.细线所受的拉力之比为2∶1 D.小球向心力大小之比为3∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 尖子生选练 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T， 细线的长度为L，小球做匀速圆周运动时，由重力和 细线的拉力的合力提供向心力，则有T=，向心力 F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则细线拉力T增大，角速度ω增大。对Q，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力，细线拉力T增大，则静摩擦力变大，故A错误，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 开始时细线的拉力T1==，增大为60° 后的拉力T2==2mg，所以=，故C错误； 开始时小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大为60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正确。 返回 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 4　圆周运动的实例分析 ［学习目标］　1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥、旋转秋千的运动及受力，会寻找实际问题中向心力的来源(重难点)。2.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。 一、汽车通过拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 桥或路面 对汽车的 支持力 G-N=m，N=G-m N-G=m，N=G+m 汽车对桥 或路面的 压力 N'=N=G-m<G N'=N=G+m>G 处于超重 还是失重 状态 失重 超重 讨论 v增大，N'减小；当v增大到时，N'=0 v增大，N'增大 例1　(2023·四川绵阳市高一期中)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径R1=20 m，最高点为A点；凹弧的半径R2=50 m，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车的特技演员驶过桥面，设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg，行驶过程中可将车和演员视为质点，取g=10 m/s2，忽略空气阻力。试求： (1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小； (2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小。 答案　(1)750 N　(2)1 800 N 解析　(1)摩托车通过凸弧最高点A时，由牛顿第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N (2)摩托车通过凹弧最低点B时，由牛顿第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N 由牛顿第三定律可知，车对桥面的压力大小等于桥面对车的支持力大小，为1 800 N。 二、“旋转秋千” “旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型。如图所示，在一根长为l的细线下端系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。 (1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供的？ (2)“旋转秋千”细线与中心轴的夹角α与什么因素有关(设小球的质量为m，角速度为ω，线长为l)？ 答案　(1)细线的拉力和重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。 (2)如图所示，设匀速圆周运动的半径为r F合=mgtan α，r=l·sin α 由牛顿第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α 则cos α= 由此可以看出，细线与中心轴的夹角与“旋转秋千”的角速度和线长有关，而与小球的质量无关。 例2　(多选)(2023·四川绵阳市高一期中)长度L=0.5 m的细线，拴一质量m=2 kg的小球(不计大小)，另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α=37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　) A.细线的拉力大小为16 N B.小球运动的角速度为5 rad/s C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s D.小球的向心力大小为15 N 答案　BD 解析　细线的拉力大小为F==25 N，A错误；根据牛顿第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正确；小球运动的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s，C错误；向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N，D正确。 例3　(2023·四川自贡市高一期中)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则下列说法正确的是(　　) A.A球的角速度大于B球的角速度 B.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力 C.A球运动的周期小于B球运动的周期 D.A球的线速度大于B球的线速度 答案　D 解析　以小球为研究对象，对小球受力分析，由牛顿第二定律有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半径较大，则A的角速度较小，根据周期T=，可知A的周期较大，故A、C错误；小球受到的支持力N=，由于两球的质量m与角度θ相同，可知筒壁对A、B两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对筒壁的压力相等，故B错误；根据牛顿第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半径较大，则A球的线速度大于B球的线速度，故D正确。 三、火车转弯 火车轨道和车轮轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示， (1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？ (2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？ 答案　(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。 (2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和设计的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供。 1.铁路弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。 2.若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度。 (1)当v=v0时，轮缘不受侧压力。 (2)当v>v0时，轮缘受到外轨向内的挤压力，外轨易损坏。 (3)当v<v0时，轮缘受到内轨向外的挤压力，内轨易损坏。 1.汽车在水平弯道上转弯时，由什么力提供向心力？在保证安全行驶的情况下，最大速度是多少？ 答案　汽车在水平弯道转弯时，由静摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。 2.高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。 答案　路面有一定的倾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，减小车辆与路面间的摩擦力，避免转弯速度较快时发生侧滑。 例4　如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法不正确的是(　　) A.该弯道的半径r= B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D.当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an=gtan θ 答案　C 解析　依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力， 有mgtan θ=man=m 解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为 an=gtan θ，r= 即v= 显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。 四、离心运动 1.定义：做圆周运动的物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。 2.物体做离心运动的原因 合外力提供的向心力消失或不足。 3.离心运动、近心运动的判断 物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定(如图所示)。 (1)当F合=0时，物体沿切线方向做匀速直线运动； (2)当0<F合<mω2r时，“提供”不足，物体做离心运动。 (3)当F合=mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动； (4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动。 4.离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过限定的值。 例5　(2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是(　　) A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ 答案　B 解析　当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会做离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。 课时对点练　［分值：100分］ 1~7题每题7分，共49分 考点一　汽车通过拱形桥问题 1.(多选)(2023·成都市高一期中)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　) A.汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力 B.汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力 C.汽车的向心加速度方向竖直向下 D.汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大 答案　AD 解析　汽车通过凹形桥的最低点时，汽车的向心加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根据牛顿第三定律可知，汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力，汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故选A、D。 2.(2023·遂宁市第二中学高一期中)如图，一汽车过拱形桥，汽车质量为2×103 kg，拱形桥的半径为100 m，当汽车行驶到拱形桥的最高点时速度为10 m/s，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A.10% B.110% C.100% D.90% 答案　D 解析　在最高点对汽车受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为×100%=90%，故A、B、C错误，D正确。 考点二　圆锥摆问题 3.(2023·四川自贡市高一期末)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在悬点A处，另一端与一小球相连。现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动。测得A至小球球心的距离为L，A、O之间的距离为H。已知当地重力加速度为g，则小球的运动周期T为(　　) A.2π B.2π C.2π D.2π 答案　A 解析　设轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故选A。 4.(2024·内江市高一期中)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示。当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为(重力加速度为g)(　　) A.R= B.R= C.R= D.R= 答案　B 解析　鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图： 根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得： mgtan θ=m，化简得：R=。故选B。 考点三　交通工具转弯问题 5.(2023·四川绵阳市高一期中)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　) A.仅减小弯道半径 B.仅增大弯道半径 C.仅适当减小内外轨道的高度差 D.仅适当减小内外轨道平面的倾角 答案　B 解析　设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内外轨均不受挤压时，有mgtan θ=m，解得v=，故可知当速度增大时，应增大弯道半径，A错误，B正确；根据前面分析，当速度增大时，应增大θ可避免外轨受损；而当减小内外轨道的高度差时，θ减小，减小内外轨道平面的倾角时，θ也减小，故不能达到避免转弯时外轨受损效果，C、D错误。 6.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　) A.50 m B.100 m C.150 m D.200 m 答案　A 解析　汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，解得最小转弯半径为R==50 m，故选A。 考点四　离心运动 7.(多选)(2023·内江市高一月考)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是(　　) A.脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的 B.水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大 C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好 D.靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好 答案　AC 解析　脱水过程中，衣物随洗衣机一起转动，开始时做离心运动随后紧贴筒壁，A正确；水滴依附在衣服上的附着力是一定的，当水滴做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误；由F=mω2R可知，加快脱水筒转动角速度，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，C正确；由F=mω2R可知，靠近中心的衣物与四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圆周运动的半径较小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脱水效果差，D错误。 8~10题每题9分，11题13分，共40分 8.(多选)(2023·江西高一期中)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A.汽车的速率为 B.汽车的速率为 C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为 D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为 答案　BC 解析　由受力分析可知汽车在B点时有mg-mg=，解得汽车的速率v=，A错误，B正确；汽车在A点时，有N-mg=，解得N=，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为，C正确，D错误。 9.(2023·山东青岛市高一期中)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度大于，g为重力加速度，则(　　) A.这时内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B.这时铁轨对火车的支持力等于 C.这时铁轨对火车的支持力小于 D.这时铁轨对火车的支持力大于 答案　D 解析　火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好提供需要的向心力时，有mgtan θ=m，解得此时火车的速度正好是v0=，当火车转弯的速度大于，需要的向心力增大，而重力与支持力的合力不变，所以合力小于需要的向心力，外轨就要对火车产生一个向里的力，所以此时外轨对外侧车轮轮缘有挤压，选项A错误；当内外轨没有挤压力时，火车受重力和轨道的支持力，其中N=，当外轨对火车有沿轨道平面向下的作用力时，可以把这个力分解为水平和竖直向下两个分力，相当于重力变大，所以支持力变大，即大于，选项D正确，B、C错误。 10.(2023·四川成都市高一期末)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　) A.A的线速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 答案　D 解析　因为两座椅A、B均绕着圆盘轴做圆周运动，故角速度ωA=ωB，假设圆盘转动的角速度很大，则A、B均会被甩起来，由于绳长相等，可知A做圆周运动的半径小于B的半径，由v=ωr可知A的线速度比B的小，故A错误；又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B错误；由F向=ma向，可知<，对座椅进行受力分析，如图所示，拉力和重力的合力提供A、B做圆周运动的向心力，则有F向=mgtan θ，可知悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B小，故C错误；由T=，结合牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，故D正确。 11.(13分)(2023·成都市高一期中)在用高级沥青铺设的高速公路上，为了行驶安全，汽车的实际速度总是会根据路况来适当调整。已知汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，试分析： (1)(3分)若某段水平弯道的半径为120 m，且弯道路面是水平的，求汽车过弯不发生侧滑的最大速率； (2)(5分)为减少事故发生，某水平弯道的路面设计为倾斜，其弯道半径为120 m，弯道路面的倾斜角度为37°，要使汽车通过此水平倾斜弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过该弯道时的规定速度大小； (3)(5分)现有一段在竖直面内的圆拱形路面，其半径为120 m，要使汽车在通过最高点时不飞离路面，求汽车通过圆拱形路面最高点时的最大速率。 答案　(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s 解析　(1)若过弯道不发生侧滑，则路面对汽车的最大静摩擦力提供向心力，根据题意有mg=m 解得v1=20 m/s (2)若过弯道不产生侧向摩擦力，则支持力沿水平方向的分力提供向心力 水平方向：Nsin 37°=m 竖直方向：Ncos 37°=mg 联立解得v2=30 m/s (3)要求汽车在最高点不飞离路面，则速度最大时应是重力恰好提供向心力，即mg=m 解得v3=20 m/s。 　(11分) 12.(多选)(2023·四川遂宁市高一期中)如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在Q上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向成30°角(图中P位置)。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动。细线与竖直方向成60°角(图中P'位置)。两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断正确的是(　　) A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变 B.小球运动的角速度变大 C.细线所受的拉力之比为2∶1 D.小球向心力大小之比为3∶1 答案　BD 解析　设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L，小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有T=，向心力F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则细线拉力T增大，角速度ω增大。对Q，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力，细线拉力T增大，则静摩擦力变大，故A错误，B正确；开始时细线的拉力T1==，增大为60°后的拉力T2==2mg，所以=，故C错误；开始时小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大为60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$