专题8.2 分布列及数字特征（七个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.2 分布列及数字特征 一、离散型随机变量的分布列 五、两点分布 二、分布列的性质 六、均值、方差的性质 三、求离散型随机变量的均值 七、均值与方差的综合应用 四、求离散型随机变量的方差 知识点1随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点2两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 知识点3离散型随机变量的均值与方差 ①离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ②均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 重难点一、离散型随机变量的分布列 【例1】某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动， 随机变量男生人数的可能取值为，则. 故答案为：. 【例2】一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）取出3个球颜色都不相同的概率． （2）由题意知． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式1-1】一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 ． 【答案】 【详解】设二级品有个，则一级品有个，三级品有个，总数为，则随机变量的分布列为： 1 2 3 ． 故答案为： 【变式1-2】在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 【变式1-3】某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 【答案】分布列见解析， 【详解】的可能取值为1、2、3、4、5. ，，，，. 因此的分布为： 1 2 3 4 5 所以. 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 重难点二、分布列的性质 【例3】设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 则. 故选：A. 【例4】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，由分布列可得： 解可得：. 故选:A 【变式2-1】已知随机变量的分布列，则 ． 【答案】/ 【详解】已知（）， 则由分布列的性质可得 ， 解得， 故答案为：. 【变式2-2】设随机变量的概率分布列为如图，则常数 . 0 1 P 【答案】 【详解】由题意可得， 由可得，故或， 结合，故， 故答案为： 【变式2-3】（多选）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】依题意，，所以. 故选：AD 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 重难点三、求离散型随机变量的均值 【例5】已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第 60 百分位数为 ，且随机变量 的分布列为 0.5 2m 0.4 0.3 0.3 则 . 【答案】 【详解】一组数据1，1，2，3，5，2，1，从小到大排列为， 又因为，所以第 60 百分位数为 小到大排列的第5个数 ， 所以. 故答案为：. 【例6】2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． (1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； (2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）用表示张某第道题答对， 用表示张某第道题答错， 由题意得， 记张某得到直升卡为事件， 则 ． 即张某得到直升卡的概率为． （2）由题可得的可能取值为． ， ， ， ， 则的分布列如下， 2 3 4 5 所以． 【变式3-1】已知，随机变量X的分布列为 Ｘ 1 2 3 4 P a b 的最小值为 ，此时X的数学期望为 ． 【答案】 / 【详解】依题意可得．则， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 此时． 故答案为：；． 【变式3-2】某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 【答案】 0.94 1.7 【详解】， 设一年内参加考试次数为，则的可能取值为， ，， ， 所以数学期望. 故答案为：；. 【变式3-3】现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，，即或， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能， 的情况有共6种，故， 的情况有共10种，故， 所以的概率为. （2）由题意，的所有可能值为，同（1）分析， 的情况有共8种，则， 的情况有共6种，则， 的情况有共4种，则， 的情况有共2种，则， 所以. 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式 重难点四、求离散型随机变量的方差 【例7】已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】B 【详解】由题意可得， 则． 故选：B. 【例8】（多选）两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为，已知市和市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为，若用表示某天受台风袭击的城市个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由已知有，解得，故A正确； 对于B，有，故B正确； 对于C，有，故C错误； 对于D，有，从而，故D正确. 故选：ABD. 【变式4-1】随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 【答案】/ 【详解】根据题意有，即①， 又因为，即，即②， 联立①②，有，解得， 所以， . 故答案为： 【变式4-2】已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由分布列性质知，， 解得，则， 则． 故选：B. 【变式4-3】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”.                                                                       则，， 设事件表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 . 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）方差公式 重难点五、两点分布 【例9】两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由参数为的两点分布知，故A、B正确；，C正确； ，D错误. 故选：D. 【例10】若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； 在B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确. 故选：C. 【变式5-1】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【答案】C 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得. 故选：C. 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 【变式5-3】若随机变量X，Y分别服从成功概率为的两点分布，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为随机变量，分别服从成功概率为，的两点分布， 则，， ，， 所以或1， 所以 或 或， 因为或，且或， 所以或， 所以或， 即的取值范围是． 故答案为：． 两步法判断一个分布是否为两点分布：（1）看取值:随机变量只取两个值和；（2）验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 重难点六、均值、方差的性质 【例11】已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 【答案】B 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 【例12】冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲､乙两人报名参加测试，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲､乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲､乙两人录用为志愿者的概率； (2)记甲､乙两人中录用为志愿者的人数为，求的分布列及. 【答案】(1)甲被录用为志愿者的概率为，乙被录用为志愿者的概率为, (2)的分布列见解析，. 【详解】（1）从6道题中任选4道共有种取法， 因为甲能答对6道题中的4道题， 故甲能答对所选的4道题中的3道或4道的选法有种， 故事件甲被录用为志愿者的概率， 因为乙能答对每道题的概率均为， 故乙被录用为志愿者的概率, （2）由已知可得的可能取值有0，1，2， 由(1)可得，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以, 所以. 【变式6-1】已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C 【变式6-2】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为随机变量的分布列为，，， 所以，所以，故A正确； 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差的定义可得 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式6-3】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析；，； (2)，. 【详解】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望， 方差. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 方差. 对于型的随机变量,则有， 重难点七、均值与方差的综合应用 【例13】某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【答案】(1) (2)应选择方案二. 【详解】（1）因为， ，且， 所以. （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 所以.所以甲应该选择方案二. 【例14】某商场一共有 4 层楼.一部电梯可以从第 1 层上升至第 2，3，4 层中的任意一层，若有 4 个人从第 1 层进入这部电梯上楼. (1)求恰有 2 人去第 4 层的概率； (2)求在第 4 层下电梯人数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1） 4 人从第 1 层进入这部电梯上楼共有种情况， 4人中有2人去第 4 层共有种情况， 因此恰有人去第层的概率为； （2） 由题意，在第层下电梯人数可能取值为．，，， ，． 所以的分布列为    所以． 【变式7-1】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 支持方案二 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列； (2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果） 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件， 则，，则的可能取值为、、， 所以，， ，所以的分布列为： （2）解：依题意可得，所以，即. 【变式7-2】有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B 则. （2）设张某先猜A谜语获得的奖金为元，先猜B谜语获得的奖金为元， 则的取值分别是0，10，，的取值分别是0，，， ，，， 所以； ，，， 所以. 由得，解得. 【变式7-3】2023年五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放：每位员工分别从标有不同面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额． (1)若4张卡片上的面值分别为100元，100元，300元，500元． ①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率； ②记每位员工所获得的奖励金额为X元，求X的分布列与期望； (2)你能否设计一种抽签方案，使得4张卡片上的面值分别为100元，200元，300元，400元，500元中的3个，且每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡（只需给出一种方案并说明理由即可，不需要判断是否还有其他方案）． 【答案】(1)①；②分布列： X 200 400 600 800 P 500 (2)4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元，理由见解析. 【详解】（1） ①每位员工所获得的奖励金额不低于500元，则抽取的2张卡片上的面值为500元，300元或500元，100元， 所以每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率为． ②由题意，得X的所有可能取值为， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 200 400 600 800 P ． （2） 4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元，设按照此方案，每位员工所获得的奖励金额为Y元，则Y的所有可能取值为， 则，， ，， 所以Y的分布列为 Y 300 400 600 700 P ， 所以． 因为=， =， 由于， 所以4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元时，此方案可以使每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡． 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 一、单选题 1．设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，有，且，，解得. 故选：B. 2．若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 3．根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 【答案】B 【详解】设采用方案①，②，③的损失分别为， 若采用方案①，则； 若采用方案②，则， ； 若采用方案③，， ，而， 所以从农场主损失期望的角度出发，农场主采用方案②可以让损失降到最小. 故选：B 4．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（    ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得，， ，而， 所以. 故选：A 5．已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 6．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，随机变量满足的事件是、、的3个互斥事件的和， 而，，， 所以. 故选：B 二、多选题 7．在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（    ） A．第二次抽到红球的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C．若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D．设抽到红球的个数为X，则 【答案】AD 【详解】第二次抽到红球的概率为，故A正确； 至少有一次抽到红球的概率为，故B错误； 已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为，故C错误； X可能取值为0，1，2，，， 故，故D正确. 故选：AD. 8．设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】AC 【详解】因为，所以，故A正确； 由得，即， 所以，故B错误； 又， ，故C正确； 因为，所以，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．袋中有大小与质地相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是 ． 【答案】9 【详解】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个． 故答案为：9． 10．设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，， 所以， 所以，得， 因为，所以， 所以， 故答案为： 四、解答题 11．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以，则． （2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 12．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为； （2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故； （3）依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望. 13．在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 【答案】(1) (2)甲先射击． 【详解】（1）设事件A表示“M被击中”， 则． （2）设射击的总次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3． 若按甲、乙、丙的顺序射击， 则，，， 所以． 若按丙、乙、甲的顺序射击， 同理得． 因为 ， 又因为，，所以， 所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2 分布列及数字特征 一、离散型随机变量的分布列 五、两点分布 二、分布列的性质 六、均值、方差的性质 三、求离散型随机变量的均值 七、均值与方差的综合应用 四、求离散型随机变量的方差 知识点1随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点2两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 知识点3离散型随机变量的均值与方差 ①离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ②均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 重难点一、离散型随机变量的分布列 【例1】某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是 . 【例2】一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中有放回地抽取3次球，每次抽取1个球， (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列． 【变式1-1】一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则 ． 【变式1-2】在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【变式1-3】某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 重难点二、分布列的性质 【例3】设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【例4】随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【变式2-1】已知随机变量的分布列，则 ． 【变式2-2】设随机变量的概率分布列为如图，则常数 . 0 1 P 【变式2-3】（多选）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 重难点三、求离散型随机变量的均值 【例5】已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第 60 百分位数为 ，且随机变量 的分布列为 0.5 2m 0.4 0.3 0.3 则 . 【例6】2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响． (1)若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率； (2)记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望． 【变式3-1】已知，随机变量X的分布列为 Ｘ 1 2 3 4 P a b 的最小值为 ，此时X的数学期望为 ． 【变式3-2】某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 【变式3-3】现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式 重难点四、求离散型随机变量的方差 【例7】已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【例8】（多选）两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为，已知市和市每天是否受台风袭击互相独立，且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为，若用表示某天受台风袭击的城市个数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 【变式4-2】已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）方差公式 重难点五、两点分布 【例9】两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若随机变量X，Y分别服从成功概率为的两点分布，则的取值范围是 ． 两步法判断一个分布是否为两点分布：（1）看取值:随机变量只取两个值和；（2）验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 重难点六、均值、方差的性质 【例11】已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（    ） A．20 B．18 C．8 D．6 【例12】冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲､乙两人报名参加测试，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲､乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲､乙两人录用为志愿者的概率； (2)记甲､乙两人中录用为志愿者的人数为，求的分布列及. 【变式6-1】已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 对于型的随机变量,则有， 重难点七、均值与方差的综合应用 【例13】某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【例14】某商场一共有 4 层楼.一部电梯可以从第 1 层上升至第 2，3，4 层中的任意一层，若有 4 个人从第 1 层进入这部电梯上楼. (1)求恰有 2 人去第 4 层的概率； (2)求在第 4 层下电梯人数的分布列和数学期望. 【变式7-1】开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 支持方案二 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列； (2)在（1）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小，（直接写结果） 【变式7-2】有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 【变式7-3】2023年五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放：每位员工分别从标有不同面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额． (1)若4张卡片上的面值分别为100元，100元，300元，500元． ①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率； ②记每位员工所获得的奖励金额为X元，求X的分布列与期望； (2)你能否设计一种抽签方案，使得4张卡片上的面值分别为100元，200元，300元，400元，500元中的3个，且每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡（只需给出一种方案并说明理由即可，不需要判断是否还有其他方案）． 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 一、单选题 1．设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 则（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 4．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（    ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 5．已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 6．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（    ） A．第二次抽到红球的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C．若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D．设抽到红球的个数为X，则 8．设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C．， D．， 三、填空题 9．袋中有大小与质地相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是 ． 10．设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为 ． 四、解答题 11．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 12．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 13．在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$