数学（上海卷01）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

2025年高考押题预测卷 数学（上海卷01）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】直接进行并集运算即可求解. 【解析】由，所以. 故答案为：. 2．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 【答案】 【分析】求得直线斜率，进而可求得倾斜角. 【解析】设直线的倾斜角为， 由，可得，所以. 故答案为：. 3．已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【解析】若，且， 则， 则. 故答案为： 4．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案. 【解析】当时，则，则， 又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，. 故答案为：. 5．已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 【答案】 【分析】将代入方程计算即可求解出的值. 【解析】因为是的一个虚根，所以， 化简可得，所以，解得， 故答案为：. 6．当时，函数的最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解析】由， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故答案为：. 7．已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则 . 【答案】4 【分析】直接由数量积的定义计算即可. 【解析】依题意得，，于是. 故答案为： 8．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】令，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含项的系数. 【解析】因为的展开式中各项系数的和为， 所以令，得，解得， 所以， 因为的二项展开通项公式为，， 则展开式中含的项为， 故该展开式中的系数为， 故答案为：. 9．在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则 【答案】 【分析】根据面积公式得到,根据余弦定理得到,对等式进行整理,即可得到的值 【解析】由三角形面积公式可得, 由余弦定理可得 , 又,,,,即 故答案为 【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式 10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率. 【解析】因为△ABF2为等边三角形，可知， A为双曲线上一点，， B为双曲线上一点，则 ，即， ∴ 由，则，已知， 在△F1AF2中应用余弦定理得：， 得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝ 故答案为： 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于 或的方程，从而得到离心率的值. 11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 【答案】 【分析】由题设可得球的半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长. 【解析】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 12．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 . 【答案】40 【分析】由，可利用迭代法分析前面有限项，可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，则取，计算出后，再计算及即可得解. 【解析】由，即， 因为，所以，， 则都不是的倍数，是的倍数， 所以不是的倍数，，不是的倍数， 不是的倍数， 是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】在该区间严格增,选出答案. 【解析】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况， 比如在R上单调递增，且， 故是函数在该区间严格增的充分不必要条件. 故选：A 14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【解析】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 15．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（    ） A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2 C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2 【答案】D 【分析】对于A：利用焦半径公式求出,直接判断； 对于B：由求出,直接求出，即可判断; 对于C：设,由O、P、Q三点共线求出，计算出,即可判断; 对于D：直接求出,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值. 【解析】抛物线的准线为,焦点F(1,0). 对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以,故A错误； 对于B：若,则,所以.故B错误; 对于C：设,由O、P、Q三点共线，可得，所以,,所以,所以FP与FQ不垂直,故C错误; 对于D：,当且仅当,即时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2.故D正确. 故选：D. 16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点. 在正方体中，平面，平面，， 又，，平面，即，， 同理可证，，则，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，. 对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确； 对于命题②，，则平面的一个法向量为， ，令，解得， 所以，存在点使得平面，命题②正确； 对于命题③，，令， 整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再证平面，最后证明平面，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，      则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， ， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以， 所以平面与平面所成二面角的大小为. 18．已知函数. (1)求的严格减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【解析】（1）. 由，解得， 所以函数的严格减区间为； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. 19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表． 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中， (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据列联表计算出，再与临界值进行比较，即可得出结论； （2）根据题意分析可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，进而求得X的数学期望. 【解析】（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关， 则， 故不能认为零假设不成立， 所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关. （2）由题意，所有可能的取值分别为，，，， ， ， ， ， 所以X的分布列为： 1 2 3 4 所以. 20．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程. （2）根据条件，向量化，垂直的两个向量数量积为，即可解出值. （3）因为过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧），表示出面积，根据，，总成等比数列列出方程，即可求出. 【解析】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为， 所以有，，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）因为为椭圆的右焦点，所以， 过且斜率为的直线与椭圆交于，两点， 所以设直线方程为，，， 则，则， ，，， ，， 因为满足，所以， 即， 即， 则有， 整理得， 解得（舍），. （3）   由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 【点睛】第三问关键是，，要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准确性. 21．若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【解析】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 7 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（上海卷01）·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5． 6．3 7．4 8． 9． 10． 11． 12．40 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A C D D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. （6分） （2）因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，      则， （8分） 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， （9分） ， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以， 所以平面与平面所成二面角的大小为. （14分） 18．（1）. 由，解得， 所以函数的严格减区间为； （6分） （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， （8分） 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. （14分） 19．（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关， 则， 故不能认为零假设不成立， 所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关. （6分） （2）由题意，所有可能的取值分别为，，，， ， ， ， ， （10分） 所以X的分布列为： 1 2 3 4 所以. （14分） 20．（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为， 所以有，，则，所以， 所以椭圆的方程为. （4分） （2）因为为椭圆的右焦点，所以， 过且斜率为的直线与椭圆交于，两点， 所以设直线方程为，，， 则，则， ，，， ，， 因为满足，所以， 即， 即， 则有， 整理得， 解得（舍），. （10分） （3）   由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. （18分） 21．（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （4分） （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （10分） （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. （18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考押题预测卷 高三数学（上海卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 3．已知，若，则 . 4．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ． 5．已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 6．当时，函数的最大值为 ． 7．已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则 . 8．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 . 9．在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则 10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 12．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 15．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（    ） A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2 C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2 16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 18．已知函数. (1)求的严格减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表． 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中， (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望． 20．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学（上海卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）． 3．已知，若，则 . 4．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ． 5．已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 6．当时，函数的最大值为 ． 7．已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则 . 8．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 . 9．在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则 10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 12．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 15．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（    ） A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2 C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2 16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 18．已知函数. (1)求的严格减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表． 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中， (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望． 20．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！