精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2024—2025学年八年级上学期11月月考 数学试题

八年级数学学科阶段性练习与诊断 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题不成立的是(　　) A. 如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0 B. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 C. 如果两个数相等，那么它们的平方相等 D. 如果|a|＝|b|，那么a＝b 6. 若，则a的值为（ ） A. 9 B. C. 5 D. 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，是的角平分线，且，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：________． 10. 如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是______（填序号）． 11. 计算：________． 12. 已知是的整数部分，则的平方根是______． 13. 如图，已知点P是射线上的一动点，若，当______时，为等腰三角形． 14. 如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，点D是边上的点，且点D在线段的垂直平分线上，，．求证：是等边三角形． 18. 小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 19. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 20. 图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中画一个，使它与全等； （2）在图②中画一个，使它与全等； （3）在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 21. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 22. 数学活动： 剪一剪：把一张长方形的纸片（图1）按图中的虚线对折，并剪去（图2）的阴影部分． （1）猜一猜：剪裁后得到展开图是___________三角形； （2）在（1）的结论下，如果这个三角形有一个角是，求出它的另外两个角的度数； （3）在（1）结论下得到展开图3，在中，过点D作，，请判断和的大小关系，并说明理由． 23. （1）【自主学习】填空： 如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得　　，其理由根据是　　； （2）【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长． 24. 如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； （2）①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； （3）在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科阶段性练习与诊断 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：B． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3. 如图，，，添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意； B、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意； C、若添加，无法证明，此选项错误，但符合题意； D、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在等边三角形中，于点D，由等边三角形的性质得到，由得到是等腰三角形，利用等边对等角即可得到答案． 【详解】解：在等边三角形中，于点D， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一和等边对等角是解题的关键． 5. 下列命题的逆命题不成立的是(　　) A. 如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0 B. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 C. 如果两个数相等，那么它们的平方相等 D. 如果|a|＝|b|，那么a＝b 【答案】C 【解析】 【分析】首先理解逆命题的含义：一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据原命题写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】A选项：逆命题是如果两个数的和是0，那么这两个数互为相反数，本选项正确； B选项：逆命题是如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，本选项正确； C选项：逆命题是如果两个数的平方相等，这两个数相等，我们可以举个例子说明，，但 ，正确的是这两个数也相等或互为相反数，本选项错误； D选项：逆命题是如果a=b,那么|a|＝|b|，本选项正确； 故选C. 【点睛】本题考查命题与逆命题的意义，关建是要写出逆命题后再判断命题真假, 6. 若，则a的值为（ ） A. 9 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图描述语言是解题关键． 利用三角形的内角和定理求出，结合作图可知，为的角平分线，根据即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图可知，为的角平分线， ． 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，是的角平分线，且，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，即可解答． 【详解】∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是______（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以， 故答案为：①②． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12. 已知是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根的区别是解题关键． 由题意求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解：，是的整数部分， ， ， 的平方根是， 的平方根是． 故答案为：． 13. 如图，已知点P是射线上的一动点，若，当______时，为等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的度数． 【详解】解：分三种情况： ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， 综上所述，当为或或时，为等腰三角形， 故答案为：或或． 14. 如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先利用立方根、算术平方根的定义和去绝对值的方法化简，再加减即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，与平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键． 17. 如图，点D是边上的点，且点D在线段的垂直平分线上，，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：在中， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解决问题的关键． 先求出，再根据点在线段的垂直平分线上得，然后根据等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】略 18. 小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；设一次项系数为，由多项式乘以多项式得，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：设一次项系数为， 正确答案是不含三次项， ， ， 故原题中被遮住的一次项系数为． 19. 如图，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴ （2） ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）由全等三角形性质可得，在根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中画一个，使它与全等； （2）在图②中画一个，使它与全等； （3）在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 【答案】（1） 如图①所示 （2） 如图②所示 （3） 如图③所示 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的分类，等腰三角形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （2）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （3）根据是等腰三角形且为钝角三角形，且结合网格特征，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 22. 数学活动： 剪一剪：把一张长方形的纸片（图1）按图中的虚线对折，并剪去（图2）的阴影部分． （1）猜一猜：剪裁后得到展开图是___________三角形； （2）在（1）的结论下，如果这个三角形有一个角是，求出它的另外两个角的度数； （3）在（1）结论下得到展开图3，在中，过点D作，，请判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）等腰 （2），或， （3） 解：，理由如下：由折叠可知，， 是的角平分线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质． （1）由折叠的性质可知，进而可判断三角形的形状； （2）分两种情况：当的角是顶角，当的角是底角，分别进行讨论求解即可； （3）由折叠可知，，可知是的角平分线，进而可得，利用即可证明，进而可得结论． 熟练掌握等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠可知， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； 【小问2详解】 当的角是顶角，则两个底角是：； 此时另两个角（即两个底角）是：，； 当的角是底角，则另一底角也是， 所以顶角是：， 此时另两个角（即一个顶角一个顶角）是，； 综上所述，，或，． 【小问3详解】 略 23. （1）【自主学习】填空： 如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得　　，其理由根据是　　； （2）【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长． 【答案】（1），SAS （2） ， 证明：在上截取， 平分， ， 在和中， ， ， ，AD=DE， ， ， ， 即， ， ， ， ． （3）5 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得出，根据可证明； （2）先截取，连接，根据判定，得出，，，进而得出结论； （3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可求出答案． 【小问1详解】 解：点是的平分线上一点， ， 在和中， ， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上取一点，使， 在中，， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导． 24. 如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； （2）①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； （3）在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2）①；②， （3）或2 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，注意分类讨论． （1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可表示出； （2）①根据题意分三种情况：点P在上运动和点P在上运动，以及点在上，然后根据三角形面积公式求解即可； ②首先画出图形，然后根据题意得到，，然后根据题意列方程求出，然后根据三角形面积求出的面积为； （3）根据题意分三种情况讨论：点P在上时，点P在上和点P在上，经分析排除点P在上和点P在上，然后列方程求解． 【小问1详解】 解：∵点以的速度从点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： 此时， ∴ 综上所述，； ②如图所示，过点P作交于点E，则， ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∵， ∴， 可得四边形是长方形， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离， ∴点P到的距离点P到的距离，点P到的距离点P到的距离， ∴不符合题意； 当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离 根据题意得，或 解得或； 当点P在上时，即， ∵，故点P到和的距离均小于点P到的距离为长， ∴不符合题意； 综上：点P到长方形的相邻两边的距离相等时，或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $