精品解析：湖北省2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据若终边相同，则求解. 【详解】解： ，由图知， 角的取值集合为: 故选：D. 【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题. 2. 函数在区间上的最小值是 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B. 【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力. 3. 函数在区间的简图是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将代入到函数解析式中得，可排除C，D; 将x=π代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B，故选A． 4. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】设边长为2，如图，设交于点，有，， 则 ， 故选：B 5. 已知，，与的夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式计算即可. 【详解】因为|， 所以. 故选：C 6. 在中，，，，则直线通过的（ ） A 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D 7. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 8. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数.若，分别为的极大值与极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由辅助角公式得出，即可根据已知得出，，、，则，设，则，，再根据诱导公式对选项一一验证. 【详解】根据辅助角公式可得：， 其中，， ，分别为的极大值与极小值， ，，、， 则， 、， ， 设， 则，， 则， ，故A错误，B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进行分析即可. 【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心； 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心； 选项D，由得， ∴，即， ∴．同理可证， ∴，，，即点O是的垂心； 故选：AC． 【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题． 11. 已知两个复数满足，且，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的概念求出，进而结合复数的几何意义和共轭复数的概念依次判断选项即可. 【详解】由题意知， 设为实数)，则， 即，所以，解得， 所以，故A正确； ，， 所以，故B正确； ， 所以，故C错误； ，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【答案】20.5## 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值． 【详解】据题意得 ， 解得 ， 所以 令 得 . 故答案为：20.5 13. 已知点P，Q分别是四边形对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量_________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，，由平面向量的加法和数乘运算可得结果. 【详解】如图，取的中点E，连接，， 由题意，得，， 则. 故答案为：. 14. 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，则向量对应的复数为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求点关于直线的对称点为，从而得到向量对应的复数. 【详解】因为关于直线y＝－x的对称点， 所以向量对应的复数为. 故答案为： 【点睛】本题考查点关于直线对称、复数的几何意义，考查复数概念的理解与应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数为求解； （2）由，得到，，再由，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）因为， ， ， 所以． （2）由，得，， 所以， . 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求及的单调递增区间； （2）求图象的对称中心． 【答案】（1）ω = 1，增区间为 （2），． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用函数的最小正周期为得到，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解； （2）令，，解之即可求解. 【小问1详解】 ． ∵最小正周期为，∴， ∴，∴， 令，， 解得，， ∴的单调递增区间为． 【小问2详解】 令，， 解得，， ∴图象的对称中心为，． 17. 经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. （1）证明：为定值； （2）求m＋n的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可； （2）运用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 设， 因为的重心是G点， 所以， ， ， 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 18. 已知在中，角对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得； （2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 由题设，又， 在中，，则， 所以，故. 【小问2详解】 由成等差数列，可得，则， 因为，所以，即，所以. 由余弦定理，得， 所以，所以. 19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得，再利用三角形内角关系化简得，由锐角三角形可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根据可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得. 【小问1详解】 由已知得， 整理得， 因为，所以， 又因为， 所以， 可得， ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又因为，所以或，8分 当时，，由正弦定理得， 当时，，由正弦定理得. 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上最小值是 A. B. C. D. 0 3. 函数在区间的简图是 A. B C. D. 4. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，与夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 6. 在中，，，，则直线通过的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心 7. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数.若，分别为的极大值与极小值，则（ ） A. B. C D. 10. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 11. 已知两个复数满足，且，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 13. 已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量_________. 14. 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，则向量对应的复数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数． （1）求的值； （2）若，，求值． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求及的单调递增区间； （2）求图象的对称中心． 17. 经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. （1）证明：为定值； （2）求m＋n的最小值. 18. 已知在中，角的对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $