4.3.1 空间中直线与直线的位置关系第2课时同步练习-2024-2025学年高一下学期湘教版（2019）必修第二册

4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 第2课时　异面直线 基础过关练 题组一　空间两条直线垂直 1.(2020安徽铜陵期末)若a是空间中的一条直线,则在平面α内一定存在直线b与直线a　 (　　) A.平行　　　　B.相交　　 C.垂直　　　　D.异面 2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是 (　　) A.EF与BB1垂直　　　　B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面　　　　D.EF与A1C1异面 3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件:　　　　时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件:　　　　　　　　时,四边形EFGH是正方形.  4.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　.  题组二　求异面直线所成的角 5.(2022福建厦门第三中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于 (　　) A.45°　　　　B.60°　　 C.90°　　　　D.120° 6.(2020安徽马鞍山期中)如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是AC,BD的中点,AB=CD=2,MN=,则异面直线AB与CD所成的角为(　　) A.30°　　　　B.60°　　 C.90°　　　　D.120° 7.在正四面体A-BCD中,E,F分别为AB,CD的中点,则下列命题不正确的是 (　　) A.EF⊥AB B.EF⊥CD C.EF与AC所成的角为 D.EF与BD所成的角为 8.(2022贵州遵义第四中学期末)三棱锥D-ABC中,AC=BD,且异面直线AC与BD所成的角为60°,E,F分别是棱DC,AB的中点,求直线EF和AC所成的角. 9.(2020山西大同一中月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. (1)求直线DA1与BC所成的角; (2)求直线D1A与BA1所成的角. 10.如图所示,已知多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体. (1)求A1C1与B1C所成角的大小; (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小. 能力提升练 题组一　两直线的位置关系 1.(2022湖南师范大学附属中学期中)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2AA'=2AD,M,N分别是A'B',D'C'的中点,则直线CN与DM是 (　　) A.相互垂直的相交直线 B.相互垂直的异面直线 C.相互不垂直的异面直线 D.夹角为60°的异面直线 2.(多选)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　) A.直线CC1与B1E相交 B.直线CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.直线AE与B1C1垂直 3.如图,已知点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则下列叙述正确的是 (　　) A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线 B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线 C.GH≠2EF,且直线EF,GH是相交直线 D.GH≠2EF,且直线EF,GH是异面直线 题组二　空间两条直线所成角及应用 4.(2022河南豫北重点高中模拟)如图,某圆锥的轴截面ABC是等边三角形,点D是线段AB的中点,点E在底面圆的圆周上,且弧的长度等于弧的长度,则异面直线DE与BC所成角的余弦值是 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　D. 5.(2022重庆育才中学模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD,AC与BD所成的角为,且AC=BD=2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF= (　　) A.1　　　 　B. C.1或　　　　D.2或 6.(2020河南开封期末)如图,在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E为AA1的中点,异面直线BE与CD1所成角的正弦值为,则侧棱AA1的长度为　　　　.  7.(2022河南名校联盟月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为,求该三棱柱的高. 8.如图所示,已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC=6,BD=8,AC与BD所成的角为30°,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求四边形EFGH的面积. 9.(2020广西柳州第二中学月考)如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长. 答案全解全析 基础过关练 1.C　如图所示的正方体中,取平面α为平面ABCD, 直线a与平面α的位置关系有三种, (1)取直线AB为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a异面; (2)取直线A1B1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a相交; (3)取直线AA1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a平行. 故选C. 2.D　如图所示,连接A1B,易知E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面,EF⊥BB1;连接B1D1,则A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D. 3.答案　AC=BD;AC=BD且AC⊥BD 解析　易知EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,EF∥AC∥HG,且EF=HG=AC,所以四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,所以AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,所以AC=BD且AC⊥BD. 4.答案　5 解析　取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN(或其补角)为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,易知PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5. 5.B　取A1B1的中点M,连接MG,MH,则易知MG∥EF,所以EF与GH所成的角等于MG与GH所成的角.易知△MGH为等边三角形,所以∠MGH=60°,所以异面直线EF与GH所成的角等于60°,故选B. 6.B　取BC的中点P,连接MP,NP(图略),因为M,N分别是AC,BD的中点,所以MP∥AB,NP∥CD,且MP=AB=1,NP=CD=1,所以∠MPN(或其补角)是异面直线AB与CD所成的角. 由余弦定理可知cos∠MPN==-, 所以∠MPN=120°, 所以异面直线AB与CD所成的角为60°. 7.D　如图所示, 将正四面体A-BCD放入正方体中,则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线,E,F分别是上、下底面的中心,∴EF与正方体垂直于底面的棱平行, ∴EF⊥AB,EF⊥CD成立,且EF与AC,BD所成的角都是.故选D. 8.解析　如图所示: 取AD的中点G,连接GF,GE, 易知FG∥BD,GE∥AC,且FG=BD,GE=AC, 所以FG=GE,∠EGF(或其补角)为异面直线AC和BD所成的角, 故∠EGF=60°或∠EGF=120°. 易知直线EF和AC所成的角为∠FEG(或其补角), 当∠EGF=60°时,∠FEG=60°; 当∠EGF=120°时,∠FEG=30°. ∴直线EF和AC所成的角为30°或60°. 9.解析　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC, ∴∠ADA1(或其补角)是异面直线DA1与BC所成的角. ∵AD=AA1,AD⊥AA1,∴∠ADA1=, ∴直线DA1与BC所成的角为. (2)连接C1B,A1C1(图略),易知AD1∥C1B, ∴∠C1BA1(或其补角)是异面直线D1A与BA1所成的角. 易知BA1=A1C1=BC1,∴∠C1BA1=, ∴直线D1A与BA1所成的角为. 10.解析　(1)如图,连接AC,AB1. 易知四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1, ∴∠B1CA(或其补角)就是A1C1与B1C所成的角. 易知△AB1C为正三角形, ∴∠B1CA=60°.∴A1C1与B1C所成的角为60°. (2)连接BD, ∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD. ∵AC∥A1C1, ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. 易知AC⊥BD,∴AC⊥EF. ∴A1C1与EF所成角的大小为90°. 能力提升练 1.B　设AB=2AA'=2AD=2a,连接BM,MN,BD,MD', 因为NC⊂平面CC'D'D,MD∩平面CC'D'D=D,D∉NC,所以直线CN与DM是异面直线. 在矩形A'B'C'D'中,因为M,N分别是A'B',D'C'的中点,所以MN∥B'C',且MN=B'C', 因为BC∥B'C',且BC=B'C', 所以BC∥MN,且BC=MN, 所以四边形BCNM为平行四边形,所以CN∥BM, 所以∠BMD(或其补角)为异面直线CN与DM所成的角, 在△BMD中,BM=a,BD=a,MD==a, 所以BD2=BM2+MD2,所以∠BMD=90°, 所以BM⊥DM,即CN⊥DM,故选B. 2.ACD　易知CE∥B1C1且CE=B1C1,所以四边形B1ECC1为梯形,所以直线CC1与B1E必相交,故A正确. 结合几何图形和异面直线的概念,可知CC1与AE是异面直线,AE与B1C1是异面直线,故B错误,C正确. 因为B1C1∥BC,所以AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角, 又E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,故AE与B1C1所成的角为90°,所以AE⊥B1C1,故D正确.故选ACD. 3.C　连接A1B,CD1,取C1C的中点M,连接MH,MG,可得EF∥A1B,A1B∥CD1,CD1∥MH, 所以MH∥EF,且MH=EF=MG, 延长EF与MG,与B1B的延长线交于L, 同理可得交点N,K,可得平面KLN,易知EF,GH⊂平面KLN,且EF与GH不平行, 所以直线EF,GH是相交直线,且2EF≠GH. 4.A　如图,过点A作AO⊥BC于点O,过点D作DG⊥BC于点G,取AO的中点F,连接DF,GE,OE,EF,则DF∥BC,且DF=BO,所以∠FDE(或其补角)就是异面直线DE与BC所成的角. 设圆锥的底面半径为2,则DF=GO=1,OE=2,AO=2,所以DG=OF=, 在Rt△GOE中,所以GE==, 在Rt△GDE中,DE==2, 在Rt△FOE中,FE==. 因为DF2+FE2=DE2,所以∠DFE=90°, 所以cos∠FDE===,故选A. 5.C　如图,取CD的中点G,连接EG,FG, 由题可知,EG∥BD,FG∥AC,EG=BD=1,FG=AC=1,所以∠FGE(或其补角)是AC与BD所成的角. 因为AC与BD所成的角为, 所以∠FGE=或∠FGE=π-=. 当∠FGE=时,△FGE为等边三角形,所以EF=1; 当∠FGE=时,由余弦定理可知, EF2=EG2+GF2-2EG·GF·cos∠FGE=1+1-2×1×1×=3,所以EF=. 综上,EF=1或EF=.故选C. 6.答案　1或2 解析　如图,连接A1B,易知A1B∥CD1, ∴∠A1BE(或其补角)是异面直线BE与CD1所成的角. 过点E作EH⊥A1B于点H,设EH=h, 则BE===h,A1E=AE==. 易得△A1HE∽△A1AB,∴=, 即=,解得h2=或h2=, ∴AE=或AE=1,∴AA1=1或AA1=2. 7.解析　连接B1C,如图, 设三棱柱的高为h, 在Rt△ABB1和Rt△CBB1中,AB1=CB1=,所以△B1AC是等腰三角形. 因为A1C1∥AC, 所以∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与A1C1所成的角,所以cos∠B1AC=, 因为cos∠B1AC==,所以=,所以h=2,所以该三棱柱的高为2. 8.解析　∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, ∴EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=AC, ∴四边形EFGH为平行四边形. ∵AC∥EF,BD∥FG,∴∠EFG(或其补角)为EF与FG所成的角,即为AC与BD所成的角,∴∠EFG(或其补角)为30°, ∴S四边形EFGH=EF·FG·sin∠EFG=AC·BD·=3×4×=6. 9.解析　如图,连接CD1,AC. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC, ∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角. ∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°, ∴∠AD1C=90°. ∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面均为矩形,底面四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∴AD1=CD1,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=AC. ∵AB=BC=2,∠ABC=120°, ∴AC=2×sin 60°×2=6,∴AD1=AC=3, ∴AA1===. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$