猜押7～9题 解析几何与立体几何-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押03解析几何与立体几何7-9题（ 单选题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 解析几何 2024年天津卷第8题 2023年天津卷第9题 2022年天津卷第7题 天津高考对于圆锥曲线的考察，因为大题主要考察椭圆，所以单选题主要是双曲线与抛物线的考察，考察要求较高，属于中等难度试题，要求学生掌握双曲线抛物线的基础知识和基础性质，还要掌握转化和化归的数学思想，以及平面图形分析能力，以及复杂的计算能力。 2025年天津天津高考，对于圆锥曲线的考察，依旧会围绕着双曲线与抛物线展开，试题难度中等，所以复习备考时候，要学生依托双曲线和抛物线的定义，结合几何性质，借助图象来转化。 几何体位置关系 2024年天津卷第6、9题 2023年天津卷第8题 2022年天津卷第8题 天津高考连续几年对于立体几何的考察定位于考察立体几何的点线面关系，考察几何体的体积运算，考察不规则几何体体积运算，考察几何体的外接球相关知识。难度中等，对知识要求灵活应用，对立体空间要求有较高的理解。 着面对。 2025年天津天津高考，对于立体几何，依旧会围绕点线面的平行与垂直关系考察，对几何体的体积求解，会继续考察常规求法和割补法，以及等体积转化等各类灵活性方法。对于外接球以及内切球，会有一定的综合考察。 题型一 双曲线与直线 （单选题） 1．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可. 【详解】如图所示，设点在第一象限， ， 因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上. ，解得. 又因为，所以. 在中，，，， 所以，即. 所以，，， 即，所以. 故选：C 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点M在C的左支上，且与C交于另一点N，O为坐标原点，则下列结论错误的是（   ） A．若点M的坐标为，则C的离心率的取值范围为 B．若，，则 C．若，，则恒为定值 D．若，，则的最小值为1 【答案】B 【分析】对于A，由点在渐近线的下方得到，推理即得离心率范围；对于B，利用双曲线的定义和焦半径的范围即得；对于C，根据点是否与双曲线的左顶点重合，分别推理计算，利用双曲线定义和余弦定理即可证得.对于D，根据点在双曲线的左右支分别求得最短弦长即可判断； 【详解】对于A，因点在的一条渐近线的下方，则，即， 故离心率，故A正确； 对于B，由，，得， 由双曲线的定义可知，则， 于是， 因为，所以，故B错误； 对于C，由，，可知，则，， 当点为双曲线的左顶点时， ； 当点不在双曲线的左顶点时， 因，则， 由余弦定理得， 又，所以， 因 则，即. 综上，恒为定值，故C正确. 对于D，因，，则， 当在的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中， 最短弦的弦长为实轴长，故； 当在的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中， 当轴时，最小，此时，， 故的最小值为1，故D正确. 故选：B. 3．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用直线的斜率结合图形的几何性质推出线段之间的关系，继而结合双曲线定义可得的关系，求得答案. 4．（24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先直线方程与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求离心率. 【详解】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为， 设， 因为，所以， 得，即 联立，得， 所以，，① ，② 由①②可得，又因为得，且， 得，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 5．（24-25高三天津模拟）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到OA和OB的方程，设，根据题意得到，进而得到方程组，求出，由垂直关系可得斜率之积等于，求出，得到渐近线方程. 【详解】由题意可得，OA的方程为 ，OB的方程为 ， 设， 点A，B分别在第二、三象限内，若 ，则 ， ， ， ， ， 由可得，斜率之积等于， 故 ，即 ，解得 所以双曲线C的渐近线方程为 故选：A 题型二 抛物线与直线（单选题） 1．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. 2．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义确定抛物线上点到定点距离与到焦点距离之和的最小值即可. 【详解】由，如下图示，若准线于，则， 所以，当且仅当共线时取等号， 所以最小的. 故选：C 3．（24-25高二上·天津西青·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 4．（24-25高二上·天津河北·期末）过抛物线：（）焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（   ） A． B． C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意抛物线的准线为，即可求出，从而求出抛物线方程，再由，求出，从而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再根据焦半径公式计算可得． 【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得， 所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得， 所以， 所以，所以直线的方程为， 由，消去整理得，解得、， 即， 所以． 故选：B． 5．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 题型三 双曲线与抛物线（单选题） 1．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】抛物线的准线与轴交于，则， 设的中点为，，则， 在的渐近线上存在点，使得， 是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点， 所以， ， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·天津·期末）抛物线 ()的焦点为 ，抛物线的准线与双曲线 相交于两点， 若为等边三角形， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质可得准线方程为，即可与双曲线联立得，再根据等边三角形的性质求解即可. 【详解】由题意抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线方程与双曲线联立可得，解得， 所以， 因为为等边三角形，所以， 即有，解得， 故选：D 3．（24-25高三上·天津和平·期末）已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可得其准线方程，即可得点坐标，从而可结合双曲线渐近线方程得，再结合等腰三角形性质与双曲线定义，结合勾股定理计算可得，结合的值与计算即可得解. 【详解】由抛物线：的准线方程为，则， 则双曲线的渐近线满足，即， 连接，取中点，连接， 由，则，则， 则，则， 即有，化简得， 又，则，即有， 即，则， 则，又，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于连接，借助双曲线的性质得到. 4．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程， 可得，即， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为4， 则，即， 又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 题型四 点线面位置关系判断 （单选题） 1．（2025·天津河北·二模）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面、线面的位置关系，结合平面法向量的概念及性质判断各项的正误即可. 【详解】A：若，，则或，而，故，对； B：若，将视作的法向量所在直线，又，易知，对； C：若，，则，而，故，对； D：若，，则平行、异面、相交都有可能，错. 故选：D 2．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 3．（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 4．（24-25高三下·天津·开学考试）设是两平面，是两直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，由条件可推得或，就时的情况即可排除，对于B，D，取特殊情况即可排除；对于C，由，易得，运用面面平行可推出线面平行. 【详解】对于A，因，，可得或， 当时，因，可得平行，相交或异面，故A错误； 对于B：由，当时不满足，故B错误； 对于C，由，可得，又，故，故C正确； 对于D，如图，在长方体中，分别取平面为平面， 取直线为，为，显然满足，，，但与不垂直，故D错误； 故选：C. 5．（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】B 【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐个判断即可． 【详解】解：若且则m与可以成任意角，A选项错误； 若则，B选项正确； 若则n与可以成任意角，C选项错误； 若则m与可以成任意角，D选项错误． 故选：B 题型五 几何体体积与表面积 （单选题） 1．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则所以正四面体的高为， 其体积为，设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， .故选：A. 3．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得. 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 4．（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作出图形，根据三棱锥的体积公式，转化三棱锥的顶点，即可求解． 【详解】如图，设连接分别延长EG，FB交于点I， 则根据题意可得G为DB中点，又从而可得又 所以 所以所以所以①错误，③正确； 又且 所以所以又 所以所以②错误，④正确． 故选：B 5．（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取上靠近的三等分点，连接，可得四边形是平面在正方体的截面，且将此正方体分为棱台和另一部分，设正方体棱长为，根据公式求出棱台的体积，再根据正方体体积求出另一部分体积，即可得到结果. 【详解】因为， 所以为上靠近的三等分点， 取上靠近的三等分点， 连接， 则， 所以平面在正方体的截面为四边形， 则将此正方体分为棱台和另一部分， 设正方体棱长为，则， 所以棱台的体积， 又，，， 所以， 又正方体体积， 所以另一部分体积， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 故选：B 题型六 几何体与文化情景应用（单选题） 1．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）令狐智勇与东方真纯是我校高一新生，他们从南开过往考题中获得灵感，为翔宇楼提出扩建方案，计划在两片楼中空地分别修建一座电梯塔，既提供更多便利，也为校园增色，两座电梯塔的外部主体形状均为“立体八角形”.令狐智勇设计了“北塔”，其外部形状如图1所示，水平截面如图2所示，八角形外沿可看作由正方形及绕其中心旋转45°后形成的正方形所构成的各边相等的十六边形，内部包含位于四角处的四部电梯及位于中心的用以保护原有树木的“月柱”，其形状寓意“日新月异”．“月柱”截面（图2中阴影部分）由相交的圆及圆构造而成(实线表示实际存在部分，虚线为设计轮廓线，在实际中并不存在)，圆与四角处各圆分别相切，四角处圆与八角形相应边分别相切（例如圆与边及分别相切），圆与圆内切，已知四角处各圆全等，其半径均为，圆半径为，圆半径为，且，，“北塔”的高为60，记“月柱”（与“北塔”等高）的侧面积的近似值为（已知，，）；东方真纯设计了“南塔”，其外部形状如图3所示，俯视图如图4所示，其八角形外沿与“北塔”完全相同，内部四角处也包含四部电梯（该处四圆半径与“北塔”中四圆半径不等），中心处为一与外沿八角形相似的小八角形，已知直线直线，且，间距离为，从外部看，中心“小八角形柱”高过“外沿八角形柱”的长度为，该顶层设计未来将建成“南得所爱植物园”，因此需要修建球形外壳，为尽量节省建筑材料，应使顶点，，，，，，，，，，，，，，，均在该球球面上，记该球半径为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】设，根据题意利用圆与圆外切，圆与直线相切的条件列出方程组求得的值，然后利用圆与圆相内切的关系求得，进而确定月柱横截面的周长，进而计算得到的近似值；作出南塔过的轴截面图，其外接圆为球的大圆，利用勾股定理得到关于的方程，求解即得的值. 【详解】设，则， ， ，， 所以对圆所张的角为， 所以“月柱”截面（图2中阴影部分）的周长为， “月柱”（与“北塔”等高）的侧面积的近似值为， 如上图，作出过南塔得得轴截面图，为球心，为在上的垂足， 由已知得：， ， ， ， ， ， 故选：D 2．（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 4．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出截面图，设储物盒所地球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值. 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图， 小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得， 所以. 故选：D. 5．（24-25高三上·天津·期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 【答案】D 【分析】把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解. 【详解】 把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为 选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为， 则，所以，A错误； 选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误； 选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故， 所以外接球体积，C错误； 选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，， 所以所以内切球表面积为.D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：补形法是解决正多面体的体积表面积外接球内切球问题的常用方法，本题把正多面体补形为正方体，找到正多面体和正方体的关系，利用正方体和正多面体的棱长的关系，即可解决所求正多面体的体积表面积外接球和内切球问题. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押03解析几何与立体几何7-9题（ 单选题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 解析几何 2024年天津卷第8题 2023年天津卷第9题 2022年天津卷第7题 天津高考对于圆锥曲线的考察，因为大题主要考察椭圆，所以单选题主要是双曲线与抛物线的考察，考察要求较高，属于中等难度试题，要求学生掌握双曲线抛物线的基础知识和基础性质，还要掌握转化和化归的数学思想，以及平面图形分析能力，以及复杂的计算能力。 2025年天津天津高考，对于圆锥曲线的考察，依旧会围绕着双曲线与抛物线展开，试题难度中等，所以复习备考时候，要学生依托双曲线和抛物线的定义，结合几何性质，借助图象来转化。 几何体位置关系 2024年天津卷第6、9题 2023年天津卷第8题 2022年天津卷第8题 天津高考连续几年对于立体几何的考察定位于考察立体几何的点线面关系，考察几何体的体积运算，考察不规则几何体体积运算，考察几何体的外接球相关知识。难度中等，对知识要求灵活应用，对立体空间要求有较高的理解。 着面对。 2025年天津天津高考，对于立体几何，依旧会围绕点线面的平行与垂直关系考察，对几何体的体积求解，会继续考察常规求法和割补法，以及等体积转化等各类灵活性方法。对于外接球以及内切球，会有一定的综合考察。 题型一 双曲线与直线 （单选题） 1．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点M在C的左支上，且与C交于另一点N，O为坐标原点，则下列结论错误的是（   ） A．若点M的坐标为，则C的离心率的取值范围为 B．若，，则 C．若，，则恒为定值 D．若，，则的最小值为1 3．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三天津模拟）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 抛物线与直线（单选题） 1．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25高二上·天津西青·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津河北·期末）过抛物线：（）焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（   ） A． B． C．18 D．20 5．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 双曲线与抛物线（单选题） 1．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期末）抛物线 ()的焦点为 ，抛物线的准线与双曲线 相交于两点， 若为等边三角形， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津和平·期末）已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 点线面位置关系判断 （单选题） 1．（2025·天津河北·二模）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（24-25高三下·天津·开学考试）设是两平面，是两直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 5．（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 题型五 几何体体积与表面积 （单选题） 1．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 题型六 几何体与文化情景应用（单选题） 1．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）令狐智勇与东方真纯是我校高一新生，他们从南开过往考题中获得灵感，为翔宇楼提出扩建方案，计划在两片楼中空地分别修建一座电梯塔，既提供更多便利，也为校园增色，两座电梯塔的外部主体形状均为“立体八角形”.令狐智勇设计了“北塔”，其外部形状如图1所示，水平截面如图2所示，八角形外沿可看作由正方形及绕其中心旋转45°后形成的正方形所构成的各边相等的十六边形，内部包含位于四角处的四部电梯及位于中心的用以保护原有树木的“月柱”，其形状寓意“日新月异”．“月柱”截面（图2中阴影部分）由相交的圆及圆构造而成(实线表示实际存在部分，虚线为设计轮廓线，在实际中并不存在)，圆与四角处各圆分别相切，四角处圆与八角形相应边分别相切（例如圆与边及分别相切），圆与圆内切，已知四角处各圆全等，其半径均为，圆半径为，圆半径为，且，，“北塔”的高为60，记“月柱”（与“北塔”等高）的侧面积的近似值为（已知，，）；东方真纯设计了“南塔”，其外部形状如图3所示，俯视图如图4所示，其八角形外沿与“北塔”完全相同，内部四角处也包含四部电梯（该处四圆半径与“北塔”中四圆半径不等），中心处为一与外沿八角形相似的小八角形，已知直线直线，且，间距离为，从外部看，中心“小八角形柱”高过“外沿八角形柱”的长度为，该顶层设计未来将建成“南得所爱植物园”，因此需要修建球形外壳，为尽量节省建筑材料，应使顶点，，，，，，，，，，，，，，，均在该球球面上，记该球半径为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 4．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津·期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$