专题01 导数的概念、运算及其几何意义7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题01 导数的概念、运算及其几何意义 7考点复习指南 一、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 二、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 三、基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【问题背景】 在高考数学中，导数是极为重要的考点，它将函数与几何图形紧密相连，对学生的数学思维和综合运用能力要求颇高。导数相关知识不仅是函数研究的深化拓展，也是解决曲线切线、函数单调性、最值等问题的关键工具。导数的概念源于函数的变化率，通过极限思想进行精确刻画，这使得它在数学分析领域占据核心地位。从高考命题趋势来看，导数题目类型丰富多样，涵盖选择、填空与解答题，难度层次分明，既考查基础知识的理解与运用，又着重检测学生的逻辑推理、数学运算以及数学建模能力，是拉开分数差距的关键内容。 【处理角度】 1. 概念理解：深入剖析导数的定义、几何意义以及物理意义，准确把握平均变化率与瞬时变化率的区别和联系，为解决各类导数问题筑牢理论根基。 2. 公式运用：牢记基本初等函数的导数公式和运算法则，包括加减、乘法、除法运算以及复合函数求导法则，在解题时能够迅速、准确地进行导数运算。 3. 函数分析：学会借助导数分析函数的单调性、极值和最值，绘制函数大致图象，直观呈现函数的变化趋势，以便解决函数的零点、不等式恒成立等问题。 4. 几何直观：充分利用导数的几何意义，将函数图象上某点的切线斜率与导数建立联系，通过图形直观地理解函数与切线的关系，进而解决与切线相关的各类问题。 【解法策略】 1. 平均速度与瞬时速度：明确平均速度通过计算位移或其他相关量在某段时间内的变化量与时间变化量的比值得到。瞬时速度则依据导数的定义，对位移函数求导，将特定时刻代入导函数求值。 2. 导数定义：依据导数定义，将所给式子转化为导数定义的标准形式，若涉及抽象函数，合理变形构造出与定义一致的结构，再代入已知导数的值进行求解。 3. 导数运算求值：对于基本初等函数的求导，直接套用对应的导数公式。在函数包含四则运算或复合函数时，准确运用相应的运算法则，逐步求导并化简，最后代入具体值计算。 4. 利用导数求切线方程：先对函数求导，将切点横坐标代入导函数得到切线斜率。再把切点坐标代入原函数求出纵坐标，确定切点。最后根据点斜式方程写出切线方程。若已知切线过某点，需设出切点，利用上述方法列出方程求解。 5. 公切线问题：分别设出两条曲线的切点，对两条曲线求导得到各自在切点处的切线斜率，进而写出切线方程。由于是公切线，让两个切线方程的斜率和截距分别相等，联立方程求解。当涉及到公切线的条数或相关参数范围时，常转化为方程根的个数问题，借助函数的单调性、极值和最值进行分析。 6. 切线与距离最值：根据导数的几何意义，找出与已知直线平行且与曲线相切的切点。因为该切点到已知直线的距离即为曲线到直线的最小距离，最后运用点到直线的距离公式求出最小值。 7. 切线与恒成立或零点问题：对于不等式恒成立问题，将其转化为函数的最值问题。通过求导分析函数的单调性和极值，进而确定函数的最值，建立关于参数的不等式求解。对于函数零点问题，把函数零点转化为方程的根，再进一步转化为两个函数图象的交点问题，通过求导分析函数的性质，绘制函数图象，利用数形结合的方法确定参数的取值范围。 考点1 平均速度与瞬时速度 1．（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【答案】104 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，则， 则分钟. 故答案为：104 2．（21-22高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算可得即可根据瞬时变化率的计算公式求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）2024年，杭州某科技公司研发的智能扫地机器人销量持续增长.已知该产品2024年前七个月的月销量（单位：万台）与月份的函数关系为，则1月到3月月销量的平均增长率为 万台/月. 【答案】11 【分析】根据平均增长率即可求解. 【详解】由题意可得1月到3月月销量的平均增长率为， 故答案为：11 4．（24-25高二下·河南南阳·期中）四川舰是我国自主研制建造的型两栖攻击舰首舰，是全球首次采用电磁弹射技术的两栖攻击舰.某电磁弹射装置竖直向上弹出一个物体，由于自带动力装置，该物体上升的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，则该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得，再利用导数的物理意义，即可求解. 【详解】因为，则， 易知，当时，，当时，， 所以该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为， 故选：C. 5．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 考点2 导数定义 6．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知且，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本初等函数的求导公式计算，再利用导数的定义将目标化简为即可. 【详解】由，得，则， 故. 故选：C 7．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在某点处的导数定义即可. 【详解】 故选：A 9．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：D. 10．（24-25高二下·四川达州·期中）若是函数的导数，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：C. 11．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数的导数为，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数的定义变形求解即可. 【详解】. 故答案为：. 考点3 导数运算求值 12．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 13．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：B 14．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先求函数的导函数，当得，得，进而可得. 【详解】由可得， 故，得， 故，， 故答案为： 15．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求导可得，将代入即可求解. 【详解】因， 所以，解得. 故选：. 16．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 考点4 利用导数求切线方程 17．（24-25高二下·广东·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 18．（23-24高二·湖南·课后作业）已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知， 故选：B. 19．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)求的导数； (2)求 (3)求函数的图象在处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得； （2）代入导函数即可求解； （3）求出，再利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以； （2），，， （3）因为，则切线斜率， 又因为，所以切点坐标为, 所以函数在处的切线方程为，即. 20．（24-25高二下·河南南阳·期中）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，得到，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，且， 即切线的斜率为，切点坐标为 所以的图象在处的切线方程为，即. 故选：C. 21．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 22．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【答案】5 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，再由点在切线上求参数即可. 【详解】由题设，且，则， 所以切线方程为过点， 所以，则. 故答案为：5 23．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 24．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为： 25．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值. （2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. （2）由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 26．（24-25高二上·云南昭通·期中）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线与切线垂直建立方程求出. 【详解】因为，则， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则， 又直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 考点5 公切线问题 27．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两曲线交点和导数几何意义可求得切线斜率，由此可构造方程求得a的值. 【详解】当时，曲线与曲线有唯一交点， 当时，因为和在上单调递增， 故函数在上单调， 因为曲线在上单调递增，且两曲线有相同切线， 所以函数在上单调递增，故， ，，与的交点为， ，在处的切线斜率， ，，解得：. 记，则， 所以在上单调递减，故有唯一解， 即曲线与曲线有唯一交点，满足题意. 故选：D. 28．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 29．（22-23高二下·浙江杭州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为. 由，得曲线在处的切线斜率为. 又曲线上总存在切线满足，且，而， 则， 故， 所以，解得， 即． 故选：D． 30．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 31．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 32．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示，    由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 33．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ． 【答案】 【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得切线方程为，又， 所以，将点代入，有， 解得（负值舍去），所以切线方程为， 设切线与曲线的切点为， 又，所以，，， 消去、，得， 令，， 当且仅当时，等号成立， 即函数在上单调递增，又， 所以方程的实数解为， 故有，解得. 故答案为：. 34．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 35．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设，，根据题意分析可知，根据导数的几何意义分别求在两点处的切线，由题意可得，化简可得，换元结合函数单调性分析求解；解法二：根据题意结合图象分析可知，运算求解即可. 【详解】解法一：当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 设，为该函数图象上的两点，且， 若曲线在两点处的切线重合，则， 结合的单调性可知， 则函数在点处的切线方程为： ，即； 函数在点处的切线方程为： ，即； 两直线重合的充要条件是， 消去可得， 且 令，则，可得在为增函数， 所以，结合选项可知A正确； 解法二：由题意可知：在区间内单调递减，在内单调递增， 根据公切线导数值相等的原理，可知公切线只会出现在单调性一致的区间， 故只能出现在区间， 由于函数在这两个区间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线， 且当趋近于，趋近于0， 由图象可知：，解得，结合选项可知A正确； 故选：A. 考点6 切线与距离最值 36．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 37．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 38．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】令，则， 设该曲线在点处的切线为， 需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2， 所以，解得，则切点为， 故切线的方程为，即， 所以直线到直线的距离为， 即该曲线上的点到直线的最小距离为. 故选：C 考点7 切线与恒成立或零点问题 39．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解. 【详解】因为不等式恒成立，所以不等式恒成立． 设，则由题意知函数的图象恒不在直线的下方. 易知，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以，当时，，当时，， 当时，． 直线恒过点，当直线与曲线相切时， 设切点为，则 解得或，故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示，数形结合， 可知，实数的取值范围为， 故选：A． 【点睛】方法点睛：将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，先求出直线与曲线相切时的值最后作出两函数图象，数形结合即可得解. 40．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间； （2）依题意恒成立，然后分离参数，利用二次函数的性质求最值，可得到实数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为，则 ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意，以为切点的切线的斜率满足， 所以对恒成立. 又当时，，所以的最小值为. 41．（2024高三下·天津·专题练习）设函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出的图象，平移，考虑的图象经过点和与相切的这一段，可满足不等式恒成立，结合导数的几何意义，可得所求取值范围． 【详解】作出的图象，平移， 发现的图象经过点， 的图象与相切时，不等式恒成立． 由，解得或（舍去）， 设切点为，的导数为， 即切线的斜率为， 由图象可得，即有，切点为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 42．（23-24高二下·河南郑州·期中）若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，则不等式转化为，结合函数的单调性进而转化为，结合导数的几何意义及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解. 【详解】由可得， 所以， 设， 则即为 因为，所以函数在上单调递减， 因为，，所以，， 从而等价于，即， 由于曲线在处的切线方程为：， 所以当且仅当时，在上恒成立，所以正实数的最大值为1； 故答案为：1 43．（23-24高三上·广东·期中）已知函数，，，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】为过定点，斜率为的直线，根据导数的几何意义求得过定点的切线斜率为，数形结合处理恒成立问题. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为， 注意到为过定点，斜率为的直线， 把代入切线方程可得，解得， 即过定点的切线斜率为， 若恒成立，则，    所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 44．（23-24高三上·山西运城·期中）已知函数有三个不同的零点，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义、函数零点的定义分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，， 当时，只有一个零点，不符合题意，故. ∵， 且当时有且只有一个零点， ∴函数有三个不同的零点等价于 函数有两个不同的零点， 即与有两个不同的交点. 如上图，当与相切时，设切点为， 则由解得：，则. 如上图，由与有两个不同的交点知 ，解得：， ∴实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数范围的方法： 1.利用零点的个数结合函数的单调性构建不等式求解. 2.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 3.分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解. 45．（24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建，，分析可知与有2个不同的交点，分类讨论的大小关系，根据切线以及图象分析交点即可. 【详解】若，令， 即，整理可得，解得， 可知只有1个零点0，不合题意，所以， 令，可得， 令，解得或； 令，解得或； 由题意可知：与有2个不同的交点， 1.若，则，当时，可知， 此时或无意义，与必然没有交点， 所以只需要研究即可. （1）当，即时，对于可知， 则的定义域为，如图所示： 由图象可知：与的交点不止2个，不合题意； （2）当，即时，则， ①当时， 因为， 且， 因为在上单调递增，则， 可得 ， 即，可得 则， 即，可知与没有交点； ②当时，，则， 且，则， 若，解得，此时结合图象可知：与没有交点； 若，解得，此时结合图象可知：与有1个交点； （3）当，即，此时结合图象可知：与有2个交点； 对应的图象如图所示， 说明：考虑到定义域问题，若，只作部分图象， 因为与必有一个交点为坐标原点， 可知当时，与有且仅有一个交点， 结合图象可知：若与有2个不同的交点，则或； 2.若时，令，即 则 ， 此时与等价，当且仅当或，即或时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1．讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 一、单选题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数是的导数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】求导代入求解即可. 【详解】，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）如果函数在处的导数为2，则（      ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·河北衡水·期中）已知函数，（为自然对数的底数），为的导函数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再代入得出函数值即可. 【详解】函数，所以， 则. 故选：D. 4．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 5．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 6．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可. 【详解】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 7．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为， 故选：B 二、多选题 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据导数公式和导数运算法则逐一计算即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，，故C正确； 对于D，若，，故D正确. 故选：BCD 9．（24-25高二下·广东·阶段练习）在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（ ） A．该玩具车位移的最大值为110 B．该玩具车在内的平均速度为12.5 C．该玩具车在时的瞬时速度为30 D．该玩具车的速度和时间的关系式是 【答案】ACD 【分析】利用二次函数性质可判断A正确，再由平均速度计算公式可得B错误，根据瞬时速度概念以及导数定义可得CD正确. 【详解】根据题意，由可得其导数， 对于A，由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，即A正确； 对于B，该玩具车在内的平均速度为， 因此该玩具车在内的平均速度为，可得B错误； 对于C，由可知当时的瞬时速度为，即C正确； 对于D，由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，所以D正确. 故选：ACD 10．（2024·四川绵阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】 解：设 由两曲线与分别求导得， 所以， 故在处切线为：，整理得：， 在处切线为，整理得：， 所以，解得， 构造函数，， 令，解得：，故在递增，在递减， 故， ∵正实数，∴的取值范围是， 故选：ABC 11．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 三、填空题 12．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知函数，曲线在点处的切线为（为常数），则 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，从而知道在切点的导函数，即可得切线斜率，又由切斜经过切点，建立方程即可求得参数的值. 【详解】，则，则方程为，将点代入方程，得，解得． 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知直线与曲线相切，则 【答案】 【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为， 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入可得，解得， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高二下·广东河源·期中）曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 求导得，，则，且， 由，两边取对数整理得：，代入，可得， 令，求导得， 则当时，，当，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以斜率的最小值为. 故答案为： 16．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）实数，满足，，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】由，可得， 通过研究函数，可得，然后可化为 函数图象上一点到直线上一点距离的平方，据此可得答案. 【详解】 . 对于，，则在R上单调递增， 又，则，故， 表示函数图象上一点到直线上一点距离的平方， 则最小值为函数图象与直线平行切线上一点到直线的距离的平方. ，令， 则与直线平行切线对应的切点为：，其到直线距离为. 则最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点睛：对于指数，对数同时出现的题目，常利用指对互化产生相同结构；对于平方型问题，常可转化为两点距离公式来思考. 四、解答题 17．（24-25高二下·广东·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的最值与导数的关系可求出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得，所以， 所以，则，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）由（1）知，，，由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，，故函数在区间上的最大值为，最小值为. 值域为 18．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知函数，． (1)求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线； (2)请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出的切点，即可求导，求解的切线方程，联立直线与，根据判别式为0，即可证明相切， （2）求导，即可根据函数的单调性求解. 【详解】（1）设与切于， ，∴ ∴切线方程为，令， 此时在处的切线方程为，即是的切线， 联立，∴， ∴在处的切线为， ∴也是的切线． 因此直线既是曲线的切线，也是曲线的切线； （2）若选①，当时，，显然无最大值．不符合题意， 若选②，， ， 当或时，，当， 故在上单调递减；上单调递增，上单调递减， 时，且，，，∴． 若选③，则， 当或时，，当， 所以在上单调递增；上单调递减；上单调递增， 时，且，，，∴． 19．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知函数. (1)求函数 在区间 上的平均变化率； (2)求函数 的图象在点 处的切线方程. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）利用平均变化率的公式计算可得结果. （2）求导，计算，利用导数的几何意义可得切线斜率，结合点坐标得到切线方程. 【详解】（1）函数 在区间 上的平均变化率为 . （2）设函数 的图象在点 处的切线斜率为， ∵，∴， ∴， ∵ ， ∴切线方程为 ，即 . 20．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. （2）， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 由知，，且， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 21．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程， （2）构造函数，求导，根据单调性可得，进而，构造函数，求导判断单调性，即可求解最值得解. （3）根据在单调递减.证明，即可求证，构造函数以及，利用导数求解单调性，即可求证. 【详解】（1）， 则，， 故切线方程为，即， （2）， 令， 令， 当在单调递增，且， 当时，， 解集为， 故，进而即， 令，， 当单调递增，当，单调递减， 当时，， ，因此， 故 （3）在内有两个不同零点， 则有两个根，即， 由（2）知，当 在单调递增，单调递减. 故， 欲证，即证， 由于，在单调递减.即，即， 即证，即， 即证即证显然成立， 欲证 即证，即证 即证，即证，即证 令，则， 令， 故在单调递增，且， 在单调递增，，得证 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题01 导数的概念、运算及其几何意义 7考点复习指南 一、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 二、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 三、基本初等函数的导数公式及运算法则 基本初等函数 导函数 （为常数） 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【问题背景】 在高考数学中，导数是极为重要的考点，它将函数与几何图形紧密相连，对学生的数学思维和综合运用能力要求颇高。导数相关知识不仅是函数研究的深化拓展，也是解决曲线切线、函数单调性、最值等问题的关键工具。导数的概念源于函数的变化率，通过极限思想进行精确刻画，这使得它在数学分析领域占据核心地位。从高考命题趋势来看，导数题目类型丰富多样，涵盖选择、填空与解答题，难度层次分明，既考查基础知识的理解与运用，又着重检测学生的逻辑推理、数学运算以及数学建模能力，是拉开分数差距的关键内容。 【处理角度】 1. 概念理解：深入剖析导数的定义、几何意义以及物理意义，准确把握平均变化率与瞬时变化率的区别和联系，为解决各类导数问题筑牢理论根基。 2. 公式运用：牢记基本初等函数的导数公式和运算法则，包括加减、乘法、除法运算以及复合函数求导法则，在解题时能够迅速、准确地进行导数运算。 3. 函数分析：学会借助导数分析函数的单调性、极值和最值，绘制函数大致图象，直观呈现函数的变化趋势，以便解决函数的零点、不等式恒成立等问题。 4. 几何直观：充分利用导数的几何意义，将函数图象上某点的切线斜率与导数建立联系，通过图形直观地理解函数与切线的关系，进而解决与切线相关的各类问题。 【解法策略】 1. 平均速度与瞬时速度：明确平均速度通过计算位移或其他相关量在某段时间内的变化量与时间变化量的比值得到。瞬时速度则依据导数的定义，对位移函数求导，将特定时刻代入导函数求值。 2. 导数定义：依据导数定义，将所给式子转化为导数定义的标准形式，若涉及抽象函数，合理变形构造出与定义一致的结构，再代入已知导数的值进行求解。 3. 导数运算求值：对于基本初等函数的求导，直接套用对应的导数公式。在函数包含四则运算或复合函数时，准确运用相应的运算法则，逐步求导并化简，最后代入具体值计算。 4. 利用导数求切线方程：先对函数求导，将切点横坐标代入导函数得到切线斜率。再把切点坐标代入原函数求出纵坐标，确定切点。最后根据点斜式方程写出切线方程。若已知切线过某点，需设出切点，利用上述方法列出方程求解。 5. 公切线问题：分别设出两条曲线的切点，对两条曲线求导得到各自在切点处的切线斜率，进而写出切线方程。由于是公切线，让两个切线方程的斜率和截距分别相等，联立方程求解。当涉及到公切线的条数或相关参数范围时，常转化为方程根的个数问题，借助函数的单调性、极值和最值进行分析。 6. 切线与距离最值：根据导数的几何意义，找出与已知直线平行且与曲线相切的切点。因为该切点到已知直线的距离即为曲线到直线的最小距离，最后运用点到直线的距离公式求出最小值。 7. 切线与恒成立或零点问题：对于不等式恒成立问题，将其转化为函数的最值问题。通过求导分析函数的单调性和极值，进而确定函数的最值，建立关于参数的不等式求解。对于函数零点问题，把函数零点转化为方程的根，再进一步转化为两个函数图象的交点问题，通过求导分析函数的性质，绘制函数图象，利用数形结合的方法确定参数的取值范围。 考点1 平均速度与瞬时速度 1．（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 2．（21-22高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）2024年，杭州某科技公司研发的智能扫地机器人销量持续增长.已知该产品2024年前七个月的月销量（单位：万台）与月份的函数关系为，则1月到3月月销量的平均增长率为 万台/月. 4．（24-25高二下·河南南阳·期中）四川舰是我国自主研制建造的型两栖攻击舰首舰，是全球首次采用电磁弹射技术的两栖攻击舰.某电磁弹射装置竖直向上弹出一个物体，由于自带动力装置，该物体上升的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，则该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 考点2 导数定义 6．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知且，求（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A．6 B． C． D． 9．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·四川达州·期中）若是函数的导数，且，则（   ） A． B． C． D．2 11．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数的导数为，若，则 . 考点3 导数运算求值 12．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 ． 15．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 16．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 考点4 利用导数求切线方程 17．（24-25高二下·广东·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 18．（23-24高二·湖南·课后作业）已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 19．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)求的导数； (2)求 (3)求函数的图象在处的切线方程. 20．（24-25高二下·河南南阳·期中）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 22．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 23．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 24．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 25．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 26．（24-25高二上·云南昭通·期中）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与直线垂直，则 . 考点5 公切线问题 27．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 28．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 29．（22-23高二下·浙江杭州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 31．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 33．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ． 34．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 35．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合， 则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点6 切线与距离最值 36．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点7 切线与恒成立或零点问题 39．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 41．（2024高三下·天津·专题练习）设函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 42．（23-24高二下·河南郑州·期中）若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为 ． 43．（23-24高三上·广东·期中）已知函数，，，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 44．（23-24高三上·山西运城·期中）已知函数有三个不同的零点，则实数的范围为 . 45．（24-25高三上·天津·期中）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数是的导数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）如果函数在处的导数为2，则（      ） A．2 B．1 C． D．4 3．（24-25高二下·河北衡水·期中）已知函数，（为自然对数的底数），为的导函数，则（    ） A．0 B． C．1 D． 4．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高二下·广东·阶段练习）在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（ ） A．该玩具车位移的最大值为110 B．该玩具车在内的平均速度为12.5 C．该玩具车在时的瞬时速度为30 D．该玩具车的速度和时间的关系式是 10．（2024·四川绵阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 三、填空题 12．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知函数，曲线在点处的切线为（为常数），则 ． 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知直线与曲线相切，则 15．（24-25高二下·广东河源·期中）曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ． 16．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）实数，满足，，则的最小值是 ． 四、解答题 17．（24-25高二下·广东·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的值域． 18．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知函数，． (1)求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线； (2)请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值． 19．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知函数. (1)求函数 在区间 上的平均变化率； (2)求函数 的图象在点 处的切线方程. 20．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 21．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$