精品解析：2025年黑龙江省佳木斯市第五中学一模数学试题

绝密★启用前 佳木斯市前进区 2025初三中考复习第一次综合训练 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（ ） A. B. 2 C. D. 10 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. 且 D. 6. 若关于的方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论： ①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 13. 如图，在四边形中，，与互相平分于点．要使得四边形是正方形，则还需增加一个条件是________（只填一个答案即可）． 14. 一个不透明的袋子中装有两个黑球和一个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为______． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 16. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是___°． 17. 若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为________（结果保留）． 18. 如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________. 19. 在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为________． 20. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于x轴对称的； （2）将绕O点逆时针旋转，画出旋转后的． （3）在（2）的条件下，求点旋转到所经过的路径长？ 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 24. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目．足球；项目．篮球；项目．跳绳；项目．书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中___________，所对的圆心角的度数为____________． （3）学校拟对选修项目．书法的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 25. 在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 26. 在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 27. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A交y轴于点B，的长是一元二次方程的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P． （1）求直线的解析式； （2）点Q的坐标为，设的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若点E在直线上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 佳木斯市前进区 2025初三中考复习第一次综合训练 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答出正确选项． 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，属于基础题型，正确掌握运算法则并应用是解题的关键． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方体的结构，按照三视图的要求判断选项中是否是三视图． 【详解】A项为左视图，B项为俯视图，C项不属于三视图，D项为主视图， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图问题，主要训练学生的空间想象力． 4. 已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平均数与方差的计算，先运用平均数的计算公式：，结合这组数据的平均数是2，可求出x的值；再运用方差的计算公式：，代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵数据1、2、x、3、4的平均数是2， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为：． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程实数根的情况求参数，先由两个不相等实数根得，结合一元二次方程的定义，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ 则且 故选：C 6. 若关于的方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 7. 要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】对换法进行列举，即可进行解题． 【详解】解：换法有：2张5元；1张5元，5张1元；10张1元． 共三种换法， 故选：C． 【点睛】本题主要是对换法进行列举，注意做到不重不漏． 8. 如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点作轴于，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，，则，，即可得到点在双曲线上，再由点v也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上 ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，熟练掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 由平行线的等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，得到，根据相似三角形的判定和性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论： ①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；容易证明∴，可得，结合，即可得出． ，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图2，作交于，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是中点，， ∴， 如图3，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴故④正确，故符合要求； ∵， ∴，， 设，，，则，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 同理，， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 综上所述：正确的是①②③④⑤． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 【答案】4.2×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10. 故答案是：4.2×104 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键. 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，与互相平分于点．要使得四边形是正方形，则还需增加一个条件是________（只填一个答案即可）． 【答案】答案不唯一．如： 【解析】 【分析】根据与互相平分于点，可得四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形，再添加，即可求解． 【详解】解：∵与互相平分于点， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 要使得四边形是正方形，可以添加（答案不唯一） 故答案为：答案不唯一．如：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 14. 一个不透明的袋子中装有两个黑球和一个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是黑球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是黑球的结果数为4， 所以两次摸出的小球都是黑球的概率． 故答案为：． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是___°． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可． 【详解】∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 17. 若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键．根据圆锥侧面公式计算即可． 【详解】解：一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 故答案为：． 18. 如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意分类讨论，结合勾股定理列出方程是解题的关键．分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行分析，结合折叠的性质和矩形的性质得出，，，，，根据勾股定理分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图：当点在线段上，、、三点共线时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 如图：当点在线段的延长线上，、、三点共线时， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴； 即当的值为或时，、、三点共线． 故答案为：或． 20. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在x轴负半轴，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及特殊角的三角函数值．掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．先根据分式混合运算法则化简分式，再计算的值，最后把的值代入化简后的分式，计算出结果即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于x轴对称的； （2）将绕O点逆时针旋转，画出旋转后的． （3）在（2）的条件下，求点旋转到所经过的路径长？ 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 如图，即为所求 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转后图形，勾股定理，弧长公式，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由网格可得：， ∵将绕O点逆时针旋转， ∴点旋转到所经过的路径长为． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 24. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目．足球；项目．篮球；项目．跳绳；项目．书法），要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了_________名学生，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中___________，所对的圆心角的度数为____________． （3）学校拟对选修项目．书法的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500 （2）20， （3）估计该校需要培训的学生人数有200名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据项目的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用总人数减去其它项目的人数，求出选项的人数，从而补全统计图； （2）用项目C对应的人数除以总人数计算即可得出a，再用乘以所占的百分比即可得出答案； （3）用全校的总人数乘以选修项目．书法的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 本次调查的学生共有：名， 故答案为：500； 项目的人数有：名， 补全统计图如下： 【小问2详解】 在扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角的度数是：； 故答案为：20，； 【小问3详解】 根据题意得：名， 答：估计该校需要培训的学生人数有200名． 25. 在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 【答案】（1）， （2） （3）乙车出发、或时，两车相距 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设与之间的函数解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为； 由题意可得，，， ∴乙车出发，行驶， ∴乙车行驶速度为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数解析式为， 【小问3详解】 解：设乙车出发时，两车之间的距离是， ∵， ∴乙车出发时，两车相距， 当两车相遇前相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 当两车相遇后相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距，此时甲车刚到达地， 当甲车从地出发时，乙车出发， ∴两车相距， 当两车相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 综上所述：乙车出发、或时，两车相距． 26. 在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 【答案】（1）证明：如图，在边上截取，连接， 在中，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （2）当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点，使，连接并延长到点使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点使，同理证明出，得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图②：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点，使，连接并延长到点使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图③所示，在上取点使， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质等，添加辅助线构建全等三角形和等边三角形是解题的关键． 27. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A交y轴于点B，的长是一元二次方程的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P． （1）求直线的解析式； （2）点Q的坐标为，设的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若点E在直线上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2） （3）存在．点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定A、B的坐标，然后再运用待定系数法求解即可； （2）先说明可得，进而确定P，则直线的解析式为，然后与直线的解析式联立求得，然后分和两种情况解答即可； （3）分矩形一边和对角线两种情况，分别画出图形，根据矩形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：解方程，得，． ∵， ∴，． ∴， 设直线的解析式为． ∴解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵点B关于原点的对称点为点C， ∴． ∴,． ∴． ∴P． ∴直线的解析式为． ∴解方程组得 ∴． 当时，； 当时，． 综上所述，． 【小问3详解】 解：存在，求解如下： ①如图：当矩形一边时，过C作交于E，分别过E、B作相交于点F ∵， ∴点E的纵坐标为1，则有，解得：， ∴,即点F的横坐标为1， ∵， ∴点F的纵坐标为， ∴； ②如图：当矩形的对角线时，分别过C、B作相交于点F ∴相互平分, ∵过点C作直线的垂线交于点D，交x轴于点P． ∴点E和点D重合， ∵， ∴, ∵点B关于原点的对称点为点C， ∴点E、点F关于原点的对称， ∴． 综上，存在点F,使B，C，E，F为顶点的四边形是矩形. 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据题意确定是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $