专题突破：分式求值的三种常见题型-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

专题突破：分式求值的三种常见题型 一、整体替换法求分式值的方法总结 题型特点：此类问题基本上都是给出一个已知的等式，让求另外一个分式的值 解决办法： ①将已知等式转化为最简表达式； ②转化待求分式，使之出现已知条件中代数式组合形式，然后整体替换掉其中一类，整体约掉相同部分，得一具体数值。 二、“类完全平方公式”及其变型 “类完全平方公式”： 公式变形： 备注：完全平方公式是乘法公式里的一种，而乘法公式又是整式乘法适用的，所以这类有分式，并且符合完全平方公式运算类型的公式我称为“类完全平方公式”！ 三、分式相关整数解问题常见类型及解决办法 当一个分式的值是整数，且A是一个整数时，满足B是A的因式（或因数）； 当一个分式的值是整数，且A不是一个整数时，先将分式转化为一个整式＋一个分子为整数的分式，再满足B是A的因式（或因数）； 题型一 整体替换法求分式的值 【例1】．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 【变式1-1】．（2024春•浦江县期末）已知x＝2y，则分式的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2024秋•绍兴期中）已知 ，则 的值为 　 　 ． 【变式1-3】．（2024秋•云冈区期末）若x2+3x＝﹣1，则式子x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【变式1-4】．（2024春•义乌市月考）已知：a2﹣3a+1＝0，求代数式的值 　 　 ． 【变式1-5】．（2025•南充模拟）已知：m2﹣m﹣2025＝0，则的值为（　　） A． B． C．2025 D．﹣2025 【变式1-6】．（2024秋•阳谷县期末）若2，则分式的值为 　 　 ． 【变式1-7】．（2024春•秦安县校级月考）已知：4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），求代数式的值． 题型二 利用公式求分式的值 【例2】．（2024春•浦江县校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，求：①x的值，②的值． 【变式2-1】．（2023秋•越城区校级期末）已知x2﹣x﹣1＝0，则代数式的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【变式2-2】．（2024秋•徐汇区校级期末）已知，则 　 　 ． 【变式2-3】．（2024秋•沂源县期末）若a223，则a2的值为（　　） A．5 B．0 C．3或﹣7 D．4 【变式2-4】．（2024秋•扎兰屯市期末）已知，则（　　） A．12 B．14 C．8 D．16 【变式2-5】．（2024秋•舞阳县期末）若，则　 　 ． 【变式2-6】．（2025春•武侯区校级月考）若a2+2a﹣1＝0，则 　 　 ． 【变式2-7】．（2024秋•湛江期末）已知a2+8a＝1，求的值为 　 　 ． 【变式2-8】．（2024秋•顺庆区期末）如果，则的值等于　 　 ． 题型三 分式相关整数解问题 【例3】．（2023春•拱墅区校级月考）若分式的值为整数，则整数x的值为 　 　 ． 【变式3-1】（2023•镇海区二模）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（2025•唐山一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2 【变式3-3】（2024•拱墅区二模）已知a+b＝5，a+c＝12，且为正整数，则正整数a的值是 　 　 ． 【变式3-4】（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式3-5】（2024秋•莱阳市期末）若x为整数，则使的值为整数的x有 　 　 个． 【变式3-6】（2024秋•长沙期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-7】（2024春•义乌市月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）； ①；②；③；④；⑤． （2）将“和谐分式”，化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：分式求值的三种常见题型 一、整体替换法求分式值的方法总结 题型特点：此类问题基本上都是给出一个已知的等式，让求另外一个分式的值 解决办法： ①将已知等式转化为最简表达式； ②转化待求分式，使之出现已知条件中代数式组合形式，然后整体替换掉其中一类，整体约掉相同部分，得一具体数值。 二、“类完全平方公式”及其变型 “类完全平方公式”： 公式变形： 备注：完全平方公式是乘法公式里的一种，而乘法公式又是整式乘法适用的，所以这类有分式，并且符合完全平方公式运算类型的公式我称为“类完全平方公式”！ 三、分式相关整数解问题常见类型及解决办法 当一个分式的值是整数，且A是一个整数时，满足B是A的因式（或因数）； 当一个分式的值是整数，且A不是一个整数时，先将分式转化为一个整式＋一个分子为整数的分式，再满足B是A的因式（或因数）； 题型一 整体替换法求分式的值 【例1】．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1，然后代入求值即可． 【解答】解：∵a﹣3b＝0， ∴a＝3b， ∴ ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 【变式1-1】．（2024春•浦江县期末）已知x＝2y，则分式的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2y代入分式，化简得结论． 【解答】解：当x＝2y时， ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的值，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 【变式1-2】．（2024秋•绍兴期中）已知 ，则 的值为 　　 ． 【分析】先用含n的式子表示m，再代入、求解． 【解答】解：∵， ∴mn， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的求值能力，关键是能准确理解并运用分数的基本性质进行变形、求解． 【变式1-3】．（2024秋•云冈区期末）若x2+3x＝﹣1，则式子x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：当x2+3x＝﹣1时， ∴x2﹣1＝﹣3x﹣2， 原式 ＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型． 【变式1-4】．（2024春•义乌市月考）已知：a2﹣3a+1＝0，求代数式的值 　8　 ． 【分析】由已知条件可得a2＝3a﹣1，将其代入中计算即可． 【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0， ∴a2＝3a﹣1， ∴ ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查分式的值，将原式进行正确的等量代换是解题的关键． 【变式1-5】．（2025•南充模拟）已知：m2﹣m﹣2025＝0，则的值为（　　） A． B． C．2025 D．﹣2025 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式＝﹣m2+m，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：原式• • • ＝﹣m（m﹣1） ＝﹣m2+m， ∵m2﹣m﹣2025＝0， ∴m2﹣m＝2025， ∴原式＝﹣（m2﹣m）＝﹣2025． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键． 【变式1-6】．（2024秋•阳谷县期末）若2，则分式的值为 　﹣1　 ． 【分析】由已知条件得出y+3x＝2xy，再将要求的分式变形为，然后整体代入计算即可． 【解答】解：∵2， ∴y+3x＝2xy， ∴ ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【变式1-7】．（2024春•秦安县校级月考）已知：4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），求代数式的值． 【分析】先根据已知条件，让两个式子联合起来，解关于x、y的二元一次方程，再把x、y的值代入所求式子，化简求值即可． 【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0）， ∴， 解关于x、y的二元一次方程，得 ∴原式13． 【点评】本题利用了解二元一次方程、整体代入的知识，在解方程时，注意把z看成是已知数． 题型二 利用公式求分式的值 【例2】．（2024春•浦江县校级期中）已知x2﹣4x+1＝0，求：①x的值，②的值． 【分析】①由已知得，x2+1＝4x，两边除以x得； ②利用完全平方公式求得，则所求式． 【解答】解：①∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2+1＝4x， ∴； ②∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了完全平方公式及分式的混合运算，解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简． 【变式2-1】．（2023秋•越城区校级期末）已知x2﹣x﹣1＝0，则代数式的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【分析】由条件可得x2＝x+1，两边都乘以x2再代入x2＝x+1可得x4＝x3+x2＝x3+x+1，进一步可得答案． 【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x4＝x3+x2＝x3+x+1， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式2-2】．（2024秋•徐汇区校级期末）已知，则 　　 ． 【分析】先根据已知条件，求出的值，从而求出，再求出，最后求出的值，从而求出答案即可． 【解答】解：∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵ ， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握如何利用求分式倒数的方法求出分式的值． 【变式2-3】．（2024秋•沂源县期末）若a223，则a2的值为（　　） A．5 B．0 C．3或﹣7 D．4 【分析】先由a223得出（a）2＝a2+225，据此知a5或a5，再分别代入计算可得． 【解答】解：∵a223， ∴（a）2＝a2+225， ∴a5或a5， 当a5时，a2＝5﹣2＝3； 当a5时，a2＝﹣5﹣2＝﹣7； 综上，a2的值为3或﹣7； 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式的运用． 【变式2-4】．（2024秋•扎兰屯市期末）已知，则（　　） A．12 B．14 C．8 D．16 【分析】由得到，从而得到，由此即可得到答案． 【解答】解：方程两侧同时平方得： ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行计算是关键． 【变式2-5】．（2024秋•舞阳县期末）若，则　3　 ． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：∵m1， ∴（m）2＝12， ∴m2﹣21， ∴m23， 故答案为：3． 【点评】本题的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2-6】．（2025春•武侯区校级月考）若a2+2a﹣1＝0，则 　6　 ． 【分析】先根据题意得出a≠0，故可得出a+20，故a2，进而可得出结论． 【解答】解：∵a2+2a﹣1＝0， ∴a≠0， ∴a+20， ∴a2， ∴（a）2＝4， ∴a22＝4， ∴a26． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 【变式2-7】．（2024秋•湛江期末）已知a2+8a＝1，求的值为 　66　 ． 【分析】根据a2+8a＝1，可以得到a8，然后利用完全平方公式将所求式子变形，再将a8代入变形后的式子计算即可． 【解答】解：∵a2+8a＝1， ∴a+8， ∴a8， ∴ ＝（a）2+2 ＝（﹣8）2+2 ＝64+2 ＝66， 故答案为：66． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式2-8】．（2024秋•顺庆区期末）如果，则的值等于　　 ． 【分析】由已知条件可得x3，则（x）2＝9，整理得x27，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵， ∴x3， 则（x）2＝9， 整理得x27， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的化简求值，结合已知条件求得x27并将原式进行正确的变形是解题的关键． 题型三 分式相关整数解问题 【例3】．（2023春•拱墅区校级月考）若分式的值为整数，则整数x的值为 　﹣1或0或1或2　 ． 【分析】将分式化为，分别代值计算，即可求解． 【解答】解： ， ∵分式的值为整数，且x是整数， ∴2x﹣1＝﹣3或2 x﹣1＝﹣1， 或2x﹣1＝1或2x﹣1＝3， 解得：x＝﹣1或0或1或2， 故答案为：﹣1或0或1或2． 【点评】题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【变式3-1】．（2023•镇海区二模）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】先化简，再根据分式的值为整数，可得x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，即可确定正整数x的值． 【解答】解： ， ∵分式的值为整数， ∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0， ∴正整数x＝4或2或5或1或6或9，共6个， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的值，先把原分式化简是解题的关键． 【变式3-2】．（2025•唐山一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2 【分析】先将分式b变形，然后根据分式的结果等于一个整数，即可得到x的值，然后即可判断哪个选项不符合题意． 【解答】解：∵1，分式的结果等于一个整数， ∴x＝﹣3或﹣1或1或3， 故选：D． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式3-3】．（2024•拱墅区二模）已知a+b＝5，a+c＝12，且为正整数，则正整数a的值是 　4　 ． 【分析】由a+b＝5，a+c＝12可得b＝5﹣a，c＝12﹣a，则1，再根据及a均为正整数即可求得答案． 【解答】解：∵a+b＝5，a+c＝12， ∴b＝5﹣a，c＝12﹣a， ∴1， ∵，a均为正整数， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查分式的值，结合已知条件求得1是解题的关键． 【变式3-4】．（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【分析】当x≥0时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得x＝0或x＝4；同理当x＜0时，可得为整数，求出x＝0（舍去）；由此即可得到答案． 【解答】解：当x≥0时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴x+1＝1或x+1＝5， ∴x＝0或x＝4； 当x＜0时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴﹣x+1＝1，﹣x+1＝﹣1 ∴x＝0（舍去）；x＝2（舍去）， 综上所述，x＝0或x＝4； 故选：B． 【点评】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 【变式3-5】．（2024秋•莱阳市期末）若x为整数，则使的值为整数的x有 　3　 个． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再约分后得到原式，接着把结果化为1，然后利用整数的整除性和分式有意义的条件确定整数x的值即可． 【解答】解：•1， ∵x为整数， ∴当x为±3、±1时，为整数，此时的值为整数， ∵x≠0且x﹣3≠0， ∴x为﹣3或﹣1或1时，的值为整数． 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【变式3-6】．（2024秋•长沙期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【解答】解：， ∵的值为整数，x为整数， ∴为整数， ∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±2， ∴x＝4或2或5或1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 【变式3-7】．（2024春•义乌市月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　①③④⑤　 （填序号）； ①；②；③；④；⑤． （2）将“和谐分式”，化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断； （2）利用题目所给的方法配一个（a﹣1）2出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式，再把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式＝2x﹣3，利用有理数的整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【解答】解：（1）1； 1； 1； y+3， 所以、、、都是“和谐分式”； 故答案为：①③④⑤； （2）a﹣1； （3）原式• ＝2x﹣3， ∵x为整数，为整数， ∴x+1＝±1或x+1＝±5， ∵x+1≠0且x≠0且x﹣1≠0， ∴x＝﹣2或x＝4或x＝﹣6． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$